第03讲 导数与函数的极值与最值（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦导数与函数的极值与最值核心考点，涵盖不含参求解、含参分类讨论及综合应用，按概念-题型-综合应用逻辑架构知识，通过命题透视、知识精讲、题型破译、真题溯源等环节，帮助学生系统构建解题框架，突破高考难点。 资料以“三阶教学法”贯穿复习，如含参最值分类讨论中引导学生按导函数零点位置分类，培养数学思维与逻辑推理能力。分层练习适配不同学情，真题溯源强化考向感知，助力教师精准把控节奏，高效提升学生应考能力。

第03讲 导数与函数的极值与最值 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的极值 知识点2 函数的最值 知识点3 极值与最值转化为恒成立问题 题型破译 题型1 求函数的极值与极值点 【方法技巧】求函数的极值与极值点 题型2 根据极值、极值点求参数 【方法技巧】根据极值、极值点求参数 题型3 求函数的最值（不含参） 【方法技巧】求函数的最值（不含参） 题型4 求函数的最值（含参） 【方法技巧】求函数的最值（含参） 题型5 根据最值求参数 【方法技巧】根据最值求参数 题型6 函数单调性、极值与最值的综合应用 【方法技巧】函数单调性、极值与最值的综合应用 题型7 不等式恒成立与存在性问题 【方法技巧】不等式恒成立与存在性问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 不含参函数的极值与闭区间最值求解 天津卷 T20（1）（4分） 天津卷 T20（2）（6分） 天津卷 T20（2）（6分） 含参函数的极值与最值分类讨论 天津卷 T20（2）（6分） 天津卷 T20（3）（6分） 天津卷 T20（3）（6分） 极值与最值的综合应用 天津卷 T20（3）（6分） 天津卷 T20（3）（6分） 天津卷 T20（3）（6分） 考情分析 导数与函数的极值与最值是天津高考数学必考核心考点，每年均以解答题（第20题）为核心考查形式，偶尔搭配选择/填空题，单题分值4-6分，整体难度中等偏上，是区分度核心考点。高频考查方向为：①不含参函数的极值、闭区间最值求解；②含参函数的极值、最值分类讨论（天津卷高频难点，常结合二次函数根的分布、函数定义域分析）；③极值与最值的综合应用，包括由极值/最值求参数范围、利用最值证明不等式、解决函数零点问题等。本模块是导数模块的核心内容，承接函数单调性，是后续导数综合问题的核心基础，常与函数、不等式、零点等内容深度结合，是导数解答题的核心得分点。 复习目标 1. 理解极值与最值的概念、区别与联系，掌握极值的判定方法，能熟练求解不含参函数的极值与闭区间上的最值； 2. 掌握含参函数极值与最值分类讨论的核心逻辑，能按参数范围合理分类，结合二次函数、定义域等要素完整分析函数的极值与最值情况； 3. 掌握极值与最值的综合应用方法，能利用极值/最值解决参数范围求解、不等式证明、函数零点分析等问题，提升导数综合应用能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 必记结论 函①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 自主检测（2026·天津津南·阶段检测）若函数存在极大值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据极值点与的解的关系求解. 【详解】，函数定义域是， 存在极大值点，则存在正数解，且在此解右侧，在此解左侧，， 所以有两个不等的正数解， 所以，解得. 知识点2 函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 必记结论 ①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 自主检测（2026·天津武清·阶段检测）设函数在及时取得极值． (1)求出a，b的值； (2)若当时，关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)通过极值点的定义对函数求导来求解. (2)根据函数单调性判断函数极值来求解取值范围. 【详解】（1）， 因为在和取极值，所以是的两个根， 韦达定理：， 解得． （2）由，得， ， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增， ， 因此， 解得. 知识点3 极值与最值转化为恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； 必记结论 已知函数最值、极值条件可转化不等式恒成立求解。若函数在区间上最小值≥0，等价于该不等式在区间恒成立；最大值≤0 同理。先求导确定单调区间，算出区间极值与端点函数值，对比得到函数最值。再将最值满足的不等关系转化为参数恒成立，分离参数后构造新函数，求新函数极值最值，即可锁定参数范围。核心逻辑：恒成立本质是函数整体取值边界约束，用极值最值确定边界值完成转化。 自主检测已知函数，，若，，有，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】转化条件得，则 ，令，利用导数求得 的最大值. 【详解】由题意，，， 即，则 ，， 令，， 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减； 作函数 的草图如下， 由图可知，当时，有唯一解， 故，且，即， 设，则，令，解得， 当 时，，函数单调递增， 当 时，，函数单调递减， 故，即的最大值为. 题●型●破●译 题型1 求函数的极值与极值点 例1-1已知三次函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导，再求，利用导数研究单调性进而求得函数的极大值，进而求解. 【详解】由题意得：，所以，解得， 所以， 所以， 令，解得或， 由或，由， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为：. 例1-2（2026·天津·阶段检测）已知函数 ， (1)求曲线在点处的切线方程 (2)当 时，列出极值表，求的极值； (3)当时， ，求整数 的最大值． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 0 + 单调递减 极小值 单调递增 (3)4 【详解】（1）已知，， 求导得， 则．由点斜式得切线方程 ，整理得 ． （2）当 时， ，定义域为． ， 令 ，解得． 0 + 单调递减 极小值 单调递增 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因此，在处取得极小值， 极小值为，无极大值． （3）当时， 即 ， 整理得， 因 ， ，故，设， ， ， 设 ， ，则 ， 故在单调递增． 又 ， ， 故存在唯一使得 ，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为， 因，故，因此整数的最大值为4． 方法技巧 求函数的极值与极值点 1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾． 2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大． 【变式训练1-1】（2026·天津静海·阶段检测）函数的极大值是______． 【答案】/ 【分析】利用求导判断函数的单调性，即可求得函数的极大值. 【详解】由的定义域为， 求导得， 由可得或；由可得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减, 故函数在时取得极大值. 【变式训练1-2】（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为. 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可写出切线方程； （2）利用列表法求出单调区间和极值. 【详解】（1）函数的定义域为R. 导函数. 所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）令，解得：或.列表得： x 1 3 + + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调增区间为，；单调减区间为； 的极大值为，极小值为. 【变式训练1-3】（2026·天津西青·阶段检测）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间､极值； (3)设在上有两个零点，求的范围． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值；(3) 【详解】（1），，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得； （2），令，解得或， 则当时，，当时，， 故在上的单调递增区间为，单调递减区间为， 则函数在上有极大值，无极小值； （3）由（2）知，在上的单调递增区间为，单调递减区间为， 由，，， 故的取值范围为. 题型2 根据极值、极值点求参数 例2-1已知函数有两个不同的极值点和，且存在满足条件的、使得成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数定义域为， 求导得： ， 由有两个不同极值点，则二次方程有两个不同正根， 则有，解得， 因为，则不等式可化为， 则， 设函数，，求导得， 所以在上单调递增，则， 所以， 由存在满足条件的、使得成立， 即满足成立，则. 例2-2若函数在时取得极值，则a=（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【详解】，函数时取得极值，则， 即．当时，， 当或时，单调递增； 当时，单调递减． 函数时取得极大值．故符合题意． 方法技巧 根据极值、极值点求参数 先对函数求导，将极值点代入(f'(x)=0)联立方程解参数；若给出极值，需同步代入原函数列等式。核心易错点：导数为零仅是极值必要条件，算出参数后必须检验导函数在该点两侧符号是否改变，排除拐点。遇到含参导函数，结合定义域分类讨论零点，区分二次型、指数对数型导函数。天津考题常结合区间限制极值点范围，需锁定零点落在指定区间，答题务必保留验证步骤，避免直接写参数值丢分。 【变式训练2-1】已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令，即， 移项整理得，设，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值， 而时，；时，，但此时， 因此，的大致图象为： 则直线与曲线有两个交点， 必有，解得． 【变式训练2-2】已知函数有两个极值点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，定义域为. 因为函数有两个极值点，所以有两个不相等的正根，并且这两正根分别为，则有解得，所以选项A错误； 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以函数的单调递增区间为：；单调递减区间为：． 因为，且，所以，所以，且，即，故BD错误. 又因为. 所以. 所以，所以选项C正确. 【变式训练2-3】已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（   ） A． B．1 C．4 D．5 【答案】D 【详解】， 又是函数的极小值点，，. 经检验符合题意.. 令，，列表如下 极大值 极小值 的极大值为 题型3 求函数的最值（不含参） 例3-1已知函数，若，，使成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，函数是减函数， ，所以， 当时，，， 若，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即，解得； 若，则，在上单调递增， 此时的值域为，符合题意， 若，的值域为，不符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 例3-2函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知函数， 所以. 因为，所以，故. 当时，，即； 当时，，即， 所以在上为单调递增，在为单调递减， 故在上的最大值为. 方法技巧 求函数的最值（不含参） 不含参函数求最值，先确定定义域，求导找临界点与间断点。算出导数零点，划分单调区间，判断增减性。把临界点、区间端点处函数值逐一算出，对比大小，最大值为最大数值，最小值为最小数值。闭区间务必验算两端点，开区间需判断边界趋势，无穷趋势无对应最值，谨防遗漏特殊点失分。 【变式训练3-1】函数在上的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 令，得， 令，得或；令，得， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减，上单调递增，则. 【变式训练3-2】对，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原不等式对，恒成立，移项整理得： 我们先将看成常量，把不等式看作关于的函数， 令，， 求导得：， 当时， 因为，，所以， 即在上单调递减， 又因为当时，，所以不可能恒成立，即被舍去； 当时， 由时，，则在上单调递减， 由时，，则在上单调递增， 所以， 要对，不等式恒成立， 则，解得，所以实数的取值范围是. 【变式训练3-3】函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】， 时，，递增，时，，递减， 所以是的极大值也是最大值. 题型4 求函数的最值（含参） 例4-1已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得的定义域为．设， 则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 所以在内有两个零点，设为， 则当时，，当时，． 设， 由，得当时，， 当时，，则为方程的两个实数根， 所以，，． 又，，所以，， 所以， 即，则，所以． 易知，，故， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故的最小值为． 解法二 由，，， 得． 在同一平面直角坐标系中作出函数，，的大致图象， 数形结合可知，若， 则与，的图象的两个交点重合， 如图，设这两个交点分别为，则为方程的两个实数根， 所以，，． 易知为方程的两个实数根，所以，， 以下同解法一． 故选：C. 例4-2已知函数，，若函数没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，，故函数在上递减，在上递增， 则当时，函数取得最小值. 若，则，从而没有零点，满足条件； 若，由于，， 故由零点存在定理可知在上必有一个零点，不满足条件. 所以的取值范围是. 故选：A. 方法技巧 求函数的最值（含参） 含参函数求最值核心依托导数结合分类讨论，先确定定义域并求导，整理导函数零点，依据参数范围划分讨论标准。先按导函数因式结构分情况：零点在区间左侧、区间内、区间右侧三类。逐一分析每种参数范围下函数的单调性，确定极值点位置。再计算区间端点与对应极值点的函数值，对比得到该情形下的最值。若导函数为二次型，还要结合开口、判别式细化零点有无的情况。最后汇总各参数区间对应的最值结果，开区间需判断端点极限，无穷趋势不存在最值，务必规范分类边界，避免漏情况、混淆参数范围导致失分。 【变式训练4-1】（2026·天津南开·阶段检测）若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 , , ①当 , 时， ，则 , 则函数在上单调递增， 时， ，所以 , 则函数 在上单调递减； ②当时，, ，所以 , 则函数在上单调递增， 当时，，所以 , 则函数在上单调递减． 故当且时， 在时递减；在时递增， 则 为 的极小值点，且为最小值点，且最小值. 又函数 有两个零点，所以方程有两个不相等的实根， 而，所以 且 ，解得 , 故选：A . 【变式训练4-2】（2026·天津武清·阶段检测）已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 令，解得， 所以在和时，，在时，， 所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减， 则在内单调递增，所以在内，最大； 在时单调递减，所以在内，最大； 在时单调递增，所以在内，最大； 因为，且在区间上的最大值为28， 所以，即k的取值范围是， 故选：A. 【变式训练4-3】（2026·天津和平·阶段检测）函数，若恒有，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 由，可得，此时单调递减， 由，可得，此时单调递增， ∴， ∴. 故选：C. 题型5 根据最值求参数 例5-1已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因对任意恒成立，即在上恒成立 变形得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则有 ，由，可知函数在上单调递增， 故得，即在上恒成立， 设，则，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值为， 故得，即实数a的最小值为. 例5-2（2026·天津和平·阶段检测）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令，得或. 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增. 因此，是极大值点，是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 方法技巧 根据最值求参数 已知最值反求参数，先对函数求导分析单调性，结合定义域划分区间。先假设参数不同范围，确定每种情况下最值的取得位置（端点或极值点），再结合给定最值列方程求解参数。算出结果后必须回代检验：验证该参数下最值点、单调性与已知条件一致，排除增根。若最值在区间内部取得，该点必为极值点；若在边界取得，则极值不在取值范围内。注意分类临界值，避免漏解、多解，贴合题型规范作答。 【变式训练5-1】若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 【变式训练5-2】已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知，， 在上单调递减，在上单调递增； 可知在处取得极小值，也是最小值， 因此在上的值域为， 又可得， 令，可得，， 因此当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 因此，又， 在上的值域为， 若对于任意，都存在，使得， 可得， 解得. 因此实数的取值范围是. 故选：A. 【变式训练5-3】函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 题型6 函数单调性、极值与最值的综合应用 例6-1若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先移项， 因为， 所以， 构造函数令，，所以在定义域内单调递增， 所以对于任意一个函数值，都有唯一一个对应， 所以， 令，， 令， 当，，在区间内单调递减， 当，，在区间内单调递增， 最后求端点值确定函数值域，，，， 因为， 所以， 条件为有解，即函数与有交点，所以. 例6-2已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数， 则（当且仅当时，等号成立）， 所以在上恒成立，所以函数是增函数， 因为，所以是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 令，则，且函数等价于， 因为，令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以函数的最小值为， 即的最小值为，所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 方法技巧 函数单调性、极值与最值的综合应用 解题先锁定定义域再求导，由导函数符号划分单调区间，依据区间增减判断极值点，两侧导数变号才是有效极值点。闭区间最值需联立极值、区间端点函数值比对得出。含参题型按导函数零点与区间位置分类讨论，分清极值在区间内、边界、区间外三类情况。常结合恒成立、零点、不等式证明考查，多用最值转化求解。算出参数务必回代检验单调性与极值有效性，区分极值局部性、最值全局性，避免漏端点、误判极值点丢分。 【变式训练6-1】已知函数有2个实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， ，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 当时，可得， 当 所以函数的图象如图所示，函数和的图象有2个公共点， 结合图象可得实数的取值范围. 故选：B. 【变式训练6-2】已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，，使成立， 则在上的取值范围要包含上的取值范围， 当时，，， 当时，，， 当时，，不合题意， 当时，，函数在单调递增， 则时，， 符合题意， 当时，我们进行如下讨论， 若时，，函数在单调递减， 若时，，函数在上单调递增， 当时，函数取最小值，最小值为， ， 所以，解得，所以， 综上的范围是. 故选：A. 【变式训练6-3】函数的导函数，若函数仅在有极值，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为函数仅在有极值， 所以只有一个根，且在的两侧异号， 又因为， 又因为当时，， 如果，则在上恒成立， 于是有当时，，又因为当时，， 所以，从而得，在上恒成立， 所以，令且， 则，令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增；所以， 所以； 当在上成立时，则在上恒成立， 所以在上恒成立，又因为当时，， 所以在上恒成立， 从而得，在上恒成立， 即， 由前面解析可知且，无最大值，故此种情况不成立； 当时，， 令， 则有或， 令，则， 令，得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 满足在的两侧异号， 综上，. 故选：A. 题型7 不等式恒成立与存在性问题 例7-1函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，令，解得：， 令，解得：， 令，解得：， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取最小值，故函数在区间上的最小值为 例7-2已知函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且函数和都是上的增函数， 所以要想恒成立，则需函数和的零点相同， 令， 令， 所以，则， 设，则， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递减， 故，所以最大值为. 方法技巧 不等式恒成立与存在性问题 在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数． 【变式训练7-1】若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，存在，成立，即存在，成立， 所以，， 令，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以，即实数的取值范围是. 【变式训练7-2】设函数，若，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．e 【答案】A 【详解】当时，，此时要使，还需恒成立，即还需， 当时，，此时要使，还需恒成立，即还需， 综上，，即. 所以，又，则， 令，则， 当时，，即单调递减；当时，，即单调递增； 所以，故的最小值为1. 【变式训练7-3】（2026·天津·阶段检测）已知函数, ，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，因为， 所以，且， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，取得最小值，， 函数在单调递增，故， 故，解得，综上可知：. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1)(2)2(3) 先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. 2．（2005·天津·高考真题）已知，设和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；Q：函数在上有极值．求使P正确且Q正确的m的取值范围． 【答案】. 【详解】要想对任意实数恒成立， 只需在上成立， 因为和是方程，的两个实根， 其中，故，一定有两个不相等的实数根， 所以，故， 因为，所以当或1时，取得最大值，最大值为3， 故， 即或， 解得：， ，令得：， 先要有解，即， 解得：或， 当时，，此时解为， 但和时，恒成立，故不是函数的极值点，舍去； 同理时，，此时解为， 但和时，恒成立，故不是函数的极值点，舍去； 当或时，有两个不相等的实数根，设为， 且的符号如下： + 0 - 0 + 因此，在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 故命题Q正确时，的取值范围是， 综上：P正确且Q正确的m的取值范围是与取交集，结果为. 3．（2018·天津·高考真题）设函数，其中,且是公差为的等差数列. （I）若 求曲线在点处的切线方程； （II）若，求的极值； （III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围. 【答案】(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ) 的极大值为6，极小值为−6；(Ⅲ) 【详解】（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x， 故=3x2−1，因此f(0)=0，=−1， 又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0)，故所求切线方程为x+y=0． （Ⅱ）由已知可得 f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2． 故=3x2−6t2x+3t22−9． 令=0，解得x=t2−或x=t2+． 当x变化时，，f(x)的变化如下表： x (−∞，t2−) t2− (t2−，t2+) t2+ (t2+，+∞) + 0 − 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6， 函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3−9×()=−6． （Ⅲ）曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2−d)+(x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解， 令u=x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0． 设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点． =3x3+(1−d2)． 当d2≤1时，≥0，这时在上R单调递增，不合题意． 当d2>1时，=0，解得x1=，x2=． 易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增． g(x)的极大值g(x1)=g()=>0． g(x)的极小值g(x2)=g()=−． 若g(x2)≥0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意． 若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意． 所以，的取值范围是． 4．（2016·天津·高考真题）设函数x∈R，其中a,b∈R. （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3； （Ⅲ）设a＞0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【详解】 试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，可分三种情况研究：①；②；③. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得. 下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为. （2）当时，令，解得，或. 当变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，. （Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且， 由题意，得，即， 进而. 又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以. （Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论： （1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此 ， 所以. （2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，， 所以在区间上的取值范围为，因此 . （3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，， 所以在区间上的取值范围为，因此 . 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于. 5．（2012·天津·高考真题）已知函数其中a>0. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围； （3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t,t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3，-1]上的最小值． 【答案】（1）单调递增区间是，；单调递减区间是（2）（3） 【详解】（1）解： 由，得 当x变化时，，的变化情况如下表： x -1 a + 0 - 0 + 极大值 极小值 故函数的单调递增区间是，；单调递减区间是. （2）解：由（1）知在区间内单调递增，在内单调递减，从而函数在区间内恰有两个零点当且仅当，解得. 所以，a的取值范围是. （3）解：a=1时，.由（1）知在区间内单调递增，在内单调递减，在上单调递增. （1）当时，，，在上单调递增，在上单调递减.因此，在上的最大值，而最小值为与中的较小者.由知，当时，，故，所以.而在上单调递增，因此.所以在上的最小值为. （2）当时，，且. 下面比较的大小由在，上单调递增， 有 又由，， 从而， 所以 综上，函数在区间上的最小值为 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．设函数的导函数为．若，讨论是否为函数的一个极值点？若作肯定回答，则给出证明；若作否定回答，则举出反例． 【答案】不一定，反例见解析 【分析】根据极值点的概念举反例即可. 【详解】不一定，反例如下： 如，易知， 而在R上恒成立，即函数单调递增，故不是极值点. 2．求下列函数的极值，并画出大致图象． (1)； (2)． 【答案】(1)极小值为，极大值为2，图象见解析 (2)极小值为，无极大值，图象见解析 【分析】求导得到函数的单调性，根据单调性求极值和画函数图象即可. 【详解】（1），令，解得，令，解得或， 所以函数在，上单调递减，上单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为，在处取得极大值，极大值为2， 函数图象如下：    （2），令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值， 图象如下所示：    3．已知函数的定义域为，且其导函数的图象如图所示，试找出函数在区间内的极大值点和极小值点．    【答案】极大值点有，极小值点有. 【分析】由极值点定义，根据的图象判断区间符号，即可确定极值点. 【详解】由图知：上，上， 所以，极大值有，极小值有， 故极大值点有，极小值点有. 4．求函数的极大值和极小值． 【答案】极大值为4；极小值为0． 【分析】求出函数的导数，再探讨单调性求出极值即可. 【详解】函数定义域为R，求导得， 令，解得或， 当x变化时，和的变化情况如下表所示： x 0 2 0 0 递减 0 递增 4 递减 所以有极大值点，对应的极大值为； 有极小值点，对应的极小值为. 5．已知，求所有使得的x，并判断所求得的数是否是函数的极值点． 【答案】，0不是的极值点 【分析】根据导数或者函数图像求得正确答案. 【详解】因为， 所以令，可知，由此可解得． 由于，在上单调递增， 所以不是的极值点， 这也可以从图中函数的图像看出来（如下图所示）．    6．试问：a为何值时，函数在处取得极值？指出它是极大值还是极小值，并求此极值． 【答案】见解析 【分析】由题意，令，从而得出，再由确定在处取得极大值，并求出极大值. 【详解】 又函数在处取得极值 ，即， 又，， 所以存在，使得当时，， 所以在上单减，又， 所以当时，，当时 在处取得极大值，极大值为 7．求函数在区间内的最值． 【答案】最大值为240，最小值为 【分析】求导得到函数的单调性，然后分别求出函数在上的极值和端点处的函数值，通过比较即可得到最值. 【详解】由题意得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在，上单调递增，上单调递减， 当时，；当时，；当时，；当时，， 所以函数在上的最大值为240，最小值为. 8．求使函数的值最小及相应自变量x的取值，其中，，，是实常数． 【答案】时，函数取得最小值 【分析】展开整理函数解析式，利用导数求最值即可. 【详解】 ， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以时，函数取得最小值. 9．若、、、是一组已知数据，令，用导数求取何值时取得最小值． 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，可得出结论. 【详解】解：因为 ， 则，令，可得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，当时，取得最小值. 10．如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是，岸边的医药公司A与点B的距离为，现有一批药品要尽快送达海岛码头．已知A与B之间有一公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车的时速为，快艇时速为．试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？    【答案】点C选在离B点为时可使运输时间最短． 【分析】设点C与点B的距离为，运输时间为小时,求出时间与的函数关系，利用导数求最小值点即可得解. 【详解】设点C与点B的距离为，运输时间为小时，则 ． 因为 ， 因此令，可解得． 因此可知在上递减，在 上递增，从而在时取得最小值． 这就是说，点C选在离B点为时可使运输时间最短． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：导数极值与最值基础演练，核心考查导数运算、单调区间判定、极值点辨析、闭区间最值求解。基础题以不含参函数为主，侧重求导计算、找导数零点，检验零点两侧导函数符号变化，区分极值与驻点。最值需对比极值点与区间端点函数值。常设置定义域陷阱、极值点验证易错点，少量基础含参题考查零点位置分类。侧重夯实流程：求导→找临界点→判单调性→求极值→比值得最值，规范步骤避免跳步失分。 1．已知函数的定义域为，是的导函数，满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．有两个零点 D．仅有1个极值点 【答案】D 【详解】因为，且，则， 即，可得，，即， 又因为，可得， 则，，即，故B错误； 令，解得，所以有且仅有1个零点，故C错误； 因为，可得，故A错误； 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数仅有1个极值点，故D正确. 2．若函数，则是函数有极值的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数有极值，得函数有变号零点，则方程有两个不等实根，， 因此是函数有极值的必要不充分条件. 3．已知函数在区间上存在最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，则， 令，即，解得或， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 因此，是函数的极大值点，是函数的极小值点， . 因为函数在区间上存在最小值， 所以极小值点必须在区间内，即， 解可得. 综上，的取值范围是. 同时，还需满足，即，化简可得， 因为恒成立，所以，解得. 综上，的取值范围是. 4．已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．在处取得极大值 C．有3个极值点 D． 【答案】D 【详解】，，在区间上单调递减，选项A错误； 时，，当时，，当时，， 所以不是极值点，选项B错误； 的3个零点，，， 当时，，当时，，不是极值点， 当时，，当时，，是极小值点， 当时，，当时，，是极大值点， 有个极值点，选项C错误； ，，在区间上单调递增，，选项D正确. 5．若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数， 等价于，在内有解， 设，设两根，则，故两根异号， 要使正根在区间内，则， 解得，故实数的取值范围是． 6．下列函数中，存在极值点的函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由函数，可得，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，所以A符合题意； 对于B，由函数，可得， 所以函数在上单调递增，所以没有极值点，所以B不符合题意； 对于C，由函数，可得其定义域为，且， 所以在上单调递减，没有极值点，所以C不符合题意； 对于D，由函数，可得其定义域为，且， 所以在上单调递增，没有极值点，所以D不符合题意； 7．已知函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．有3个零点 B．是的极小值点 C．函数在区间上单调递减 D．的最大值是 【答案】C 【详解】从图象可知在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，C正确； 故不是的极值点，B错误； 是的极大值，不是最大值，D错误； 的零点个数不确定，A错误. 8．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递增 D．在处取得极大值 【答案】B 【详解】由导函数的图象可知： 在区间上，，所以在该区间上单调递增，故A错误； 在区间上，，所以在该区间上单调递减，故C错误； 因为当，当， 所以在处取得极大值，故B正确； 当，当 ，所以在处取得极小值，故D错误. 9．已知函数在处有极大值，则的极小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】，，解得：或； 当时，，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 是的极小值点，不符合题意； 当时，，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 是的极大值点，符合题意， 此时函数在时取极小值，极小值为， 综上所述：的极小值为. 10．已知． (1)判断的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图象； (3)判断方程的解的个数． 【答案】(1) 单调递减 单调递增 极小值为，无极大值 (2) (3)当或时， 方程的解有1个；当，方程的解有2个． 【详解】（1）的定义域为，求导得 令，解得， 将对应的的情况列表： 单调递减 单调递增 由表可知，当时，有极小值，极小值为； （2）根据（1）的分析，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，当时，，当时，. 故可作出该函数的大致图象如下： （3）方程的解的个数就是函数的图象与直线的交点个数. 由（1），（2）可知，当时，方程的解有0个； 当或时， 方程的解有1个； 当时，方程的解有2个． 重难·创新演练 设题创新:导数创新题型常结合分段函数、复合函数、实际建模、隐函数设问，不再是常规求导算最值。多以不等式证明、恒成立、零点个数、多极值对比为载体，嵌套参数分类与构造新函数思路。部分考题结合图像趋势逆向求参，侧重逻辑推导而非机械计算，需灵活拆分问题，严谨验证极值有效性，规避固定解题套路的思维定式。 1．函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在上不单调 D．3是函数的极小值点 【答案】A 【详解】由题意可知，在A选项中，当时，， 因此在上单调递减，A正确， 在B选项中，当时，， 因此在上单调递增，B错误， 在C选项中，当时，恒成立， 因此在上单调递增，是单调函数，C错误， 在D选项中，左侧（递增）， 右侧（递减）， 因此是的极大值点，不是极小值点，D错误. 2．已知函数在 处有极大值，则 的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【详解】由可得， 令，解得和， 若，则，函数在上单调递增，无极值点； 若，则和均为负数，极值点不可能为2，不符合题意； 当时，，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故为函数的极大值点，故，则. 3．已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（    ） A．1个驻点 B．1个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 【答案】C 【详解】由导函数的图像可知，在区间内： 驻点为的点，由图像可得的点有4个，故A错误； 分析各零点处的符号变化： 第一个零点：左侧，右侧，为的极大值点； 第二个零点：左侧，右侧，为的极小值点； 处：左右两侧均为正，符号不变，不是极值点； 第三个零点：左侧，右侧，为的极大值点； 因此在内有2个极大值点，1个极小值点，共3个极值点，故B、D错误，C正确. 4．若函数有2个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，问题转化为与有2个交点时的取值范围. ，由于对任意恒成立， 因此当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 故的最小值为. 时，衰减速度远快于多项式增长速度，. 时，，且. 因此时，无交点，无零点， 时，仅1个交点，有1个零点， 时，有两个交点，有2个零点. 时，仅1个交点，有1个零点. 因此的取值范围是. 5．已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若对任意的，存在，使，则. 由已知得， 可知，当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 故当时，. 因为函数的对称轴为， 所以在上单调递减， 所以当时，. 于是，解得. 6．若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对任意恒成立等价于对任意恒成立， 令，则，故等价于对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，为. 要使对任意恒成立，只需. 实数的取值范围为. 7．若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数导数与单调性，结合函数极值点唯一性，对参数进行分类讨论即可. 【详解】因为，所以， 若函数有唯一极值点，等价于有唯一的变号零点， 当时，，函数在上单调递增， 此时函数无极值点，不满足题意， 当时，由，又因为，所以， 令，问题转化为函数与函数图象只有一个交点， 由， 令，解得：或， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 所以函数的极小值为，极大值为， 且当时，，当时，， 即函数的大致图象为：    当时，与有三个交点，不满足题意； 当时，与有两个交点， 一个点的横坐标为，此点为直线与函数的切点， 且在此处不变号；另一个点的横坐标，在此处变号，满足题意； 当时，与只有一个交点，满足题意. 综上所述，的取值范围为：. 8．已知函数，若函数在区间上单调递增，且曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则， 若函数在区间上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 由，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以若函数在区间上单调递增，则， 若曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2， 即在恒成立，等价于在恒成立， 也即在恒成立， 令，则， 因为，所以恒成立，即函数在上单调递增， 所以， 所以若曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2， 则，所以要满足题意则，即实数的取值范围是. 9．已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，得， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为，其中， 即切线方程为. 整理可得， 又因为直线与曲线相切， 所以，. 设，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数在时取极小值， 且当时，. 综上所述，函数的值域为，所以实数的取值范围. 10．已知函数，直线是曲线在点处的切线，且直线与曲线相切． (1)求直线的方程； (2)求a； (3)若不等式对任意的恒成立，求的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1），， 则在点处的切线方程为， 整理得. （2），设直线与曲线的切点为， 则， 且，，联立得，解得， 则. （3）由上知， 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为，所以，则恒成立，即， 设，则， 设，则， 因为，所以，即在上单调递增， ，， 由零点存在性定理可知，存在唯一的，使得， 即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 因此， 所以， 因为，且，所以的最大值为. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 导数与函数的极值与最值 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的极值 知识点2 函数的最值 知识点3 极值与最值转化为恒成立问题 题型破译 题型1 求函数的极值与极值点 【方法技巧】求函数的极值与极值点 题型2 根据极值、极值点求参数 【方法技巧】根据极值、极值点求参数 题型3 求函数的最值（不含参） 【方法技巧】求函数的最值（不含参） 题型4 求函数的最值（含参） 【方法技巧】求函数的最值（含参） 题型5 根据最值求参数 【方法技巧】根据最值求参数 题型6 函数单调性、极值与最值的综合应用 【方法技巧】函数单调性、极值与最值的综合应用 题型7 不等式恒成立与存在性问题 【方法技巧】不等式恒成立与存在性问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 不含参函数的极值与闭区间最值求解 天津卷 T20（1）（4分） 天津卷 T20（2）（6分） 天津卷 T20（2）（6分） 含参函数的极值与最值分类讨论 天津卷 T20（2）（6分） 天津卷 T20（3）（6分） 天津卷 T20（3）（6分） 极值与最值的综合应用 天津卷 T20（3）（6分） 天津卷 T20（3）（6分） 天津卷 T20（3）（6分） 考情分析 导数与函数的极值与最值是天津高考数学必考核心考点，每年均以解答题（第20题）为核心考查形式，偶尔搭配选择/填空题，单题分值4-6分，整体难度中等偏上，是区分度核心考点。高频考查方向为：①不含参函数的极值、闭区间最值求解；②含参函数的极值、最值分类讨论（天津卷高频难点，常结合二次函数根的分布、函数定义域分析）；③极值与最值的综合应用，包括由极值/最值求参数范围、利用最值证明不等式、解决函数零点问题等。本模块是导数模块的核心内容，承接函数单调性，是后续导数综合问题的核心基础，常与函数、不等式、零点等内容深度结合，是导数解答题的核心得分点。 复习目标 1. 理解极值与最值的概念、区别与联系，掌握极值的判定方法，能熟练求解不含参函数的极值与闭区间上的最值； 2. 掌握含参函数极值与最值分类讨论的核心逻辑，能按参数范围合理分类，结合二次函数、定义域等要素完整分析函数的极值与最值情况； 3. 掌握极值与最值的综合应用方法，能利用极值/最值解决参数范围求解、不等式证明、函数零点分析等问题，提升导数综合应用能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的_________； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得_________；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 必记结论 函①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 自主检测（2026·天津津南·阶段检测）若函数存在极大值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点2 函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为_________，最小的一个为_________． 必记结论 ①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 自主检测（2026·天津武清·阶段检测）设函数在及时取得极值． (1)求出a，b的值； (2)若当时，关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 知识点3 极值与最值转化为恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； 必记结论 已知函数最值、极值条件可转化不等式恒成立求解。若函数在区间上最小值≥0，等价于该不等式在区间恒成立；最大值≤0 同理。先求导确定单调区间，算出区间极值与端点函数值，对比得到函数最值。再将最值满足的不等关系转化为参数恒成立，分离参数后构造新函数，求新函数极值最值，即可锁定参数范围。核心逻辑：恒成立本质是函数整体取值边界约束，用极值最值确定边界值完成转化。 自主检测已知函数，，若，，有，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D． 题●型●破●译 题型1 求函数的极值与极值点 例1-1已知三次函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 例1-2（2026·天津·阶段检测）已知函数 ， (1)求曲线在点处的切线方程 (2)当 时，列出极值表，求的极值； (3)当时， ，求整数 的最大值． 方法技巧 求函数的极值与极值点 1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾． 2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大． 【变式训练1-1】（2026·天津静海·阶段检测）函数的极大值是______． 【变式训练1-2】（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 【变式训练1-3】（2026·天津西青·阶段检测）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间､极值； (3)设在上有两个零点，求的范围． 题型2 根据极值、极值点求参数 例2-1已知函数有两个不同的极值点和，且存在满足条件的、使得成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2-2若函数在时取得极值，则a=（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 方法技巧 根据极值、极值点求参数 先对函数求导，将极值点代入(f'(x)=0)联立方程解参数；若给出极值，需同步代入原函数列等式。核心易错点：导数为零仅是极值必要条件，算出参数后必须检验导函数在该点两侧符号是否改变，排除拐点。遇到含参导函数，结合定义域分类讨论零点，区分二次型、指数对数型导函数。天津考题常结合区间限制极值点范围，需锁定零点落在指定区间，答题务必保留验证步骤，避免直接写参数值丢分。 【变式训练2-1】已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知函数有两个极值点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（   ） A． B．1 C．4 D．5 题型3 求函数的最值（不含参） 例3-1已知函数，若，，使成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3-2函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 求函数的最值（不含参） 不含参函数求最值，先确定定义域，求导找临界点与间断点。算出导数零点，划分单调区间，判断增减性。把临界点、区间端点处函数值逐一算出，对比大小，最大值为最大数值，最小值为最小数值。闭区间务必验算两端点，开区间需判断边界趋势，无穷趋势无对应最值，谨防遗漏特殊点失分。 【变式训练3-1】函数在上的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】对，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 题型4 求函数的最值（含参） 例4-1已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例4-2已知函数，，若函数没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 求函数的最值（含参） 含参函数求最值核心依托导数结合分类讨论，先确定定义域并求导，整理导函数零点，依据参数范围划分讨论标准。先按导函数因式结构分情况：零点在区间左侧、区间内、区间右侧三类。逐一分析每种参数范围下函数的单调性，确定极值点位置。再计算区间端点与对应极值点的函数值，对比得到该情形下的最值。若导函数为二次型，还要结合开口、判别式细化零点有无的情况。最后汇总各参数区间对应的最值结果，开区间需判断端点极限，无穷趋势不存在最值，务必规范分类边界，避免漏情况、混淆参数范围导致失分。 【变式训练4-1】（2026·天津南开·阶段检测）若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（2026·天津武清·阶段检测）已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】（2026·天津和平·阶段检测）函数，若恒有，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 题型5 根据最值求参数 例5-1已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 例5-2（2026·天津和平·阶段检测）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 根据最值求参数 已知最值反求参数，先对函数求导分析单调性，结合定义域划分区间。先假设参数不同范围，确定每种情况下最值的取得位置（端点或极值点），再结合给定最值列方程求解参数。算出结果后必须回代检验：验证该参数下最值点、单调性与已知条件一致，排除增根。若最值在区间内部取得，该点必为极值点；若在边界取得，则极值不在取值范围内。注意分类临界值，避免漏解、多解，贴合题型规范作答。 【变式训练5-1】若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6 函数单调性、极值与最值的综合应用 例6-1若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例6-2已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 方法技巧 函数单调性、极值与最值的综合应用 解题先锁定定义域再求导，由导函数符号划分单调区间，依据区间增减判断极值点，两侧导数变号才是有效极值点。闭区间最值需联立极值、区间端点函数值比对得出。含参题型按导函数零点与区间位置分类讨论，分清极值在区间内、边界、区间外三类情况。常结合恒成立、零点、不等式证明考查，多用最值转化求解。算出参数务必回代检验单调性与极值有效性，区分极值局部性、最值全局性，避免漏端点、误判极值点丢分。 【变式训练6-1】已知函数有2个实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】函数的导函数，若函数仅在有极值，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 题型7 不等式恒成立与存在性问题 例7-1函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 例7-2已知函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 不等式恒成立与存在性问题 在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数． 【变式训练7-1】若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】设函数，若，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．e 【变式训练7-3】（2026·天津·阶段检测）已知函数, ，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 2．（2005·天津·高考真题）已知，设和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；Q：函数在上有极值．求使P正确且Q正确的m的取值范围． 3．（2018·天津·高考真题）设函数，其中,且是公差为的等差数列. （I）若 求曲线在点处的切线方程； （II）若，求的极值； （III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围. 4．（2016·天津·高考真题）设函数x∈R，其中a,b∈R. （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3； （Ⅲ）设a＞0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于. 5．（2012·天津·高考真题）已知函数其中a>0. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围； （3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t,t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3，-1]上的最小值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．设函数的导函数为．若，讨论是否为函数的一个极值点？若作肯定回答，则给出证明；若作否定回答，则举出反例． 2．求下列函数的极值，并画出大致图象． (1)； (2)． 3．已知函数的定义域为，且其导函数的图象如图所示，试找出函数在区间内的极大值点和极小值点．    4．求函数的极大值和极小值． 5．已知，求所有使得的x，并判断所求得的数是否是函数的极值点． 6．试问：a为何值时，函数在处取得极值？指出它是极大值还是极小值，并求此极值． 7．求函数在区间内的最值． 8．求使函数的值最小及相应自变量x的取值，其中，，，是实常数． 9．若、、、是一组已知数据，令，用导数求取何值时取得最小值． 10．如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是，岸边的医药公司A与点B的距离为，现有一批药品要尽快送达海岛码头．已知A与B之间有一公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车的时速为，快艇时速为．试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？    课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：导数极值与最值基础演练，核心考查导数运算、单调区间判定、极值点辨析、闭区间最值求解。基础题以不含参函数为主，侧重求导计算、找导数零点，检验零点两侧导函数符号变化，区分极值与驻点。最值需对比极值点与区间端点函数值。常设置定义域陷阱、极值点验证易错点，少量基础含参题考查零点位置分类。侧重夯实流程：求导→找临界点→判单调性→求极值→比值得最值，规范步骤避免跳步失分。 1．已知函数的定义域为，是的导函数，满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．有两个零点 D．仅有1个极值点 2．若函数，则是函数有极值的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数在区间上存在最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．在处取得极大值 C．有3个极值点 D． 5．若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．下列函数中，存在极值点的函数是（     ） A． B． C． D． 7．已知函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．有3个零点 B．是的极小值点 C．函数在区间上单调递减 D．的最大值是 8．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递增 D．在处取得极大值 9．已知函数在处有极大值，则的极小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 10．已知． (1)判断的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图象； (3)判断方程的解的个数． 重难·创新演练 设题创新:导数创新题型常结合分段函数、复合函数、实际建模、隐函数设问，不再是常规求导算最值。多以不等式证明、恒成立、零点个数、多极值对比为载体，嵌套参数分类与构造新函数思路。部分考题结合图像趋势逆向求参，侧重逻辑推导而非机械计算，需灵活拆分问题，严谨验证极值有效性，规避固定解题套路的思维定式。 1．函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在上不单调 D．3是函数的极小值点 2．已知函数在 处有极大值，则 的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（    ） A．1个驻点 B．1个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 4．若函数有2个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数在区间上单调递增，且曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，直线是曲线在点处的切线，且直线与曲线相切． (1)求直线的方程； (2)求a； (3)若不等式对任意的恒成立，求的最大值． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $