第26章 二次函数 章末核心考点与素养提升（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 以考点为纲，系统整合二次函数概念、性质、应用等核心内容，通过分点突破、真题演练、素养提升三级训练，提炼定义辨析、数形结合、建模应用等解题方法，培养抽象能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分点突破|5考点12题|定义辨析（二次项系数）、数形结合（图象性质）、待定系数法（解析式）、建模转化（应用题）|从概念到性质，再到方程关系与实际应用，形成“基础-深化-应用”逻辑链| |真题演练|3中考题+1建模题|平移翻折规律、函数与方程转化、实际问题建模|衔接中考命题趋势，强化高频考点解题技巧| |素养提升|1综合题|函数图象交点分析、参数范围推理|融合二次函数与一次函数，提升综合思维与推理意识|

章末核心考点与素养提升 01 分点突破 考点一 二次函数的概念 1. 已知是关于x的二次函数. （1）求m的值. （2）当m为何值时，该函数图象的开口向上？ （3）当m为何值时，该函数有最大值？ 考点二 二次函数的图象与性质 2. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的对称轴在轴的右侧 B. 图象与轴的交点坐标为 C. 图象与轴的交点坐标为和 D. 的最小值为－9 4. 将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A. 开口方向不变 B. 对称轴不变 C. y随x的变化情况不变 D. 与y轴的交点不变 5. 已知直线经过一、二、三象限，则抛物线大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），当自变量x分别取，0，4时，所对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系为________（用“＜”连接）． 考点三 求二次函数的解析式 7. 一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为________________． 8. 请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 ___． 考点四 二次函数与一元二次方程的关系 9. 已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … -1 0 1 2 3 … y … 3 0 -1 m 3 … 以下结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，y随x增大而增大 C. 方程的根为0和2 D. 当时，x的取值范围是 10. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 考点五 二次函数的应用 11. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S△BDE的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 神舟二十号于2025年4月24日在酒泉卫星发射中心成功升空．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了中国空间站模型．已知其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款模型每天的销售量（件）与每件的销售价格（元）满足函数关系：．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件． （1）若每个模型售价为80元时，此时每天的销售利润是多少元； （2）每件模型的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？ 02 真题演练 （广西中考） 13. 小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （福建中考） 14. 已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （陕西中考） 15. 已知，为抛物线上的两个不同点，若，则的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. [建模与应用] 16. 儿童游乐场有一项射击游戏，将球射入无底的正方体篮筐中．如图，从原点处发射小球，小球按照抛物线飞行，运动轨迹落在过正方体底面中心且平行于竖直面的截面（正方形）所在的平面上．已知正方形的三个顶点为． （1）如果小球恰好经过点，求该抛物线的函数解析式； （2）在（）的条件下，求小球飞行中最高点的坐标； （3）若小球能投入篮筐且球没有接触篮筐，请直接写出的取值范围． 03 素养提升 17. 如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 _____． 章末核心考点与素养提升 01 分点突破 考点一 二次函数的概念 【1题答案】 【答案】（1）或.（2）当时，该函数图象的开口向上.（3）当时，该函数有最大值. 【解析】 【分析】根据题意可知，本题考查是二次函数的基础性质，（1）根据x的次数为2且二次项系数不为0，判断m的值；（2）通过二次项系数的正负判断开口方向，为正开口向上，为负开口向下； （3）对任意的x值，函数有最大值，在函数开口向下时，函数才有最高点，即二次项系数小于0． 【详解】解：（1）根据题意，得解得 ∴或. （2）∵函数图象的开口向上， ∴，∴∴. ∴当时，该函数图象的开口向上. （3）∵函数有最大值，∴. ∴，∴. ∴当时，该函数有最大值. 【点睛】本题关键点：二次函数 中，；时开口向下，函数有最高点，即有最大值，时开口向上，函数有最低点，即有最小值． 考点二 二次函数的图象与性质 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图像开口向上， ∴a-1＞0，即：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】∵ ∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误； 令x=0，则y=-8，所以图象与轴的交点坐标为，故选项B错误； 令y=0，则，解得x1=2，x2=-4，图象与轴的交点坐标为和，故选项C错误； ∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的平移特点即可求解． 【详解】将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变 故选D． 【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点． 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由直线经过一、二、三象限，可确定，由，抛物线开口向上，可判断D不正确，由抛物线的对称轴x≠0，可判断C不正确，由x=抛物线对称轴在y轴左侧可判断D不正确，A正确． 【详解】解：∵直线经过一、二、三象限， ∴， ∵，抛物线开口向上，则D不正确， ∵， ∴抛物线的对称轴x≠0，则C不正确， 由x=， 抛物线对称轴在y轴左侧，则D不正确，A正确， 故选择：A． 【点睛】本题考查一次函数经过象限确定抛物线的位置，掌握抛物线的性质，特别是抛物线的性质与系数的关系是解题关键． 【6题答案】 【答案】＜＜ 【解析】 【分析】根据题意可得该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3，从而得出当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4，）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，），然后比较横坐标的大小即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0）， ∴该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3 ∴当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4，）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，） ∵0＜2＜＜3 ∴＜＜ 故答案为：＜＜． 【点睛】此题考查的是二次函数图象的性质，掌握抛物线对称轴两侧的增减性的判断方法是解题关键． 考点三 求二次函数的解析式 【7题答案】 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式求解析式． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴设这个二次函数的解析式为， 把代入得 解得：， ∴这个二次函数的解析式为． 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】令抛物线的对称轴为轴，二次项系数为1，则抛物线的解析式可设为，然后把已知点的坐标代入求出即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 所以满足条件的抛物线解析式为． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 考点四 二次函数与一元二次方程的关系 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断． 【详解】解：将代入抛物线的解析式得； ， 解得：， 所以抛物线的解析式为：， A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题； B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意； C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意； D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答． 【10题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】与关于y轴对称 抛物线的对称轴为y轴， 因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称 设与交点为，则， 即在点之间的函数图像满足题意 的解集为： 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键． 考点五 二次函数的应用 【11题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由是等腰直角三角形，，知是等腰直角三角形，设，则，可得，根据二次函数性质即可得到答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， 设，则， ， ， 时，最大，最大值是4， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是用含的代数式表达，熟练应用二次函数性质解决问题． 【12题答案】 【答案】（1）600元 （2）每件模型的销售价格定为75元时，才能使每天获得的利润最大，最大是750元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、二次函数的性质以及根据实际意义确定自变量的取值范围，熟练掌握二次函数的最值求法及在给定区间内的单调性是解题的关键． （1）先根据售价求出对应的销售量，再计算单件利润，最后用单件利润×销售量得到总销售利润． （2）先根据题意列出利润关于售价的二次函数表达式，再结合售价的取值范围，利用二次函数的性质求出利润的最大值及对应的售价． 【小问1详解】 解：当时，，（元） 答：此时每天的销售利润是600元． 【小问2详解】 解：设每天获得的利润为，由题意可得． ∵，∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为（元）． 答：每件模型的销售价格定为75元时，才能使每天获得的利润最大，最大是750元． 02 真题演练 （广西中考） 【13题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题． 【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； 综上所述：正确的个数为4个； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． （福建中考） 【14题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点， ∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为， ∴分别是A、B、C、D的横坐标， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． （陕西中考） 【15题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线的解析式，求出对称轴，再根据函数的开口方向和对称轴即可分析函数的增减性，即可进行解答． 【详解】解：∵， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，为抛物线上的两个不同点，且满足， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，即， 解得或． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关内容．二次函数，对称轴为直线；当时，函数开口向上，当时，函数开口向下． [建模与应用] 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象及性质，关键是知识点的灵活应用； （1）将的坐标代入解析式即可； （2）利用配方法将二次函数解析式改写成顶点式，顶点坐标即为小球飞行中最高点的坐标； （3）由题意可得，当时，；当时，，解不等式组即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵ ∴小球飞行中最高点的坐标； 【小问3详解】 解：∵小球能投入篮筐且球没有接触篮筐， ∴当时，；当时，， 即：， 解得：． 03 素养提升 【17题答案】 【答案】＜t＜1##0.6<t<1 【解析】 【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可得y1＝y2＝y3＝m，求出x3的范围，进而求出t的范围． 【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1， ∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2， 由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝， ∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）， ∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3， ∴2＜x3＜， ∴t＝＝， ∴＜t＜1． 故填：＜t＜1 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、函数值的取值范围等知识点，熟练掌握各知识点，利用数形结合的思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $