第26章 二次函数 章末素养试题 2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册二次函数章末复习，以喷泉水流、投沙包运动等真实情境和电路功率、销售利润等跨学科案例为载体，全面考查函数图象性质、实际应用等核心知识，适配单元复习的基础巩固与素养提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|二次函数平移、对称性、最值|结合运动轨迹（如投沙包）考查函数建模| |填空题|4|函数值比较、不等式解集|通过表格数据分析函数性质| |解答题|8|实际应用（销售利润）、综合探究（火箭路径）|融入文化传承（火龙出水）和跨学科（电路）情境，突出模型意识与推理能力|

第26章 二次函数 章末素养试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．抛物线，当时，的最大值与最小值的差为5，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．的值为 D．当时， 3．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 4．若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 5．如图甲所示电路中，为定值电阻，为滑动变阻器．图乙是该滑动变阻器消耗的电功率与电流关系的图象．则下列判断中正确的是（   ） A．当电流增大时，消耗的电功率也增大 B．当时，的阻值最小 C．当时，的阻值为 D．当电流为时，滑动变阻器的电功率为0 6．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．在校园趣味运动会上，投沙包比赛中沙包的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，如图是某位同学投沙包时沙包的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象，已知出手点A的高度为1.5m，当沙包水平飞出2m时到达最高处2.5m，位于点处设置有篮筐（可看作一点），得分规定如下表，则该同学此次可获得分数为（参考数据；）（    ） 分值 沙包落地点与篮筐之间的水平距离 3 水平距离 2 水平距离 1 水平距离 0 水平距离 A．3 B．2 C．1 D．0 8．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 9．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，动点P从点A出发，沿着边长为的正方形的边，按照路线以匀速运动至点C停止，动点Q从点A出发，且与P的运动速度相同，沿着正方形的边，按照路线匀速运动至点C停止，连接、、，设的面积为，时间为，下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 11．在第十五届全运会女子米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系如下表所示，下列结论正确的是（    ） … … A．运动员的重心相对水面的最大高度是 B．运动轨迹路线的对称轴是直线 C．当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D．当时，运动员入水 12．如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 13．已知抛物线的自变量、、对应的函数值分别为、、，当，，时，、、三者之间的大小关系是__________（用“”连接）． 14．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为________． 15．已知二次函数的与的部分对应值如下表 x 0 1 2 y 1 2 1 下列结论：①该函数图象是抛物线，且开口向下；②该函数图象关于直线对称；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于．其中正确的结论有________．（仅填序号） 16．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 三、解答题 17．将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． 18．已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 19．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 20．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标； 21．明朝中期，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”（如图1），它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级．青松中学科技小组同学运用信息技术模拟火箭运行过程．如图2，以发射点为原点，地面为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．当火箭距离发射点的水平距离为时，距离地面，当火箭距离发射点水平距离为时，距离地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当火箭距离发射点的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，此时火箭距离地面多少千米？ 22．八年级小惠同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着情人节活动赚点零花钱，他以元/朵的价格从爸爸那里购入一批玫瑰花，准备在情人节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种玫瑰花日销售量y（朵）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价x/元 10 12 14 16 日销售量y/朵 36 32 28 24 小惠判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮小惠完成下列问题： (1)求y关于x的函数解析式： (2)当销售单价为多少元时，小惠获得的日销售利润最大？并求出最大利润； (3)爸爸要求小惠日销售利润不低于180元，请直接写出销售单价x的取值范围______． 23．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 24．如图，抛物线与x轴交于点两点，抛物线的顶点为点C．点P是抛物线上的任意一点，横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)当时，抛物线上最高点的纵坐标为，求n的值； (4)点Q在抛物线上，横坐标为，平面内有一点，作P，Q关于点R的对称点M，N，顺次连接P，Q，M，N，得到．当轴，直接写出此时点C到直线QN的距离d． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B D A D D A D 题号 11 12 答案 C B 1．B 先求出抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出和的值． 解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得，， 2．D 根据抛物线顶点式的性质，先判断开口方向和对称轴，再根据给定x的范围确定y的最大值和最小值的位置，结合二者差为求出的值，再逐一判断选项即可． 解：抛物线解析式为，且， 抛物线开口向上，故A选项错误； 抛物线对称轴为直线， 开口向上时，仅当时，随的增大而增大，故B选项错误； ，开口向上， 时，取得最小值， 分别计算端点的函数值： 当时，； 当时，； ， ， ∴， 由题意，最大值与最小值的差为， ，解得，故C选项错误； 当时，代入解析式得，故D选项正确． 3．C 本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 4．B 本题考查了二次函数的定义以其图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质和点坐标特征是解题的关键．根据题意得二次函数一次项系数为0，可得或，再根据二次函数的定义即可求解． 解：∵二次函数的图象经过点、， ∴函数图象关于y轴对称， ∴函数的解析式形式应该是型， ∴， 解得：或， ∵二次函数的二次项系数不能为0， ∴． 故选：B． 5．D 本题考查了二次函数的应用，结合图象逐一判断即可解答，熟练运用二次函数的图象和性质解题是关键． 解：A、根据图像，当电流增大时，消耗的电功率先增大再减小，故该选项不符合题意； B、根据，结合图象，可得当时，的阻值不是最小，故该选项不符合题意； C、当时，的阻值为，故该选项不符合题意； D、当时，的阻值为，根据电路的总电压不变可得， 解得， 则总电压为伏， 当电流为时，电路中的总阻值为， 则， 故滑动变阻器的电功率为，故选项正确， 故选：D． 6．A 本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，令，求出对应的x的值，则可求出的长度，然后根据轴对称的性质求解即可． 解：当时，， 解得，， ∴， ∵喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线， ∴， ∴， 即的长为， 故选：A． 7．D 本题主要考查了二次函数的实际应用．先根据已知条件求出二次函数解析式，再令，结合实际，求出沙包落地点对应的点坐标，结合篮筐在地面上的位置所对应的点坐标为，求出沙包落地点与篮筐之间的水平距离，最后估算出该距离并与表格中的得分标准进行对比，得出该生应得分数． 解：设该抛物线的解析式为：， ∵出手点A的高度为1.5m， ∴点A坐标为， 又∵沙包水平飞出2m时到达最高处2.5m， ∴抛物线顶点坐标为， 即抛物线解析式为：且该抛物线过点， 将代入中， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，则， ∴， 解得：，， 根据题意，沙包落地点对应的点坐标为，篮筐在地面上的位置所对应的点坐标为， ∴沙包落地点与篮筐之间的水平距离为：， ∴该同学此次可获得分数为0分． 8．D 观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 9．A 本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 解：①观察图形可知，， 即水面宽度为， 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为， 故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的， 故④错误． 故选：A． 10．D 先分和两种情况，分别讨论求出函数解析式，再结合二次函数图象性质得出答案． 解：当时，如图1，点P在上运动，点Q在上运动， ∵点P，点Q的速度均为，时间为， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， 即当时，； 当时，如图2，点P在上运动，点Q在上运动， ∵点P，点Q的速度均为，时间为， ∴，， ∵正方形边长为， ∴， ∴，， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ，， ∴ 即当时，； 综上，． 由此可知，当时，函数图象为开口向上，过点，的二次函数的一部分；当时，函数图象为开口向下，过点，的二次函数的一部分． 观察各选项，只有选项D符合题意． 11．C 利用表格数据结合二次函数的对称性求出对称轴，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 解：由表格可知，当和时，的值相等，均为， 抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称， 对称轴为直线，故B错误； 运动轨迹是开口向下的抛物线，顶点在对称轴处， 运动员重心相对于水面的最大高度大于，故A错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 即运动员的重心相对于水面的高度持续升高，故C正确； 根据抛物线对称性，和时，值相等， 即时，，重心高度仍为，运动员未入水，故D错误． 12．B 由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时，，故③不正确； 由图象可得当时，不一定大于0， ∴当时，不一定大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有3个． 13． 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先求得拋物线的对称轴为直线，根据拋物线开口向上时，图象上的点离对称轴越近，函数值越小，确定出三点离对称轴的远近，即可确定出函数值的大小． 解：该抛物线的对称轴为直线， ， ， ∵二次函数的二次项系数，即拋物线开口向上， ， 故答案为：． 14． 本题主要考查了二次函数与一次函数的图像与不等式的关系，熟练掌握“抛物线在直线上方时对应的x取值范围即为不等式的解集”是解题的关键． 将不等式变形为抛物线表达式大于直线表达式的形式，结合图像中抛物线在直线上方的x取值范围求解． 解：∵不等式可变形为，抛物线与直线的交点为、， 从图像可知，当时，抛物线在直线的上方， ∴当时，， 故答案为： 15．①②③ 本题主要考查二次函数，采用待定系数法可求得二次函数的表达式，根据二次函数图象的性质，逐项判断即可． 