14.3角的平分线专项训练2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦角平分线性质、判定及作图，通过分层例题构建“性质应用-判定推理-作图实践”的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线的性质定理|4题（例1-4+变式1-4）|结合距离与面积计算，考查性质直接应用|以“角平分线上点到两边距离相等”为核心，关联三角形面积与中线性质| |角平分线的判定定理|4题（例1-3+变式1-3）|证明题为主，需通过全等或距离关系推导|性质逆定理应用，构建“距离相等→点在角平分线上”的推理链条| |角平分线的作图问题|4题（例1-3+变式1-3）|尺规作图及综合应用，含作图后计算|从基本作图到实际应用，体现“作图原理→操作实践→性质应用”的认知过程|

角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、角平分线的作图问题专项训练 角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、角平分线的作图问题专项训练 考点目录 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 角平分线的作图问题 考点一 角平分线的性质定理 例1．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得的面积与的面积相等，则凉亭H是（     ） A．角平分线与边上中线的交点 B．角平分线与边上中线的交点 C．角平分线与边上中线的交点 D．角平分线与边上中线的交点 例2．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 例3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，平分，若的面积为6，则的面积为______． 例4．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____． 变式1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 变式2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，射线为的平分线，点为上一点，于点．若，则点到的距离为_____cm． 变式4．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为_________． 考点二 角平分线的判定定理 例1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 例2．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 例3．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，的边上有一点，，分别是和的高，连接，且．求证：是的角平分线． 变式1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，为边上的一点且，过点作，垂足分别是，求证：． 变式2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知：垂足分别为D、E，且相交于点F．求证：平分． 变式3．（24-25八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 考点三 角平分线的作图问题 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，请你用尺规作图法作的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 例2．（25-26八年级上·广西河池·期中）如图，直线与交于点，． (1)作的平分线（保留作图痕迹）． (2)求的度数． 例3．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)应用与计算：若，，，求点D到的距离． 变式1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 变式2．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，点A在的边上，请用尺规作图法在内部求作点P，连接，使点P到和的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 变式3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，． (1)过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； (2)若，，求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、角平分线的作图问题专项训练 角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、角平分线的作图问题专项训练 考点目录 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 角平分线的作图问题 考点一 角平分线的性质定理 例1．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得的面积与的面积相等，则凉亭H是（     ） A．角平分线与边上中线的交点 B．角平分线与边上中线的交点 C．角平分线与边上中线的交点 D．角平分线与边上中线的交点 【答案】D 【分析】根据角平分线的判定定理，确定的角平分线，利用中线使三角形面积相等和角平分线的性质定理，确定等底等高，确定凉亭是角平分线与边上中线的交点． 【详解】解：要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等， 作的角平分线， 使得的面积与的面积相等 作边上中线， 凉亭是角平分线与边上中线的交点． 例2．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 【答案】A 【分析】利用角平分线的性质定理得出点到三角形三边的距离相等，将的面积转化为三个小三角形面积之和进行计算． 【详解】解：如图所示，作于点，作于点，连接， ∵点是的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 例3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，平分，若的面积为6，则的面积为______． 【答案】10 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，作辅助线利用角平分线的性质求出两个三角形的高线是解题的关键．过点D作于G，作于H，利用角平分线性质可得，再利用三角形面积可得，再根据计算，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点D作于G，作于H， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 例4．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的角平分线，，， ， ∵，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 变式1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 变式2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，，， ∴， ∴长的最小值为3． 变式3．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，射线为的平分线，点为上一点，于点．若，则点到的距离为_____cm． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点P作于E，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点P作于E， ∵射线为的平分线，，， ∴， 即点到的距离为， 故答案为：3． 变式4．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可知，，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作，，垂足分别为， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴； ∵，平分， ∴，， ∵和的平分线分别为相交于点O，且，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 考点二 角平分线的判定定理 例1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2) 证明：作， ∵分别是，的外角平分线， ∴， 则， 即平分． 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的外角等于与他不相邻的两个内角的和，得，，然后根据三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）结合角平分线是性质得，又根据角平分线的判定即可作答． 【详解】（1）解：∵ 的度数为，，， ∴ 则． （2）略 例2．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 【答案】 证明：如图，过点D作于点F， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分． 【分析】本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键． 过点D作于点F，根据证得，进而证得，根据角平分线定理证明即可． 【详解】 略 例3．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，的边上有一点，，分别是和的高，连接，且．求证：是的角平分线． 【答案】 证明：∵，分别是和的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 【分析】本题考查直角三角形全等的判定与角平分线的判定定理．解题关键是通过证明直角三角形全等得到对应边相等，再利用角平分线判定定理完成证明． 【详解】略； 变式1．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，为边上的一点且，过点作，垂足分别是，求证：． 【答案】 证明：， ， 与是直角三角形， 在与中， ， ， ， ， 平分， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，根据证明，得出，根据角平分线的判定证明平分，即可得证． 【详解】略 变式2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知：垂足分别为D、E，且相交于点F．求证：平分． 【答案】 解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据得，又因为，证明，结合到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进行作答即可． 【详解】略 变式3．（24-25八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 【答案】 证明：是的中点， ， ，， ， 在和中，   ， ， 平分． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意可证，得到，即可得到结论． 【详解】略 考点三 角平分线的作图问题 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，请你用尺规作图法作的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，射线即为所求， 【分析】根据判定全等三角形的原理，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，射线即为所求． 【详解】略． 例2．（25-26八年级上·广西河池·期中）如图，直线与交于点，． (1)作的平分线（保留作图痕迹）． (2)求的度数． 【答案】(1) 如图所示，射线即为所求． (2) 【分析】此题考查了角平分线的作图、角平分线的相关计算． （1）根据角平分线的作图步骤进行作图即可； （2）根据平角的定义得到，再根据角平分线的定义进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）， ． 平分， ． 例3．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)应用与计算：若，，，求点D到的距离． 【答案】(1) 如图所示为所求： (2) 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质定理是解题关键． （1）以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点，然后作射线，交于点，由此即可得； （2）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，然后根据计算即可得． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即点D到的距离为． 变式1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图所示即为所作， 【分析】作的角平分线，交于点P，则即为所求作． 【详解】略 变式2．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，点A在的边上，请用尺规作图法在内部求作点P，连接，使点P到和的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】所作图形如图所示： 【分析】以点O为圆心，适当长为半径画弧，交，于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离一半为半径画弧，然后再以点O为圆心，长为半径画弧，交角平分线于点P，进而问题可求解． 【详解】略 变式3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，． (1)过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 如图所示，的平分线即为所求： (2)24 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，熟知角平分线的性质及其尺规作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）过点D作于H，则，再根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点D作于H， ∵平分，，， ∴， ∴ ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $