第11讲　对数与对数函数训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 这份对数与对数函数同步练习，通过基础概念辨析、综合运算应用到复杂问题解决的三层设计，实现知识从单一到综合的巩固，适配一轮复习“基础+提升”需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|对数函数图象、基本运算|单选形式，直接考查概念理解（如第1题图象识别）| |进阶层|对数比较大小、单调性、不等式应用|多选与填空结合，综合多个知识点（如第8题对数运算与性质综合）| |拔高层|函数性质证明、创新问题|解答题形式，需逻辑推理与综合应用（如第14题奇偶函数分解与不等式求解）|

第11讲　对数与对数函数 (时间:45分钟) 1.函数f(x)=log3x的图象大致是 (　 ) A　　B C　　D 2.[2025·湖南长沙一中期末] 已知a=log52,2b=3,则log215= (　 ) A.+b B.+a C. D. 3.已知a=log721,b=log618,c=log515,则 (　 ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 4.[2026·广东汕头期末] 已知函数f(x)=则f-f(ln 2)=(　 ) A.- B. C.- D. 5.[2026·河南郑州三模] 函数f(x)=loga(x-1)+1的图象过定点A,若A∈{(x,y)|mx+ny=1,m>0,n>0},则+的最小值为 (　 ) A.4 B.6 C.8 D.10 6.已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|,则不等式f(x)<0的解集是 (　 ) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(0,1) C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(1,+∞) 7.已知函数f(x)=loga在R上是减函数,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B.(2,+∞) C. D.∪(2,+∞) 8.(多选题)[2025·浙江湖州期末] 已知a=log25,b=log3,则 (　 ) A.ab>0 B.4a·9b=1 C.->1 D.log612= 9.[2026·广东四校联考] 实数a满足loga8+log2a<4,且a>1,则a的取值范围是　　　　.  10.已知函数f(x)=ln . (1)证明:f(x)是奇函数; (2)若f(x)在区间(a,a+2)上单调递减,求a的取值范围. 11.[2025·安徽滁州期末] 已知函数f(x)=log2(x2+2x),则 (　 ) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域是[0,+∞) C.f(x)是偶函数 D.f(x)的单调递减区间是(-∞,-2) 12.(多选题)已知函数f(x)=log3x+8x,则 (　 ) A.f(x)在R上单调递增 B.f(x)的值域为R C.f=1 D.f(x)的零点小于 13.[2025·山西吕梁期末] 已知a=ln 3,b=lg 3,则a-b与ab的大小关系为　　　　　.  14.[2026·广东深圳期末] 已知函数f(x)=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图象过点. (1)求a. (2)当x∈(-2,2)时,存在偶函数g(x)和奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x). (i)求g(x)和h(x)的解析式; (ii)求不等式g(x)≥h(x)的解集. 学科网（北京）股份有限公司 1.D　[解析] 由题意可知,函数f(x)=log3x在定义域(0,+∞)内单调递增,故选D. 2.A　[解析] 由a=log52==,得=log25,由2b=3,得b=log23,所以log215=log23+log25=b+.故选A. 3.A　[解析] a=log721=1+log73,b=log618=1+log63,c=log515=1+log53,因为y=log3x为增函数,所以log37>log36>log35>0,所以log73<log63<log53,所以a<b<c.故选A. 4.C　[解析] 函数f(x)= 则f-f(ln 2)=ln-eln 2=-2=-2=-.故选C. 5.C　[解析] 令x-1=1,得x=2,f(2)=1,即f(x)=loga(x-1)+1的图象过定点A(2,1).因为A∈{(x,y)|mx+ny=1,m>0,n>0},所以点A在直线mx+ny=1上,则2m+n=1,且m>0,n>0,于是+=(2m+n)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即n=2m=时取“=”,即+的最小值为8.故选C. 6.A　[解析] 由题可知f(x)的定义域为(-1+∞).当x≥0时, f(x)=log2(x+1)-x,令log2(x+1)-x<0,得log2(x+1)<x,即x+1<2x,画出y=x+1(x≥0)与y=2x(x≥0)的图象,如图所示, 由图可知x+1<2x在x≥0时的解集为(1,+∞).当-1<x<0时, f(x)=log2(x+1)+x,由于y=log2(x+1)与y=x均在(-1,0)上单调递增,则f(x)在(-1,0)上单调递增,又f(0)=log21-0=0,所以当x∈(-1,0)时, f(x)<0.综上所述,不等式f(x)<0的解集是(-1,0)∪(1,+∞).故选A. 7.D　[解析] 因为f(x)=loga在R上是减函数,所以或解得0<a<或a>2.所以实数a的取值范围为∪(2,+∞).故选D. 8.BCD　[解析] 对于A,a=log25>log21=0,b=log3<log31=0,所以ab<0,故A不正确; 对于B,由a=log25,b=log3得2a=5,3b=,则4a·9b=(2a)2·(3b)2=52·=1,故B正确; 对于C,-=log52-lo3=log52+log53=log56>1,故C正确; 对于D,======log612,故D正确.故选BCD. 9.(2,8)　[解析] 由题可得loga8+log2a=3loga2+log2a=+log2a<4.令t=log2a,由a>1,得t=log2a>0,令g(t)=+t,t>0,则g'(t)=-+1=.令g'(t)>0得t>,令g'(t)<0得0<t<,故函数g(t)=+t在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.又g(1)=g(3)=4,所以当t∈(1,3)时,g(t)<4,此时a∈(2,8). 10.解:(1)证明:由题得f(x)=ln=ln, 由>0,得f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称. 又因为f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)f(x)=ln=ln, 当x∈(1,+∞)时,y=1+单调递减,又y=ln x在定义域上为增函数, 所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递减, 同理可得f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减. 因为f(x)在区间(a,a+2)上单调递减, 所以a+2≤-1或a≥1,解得a≤-3或a≥1, 所以a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞). 11.D　[解析] 对于A,要使函数f(x)有意义,则x2+2x>0,解得x<-2或x>0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(0,+∞),故A错误;对于B,由对数函数的性质可知,函数f(x)的值域是R,故B错误;对于C,因为函数f(x)的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)不具有奇偶性,故C错误;对于D,令μ=x2+2x,由二次函数的性质可知,μ=x2+2x在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,由对数函数的性质可知,y=log2μ在定义域内单调递增,所以f(x)的单调递减区间是(-∞,-2),故D正确.故选D. 12.BC　[解析] 对于A, f(x)的定义域为(0,+∞),故A错误;对于B,函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增且值域为R,y=8x在(0,+∞)上单调递增且取值范围为(1,+∞),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增且值域为R,故B正确;对于C, f=log33-1+=-1+2=1,故C正确;对于D, f=log33-2+=-2+=-2+<0,又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,且当x→+∞时,f(x)→+∞,所以f(x)的零点大于,故D错误.故选BC. 13.a-b>ab　[解析] 因为ln 3>lg 3>0,所以a-b>0,ab>0,作商可得=-=-=log310-log3e=log3, 因为3e<10,所以>3,所以log3>1,即>1,所以a-b>ab. 14.解:(1)由题意可得f(2-2)=loga2=,解得a=2. (2)(i)因为g(x)为偶函数,h(x)为奇函数, 且f(x)=g(x)+h(x),所以f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x), 所以g(x)===log2(4-x2), h(x)===log2. (ii)由g(x)≥h(x),可得 log2(4-x2)≥log2,即4-x2≥. 因为x∈(-2,2),所以(2-x)2≥1,可得2-x≥1,则-2<x≤1, 所以原不等式的解集为(-2,1]. 学科网（北京）股份有限公司 $