精品解析：河北省石家庄市新乐市七校联合体2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

河北省2024级高二年级大数据应用调研阶段性联合测评（Ⅳ） 数学（B卷） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点的坐标为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线焦距为（ ） A B. 6 C. D. 4 3. 观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在长方体中，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与圆相交于两点，则当面积最大时，的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线，则曲线围成的平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线平行 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线与直线垂直 10. 在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（ ） A B. C. D. 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若点的坐标为，则 C. 最小值为18 D. 若直线与直线相交于点，则三点共线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，已知，则__________. 13. 圆与圆的公切线条数为__________. 14. 定义：在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为.阅读上面材料，并解决下列问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. （1）设，试用向量表示； （2）求线段的长度. 16. 已知双曲线一条渐近线方程为，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面为线段的中点，. （1）证明：无论取何值，均有平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 18. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设数列为单调递减数列，且，求实数的取值范围. 19. 已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上异于的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为. （1）求椭圆的方程； （2）已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于两点，且满足. （i）求与的关系式； （ii）求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2024级高二年级大数据应用调研阶段性联合测评（Ⅳ） 数学（B卷） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点的坐标为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的定义和点的坐标求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点到平面的距离等于该点竖坐标的绝对值，因为，所以所求距离为. 故选： 2. 双曲线焦距为（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，再根据焦距的定义求解. 【详解】双曲线的标准方程为， 则，得，即， 故双曲线的焦距为. 故选：C 3. 观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列所给项，找到数列中项与项数的规律即可得解. 【详解】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A 4. 在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点关于轴的对称点，则反射光线所在的直线即为直线，求出直线的方程即可. 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意反射光线所在的直线即为直线， ， 所以直线的方程为，即， 即反射光线所在的直线方程为. 故选：A. 5. 如图，在长方体中，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则. 那么，所以异面直线与所成角的余弦值为 , 故选：A. 6. 若直线与圆相交于两点，则当面积最大时，的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设直线到圆心距离为，圆半径为，由题可得，然后由基本不等式可得面积最大值，由取等条件可得. 【详解】设直线到圆心距离为，圆半径为，则，. 为使直线与圆相交，则. 则 因，当且仅当时取等号，则，当且仅当时取等号. 则，当且仅当， 即时取等号. 则最大值为，此时. 故选：B 7. 若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设是椭圆的左右焦点，进而根据题意，结合椭圆的定义得，再结合，即可得答案. 【详解】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为， ，又， ， ，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，. 故选：C. 8. 已知曲线，则曲线围成的平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明曲线的图象关于轴、轴、原点对称，再利用扇形的面积公式和三角形的面积公式求出曲线在第一象限与坐标轴围成的图形面积，利用对称性即可求出. 【详解】若点在曲线上，则点均在曲线上， 则曲线的图象关于轴、轴、原点对称， 当时，曲线， 设其圆心为，图象与轴、轴的交点分别为，图象如图所示： 易得，，则， 则在中利用余弦定理得， 则， 因，则，故扇形的面积为， 又， 则曲线在第一象限与坐标轴围成的图形面积为， 故曲线围成的平面图形的面积为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线平行 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线与直线垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】根据截距、方向向量的定义，结合两直线平行与垂直的性质逐一判断即可. 【详解】A：在直线中，令，，所以本选项说法不正确； B：因为，所以直线与直线平行，因此本选项说法正确； C：由，所以直线的一个方向向量为， 而， 所以向量不是直线的一个方向向量，因此本选项说法不正确； D：因为，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确， 故选：BD 10. 在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理，结合空间线性运算及共面向量定理计算得解. 【详解】在平行六面体中，是的中点， 对于AB，， 而，不共面，因此，A正确，B错误； ，则 ， 于是 ，由为平面内一点， 得共面，由共面向量定理得，因此，C正确，D错误. 故选：AC 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若点的坐标为，则 C. 的最小值为18 D. 若直线与直线相交于点，则三点共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和光学性质，结合一元二次方程的根与系数关系、基本不等式、直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限. 对于A：抛物线的焦点坐标为， 根据抛物线光学性质可知直线经过， 直线方程可设为，与抛物线方程联立， 得，， 所以，，所以选项A不正确； 对于B：若点的坐标为，由题意可知：，代入中，得， 代入中，得，代入中，得， 则， ， 所以，因此本选项正确； 对于C：点的坐标为，由题意可知：，代入中，得， 代入中，得，代入中，得， ， 即，当且仅当时取等号， 即当时，的最小值为18，所以本选项正确； 对于D：点坐标为，因为，， 所以， 又直线都经过同一点，所以三点共线， 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，已知，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式建立关于的方程组，解方程组，结合等差数列的通项公式计算即可求解. 【详解】由题意知，设等差数列公差为， 则，即，解得， 所以. 故答案为： 13. 圆与圆的公切线条数为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】分别确定两圆的圆心坐标与半径，求得，的值，即可判断圆与圆的位置关系，从而可得圆与圆的公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以，故圆相交，故两圆公切线条数为2. 故答案为：2. 14. 定义：在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为.阅读上面材料，并解决下列问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据定义，分别求得平面的法向量和直线的方向向量，再根据线面角的向量求法，求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】平面的方程为， 平面的一个法向量， 同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则． 故答案：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. （1）设，试用向量表示； （2）求线段的长度. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得，根据空间向量的数量积运算即可求解. 【小问1详解】 因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . 【小问2详解】 因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程得到，然后根据经过的点坐标求出的值，进而求得双曲线的方程. （2）设，将其代入双曲线方程中进行化简即可求得直线的斜率，进而得到直线的方程. 【小问1详解】 因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面为线段的中点，. （1）证明：无论取何值，均有平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直可证明线线垂直，再通过线线垂直证明线面垂直，从而可证明平面，即可证明面面垂直； （2）利用垂直关系可直接作出二面角的平面角，再利用余弦值来求解边长，从而问题即可求解. 【小问1详解】 因为为线段的中点，所以， 又因为底面，底面， 所以，又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 即无论取何值，均有平面平面； 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以即二面角的平面角就是， 若平面与平面夹角的余弦值为，则， 因为平面，又因为平面，所以， 即，因为， 所以，根据勾股定理可得：， 又因为，，所以. 18. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设数列为单调递减数列，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合进行变形，再利用等差数列定义求出通项公式. （2）由（1）的结论确定的非正数项，再结合与的关系分段求出. （3）由（1）的结论求出，再由恒成立求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由，得， 当时，， 两式相减得， 整理得，而，因此， 即，则是以13为首项，为公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）得：. 由，得，解得， 则当时，； 当时，， 所以数列的前项和. 【小问3详解】 由（1）知，则为单调递减数列， 由，得， 则，即，依题意，对恒成立， 而单调递增，，当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围为. 19. 已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上异于的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为. （1）求椭圆的方程； （2）已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于两点，且满足. （i）求与的关系式； （ii）求面积的取值范围. 【答案】（1）; （2）（i）,（ii） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆和菱形的中心对称性可得参数的方程组，来求解椭圆方程； （2）（i）利用直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理和垂直关系，可得与的关系式； （ii）利用弦长公式和点到直线的距离来求面积，再利用换元法来求值域即可. 【小问1详解】 如图，作出符合题意的图形， 由四边形为菱形，根据椭圆的中心对称性可得，是椭圆的短轴顶点， 再由椭圆的性质，由四边形的周长为，面积为可得： ，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形， （i）直线与椭圆，联立方程组消去得： ， 设交点，则， 且， 由，则， 即， 所以有， 得到， 代入， 可得恒成立，故； （ii）由弦长公式得：， 由原点到直线的距离公式得：， 所以 再令，则上式可化为： ， 因为，所以，即， 即当时，即时，面积取到最大值， 当时，即时，面积取到最小值，由于，此情况排除， 故面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $