第03讲 导数与函数的极值、最值（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义围绕导数与函数的极值、最值核心考点，以极值定义、导数关系、最值求法为知识脉络，通过命题透视、知识精讲、题型破译、真题溯源等环节，帮助学生构建从概念理解到综合应用的系统思维，突破参数讨论、不等式融合等难点。 资料注重数学思维与运算素养培养，如题型1中“求极值四步法”（定义域→求导→驻点→符号判断）强化逻辑推理，分层训练（基础+重难）适配不同学生需求，真题溯源直击高考命题规律，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第03讲 导数与函数的极值、最值 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 极值的定义 知识点2 极值与导数的关系 知识点3 函数的最值与导数 题型破译 (含超链接） 题型1 求函数的极值或极值点【含方法技巧】 题型2 根据函数极值求参数值或范围【含方法技巧】 题型3 根据函数极值点求参数值或范围【含方法技巧】 题型4 利用导数求函数最值【含方法技巧】 题型5 由函数最值求参数值或范围【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 导数与函数的极值、最值 T15+T20 T20 T20 考情分析 函数的极值与最值是高考的核心内容，北京卷近三年以解答题第20题为主要载体，分值约10~15分，难度中等偏难。试题注重对极值、最值概念本质的理解，常与导数运算、单调性、不等式证明、参数范围讨论等融合，体现函数与方程、数形结合、分类讨论等核心思想。复习时需深刻理解极值与最值的区别与联系，熟练掌握导数法求极值的步骤，同时注意二次函数性质在求最值中的独特优势。 复习目标 1.理解函数极值的概念，掌握利用导数求函数极值的方法步骤（求导→求驻点→判断单调性→确定极值）。 2.理解函数最值的概念，掌握利用导数求闭区间上函数最值的方法（比较极值与端点值）。 3.掌握含参函数极值与最值的讨论策略，能根据条件确定参数的取值范围。 4.理解二次函数在给定区间上的最值规律（开口方向、对称轴与区间的位置关系），能结合图象求解。 5.能将极值与最值的知识迁移到不等式证明、零点个数、图象交点等综合问题中，提升逻辑推理与数学运算素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 大 ， 0 .而且在点附近的左侧 0，右侧 0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 小 ， 0 ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 自主检测1函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】求导得，令，求得极值点，进而可得的单调性，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，，， 令，解得或1， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当，取得极小值，且. 故选：C 自主检测2函数在上的极值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数极值的定义进行求解即可. 【详解】， 因为， 所以当时，，所以该函数在区间上单调递增， 当时，，所以该函数在区间上单调递减， 所以当时，是函数的极大值点，所以极大值为， 故选：A 知识点2 极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 自主检测1已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数的图象判断区间单调性，进而确定极大值点. 【详解】由图知上，上且仅有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为. 故选：D 自主检测2已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【答案】C 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极值大点，无极小值点， 所以有极大值，没有极小值， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 自主检测3若在区间内有定义，且x0∈，则“”是“x0是函数的极值点”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 【答案】D 【分析】根据极值的概念，导数的几何意义即可求解． 【详解】由不一定能得到x0是函数的极值点， 反例，，但并不是的极值点， 反过来：x0是函数的极值点也不一定能得到， 反例，为的极小值点，但不存在， ∴“”是“x0是函数的极值点”的既非充分条件也非必要条件， 故选：D． 知识点3 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的 极值 ； （2）将函数的各 极值 与 端点 处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 自主检测1已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断. 【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增， 又a<b<c，所以，故A不正确． 因为，，且当时，；当c<x<e时，； 当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确． 故选：C． 自主检测2函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，即可求出单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，即可求出函数的最值. 【详解】因为，所以，由，得． 又当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 又因为，． 故，． 故选：B 自主检测3若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 【答案】D 【分析】利用换元法转化为，结合导数判断单调性可得答案. 【详解】令，因为，所以； ，，仅当时取等号，此时为增函数， 当时，有最小值，由可得， 则函数最大值为，且时取到最大值； 故选：D 题●型●破●译 题型1 求函数的极值或极值点 例1-1（2026·北京顺义·三模）已知函数， (1)求曲线在点的切线方程； (2)若，求的极值； (3)设直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点为坐标原点．是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 (3)不存在点，使的面积为，理由如下： 由，得，所以， 又， 所以切线的方程为， 令，得， 所以， 所以切线与轴的交点. 令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当，，即函数在上为增函数， 所以，所以，当且仅当时取到等号， 令， 所以， 所以， 由，得 所以，所以， 令， 所以 ， 所以无解， 故不存在点，使的面积为. 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线方程； （2）求得函数的单调性可求得极值； （3）求得切线的方程为，进而求得三角形的面积与的函数关系，根据是否有解可得结论. 【详解】（1）由，得， 所以，又， 所以曲线在点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 可得， 令，可得，解得或， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，函数取得极大值，极大值为 ， 当时，函数取得极小值，极小值为. （3）略. 例1-2（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)2个 (3) 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式直线方程即可求解； （2）多次求导得函数的单调性，进而求出函数的极值点即可判断； （3）分离参数得在上恒成立，令，多次求导得其单调性，然后求解最值即可． 【详解】（1）当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由，得， 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． ， 又在单调递减，在单调递增， 故存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故是函数的极大值点． 同理：存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故是函数的极小值点． 综上：函数极值点有2个． （3）对任意的实数恒成立， 等价于在上恒成立，得， 令，则． 令，则．因为，所以， 所以在上是增函数，所以，所以， 所以在上是增函数，所以的最小值为．所以， 即实数的取值范围． 方法技巧 1.求极值的标准步骤： 第一步：确定函数 的定义域； 第二步：求导 ，并解方程 ，得到所有驻点（可疑极值点）； 第三步：判断驻点两侧 的符号变化， 若左正右负，则在该点取得极大值； 若左负右正，则在该点取得极小值； 若左右同号，则该点不是极值点。 2.利用二阶导数判断极值：若 ，则： 当 时， 为极大值； 当 时， 为极小值； 当 时，此法失效，需用一阶导数符号法继续判断。 3.极值点的本质：极值点是函数在某邻域内的最大值或最小值点，而不是整个定义域上的最值点。极值点处导数为零或不存在（但可导函数的极值点必满足 ）。 4.写结论的规范：求极值时，需明确指出极大值（点）和极小值（点）。例如：“ 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 。” 5.定义域对极值的影响：极值点必须位于定义域内部，定义域端点处的函数值不可能是极值。 【变式训练1-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数 . (1)若，求函数的极值； (2)若 时，，求a的取值范围； (3)若函数有两个极大值点 ，求 的范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3) 【分析】（1）首先求函数的导数，并求导函数的零点，根据导函数的正负判断函数的单调性，求函数的极值； （2）法1，首先根据，得到命题成立的必要条件，再证明时，不等式成立； 法2，首先利用对称性转化为时，，再分区间讨论函数的单调性，证明不等式； 法3，利用换元，，等价于时，，再根据，讨论的取值，判断函数的单调性，证明不等式； （3）首先根据导函数的零点个数，确定，再转化为在有两个不等实根，再代入韦达定理求得，即可求解. 【详解】（1） 时， 令 或（舍去）或（舍去） （0,2） 2 （2,4） + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极大值为 ，函数无极小值； （2）法 1： 所以 时， ，所以 ． 当 时， ， ． 综上，的取值范围是 ． 法 2： 因为 ， 所以关于对称， 所以时，等价于时， ． 首先：由时，得 ． 其次：证明时，时， ， 当时，在递增， ． 当时， ① 当，即 时， 递增． ② 当 ，即时， 存在唯一使得 ，即 ． 递增：递减． ③ 当，即时， 递减． 综上，最小值为 ， 因为 ， 所以 时， ． 综上，的取值范围是 ． 法 3：令 ， ． 令 ， 时，，等价于时， ， ． ① 当 时，递增． ② 当 时，存在唯一使得 ． 递增， 递减． ③ 当 时，， 在 上递减，其最小值为 ， 欲满足题意，需 ，即 ， 结合条件，此情况下的范围是 ， 综上时， ， 因为 ， 所以时，，当且仅当 ． 综上，的取值范围是 . （3）当时， 只有一个极值点． 当时， ， 令或 ． 若函数有两个极大值点， 则在有两个不等实根 ， 所以 ，且 ． + 0 - 0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由表可知，函数 的两个极大值点为 ，极小值点为 ， ，， 【变式训练1-2】（25-26高三上·北京东城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时， （i）求的极值； （ii）若，求证：关于的方程在上无解． 【答案】(1) (2)（i）极小值为，无极大值； （ii）证明见解析 【分析】（1）代入，将求导，计算出导数斜率，最后写出切线方程. （2）（i）第一问直接代入，求导数零点，算出极值. （ii）将原方程等价变换为，然后构造辅助函数，分析单调性，利用单调性证明. 【详解】（1）由条件得．所以．所以． 因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）（i）由条件得，所以． 令，即，解得． 当变化时，变化如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为，无极大值． （ii）关于的方程等价于， 由于，故 令，所以． 令，则 因为，． 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即． 所以在区间上单调递增． 因为，所以当时，． 故当时，关于的方程在上无解． 【变式训练1-3】（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 函数的定义域为，. 因为4是的极小值点，所以，即，解得. 当时，，， 令，则，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，， 故此时的极大值小于零. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可. （2）根据4是极小值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可. （3）在定义域内单调递增即在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）略 （3）因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 在上恒成立，也即在上恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为. 题型2 根据函数极值求参数值或范围 例2-1（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围； (3)当时，直线与曲线有三个交点，设的取值集合为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）先求出函数在处的函数值与导数值，再利用点斜式写出切线方程； （2）先对因式分解，分析 的零点个数与的关系，再通过分类讨论不同下的单调性与极值点情况，确定的取值范围； （3）先求出的表达式，构造差函数 ，再通过求导分析的单调性与端点极限，从而确定 的取值范围. 【详解】（1） ，所以， 又 ，所以，所以切线方程为， 即. （2） 当或时，只有一个零点，不可能有两个极值点； 当时，令，得或， 当时，与的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 当时，与的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 综上：的取值范围为. （3）由（2）可得， ， 令，， 令，则在恒成立， 所以在单调递增，即在单调递增， ，单调递减，又时，，时，. 所以的取值范围为. 例2-2（25-26高三上·北京延庆·阶段检测）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)证明：当时，曲线不存在斜率小于零的切线； (3)若函数存在极值，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，根据切线方程的斜率和切点坐标列方程求解即可； （2）求导，证明导数大于等于0即可； （3）求导，然后分离参数，结合函数图象，根据极值的定义，判断导数零点两侧的符号，从而得出的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 因为曲线在处的切线方程为， 故切点为， 因为，故切点在曲线上， 因为，所以，解得， 故的值为； （2）当时，所以， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处有最小值，即， 所以曲线在定义域内恒成立， 故时，曲线不存在斜率小于零的切线； （3）当时，函数存在极值； 当时，若函数存在极值，则有解， 即， 当，即时，关于的方程无解， 当，即时，得， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处有极小值为， 因为时，，当时，，故函数大致图象如下：    所以要使有解，则或， 下面，讨论或，函数是否存在极值， 令，， 当时，在上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为时，，所以，即，， 所以当时，函数存在极值， 当时，因为时，，时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在处有最小值， 因为，， 所以当时，，故函数存在极值， 当时，，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，求的取值范围为. 方法技巧 1.必要条件：若 是函数 的极值点，则必有 （可导函数）。利用此条件建立关于参数的方程。 2.充分条件验证：求出参数值后，必须代回原函数，验证在 两侧 是否确实变号（即 确实为极值点）。充分性验证是解题的关键步骤，不可省略，否则可能求出的是“导数为零但非极值点”的情况（如 在 处）。 3.已知极值求参数：若已知 在 处取得极值 ，则可建立两个方程： ； 。 联立求解参数。 4.已知极值个数求参数范围：极值个数 导函数 在定义域内的变号零点个数。转化为方程的根的分布问题，利用判别式、零点存在性定理等求参数范围。 5.含参不可分离型极值讨论：当 中参数的零点表达式无法显式写出时（如超越方程、高次方程），需利用二阶导或图象交点等方法判断导函数的变号零点个数，进而确定极值个数随参数的变化。 【变式训练2-1】已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数存在大于零的极大值，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，得到，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）求定义域，求导，分和两种情况，求出相应的极大值，从而得到不等式，解不等式，得到答案. 【详解】（1）时，，， 则，， 所以在处的切线方程为， 即； （2）定义域为， ，若，则恒成立， 故在上单调递增，不存在极值点，舍去； 若，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值， 极大值为， 令，解得， 故实数a的取值范围为. 【变式训练2-2】已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知，且函数存在极值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题意可得切线斜率，切点为，最后点斜式得出切线方程. （2）将问题转化为不等式恒成立，分类讨论结合单调性可得实数的取值范围. （3）根据函数存在极值，利用导数计算可得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 因为曲线在处的切线方程为，故切点为， 因为，故切点在曲线上， 因为，所以，解得， 故的值为； （2）由题可知恒成立， 因为，所以不等式整理得恒成立， 当时，不等式恒成立，此时取任意实数. 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递增，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 在上的下确界为，要使恒成立，故. 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递减，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 要使恒成立，故. 综上所述，. （3）已知，且函数存在极值， 求导，令，求导， 令，解得. 因为时，时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在处有最小值， 因为， 所以当时，，故函数存在极值， 当时，，故函数不存在极值； 当，，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，求的取值范围为． 【变式训练2-3】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)若函数在上单调递增，求的值； (3)若函数在处取得极小值，求的取值范围. 【答案】(1)17 (2)0 (3)当时，，当时，. 【分析】（1）对函数求导，然后将切点代入进而求得切线方程，即可得到切线在轴上的截距. （2）先求出分段函数的导数，然后根据函数的单调递增区间列出不等式，进而求得. （3）分三种情况讨论函数的极值，进而得到结果. 【详解】（1）当时，当时，， 所以，又， 曲线在点处的切线为， 令，得， 曲线在点处的切线在轴上的截距为17. （2）因为函数在处连续， 所以在上单调递增等价于在和上单调递增， 因为， 当时，恒成立，所以，所以， 当，恒成立，所以 所以，所以的值是0. （3）当时，根据（2）函数无极值点，不合题意， 当时，令，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 0 - 无定义 + 极大值 极小值 因为，所以， 当时，令， 即，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 无定义 - 0 + 极大值 极小值 所以， 所以， 综上，当时，， 当时，. 题型3 根据函数极值点求参数值或范围 例3-1（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知，， (1)当时，求曲线在处的切线； (2)若函数有两个极值点，求a的取值范围； (3)若函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意利用导数几何意义依次求出切点和切线斜率即可得解； （2）分、和分析导函数正负情况即可由极值点定义求解； （3）由（2）得到函数单调性和极值情况，再分析极值和函数值的正负情况即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 因此，， 因此切线方程为； （2）当时，定义域为， ， 令，或， 当变化时，和变化情况如下表 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此此时有两个极值点，符合题意； 当时，定义域为， 令，或， 当时，， 当变化时，和变化情况如下表 + 0 - 极大值 此时只有一个极值点，不合题意； 当时，， 当变化时，和变化情况如下表 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此此时有两个极值点，符合题意. 综上，的取值范围为； （3）由（2）的单调性得当时，， 故此时至多一个零点，不合题意，舍去； 当时，， ， 因为，，， 因此恒成立，此时至多一个零点，不合题意，舍去， 当时，， 当时，，当时，， 当时，， 此时函数在和上各有一个零点，符合题意； 当时，，函数不会有两个零点，不合题意， 综上，的取值范围为. 例3-2（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数的导函数，且． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当或时，设曲线在点处的切线为直线，判断直线是否能经过坐标原点，并说明理由； (3)若是函数的一个极值点，且，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)递减区间是，无递增区间； (2)不能； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用导数推导出即得函数的单调区间. （2）利用导数的几何意义求出直线的方程，构造函数，利用导数推导出即可判断. （3）构造函数，利用导数求出函数在上有零点的的范围即可. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，即， 所以函数的单调递减区间是，无递增区间. （2）直线不经过坐标原点. 由曲线在点处的切线为直线，得直线的方程为， 令函数，而，， 则，当时，， ，函数在上单调递增，则，即； 当时，，，函数在上单调递减， 则，即，因此当或时，， 在直线的方程为中，当时，， 所以直线不经过坐标原点. （3）由是函数的一个极值点，，得函数在上存在变号零点， 令函数，求导得，而， 当时，，函数在上单调递增，，无零点； 当时，，函数在上单调递减，，无零点； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当且仅当时，函数，即在上有唯一变号零点，即， 所以实数的取值范围是. 方法技巧 1.极值点与导函数零点的关系：可导函数的极值点一定是 的根，但反之不一定成立。已知极值点时，首先利用 建立方程。 2.极值点的个数与导函数变号零点个数一致：已知极值点的个数（如“ 有两个极值点”），可转化为“ 在定义域内有两个不同的变号实根”，利用判别式或根的分布求解参数范围。 3.极值点满足的隐含条件：若 是极值点，且 还满足其他几何条件（如极值点落在某直线上、与另一个极值点有大小关系等），需将这些条件一并转化为方程或不等式。 4.定义域对极值点的限制：若极值点在定义域边界处（开区间端点）或定义域外，则该点不可能是极值点，需排除。 5.验证变号：同题型2，求出参数后必须验证 在 两侧是否变号，确保 确实是极值点。 【变式训练3-1】（25-26高三上·北京石景山·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程： (2)若有两个极值点，求的取值范围： (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）对求导，整理得，令，有两个极值点等价于有两个变号零点，分和讨论判断单调性和极值结合零点存在性定理求解； （3）令，利用导数证明，令，利用导数证明，得证. 【详解】（1）当时，，则， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由，得，整理得， 令，则， 所以有两个极值点等价于有两个变号零点， 当时，，在上单调递增， 所以至多有一个零点，从而没有两个极值点. 当时，令，得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 所以，由，得， 又，，在上单调递增， 所以在上有一个零点； 取，，因为在上单调递减， 所以在上有一个零点， 综上，当时，有两个零点，即有两个极值点. （3）令，当时，， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则当时，， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，所以，即. 【变式训练3-2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)①； ②证明：∵在上单调递增， ∴当时，，即；当时，，即， 故在上单调递减； 在上单调递增，故是的极小值点. 方法一：由上，，∵，∴ 方法二：因， 由，可得，则， 令，显然在上单调递减， 则，即，故． 【分析】（1）先确定定义域，对求导，分类讨论； （2）①函数化简，确定定义域，在上有极值等价于在上有变号零点； ②方法一：根据极值点的单调性性质结合已知参数范围放缩；方法二：利用极值点条件代换，构造新函数分析单调性. 【详解】（1） 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） ①由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点. 令，即在上有变号零点. 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时， 在上恒成立，所以在上单调递增， 令，解得，此时在上有唯一零点. ②略 【变式训练3-3】（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断在的单调性进而求最大值即可； （2）求导，结合导数的几何意义按的不同取值范围分类讨论求解即可； （3）由极值点的概念可得，消去得（*），令，利用导数可得，当且仅当时取等号，又（*）等价于，解得，代入求出的值即可. 【详解】（1）若，则，， 当时，，所以在单调递减， 所以当时，取得最大值. （2）的定义域为， 当时，易知在区间上单调递减，符合题意； 当时，，设， 则，当时，，所以在区间上单调递减， ①若，即时，当时，，即， 此时在区间上单调递增，不符合题意； ②若，即时，， 所以存在唯一的使得， 当时，，即， 此时在区间上单调递减，符合题意； 综上，的取值范围为. （3）由题意可得即， 所以，即（*）， 设函数， ， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，当且仅当时取等号， 又（*）等价于，所以， 所以． 经检验，当时，存在极大值点且，符合题意， 所以． 题型4 利用导数求函数最值 例4-1（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，其中. (1)求的最大值； (2)若在区间上有且只有一个零点，证明：在区间上有且只有一个零点，且； (3)对于（2）中的，证明：. 【答案】(1)； (2)证明：当时，由，求导得，函数在上递增， 而，又在区间上有且只有一个零点，则， 因此，且， 由（1）知，函数在上递减，， 因此函数在区间上有且只有一个零点，且，又函数， 且， 因此，又当时，，， 所以，即. (3)证明：由（2）得，即， 不等式， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数在上递增，则，即，函数在上递增， 因此，即，所以. 【分析】（1）利用导数求出函数的最大值. （2）利用导数确定函数的单调性，再利用零点存在性定理推理得证. （3）结合（2）的结论，等价变形所证不等式，构造函数，再利用导数证得即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 所以当时，函数取得最大值. （2）略 （3）略 例4-2（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)函数，当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式即可求出切线方程; （2）利用和在上的单调性分析的单调性，结合端点导数值的正负确定的零点，进而划分原函数的增减区间，最终比较端点函数值得出最小值； （3）通过变量替换将双变量不等式转化为单变量函数问题，再构造新函数，利用导数分析其单调性来证明不等式成立. 【详解】（1）由题意得，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由（1）得， 因为在上单调递减，在上也单调递减， 所以在区间上单调递减， 因为，； 所以在上有且只有一个零点，记为， 所以当时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 从而函数的最小值在或上取到， 又因为，而， 所以在区间上的最小值为. （3）由，得. 对任意的，且，令，则 只需证明 设， 则 所以在单调递增，于是. 又因为，当时，，由此可得 ， 所以原不等式得证. 方法技巧 1.闭区间 上求最值： 求导 ，解 ，找出定义域内的所有驻点； 计算所有驻点处的函数值以及区间端点 、 的值； 比较以上所有值，最大值即为函数在 上的最大值，最小值即为最小值。 2.开区间或无穷区间上求最值： 先求函数在定义域内的所有极值； 计算 趋近区间端点或 时函数的极限； 若某端极限为 （或 ），则函数无最大值（或无最小值）；若所有极限均小于某极值，则该极值为最大值（或最小值）。 3.最值与极值的区别： 极值是局部概念，最值是整体概念； 闭区间上的最值一定在驻点或端点处取得； 若函数在开区间内单调，则最值在极限端取得，可能不存在。 4.实际应用题的最值：根据实际问题的背景确定定义域，建立函数模型后，按上述方法求最值，最后根据实际意义对结果进行解释（如人数取整、长度取正等）。 【变式训练4-1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得，利用导数直接求出的单调区间，即可求解； （2）利用（1）中结果得在区间上单调递增，从而当时，，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以，易知，， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. （2）因为，则， 由（1）可知在恒成立， 所以在恒成立， 即在区间上单调递增， 所以当时，， 即，命题得证. 【变式训练4-2】已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【答案】(1)极大值点，极大值，无极小值点和极小值； (2) (3) 【分析】（1）求出导函数，得出单调性，进而求出极值和极值点情况； （2）求出，根据的值域确定出的正负性，进而得出单调性即可求最值； （3）将问题转化为使得成立，求的最小值即可. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，极大值为，无极小值点和极小值； （2）因， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 因，则，， 则存在使得， 故时，；时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，则， 故函数在上的最小值为. （3）由题意可知，使得成立， 即使得成立， 又，则，即， 故a的取值范围为. 【变式训练4-3】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2)当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为； (3)当时，，即证明不等式， 设，，， 设，，， 所以在单调递增，并且，， 所以函数在上存在唯一零点，使， 即，则在区间，，单调递减， 在区间，，单调递增， 所以的最小值为， 由，得，且， 所以， 所以，即. 【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程； （2）首先求函数的导数，再讨论和两种情况求函数的单调性，求函数的最值； （3）首先根据不等式构造函数，再利用导数求函数的最小值，即可证明. 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 当时，，得， 在区间小于0，函数单调递减， 在区间大于0，函数单调递增， 所以函数的最小值为， ，，显然，所以函数的最大值为， 综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为； （3）略 题型5 由函数最值求参数值或范围 例5-1已知函数的最大值为0，则________. 【答案】 【分析】求出导函数，由的解是极值点，利用极大值为0，建立关于的方程并求解即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无最大值，不合题意； 当时，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故为极大值点，也是最大值点， 依题意，最大值，解得. 例5-2（2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而确定极值点，再由极值点所在区间求参数范围. 【详解】∵， ∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 例5-3（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】(1) (2) 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (3) 【分析】（1）求出导函数，由， 求得切线方程； （2），分与讨论可得函数的单调性； （3）求出，分与结合函数的单调性，计算函数的最小值得出参数. 【详解】（1）当时，∵，∴，， 函数在点处的切线方程为， ． （2）因为，函数的定义域为，, 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）, 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去； 当时， 若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意； 若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意； 若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1，则. 例5-4已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若函数在上存在最小值，求的取值范围 【答案】(1)； (2)极大值为，极小值为； (3) 【分析】（1）计算出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （3）由（2）得到函数单调性，结合，得到的取值范围. 【详解】（1）， ， 故， 故在点处的切线方程为， 即； （2）令，得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 极大值为，极小值为； （3）由（2）知，在上单调递增，在上单调递减， 且， 要想在上存在最小值，故 方法技巧 1.已知最值求参数： 先按含参函数的最值求解步骤，将最值表示为参数 的函数 （或 ）； 令 等于已知最值，建立方程解 。 2.已知最值点位置求参数：若已知函数在 处取得最大值或最小值，则 必为驻点（或端点）。利用 （若为内部点）建立方程求参数。 3.分类讨论法：含参函数的最值往往需要讨论驻点与区间端点的相对位置。常见讨论类型： 参数影响驻点位置：比较驻点是否落在区间内； 参数影响端点值大小：比较端点处与驻点处的函数值。 4.已知最值范围求参数：若题目给出最值的取值范围（如“最大值不小于 ”或“最小值小于 ”），则转化为含参不等式恒成立或有解问题，利用分离参数法或分类讨论法求解。 5.恒成立与最值的转化： 在区间上恒成立 ； 在区间上恒成立 。 将最值问题转化为恒成立问题，可间接求解参数范围。 6.检验：求出参数后，需代回验证最值是否确实在指定点处取得，区间端点或驻点的大小比较是否正确，避免因分类讨论不全面导致漏解或增解。 【变式训练5-1】若函数的最小值为，则___________ 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，求出函数的极小值（亦即最小值），根据极小值点满足，可得出，可求出的值，进而可得出实数的值. 【详解】易知的定义域为，， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一，使得，，即. 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. 因为函数在上为增函数，由得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 【变式训练5-2】若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】求得，得到的单调区间和极小值为，令，求得或，画出的大致图象，根据题意，结合图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，解得或； 令，即，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 可得函数的极小值为， 令，即，可得，解得或， 函数的大致图象，如图所示， 要使得函数在区间上有最小值， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为. 【变式训练5-3】已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)在恒正， 则在区间恒成立等价于在区间恒成立． 取，，故在区间单调递增， 所以． 故原不等式恒成立． (2) (3) 【分析】（1）把问题等价转为为证明在区间恒成立，设，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）求导后，分和两种情况讨论，当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值，当，函数先减后增，有最小值，求解即可； （3）记，分和和时讨论，根据（1）（2）中得结论结合零点存在定理，推出和两类不等式矛盾，当时，，得出在单调递增，从而，满足题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2），， 当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 则的最小值为，令，，则，的单调递增区间是，单调递减区间是，． 即当时，的最小值为0， ． （3）记， 则当时，由（2）知，在上单调递减，所以． 对恒成立， 又当时，由（1）知，， 取时，， 则与已知不等式矛盾． 当时，， ，由（1）知， 当时，，取，则， 从而由函数零点存在定理知，存在，使， 当时，，在单调递减，，与已知不等式矛盾． 当时，， 在单调递增，从而，，满足题意． 综上可知． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【详解】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 2．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 【答案】(1)、 (2)有两个极值点 (3)交点个数为 【分析】（1）借助导数的几何意义可得、，计算即可得解； （2）求导得到后，再利用导数研究函数单调性，即可得变号零点个数，即可得极值点个数； （3）构造函数，利用导数计算可得，再分及进行讨论，当，结合（2）中所得可得在上单调递减，结合零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数；当时，可得有两个实根，分别设为、，且，则得单调性，计算可得、，再利用零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数. 【详解】（1），则， ，又，解得； （2）由（1）得，则， 令，则， 令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 故存在，使得，且有， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有两个极值点； （3）令，则， 令，则； 若，则恒成立（不恒为零）， 故在上单调递减，又， 当时，，故在上有唯一零点， 即与有唯一交点； 若时，有两个实根， 设这两个实根分别为、，且，则、， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值，为的极大值，且， 由，则， 则 ， 由，则， 则有、， 故，则， 又时，，故在上存在唯一零点， 即与有唯一交点； 综上所述：与交点个数为. 3．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； （3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围. 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为和，单调递增区间为和. (3)3个 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 5．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 6．（2020·北京·高考真题）已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果； （Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为，所以， 设切点为，则，即，所以切点为， 由点斜式可得切线方程为：，即. （Ⅱ）[方法一]：导数法 显然，因为在点处的切线方程为：， 令，得，令，得， 所以， 不妨设时，结果一样， 则， 所以 ， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得极小值， 也是最小值为. [方法二]【最优解】：换元加导数法   ． 因为为偶函数，不妨设，， 令，则． 令，则面积为，只需求出的最小值． ． 因为，所以令，得． 随着a的变化，的变化情况如下表： a 0 减 极小值 增 所以． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法 同方法二，只需求出的最小值． 令， 当且仅当，即时取等号． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法 同方法一得到 ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列函数的极值： （1） （2） （3）； （4） 【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）极小值为，极大值为；. （3）极小值为，极大值为；（4）极小值为，极大值为. 【详解】（1）的定义域为R，. 令，解得：，列表得： x - 0 + ↘ ↗ 所以函数的极小值为，无极大值. （2）的定义域为R，. 令，解得：，列表得： x -3 3 + 0 - 0 + ↗ 54 ↘ -54 ↗ 所以函数的极小值为，极大值为.. （3）的定义域为R，. 令，解得：，列表得： x -2 2 - 0 + 0 - ↘ -10 ↗ 22 ↘ 所以函数的极小值为，极大值为.. （4）的定义域为R，. 令，解得：，列表得： x -1 1 - 0 + 0 - ↘ -2 ↗ 2 ↘ 所以函数的极小值为，极大值为. 2．导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处 （1）导函数有极大值？ （2）导函数有极小值？ （3）函数有极大值？ （4）函数有极小值？ 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）； 【详解】（1）由图知，极大值点左右两侧的单调性是先增后减的点，即为极大值点； （2）由图知，极小值点左右两侧的单调性是先减后增的点，即，为极小值点； （3）由图知，，，函数单增；，，函数单减；，，函数单增； 则函数在处取极大值； （4）由（3）知，函数在处取极小值； 3．已知函数，试确定p，q的值，使得当时，有最小值4． 【答案】p＝﹣2，q＝5 【详解】解：根据题意，函数f（x）＝x2+px+q，其二次项系数为1； 若当x＝1时，f（x）有最小值4，则f（x）＝（x﹣1）2+4＝x2﹣2x+5， 又由f（x）＝x2+px+q，则p＝﹣2，q＝5． 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处有极大值，求的值. 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）由题意，函数定义域为, 当时，函数，则导函数为， 故函数在点处的斜率， 则由直线的点斜式得， 即. （2）函数的导函数为， 因为函数在处有极大值， 所以，即，解得或. 当时，则， 令，则或，即函数在单调递增； 令，则，即函数在单调递减； 所以函数在处取极小值，不成立. 当时，则， 令，则或，即函数在单调递增； 令，则，即函数在单调递减； 所以函数在处取极大值. 综上所述，. 5．已知函数的导函数的图象如图所示，在标记的点中： (1)在哪一点处导函数取到极大值？ (2)在哪一点处导函数取到极小值？ (3)在哪一点处函数取到极大值？ (4)在哪一点处函数取到极小值？ 【答案】(1) (2)和 (3) (4) 【详解】（1）由导函数的图象知，函数在的左侧增右侧减， 所以导函数在处取极大值； （2）由导函数的图象知，函数在和的左侧减右侧增， 所以导函数在和处取极小值； （3）由导函数的图象知，导函数在处， 左侧，右侧， 所以函数在处取到极大值； （4）由导函数的图象知，导函数在处， 左侧，右侧， 所以函数在处取到极小值； 6．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1），； （2），． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题意，等价于，令， ∴，而， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即， ∴，得证.    （2）由题设，等价于，等价于， 令，则，而， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即， ∴在上恒成立， 令，则，而， ∴时，，单调递增， 故在上恒成立，即， ∴在上恒成立， 综上，，上恒成立.    7．已知函数f(x)=-ln(x+m). (1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； （2）当m≤2时，证明f(x)>0. 【答案】(1)在上是减函数；在上是增函数（2）见解析 【详解】(1)． 由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1． 于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，． 函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x∈(－1，0)时， f '(x)<0;当x∈(0，+∞)时， f '(x)>0． 所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增． (2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0． 当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增． 又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且． 当时， f '(x)<0;当时， f '(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值． 由f '(x0)=0得=，， 故． 综上，当m≤2时， f(x)>0． 8．给定函数． (1)判定函数的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图像； (3)求出方程的解的个数． 【答案】(1)递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值； (2)作图见解析； (3)答案见解析. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 由，得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，无极大值， 所以函数的递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，又，因此函数的图象过点，，， 当时，恒成立，当时，，而函数在的取值集合为， 于是函数在的值域为， 在坐标平面内作出函数的图象，如图：    （3）方程的解，即为直线与函数图象交点的横坐标， 由（2）知，当时，直线与函数图象没有交点； 当时，直线与函数图象有2个交点； 当或时，直线与函数图象有1个交点， 所以当时，没有解；当时有两个解； 当或时，有一个解. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．函数在上的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 令，得， 令，得或；令，得， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减，上单调递增，则. 2．设函数在处有极大值，则c值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【详解】由，得， 因为函数在处有极大值，所以， 所以，解得或， 若，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，不符合题意， 若，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，符合题意， 综上所述：c值为6. 3．若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性结合零点存在定理得出，再根据导数得出函数单调性得出，最后结合指对数运算得出参数值. 【详解】因为函数，所以，在上单调递增， 又因为，，所以，， 所以单调递减，单调递增， 所以，所以， 又因为在上单调递减，所以，所以， 则. 4．若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于给出的是开区间，且是减函数，所以判断有且只有一个极大值点，所以在上有零点，由此列出不等式，求解可得实数的取值范围. 【详解】，在区间上单调递减，且. 若函数在上有最大值，则函数在上有极大值， 则存在，使得在上单调递增，在上单调递减， 即有零点，所以，解得. 5．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，再根据单调性和临界值，求参数的取值范围. 【详解】，令，得或. 当时，，递增，当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点.要使上存在最大值，需，又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 6．已知函数在处取得极值为2，则在的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】， 因为在处取得极值为2， 所以 ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以在处取得极值， 当时，单调递增，所以. 7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知有两个根，令，则，故直线与的图象有两个交点，先求两图像相切再求两个交点即可. 【详解】由题意，有两个极值点， 有两个不同的实根，即有两个根. 令，则，直线与的图象有两个交点. 若直线与的图象相切，则设切点为. 由于，则切线的斜率为，∴切线方程为， 即，，解得，. ∵要使直线与的图象有两个交点，，. 8．已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【答案】D 【分析】先求出导函数，再根据极值点及极值列式计算求解参数，再检验即可. 【详解】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增，在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴ 9．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 10．已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对函数求导，运用导数的零点来判断函数的极值点. 【详解】 化简得，令 ， 即 ，令， ， 令，则， 令，则，故在定义域内单调递增； 又因为，； 因此，使， 故在内单调递减，在内单调递增， 当时，，故时，， ， 同理得时，， ， 且 ， 故， 因此，在内，单调递增，在内，单调递减，在内单调递增， ， ， ， ， 故在，，区间分别有一个零点， 因此函数的极值点个数有3个. 11．已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）利用导数确定函数的单调性，再根据单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知， 因为在处切线的斜率为1， 所以， 解得 （2）由（1）得，因此， 所以， 令，则. 因为，所以，所以，而， 所以在区间上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以时，取得极小值为，在上无极大值. 综上所述，在上的极小值为1，无极大值. 12．已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过极值点的函数值和导数值列方程组求解参数，并借助导数及极值点定义进行检验； （2）借助导数的几何意义设切点构造函数求最值. 【详解】（1），由题意可得，解得； 检验：此时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意， 故，； （2）由（1）得，则， 设过点的切线的切点坐标为， 则， 有， 整理得，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为. 13．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若对定义域内任意的x都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 【分析】（1）求导后利用单调性分析可得； （2）求导后分析单调性得到最小值，再利用恒成立问题可得. 【详解】（1）当时，，则， 所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 所以极小值为，无极大值. （2）， 令， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 因为对定义域内任意的x都有恒成立， 所以， 又，所以. 14．已知函数，其中． (1)若在处的导数为0． （i）求实数的值； （ii）求在区间上的值域； (2)若有3个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ii）值域为 (2) 【分析】（1）（i）求出函数的导数，再代值求出；（ii）利用导数求出在给定区间上的最大值与最小值即得. （2）利用导数求出函数的极值，再利用三次函数的图象特征列出不等式组求解. 【详解】（1）（i）函数，求导得， 由在处的导数为0，得， 所以. （ii）由（i）得，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数在区间上的值域为. （2）由（1）知，， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由函数有3个不同的零点及三次函数的图象特征，得，解得， 所以的取值范围是. 15．已知函数． (1)当时，求的单调区间以及极值； (2)若有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为. 极小值为，无极大值. (2)的取值范围为. 【分析】（1）求，利用和求解函数的单调区间，从而可得到极值. （2）先利用的符号判断函数的单调性，再利用最小值小于零即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为. . 令，即，解得；令，即，解得. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 当时取得极小值，极小值为，无极大值. （2），. 当，即，恒成立，所以在上单调递增，最多1个零点，不符合题意. 当，即时，令，即，解得. 当时，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以是极小值点，也是最小值点， 且. 当时，；当时，. 因为有两个不同的零点，所以即. 又因为，所以，解得. 所以. 综上所述，若有两个不同的零点，的取值范围为. 重难·创新演练 16．已知函数 (1)当时 ①求曲线在点处的切线方程； ②求的单调区间与极值． (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)①；②递增区间为，递减区间为，极大值为，无极小值； (2). 【分析】 （1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用零点的定义分离参数、构造函数，把问题转化为直线与函数图象有2个交点求解. 【详解】（1）①当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. ②函数的定义域为，， 由，得；由，得， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 函数在处取得极大值，无极小值. （2）函数，由，得，令， 由函数有2个零点，得直线与函数的图象有2个交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，且， 而当时，恒有，，在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有2个交点， 因此函数有两个零点时，， 所以实数的取值范围为. 17．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求的值. 【答案】(1) (2) 当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）得，求得，进而构造函数，研究其零点即可得答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，， 所以，曲线在点处的切线方程，即． （2）函数的定义域为， 所以，， 所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增， 综上，当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. （3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增. 所以， 因为，得， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，， 因为和有相同的最小值， 所以，即， 令，， 令，， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即， 所以，在上单调递增， 因为， 所以，等价于 即的值为. 18．已知函数． (1)若在时，有极值，求a的值； (2)若，求函数的单调区间． (3)讨论函数极值点的个数． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，单调递减区间为； (3)当时，极值点个数为0；当时，极值点个数为2. 【分析】（1）求定义域，求导，根据求出，检验后得到结果； （2）求定义域，求导，解不等式求出函数的单调区间； （3）求导后，根据根的判别式，判断出的变号零点个数，得到答案. 【详解】（1）定义域为R，， 由题意得，即，解得， 当时，， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故为极大值点，满足要求，故； （2）时，，， 由（1）可知的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）定义域为R， ，， 当，即时， 故恒成立，此时在R上单调递增，无极值点； 当，即时，有两个变号零点， 故有2个极值点， 故当时，极值点个数为0；当时，极值点个数为2. 19．已知函数． (1)求的零点及； (2)求的极值； (3)求证：． 【答案】(1)零点为0；， (2)极小值，无极大值 (3)证明见解析 【分析】（1）令结合对数的运算可得零点，求导可得； （2）求出，分析单调性，进而可得的单调性和极值； （3）要证，即证：当时，，构造函数求导分析单调性可得. 【详解】（1）令，解得的零点为0； ， （2）， 在上恒成立， 为上的增函数． 又，当时，为减函数； 当时，为增函数． 当时，取极小值． （3）要证，即证：当时，； 当时，． 令， 在上恒成立， 为上的增函数． 又，当时，，即； 当时，，即． 当时，显然成立． ． 20．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若，设函数，在上的最大值为2，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，，在上单调递增； 当时，单调递增区间为，；单调递减区间是； 当时，单调递增区间为，；单调递减区间是 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，结合切点即可求得； （2）将函数求导后，根据参数的范围分别讨论导函数的正负，即得函数的单调性； （3）利用（2）的函数单调性结论，结合给定区间，将参数分类讨论，分别判断函数在上的最大值情况，得到不等式，求解即得. 【详解】（1），， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）函数的定义域为， 令，解得， ①当时，，在上单调递增，（或单增区间为）； ②当时，由可得，，或，由可得，， 此时，单调递增区间为，；单调递减区间是. ③当时，由可得，，或，由可得，， 此时单调递增区间为，；单调递减区间是. 综上可得：当时，，在上单调递增； 当时，单调递增区间为，；单调递减区间是； 当时，单调递增区间为，；单调递减区间是 （3）由（2）可知：若，单调递增区间为，；单调递减区间是. ①当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减， 因，则， 因在上的最大值为2，则有，解得，故有； ②当时，即，此时在上递增，在上递减，在上递增， 因，则， 因，，， ，，，且， 则只需使，，解得，故有. 综上可得,的取值范围是. 21．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，其中． （ⅰ）求证：在区间上有唯一的极值点； （ⅱ）设 为在区间上的零点， 为在区间上的极值点，比较 与 的大小，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明：，， 令，则， 因为，所以，所以， 所以在区间上单调递增， 因为， 所以在区间上存在唯一一个零点，使得， 所以在区间上有唯一的极值点. （ⅱ）；理由： 由（ⅰ）可知，在区间上有唯一的极值点 ， 即有， 当时，单调递减；当，单调递增； 又，而， 所以在区间上没有零点，在上存在唯一一个零点m， 所以， 因为，又， 所以， 令， 则， 所以在区间上单调递增， 所以， 又，且当时，单调递增， 所以由单调性可得. 【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到切线方程即可； （2）（ⅰ）求导后构造函数，再求导，分析单调性结合零点存在定理可证； （ⅱ）利用函数的极值点分析的单调性得到，再由零点和极值点得到，构造函数，求导分析单调性可得； 【详解】（1）函数的定义域， ，，， 所以曲线在点处的切线方程，即. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问关键是求导后能够再次构造函数求导，结合零点存在定理判断；本题第二问的第二小问关键是能利用零点和极值点得到，然后构造函数，利用导数和单调性判断自变量范围. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 导数与函数的极值、最值 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 极值的定义 知识点2 极值与导数的关系 知识点3 函数的最值与导数 题型破译 (含超链接） 题型1 求函数的极值或极值点【含方法技巧】 题型2 根据函数极值求参数值或范围【含方法技巧】 题型3 根据函数极值点求参数值或范围【含方法技巧】 题型4 利用导数求函数最值【含方法技巧】 题型5 由函数最值求参数值或范围【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 导数与函数的极值、最值 T15+T20 T20 T20 考情分析 函数的极值与最值是高考的核心内容，北京卷近三年以解答题第20题为主要载体，分值约10~15分，难度中等偏难。试题注重对极值、最值概念本质的理解，常与导数运算、单调性、不等式证明、参数范围讨论等融合，体现函数与方程、数形结合、分类讨论等核心思想。复习时需深刻理解极值与最值的区别与联系，熟练掌握导数法求极值的步骤，同时注意二次函数性质在求最值中的独特优势。 复习目标 1.理解函数极值的概念，掌握利用导数求函数极值的方法步骤（求导→求驻点→判断单调性→确定极值）。 2.理解函数最值的概念，掌握利用导数求闭区间上函数最值的方法（比较极值与端点值）。 3.掌握含参函数极值与最值的讨论策略，能根据条件确定参数的取值范围。 4.理解二次函数在给定区间上的最值规律（开口方向、对称轴与区间的位置关系），能结合图象求解。 5.能将极值与最值的知识迁移到不等式证明、零点个数、图象交点等综合问题中，提升逻辑推理与数学运算素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， .而且在点附近的左侧 0，右侧 0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 自主检测1函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 自主检测2函数在上的极值为（    ） A． B．1 C． D． 知识点2 极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 自主检测1已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 自主检测2已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 自主检测3若在区间内有定义，且x0∈，则“”是“x0是函数的极值点”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 知识点3 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的 极值 ； （2）将函数的各 极值 与 端点 处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 自主检测1已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 自主检测2函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 自主检测3若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 题●型●破●译 题型1 求函数的极值或极值点 例1-1（2026·北京顺义·三模）已知函数， (1)求曲线在点的切线方程； (2)若，求的极值； (3)设直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点为坐标原点．是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 例1-2（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 方法技巧 1.求极值的标准步骤： 第一步：确定函数 的定义域； 第二步：求导 ，并解方程 ，得到所有驻点（可疑极值点）； 第三步：判断驻点两侧 的符号变化， 若左正右负，则在该点取得极大值； 若左负右正，则在该点取得极小值； 若左右同号，则该点不是极值点。 2.利用二阶导数判断极值：若 ，则： 当 时， 为极大值； 当 时， 为极小值； 当 时，此法失效，需用一阶导数符号法继续判断。 3.极值点的本质：极值点是函数在某邻域内的最大值或最小值点，而不是整个定义域上的最值点。极值点处导数为零或不存在（但可导函数的极值点必满足 ）。 4.写结论的规范：求极值时，需明确指出极大值（点）和极小值（点）。例如：“ 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 。” 5.定义域对极值的影响：极值点必须位于定义域内部，定义域端点处的函数值不可能是极值。 【变式训练1-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数 . (1)若，求函数的极值； (2)若 时，，求a的取值范围； (3)若函数有两个极大值点 ，求 的范围. 【变式训练1-2】（25-26高三上·北京东城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时， （i）求的极值； （ii）若，求证：关于的方程在上无解． 【变式训练1-3】（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 题型2 根据函数极值求参数值或范围 例2-1（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围； (3)当时，直线与曲线有三个交点，设的取值集合为，求的取值范围. 例2-2（25-26高三上·北京延庆·阶段检测）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)证明：当时，曲线不存在斜率小于零的切线； (3)若函数存在极值，求的取值范围. 方法技巧 1.必要条件：若 是函数 的极值点，则必有 （可导函数）。利用此条件建立关于参数的方程。 2.充分条件验证：求出参数值后，必须代回原函数，验证在 两侧 是否确实变号（即 确实为极值点）。充分性验证是解题的关键步骤，不可省略，否则可能求出的是“导数为零但非极值点”的情况（如 在 处）。 3.已知极值求参数：若已知 在 处取得极值 ，则可建立两个方程： ； 。 联立求解参数。 4.已知极值个数求参数范围：极值个数 导函数 在定义域内的变号零点个数。转化为方程的根的分布问题，利用判别式、零点存在性定理等求参数范围。 5.含参不可分离型极值讨论：当 中参数的零点表达式无法显式写出时（如超越方程、高次方程），需利用二阶导或图象交点等方法判断导函数的变号零点个数，进而确定极值个数随参数的变化。 【变式训练2-1】已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数存在大于零的极大值，求实数a的取值范围． 【变式训练2-2】已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知，且函数存在极值，求的取值范围． 【变式训练2-3】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)若函数在上单调递增，求的值； (3)若函数在处取得极小值，求的取值范围. 题型3 根据函数极值点求参数值或范围 例3-1（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知，， (1)当时，求曲线在处的切线； (2)若函数有两个极值点，求a的取值范围； (3)若函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 例3-2（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数的导函数，且． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当或时，设曲线在点处的切线为直线，判断直线是否能经过坐标原点，并说明理由； (3)若是函数的一个极值点，且，直接写出实数的取值范围． 方法技巧 1.极值点与导函数零点的关系：可导函数的极值点一定是 的根，但反之不一定成立。已知极值点时，首先利用 建立方程。 2.极值点的个数与导函数变号零点个数一致：已知极值点的个数（如“ 有两个极值点”），可转化为“ 在定义域内有两个不同的变号实根”，利用判别式或根的分布求解参数范围。 3.极值点满足的隐含条件：若 是极值点，且 还满足其他几何条件（如极值点落在某直线上、与另一个极值点有大小关系等），需将这些条件一并转化为方程或不等式。 4.定义域对极值点的限制：若极值点在定义域边界处（开区间端点）或定义域外，则该点不可能是极值点，需排除。 5.验证变号：同题型2，求出参数后必须验证 在 两侧是否变号，确保 确实是极值点。 【变式训练3-1】（25-26高三上·北京石景山·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程： (2)若有两个极值点，求的取值范围： (3)当时，求证：． 【变式训练3-2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 【变式训练3-3】（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 题型4 利用导数求函数最值 例4-1（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，其中. (1)求的最大值； (2)若在区间上有且只有一个零点，证明：在区间上有且只有一个零点，且； (3)对于（2）中的，证明：. 例4-2（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)函数，当时，求证：对任意的，且，有． 方法技巧 1.闭区间 上求最值： 求导 ，解 ，找出定义域内的所有驻点； 计算所有驻点处的函数值以及区间端点 、 的值； 比较以上所有值，最大值即为函数在 上的最大值，最小值即为最小值。 2.开区间或无穷区间上求最值： 先求函数在定义域内的所有极值； 计算 趋近区间端点或 时函数的极限； 若某端极限为 （或 ），则函数无最大值（或无最小值）；若所有极限均小于某极值，则该极值为最大值（或最小值）。 3.最值与极值的区别： 极值是局部概念，最值是整体概念； 闭区间上的最值一定在驻点或端点处取得； 若函数在开区间内单调，则最值在极限端取得，可能不存在。 4.实际应用题的最值：根据实际问题的背景确定定义域，建立函数模型后，按上述方法求最值，最后根据实际意义对结果进行解释（如人数取整、长度取正等）。 【变式训练4-1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 【变式训练4-2】已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【变式训练4-3】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 题型5 由函数最值求参数值或范围 例5-1已知函数的最大值为0，则________. 例5-2（2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 例5-3（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 例5-4已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若函数在上存在最小值，求的取值范围 方法技巧 1.已知最值求参数： 先按含参函数的最值求解步骤，将最值表示为参数 的函数 （或 ）； 令 等于已知最值，建立方程解 。 2.已知最值点位置求参数：若已知函数在 处取得最大值或最小值，则 必为驻点（或端点）。利用 （若为内部点）建立方程求参数。 3.分类讨论法：含参函数的最值往往需要讨论驻点与区间端点的相对位置。常见讨论类型： 参数影响驻点位置：比较驻点是否落在区间内； 参数影响端点值大小：比较端点处与驻点处的函数值。 4.已知最值范围求参数：若题目给出最值的取值范围（如“最大值不小于 ”或“最小值小于 ”），则转化为含参不等式恒成立或有解问题，利用分离参数法或分类讨论法求解。 5.恒成立与最值的转化： 在区间上恒成立 ； 在区间上恒成立 。 将最值问题转化为恒成立问题，可间接求解参数范围。 6.检验：求出参数后，需代回验证最值是否确实在指定点处取得，区间端点或驻点的大小比较是否正确，避免因分类讨论不全面导致漏解或增解。 【变式训练5-1】若函数的最小值为，则___________ 【变式训练5-2】若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______． 【变式训练5-3】已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 2．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 3．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 5．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 6．（2020·北京·高考真题）已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列函数的极值： （1） （2） （3）； （4） 2．导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处 （1）导函数有极大值？ （2）导函数有极小值？ （3）函数有极大值？ （4）函数有极小值？ 3．已知函数，试确定p，q的值，使得当时，有最小值4． 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处有极大值，求的值. 5．已知函数的导函数的图象如图所示，在标记的点中： (1)在哪一点处导函数取到极大值？ (2)在哪一点处导函数取到极小值？ (3)在哪一点处函数取到极大值？ (4)在哪一点处函数取到极小值？ 6．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1），； （2），． 7．已知函数f(x)=-ln(x+m). (1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； （2）当m≤2时，证明f(x)>0. 8．给定函数． (1)判定函数的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图像； (3)求出方程的解的个数． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．函数在上的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．设函数在处有极大值，则c值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 3．若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 4．若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数在处取得极值为2，则在的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 9．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 10．已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 12．已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 13．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若对定义域内任意的x都有恒成立，求a的取值范围． 14．已知函数，其中． (1)若在处的导数为0． （i）求实数的值； （ii）求在区间上的值域； (2)若有3个不同的零点，求的取值范围． 15．已知函数． (1)当时，求的单调区间以及极值； (2)若有两个不同的零点，求的取值范围． 重难·创新演练 16．已知函数 (1)当时 ①求曲线在点处的切线方程； ②求的单调区间与极值． (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 17．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求的值. 18．已知函数． (1)若在时，有极值，求a的值； (2)若，求函数的单调区间． (3)讨论函数极值点的个数． 19．已知函数． (1)求的零点及； (2)求的极值； (3)求证：． 20．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若，设函数，在上的最大值为2，求的取值范围. 21．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，其中． （ⅰ）求证：在区间上有唯一的极值点； （ⅱ）设 为在区间上的零点， 为在区间上的极值点，比较 与 的大小，请说明理由． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $