第26章二次函数【素养培优卷】2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章《二次函数》【素养培优卷】2026-2027学年人教版九年级上册数学 （满分 100 分　　建议用时 90 分钟　　共 24 小题） 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 【本章知识点汇总】 26.1 二次函数的概念 ①定义：形如 y=ax²+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a、b、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项； ②判定的三个必备条件：二次项系数 a≠0；化简、合并同类项后自变量的最高次数为 2；等号右边是关于 x 的整式（x 不能在分母上，也不能在根号内）； ③含参二次函数 y=axm+bx+c：必须同时满足 m=2 与 a≠0； ④三种解析式：一般式 y=ax²+bx+c；顶点式 y=a(x−h)²+k；交点式 y=a(x−x1)(x−x2)（抛物线与 x 轴有交点时使用）； ⑤列实际问题的函数解析式：“审—设—列”三步，并写出自变量的取值范围． 26.2 二次函数的图象和性质 ①二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，对称轴垂直于 x 轴，对称轴与抛物线的交点叫做顶点； ②五种形式的对称轴与顶点：y=ax²〔对称轴 y 轴，顶点 (0,0)〕；y=ax²+k〔对称轴 y 轴，顶点 (0,k)〕；y=a(x−h)²〔对称轴 x=h，顶点 (h,0)〕；y=a(x−h)²+k〔对称轴 x=h，顶点 (h,k)〕；y=ax²+bx+c〔对称轴 x=−，顶点 (−，)〕； ③开口：a>0 时开口向上，函数有最小值；a<0 时开口向下，函数有最大值；|a| 越大，开口越小； ④增减性：以对称轴为界，a>0 时“左减右增”，a<0 时“左增右减”；比较函数值的大小可转化为比较点到对称轴的距离； ⑤最值：顶点纵坐标即为最值；当自变量取给定区间时，要判断对称轴是否在区间内，并比较端点值与顶点值； ⑥平移：“左加右减（自变量 x）、上加下减（常数项 k）”，只对顶点式使用，平移不改变 a； ⑦系数符号：a 定开口方向；a、b 共同确定对称轴位置（“左同右异”）；c 是图象与 y 轴交点的纵坐标；Δ=b²−4ac 决定图象与 x 轴的交点个数；x=1 时 y=a+b+c，x=−1 时 y=a−b+c． 26.3 二次函数与一元二次方程 ①令 y=0，二次函数 y=ax²+bx+c 就转化为一元二次方程 ax²+bx+c=0； ②抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根； ③交点情况由判别式 Δ=b²−4ac 判定：Δ>0 时图象与 x 轴有两个交点（方程有两个不相等的实数根）；Δ=0 时图象与 x 轴有一个交点（方程有两个相等的实数根，此时顶点在 x 轴上）；Δ<0 时图象与 x 轴没有交点（方程没有实数根）；Δ≥0 时图象与 x 轴有交点； ④与不等式：用图象法，抛物线在 x 轴上方部分对应 y>0．a>0 时大于 0 取“两根之外”、小于 0 取“两根之间”，a<0 时相反； ⑤求近似根：列表描点看图象→定位符号找区间→逐步缩小范围． 26.4 实际问题与二次函数 ①解题步骤：审题→设未知数→列解析式（并写出自变量取值范围）→求解→检验→作答； ②常见类型：面积（体积）最值；利润最值〔总利润=每件利润×销售量〕；抛物线形建筑（拱桥、隧道）与运动轨迹（投篮、喷泉、刹车距离）问题； ③抛物线形问题要先建立合适的直角坐标系：桥（建筑）类常以最高点为原点，运动类常把出发点放在 y 轴上； ④求最值要注意自变量的取值范围，必要时比较端点值；结果要检验是否符合实际意义． 数学活动（本章综合与实践） ①活动“哪个积最大”：当两个因数的和为定值时，设一个因数为 x，用含 x 的式子表示另一个因数，从而列出“积”关于 x 的二次函数，配方求最大值； ②活动“刹车距离与车速”：以车速为横坐标、刹车距离为纵坐标描点，观察图象估计函数类型，用待定系数法求近似解析式，再由已知量求对应的车速（或判断是否超速）； ③核心考点：从实际问题中抽象出二次函数模型、建立直角坐标系、用待定系数法确定解析式、借助图象和性质求最值． （知识点汇总结束，以下为试题部分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数 （）的图象开口向上，且不等式 的解集为 ，则下列结论中错误的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．已知 、 是二次函数 的图象与 x 轴两个交点的横坐标，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．已知二次函数 ，当 时，函数值 y 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．已知抛物线 经过点 、，与 y 轴交于点 ．有下列结论：①；②；③当 时，y 随 x 的增大而减小；④不等式 的解集是 ．其中正确的结论有（　　） A． 个　　B． 个　　C． 个　　D． 个 5．若关于 x 的一元二次方程 的两个实数根 、 满足 ，则 m 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．已知二次函数 的图象与 x 轴有两个交点，且关于 x 的不等式 的整数解恰有 3 个，则 m 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．将抛物线 先关于 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．已知二次函数 （a 为常数），当 时，函数的最小值为 3，则 a 的值为（　　） A．　　B．　　C． 或 　　D． 9．如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 P 是抛物线对称轴上一点，则 的最小值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．将抛物线 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为 ．若原抛物线与 x 轴交于点 A、B，则线段 AB 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．若二次函数 的图象开口向上，且与 x 轴有两个不同的公共点，则整数 的最小值是 ＿＿＿＿． 12．已知抛物线 与 x 轴交于点 、，与 y 轴交于点 ，则当 时，x 的取值范围是 ＿＿＿＿． 13．若关于 x 的一元二次方程 的两个实数根都大于 1，则 m 的取值范围是 ＿＿＿＿． 14．已知二次函数 ．若当 时，函数值 y 都小于 0，则 m 的取值范围是 ＿＿＿＿． 15．如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 M 是直线 上一动点，则 的最大值是 ＿＿＿＿． 16．【数学活动·综合与实践】某公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一根柱子 OA，O 恰在水面中心， m．由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水柱在各方向沿形状相同的抛物线落下．为使水流形状较为美观，要求水柱在距柱子 1 m 处达到最高，高度为 2.25 m．若不计其他因素，则水池的半径至少为 ＿＿＿＿ m 时，才能使喷出的水流不至于落到池外． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（6分）已知二次函数 ． (1) 求这个函数图象的顶点坐标及对称轴； (2) 求这个函数图象与 x 轴的交点坐标，并结合图象直接写出不等式 的解集． 18．（6分）已知二次函数 （m 为常数）． (1) 用含 m 的式子表示该函数图象的顶点坐标； (2) 若该函数的图象经过原点，求 m 的值，并求出此时图象与 x 轴的另一个交点的坐标． 19．（6分）某公司销售一种产品，每件成本为 30 元，售价不低于成本且不高于 60 元．经市场调查，月销售量 （单位：件）与售价 （单位：元/件）之间满足：当 时，；当 时，．设月销售利润为 元． (1) 求 关于 的函数关系式； (2) 售价定为多少元时，月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？ 20．（6分）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D．点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线，与直线 BC 交于点 Q． (1) 求直线 BC 的函数表达式及顶点 D 的坐标； (2) 设点 P 的横坐标为 t，用含 t 的式子表示线段 PQ 的长，并写出 t 的取值范围； (3) 求线段 PQ 的最大值及此时点 P 的坐标． 21．（6分）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 P 是 x 轴上一点（不与点 A、B 重合）． (1) 求点 A、B、C 的坐标； (2) 若 是等腰三角形，求满足条件的点 P 的坐标． 22．（6分）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 P 是抛物线对称轴上一点． (1) 求点 A、B、C 的坐标及抛物线的对称轴； (2) 若 是直角三角形，求点 P 的坐标． 23．（8分）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 P 是抛物线上一点，点 Q 是直线 BC 上一点，若 A、P、C、Q 顺次构成平行四边形． (1) 求点 A、B、C 的坐标及直线 BC 的函数表达式； (2) 求点 P、Q 的坐标． 24．（8分）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D． (1) 求点 A、B、C、D 的坐标； (2) 点 P 是线段 BC 上方抛物线上的一个动点，求 面积的最大值及此时点 P 的坐标； (3) 点 M 是坐标平面内一点，若以 B、C、D、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章《二次函数》【素养培优卷】2026-2027学年人教版九年级上册数学 （满分 100 分　　建议用时 90 分钟　　共 24 小题） 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 【本章知识点汇总】 26.1 二次函数的概念 ①定义：形如 y=ax²+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a、b、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项； ②判定的三个必备条件：二次项系数 a≠0；化简、合并同类项后自变量的最高次数为 2；等号右边是关于 x 的整式（x 不能在分母上，也不能在根号内）； ③含参二次函数 y=axm+bx+c：必须同时满足 m=2 与 a≠0； ④三种解析式：一般式 y=ax²+bx+c；顶点式 y=a(x−h)²+k；交点式 y=a(x−x1)(x−x2)（抛物线与 x 轴有交点时使用）； ⑤列实际问题的函数解析式：“审—设—列”三步，并写出自变量的取值范围． 26.2 二次函数的图象和性质 ①二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，对称轴垂直于 x 轴，对称轴与抛物线的交点叫做顶点； ②五种形式的对称轴与顶点：y=ax²〔对称轴 y 轴，顶点 (0,0)〕；y=ax²+k〔对称轴 y 轴，顶点 (0,k)〕；y=a(x−h)²〔对称轴 x=h，顶点 (h,0)〕；y=a(x−h)²+k〔对称轴 x=h，顶点 (h,k)〕；y=ax²+bx+c〔对称轴 x=−，顶点 (−，)〕； ③开口：a>0 时开口向上，函数有最小值；a<0 时开口向下，函数有最大值；|a| 越大，开口越小； ④增减性：以对称轴为界，a>0 时“左减右增”，a<0 时“左增右减”；比较函数值的大小可转化为比较点到对称轴的距离； ⑤最值：顶点纵坐标即为最值；当自变量取给定区间时，要判断对称轴是否在区间内，并比较端点值与顶点值； ⑥平移：“左加右减（自变量 x）、上加下减（常数项 k）”，只对顶点式使用，平移不改变 a； ⑦系数符号：a 定开口方向；a、b 共同确定对称轴位置（“左同右异”）；c 是图象与 y 轴交点的纵坐标；Δ=b²−4ac 决定图象与 x 轴的交点个数；x=1 时 y=a+b+c，x=−1 时 y=a−b+c． 26.3 二次函数与一元二次方程 ①令 y=0，二次函数 y=ax²+bx+c 就转化为一元二次方程 ax²+bx+c=0； ②抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根； ③交点情况由判别式 Δ=b²−4ac 判定：Δ>0 时图象与 x 轴有两个交点（方程有两个不相等的实数根）；Δ=0 时图象与 x 轴有一个交点（方程有两个相等的实数根，此时顶点在 x 轴上）；Δ<0 时图象与 x 轴没有交点（方程没有实数根）；Δ≥0 时图象与 x 轴有交点； ④与不等式：用图象法，抛物线在 x 轴上方部分对应 y>0．a>0 时大于 0 取“两根之外”、小于 0 取“两根之间”，a<0 时相反； ⑤求近似根：列表描点看图象→定位符号找区间→逐步缩小范围． 26.4 实际问题与二次函数 ①解题步骤：审题→设未知数→列解析式（并写出自变量取值范围）→求解→检验→作答； ②常见类型：面积（体积）最值；利润最值〔总利润=每件利润×销售量〕；抛物线形建筑（拱桥、隧道）与运动轨迹（投篮、喷泉、刹车距离）问题； ③抛物线形问题要先建立合适的直角坐标系：桥（建筑）类常以最高点为原点，运动类常把出发点放在 y 轴上； ④求最值要注意自变量的取值范围，必要时比较端点值；结果要检验是否符合实际意义． 数学活动（本章综合与实践） ①活动“哪个积最大”：当两个因数的和为定值时，设一个因数为 x，用含 x 的式子表示另一个因数，从而列出“积”关于 x 的二次函数，配方求最大值； ②活动“刹车距离与车速”：以车速为横坐标、刹车距离为纵坐标描点，观察图象估计函数类型，用待定系数法求近似解析式，再由已知量求对应的车速（或判断是否超速）； ③核心考点：从实际问题中抽象出二次函数模型、建立直角坐标系、用待定系数法确定解析式、借助图象和性质求最值． （知识点汇总结束，以下为试题部分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知二次函数 （）的图象开口向上，且不等式 的解集为 ，则下列结论中错误的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 D． 【解析】 抛物线与 x 轴交于点 、，且开口向上， 所以可设 （）， 于是 ，A 正确；，B 正确； ，C 正确； ，D 错误．故选 D． 方法：抛物线与 x 轴两交点确定了根，可用交点式设解析式，再比较各代数式． ———————————————————————————————— 2．已知 、 是二次函数 的图象与 x 轴两个交点的横坐标，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 A． 【解析】 抛物线与 x 轴交点的横坐标就是方程 的根， 所以 ，． ．故选 A． ———————————————————————————————— 3．已知二次函数 ，当 时，函数值 y 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 B． 【解析】 ，抛物线的对称轴为直线 ，开口向上． 在区间 上，对称轴 恰好是区间的左端点，所以 y 随 x 的增大而增大． 当 时 y 取最小值 ；当 时 y 取最大值 ． 所以 ．故选 B． 提醒：求区间上的值域，先判断对称轴与区间的位置关系，再比较端点的函数值． ———————————————————————————————— 4．已知抛物线 经过点 、，与 y 轴交于点 ．有下列结论：①；②；③当 时，y 随 x 的增大而减小；④不等式 的解集是 ．其中正确的结论有（　　） A． 个　　B． 个　　C． 个　　D． 个 【答案】故选 C． 【解析】 抛物线过 、，可设 ． 把 代入，得 ，解得 ，①正确； 此时 ，所以 ，，②正确； 对称轴为直线 ，开口向上，所以当 时 y 随 x 的增大而减小，③正确； 因为抛物线开口向上，所以不等式 的解集是 或 ，④错误． 所以正确的结论是①②③，共 3 个．故选 C． ———————————————————————————————— 5．若关于 x 的一元二次方程 的两个实数根 、 满足 ，则 m 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 A． 【解析】 设 ，其图象开口向上，对称轴为直线 ． 两根分布于 1 的两侧，等价于 ， 即 ，解得 ． 此时判别式 ，方程确有两个不相等的实数根． 所以 ．故选 A． 方法：根的分布问题转化为二次函数图象的位置关系，用端点函数值的符号列不等式． ———————————————————————————————— 6．已知二次函数 的图象与 x 轴有两个交点，且关于 x 的不等式 的整数解恰有 3 个，则 m 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 D． 【解析】 ，图象开口向上，对称轴为直线 ． 设交点横坐标为 、，则 、 为方程 的两根，由求根公式得 （需 ）． 所以不等式 的解集为 ，它关于 对称． 要使整数解恰有 3 个，这 3 个整数只能是 、、， 于是 且 ， 即 ，解得 ．故选 D． 提醒：区间关于 对称，整数解的个数由“半宽” 与 1、2 的大小决定，端点能否取到要逐一验证． ———————————————————————————————— 7．将抛物线 先关于 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 C． 【解析】 ． 关于 x 轴翻折，纵坐标变为相反数，得 ； 再向右平移 2 个单位长度，得 ．故选 C． 易错：先把解析式化为顶点式再翻折、平移；翻折只改变 的符号与顶点纵坐标． ———————————————————————————————— 8．已知二次函数 （a 为常数），当 时，函数的最小值为 3，则 a 的值为（　　） A．　　B．　　C． 或 　　D． 【答案】故选 B． 【解析】 ，对称轴为直线 ． ① 若 ，则当 时 y 随 x 增大而增大，最小值在 处取得：，解得 ，符合 ； ② 若 ，则最小值在 处取得：，解得 ，不符合 ，舍去； ③ 若 ，则最小值在 处取得：，解得 ，不符合 ，舍去． 综上 ．故选 B． ———————————————————————————————— 9．如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 P 是抛物线对称轴上一点，则 的最小值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 A． 【解析】 令 ，得 ，解得 或 ，所以 、；令 ，得 ． 抛物线的对称轴为直线 ． 点 A 关于直线 的对称点为 ，它恰好是点 B，且 ． 所以 ，当且仅当 B、P、C 三点共线时取等号． ． 所以 的最小值是 ．故选 A． ———————————————————————————————— 10．将抛物线 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为 ．若原抛物线与 x 轴交于点 A、B，则线段 AB 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】故选 D． 【解析】 把 先向右平移 2 个单位长度、再向下平移 3 个单位长度，即可还原原抛物线： 原抛物线为 ． 令 ，得 ，解得 ． 所以 ． 故选 D． 提醒：还原时要“反向平移”；求 长可用韦达定理整体代入，不必分别求出两根． ———————————————————————————————— 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．若二次函数 的图象开口向上，且与 x 轴有两个不同的公共点，则整数 的最小值是 ＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 图象开口向上，所以 ，即 ． 图象与 x 轴有两个不同的公共点，所以方程 有两个不相等的实数根， ，解得 ． 两条件同时满足得 ，所以整数 的最小值为 3． ———————————————————————————————— 12．已知抛物线 与 x 轴交于点 、，与 y 轴交于点 ，则当 时，x 的取值范围是 ＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 抛物线过 、，可设 ． 把 代入，得 ，解得 ，所以抛物线开口向上． 当 时，图象位于 x 轴下方，对应的 x 在两根之间， 即 ． ———————————————————————————————— 13．若关于 x 的一元二次方程 的两个实数根都大于 1，则 m 的取值范围是 ＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 设两根为 、，则 ，． 由方程有两个实数根，得 ，即 ，解得 或 ． 两根都大于 1，需同时满足： ，即 ，得 ； ，即 ，，得 ． 三式取交集：． ———————————————————————————————— 14．已知二次函数 ．若当 时，函数值 y 都小于 0，则 m 的取值范围是 ＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 令 ，得 ，解得 或 ，所以 的解集为 ． 要使 内的函数值都小于 0，只需区间 完全落在 内， 即 且 ，解得 ． ———————————————————————————————— 15．如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 M 是直线 上一动点，则 的最大值是 ＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 令 ，得 ，解得 或 ，所以 、；令 ，得 ．抛物线的对称轴为直线 ． 由三角形两边之差小于第三边，得 ，当且仅当 A、C、M 三点共线（且 A 在 M、C 之间）时取等号． ． 直线 AC 的解析式为 ，它与对称轴 的交点为 ，此时 ，， 确实取到最大值． 所以 的最大值是 ． ———————————————————————————————— 16．【数学活动·综合与实践】某公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一根柱子 OA，O 恰在水面中心， m．由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水柱在各方向沿形状相同的抛物线落下．为使水流形状较为美观，要求水柱在距柱子 1 m 处达到最高，高度为 2.25 m．若不计其他因素，则水池的半径至少为 ＿＿＿＿ m 时，才能使喷出的水流不至于落到池外． 【答案】 【解析】 以 O 为原点，水面所在直线为 x 轴，柱子 OA 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 ． 由水流在距柱子 1 m 处达到最高、最高为 2.25 m，知抛物线的顶点为 ，故可设 ． 把 代入，得 ，解得 ， 所以水柱所在抛物线的解析式为 ． 令 ，得 ，解得 或 （不合题意，舍去）． 即水流落地点到柱子的水平距离为 2.5 m，所以水池的半径至少为 2.5 m． ———————————————————————————————— 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（6分）已知二次函数 ． (1) 求这个函数图象的顶点坐标及对称轴； (2) 求这个函数图象与 x 轴的交点坐标，并结合图象直接写出不等式 的解集． 【答案】(1) 顶点为 ，对称轴为直线 ；(2) 交点坐标为 、，不等式 的解集为 或 【解析】 (1) ， 所以图象的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ． (2) 令 ，得 ，因式分解得 ， 解得 或 ，所以图象与 x 轴的交点坐标为 、． 抛物线开口向上， 对应图象位于 x 轴上方的部分，所以解集为 或 ． ———————————————————————————————— 18．（6分）已知二次函数 （m 为常数）． (1) 用含 m 的式子表示该函数图象的顶点坐标； (2) 若该函数的图象经过原点，求 m 的值，并求出此时图象与 x 轴的另一个交点的坐标． 【答案】(1) 顶点坐标为 ；(2) 时另一个交点为 ； 时另一个交点为 【解析】 (1) ， 所以图象的顶点坐标为 ． (2) 把 代入 ，得 ，解得 或 ． 当 时，，图象与 x 轴交于 、，另一个交点为 ； 当 时，，图象与 x 轴交于 、，另一个交点为 ． ———————————————————————————————— 19．（6分）某公司销售一种产品，每件成本为 30 元，售价不低于成本且不高于 60 元．经市场调查，月销售量 （单位：件）与售价 （单位：元/件）之间满足：当 时，；当 时，．设月销售利润为 元． (1) 求 关于 的函数关系式； (2) 售价定为多少元时，月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？ 【答案】(1) 当 时，；当 时，；(2) 售价定为 60 元/件时月利润最大，最大月销售利润为 2100 元 【解析】 (1) 月销售利润 ． 当 时，； 当 时，． (2) 当 时，，其对称轴为直线 ，在区间右侧， 所以 在 上随 x 的增大而增大，当 时取最大值，； 当 时，，其对称轴为直线 ，在区间右侧， 所以 在 上随 x 的增大而增大，当 时取最大值，． 因为 ，所以售价定为 60 元/件时月销售利润最大，最大为 2100 元． 提醒：分段函数要在每一段内分别求最值，再比较各段的最值． ———————————————————————————————— 20．（6分）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D．点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线，与直线 BC 交于点 Q． (1) 求直线 BC 的函数表达式及顶点 D 的坐标； (2) 设点 P 的横坐标为 t，用含 t 的式子表示线段 PQ 的长，并写出 t 的取值范围； (3) 求线段 PQ 的最大值及此时点 P 的坐标． 【答案】(1) 直线 BC：，顶点 ；(2) （）；(3) 的最大值为 ，此时 【解析】 (1) 令 ，得 ，即 ，解得 或 ，所以 、；令 ，得 ． 把 、 代入 ，得 ，，解得 ，所以直线 ：． ，所以顶点 ． (2) 因为点 P 在抛物线上且横坐标为 t，所以 ；点 Q 在直线 BC 上且横坐标为 t，所以 ． 因为 P 在直线 BC 上方，所以 （）． (3) ，所以当 时 PQ 取最大值 ． 此时 ，所以 ． ———————————————————————————————— 21．（6分）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 P 是 x 轴上一点（不与点 A、B 重合）． (1) 求点 A、B、C 的坐标； (2) 若 是等腰三角形，求满足条件的点 P 的坐标． 【答案】(1) 、、；(2) 、、、 【解析】 (1) 令 ，得 ，即 ，解得 或 ，所以 、；令 ，得 ． (2) 设 （ 且 ）．由 、，得 ，，． ① 当 时，，解得 ，所以 ； ② 当 时，，解得 ，所以 或 ； ③ 当 时，，解得 或 ，其中 对应的点是 B，舍去，所以 ． 综上，满足条件的点 P 共有 4 个． 提醒：等腰三角形存在性问题要按“哪两条边相等”分三种情况讨论，并检验求出的点是否与已知点重合． ———————————————————————————————— 22．（6分）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 P 是抛物线对称轴上一点． (1) 求点 A、B、C 的坐标及抛物线的对称轴； (2) 若 是直角三角形，求点 P 的坐标． 【答案】(1) 、、，对称轴为直线 ；(2) 、、、 【解析】 (1) 令 ，得 ，解得 或 ，所以 、；令 ，得 ． ，所以对称轴为直线 ． (2) 设 ．由 、，得 ， ， ． ① 当 时，， 即 ，整理得 ， 解得 或 ，所以 或 ； ② 当 时，，即 ，化简得 ，解得 ，所以 ； ③ 当 时，，即 ，化简得 ，解得 ，所以 ． 综上，满足条件的点 P 共有 4 个． 提醒：直角三角形存在性问题要按“哪个角为直角”分三种情况讨论，不能遗漏． ———————————————————————————————— 23．（8分）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 P 是抛物线上一点，点 Q 是直线 BC 上一点，若 A、P、C、Q 顺次构成平行四边形． (1) 求点 A、B、C 的坐标及直线 BC 的函数表达式； (2) 求点 P、Q 的坐标． 【答案】(1) 、、，直线 ：；(2) ，此时 【解析】 (1) 令 ，得 ，即 ，解得 或 ，所以 、；令 ，得 ． 把 、 代入 ，得 ，，解得 ，所以直线 ：． (2) 因为 A、P、C、Q 顺次构成平行四边形，所以 AC 与 PQ 是两条对角线，它们互相平分． AC 的中点坐标为 ． 设 ，因为 M 也是 PQ 的中点， 所以 ． 又点 Q 在直线 上，所以 ，整理得 ， 因式分解得 ，解得 或 ． 当 时， 即为点 A，A、P 重合，不能构成四边形，舍去； 当 时，，此时 ，符合题意． 所以 ，． ———————————————————————————————— 24．（8分）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D． (1) 求点 A、B、C、D 的坐标； (2) 点 P 是线段 BC 上方抛物线上的一个动点，求 面积的最大值及此时点 P 的坐标； (3) 点 M 是坐标平面内一点，若以 B、C、D、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标． 【答案】(1) 、、、；(2) 面积的最大值为 ，此时 ；(3) 、、 【解析】 (1) 令 ，得 ，即 ，解得 或 ，所以 、；令 ，得 ； ，所以顶点 ． (2) 直线 的解析式为 ．设 （），过点 P 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 ， 则 ． 在 中以 PQ 为铅垂高，对应的水平宽为 ， 所以 ． 所以当 时 的面积最大，最大值为 ，此时 ． (3) 以 B、C、D、M 为顶点的四边形是平行四边形，需分三种情况： ① 若 BC、DM 为对角线：； ② 若 BD、CM 为对角线：； ③ 若 CD、BM 为对角线：． 所以 的坐标为 或 或 ． 提醒：用“对角线互相平分”处理平行四边形存在性问题时，要按“哪两点连线是对角线”三种情况分类，逐一检验． ———————————————————————————————— 学科网（北京）股份有限公司 $