因为点在二次函数图象上，可得 ． 因为点和点在二次函数图象上，可得 解得 所以二次函数表达式为． 所以该函数是抛物线，开口向下，结论①正确． 二次函数的对称轴，结论②正确． 二次函数开口向下，对称轴为，所以当时，函数值y随的增大而增大，结论③正确． 解一元二次方程，解得，，两个根都小于，结论④错误． 故答案为：①②③ 16．不能 本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 17．(1)新抛物线解析式为； (2)点在这个新抛物线上． 本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． （1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解； （2）将点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． （1）解：根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为； （2）解：将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． 18．(1) (2)二次函数图象与轴的交点坐标为 本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键． （1）把点代入计算即可求解； （2）二次函数，令，解一元二次方程即可． （1）解：∵此函数的图象经过点， ∴将代入， ∴； （2）解：二次函数，令，则有， 解得， 故二次函数图象与x轴的交点坐标为． 19．(1) (2) 此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键． （1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式； （2）写出关于x轴对称的顶点坐标，即可求二次函数的解析式． （1）解：由表格可知，二次函数经过点， 所以该抛物线的对称轴为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为    将代入得：； 即   将代入得： （2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得 ， 即． 20．(1) (2) 本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键： （1）分别令，进行求解即可； （2）作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交点即为点． （1）解：∵， ∴当时，，当时，； ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 作点关于对称轴的对称点，连接，则：与对称轴的交点即为点， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：； ∴， ∴当时，； ∴． 21．(1) (2)千米 本题考查了二次函数的应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入即可求解； （2）将代入即可． （1）解：根据题意可知抛物线经过， 设抛物线解析式为， 代入可得， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：由（1）知，， 当时，， ∴此时火箭距离地面千米． 22．(1)y关于x的函数解析式为 (2)当时，最大，最大值为元 (3)日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为 本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法，二次函数图象的性质是关键． （1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可； （2）销售单价x元，则每朵的利润为元，设销售利润为，由此列式，根据二次函数图象的性质求解即可； （3）根据（2）中的利润，当时，，结合二次函数图象即可求解． （1）解：y与x是一次函数关系，设， ∴， 解得，， ∴y关于x的函数解析式为： （2）解：销售单价x元，则每朵的利润为元， 设销售利润为， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为元； （3）解：∵， ∴当时，， 整理得，， 解得，，即， ∵，函数图象开口向下， ∴日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为． 23．(1) (2)15 (3) 本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）求出点E坐标，再求出，进而可得出答案； （3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，而三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出，，即知四边形周长的最小值为2． （1）解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． （3）∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 24．(1) (2) (3)2 (4)或 本题主要考查了二次函数的图象和性质的综合应用，中心对称的性质，平行四边形的性质等知识点， （1）将，两点代入中即可得解； （2）先确定抛物线的顶点坐标为，再求得当和时，函数的值，然后根据函数图象即可得解； （3）先确定，然后在抛物线对称轴两侧分类讨论即可得解； （4）先用含m的代数式表示出Q，N点的坐标，再由轴得出Q，N点的纵坐标相等，列方程求解即可得解． （1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 当时，， ∴当时，； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即最高点的纵坐标为4， ∵当时，抛物线上最高点的纵坐标为， ∴它必在对称轴的左侧或右侧， ∵， ∴， 当时，由增减性质得，当时，有最高点， ∴， ∴与矛盾， ∴它不可能在对称轴的左侧， 当它在对称轴右侧时，由增减性质得，当时，有最高点， ∴， 解方程得：，（舍去）， ∴n的值为2； （4）解：∵点Q在抛物线上，横坐标为， ∴点Q的纵坐标为， ∵点P是抛物线上的任意一点，横坐标为m， ∴点P的纵坐标为， ∵平面内有一点，P、Q关于点R的对称点M、N， ∴,, 即,， ∵轴， ∴， ∴，， 当时，，，如图，此时与x轴重合， ∴此时点C到直线的距离， 当时，，，如图， 此时点C到直线的距离， ∴当轴，此时点C到直线的距离或； 学科网（北京）股份有限公司 $