第9讲 导数与单调性（提高）-2027届高三数学一轮复习

导数与单调性 用导数判定单调性、讨论含参函数与反求参数 一、导数与单调性 用导数判定单调性 一、含参讨论的分界点从哪里来。适用条件是导数整理后化成两个因式之商，其中一个因式的根含有参数。结论是分类的分界点只有两个来源，一是导数的根与零的大小关系，二是导数的根与定义域端点的位置关系。由来是导数的符号由各个因式的正负共同决定，根的位置一变，符号表就跟着变。先把根解出来，再看它落在定义域的里面、外面还是端点上，三种位置对应三种符号表，不必每一类都从头重算。 二、定义域会随参数变化。适用条件是函数里含有对数式或分式，且参数出现在被取对数的式子或者分母里。结论是求导之前必须先把定义域解出来，因为参数会改变定义域本身。这类题的讨论往往不是由导数的符号引起的，而是由定义域引起的 ——先看清定义域怎么随参数移动，讨论的框架就定了。 三、两根谁大，是讨论的主线。适用条件是导数化成两个一次因式相乘的形式，两个根都含参数。结论是比较这两个根的大小，再分别讨论。两根相等的情形必须单独成一类，此时导数不变号，函数在整个定义域上单调。 四、带绝对值的函数先分段再求导。适用条件是函数里出现绝对值。结论是按绝对值内部的零点把定义域切开，每一段上把绝对值去掉得到分段函数，再逐段讨论单调性。分段点两侧的函数值相等，所以分段点附近要单独核对导数的符号。 五、单调区间与给定区间要分清归属。适用条件是题目说「在某个区间上单调」而不是「求单调区间」。结论是这种题不要去解单调区间，而是把给定区间当作条件，要求导数在这个区间上不变号。前者是正着求，后者是反着用。 例1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 变式1-1（解答·★★★★☆） 设函数．讨论的单调性． 例2（解答·★★★★☆） 已知函数，．讨论的单调性． 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 变式2-2（解答·★★★★☆） 已知，．当时，讨论的单调性． 例3（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 变式3-1（解答·★★★★☆） 已知函数.讨论函数的单调性． 例4（解答·★★★★☆） 已知函数.讨论的单调性． 变式4-1（解答·★★★★☆） 已知函数.讨论的单调性． 变式4-2（解答·★★★★☆） 已知函数．若，讨论的单调性． 变式4-3（解答·★★★★☆） 已知函数的一个极值点是．讨论的单调性． 变式4-4（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 由单调性求参数范围 一、分离参数是首选，但要先看能不能分离。适用条件是参数以一次的形式出现，或者只出现在分母、系数里。结论是把参数单独留在不等式的一边，另一边构造成新函数求最值。由来是分离之后参数与自变量互不纠缠，讨论的范围立刻收窄。如果参数出现在指数或者对数的内部，分离不成，就只能整体讨论函数的单调性。 二、恒成立与存在性，取的最值方向相反。适用条件是题干出现「恒成立」或「存在」字样。结论是恒成立取一侧的最值，存在性取另一侧的最值。存在一个点让不等式成立，只需要找到能满足的那一个点，所以求的是另一个方向的最值。两句话只差一个字，取的最值正好相反。 三、区间的端点能不能取到，决定开闭。适用条件是题目给的区间为闭区间或半开半闭。结论是端点处的导数可以不满足严格不等号，只要函数整体仍然单调即可。判据是把端点单独代进导数检验，端点合不合要求与区间内部不并在一起讨论。 四、不单调等价于导数存在变号零点。适用条件是题目说函数在给定区间上不单调。结论是导数在这个区间内必须有变号的零点，也就是导数的零点落在区间内部。把这句话当作条件用，通常比先求单调区间再回头比对更快。 五、先用必要条件筛掉一批参数。适用条件是函数在某个区间上单调递增，而这个区间里有一个容易算导数的点。结论是可以先代入这个点，得到参数的一个必要条件，把讨论范围缩小，再逐一验证。这是做小题时的提速办法，解答题里仍需完整书写。 例5（解答·★★★★☆） 设函数．若在区间上单调递增，求的取值范围． 变式5-1（解答·★★★★☆） 已知函数，.若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间． 变式5-2（解答·★★★★☆） 已知函数.若，求的单调区间． 例6（解答·★★★★☆） 已知函数在上单调递增.求的值． 变式6-1（填空·★★★★☆） 已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 变式6-2（解答·★★★★★） 已知函数（）.若在上单调递增，求的取值范围． 例7（解答·★★★★★） 已知函数．若在上单调递增，求的值． 变式7-1（解答·★★★★★） 已知函数.若在定义域上单调递减，求的取值范围． 变式7-2（解答·★★★★★） 函数，.若在上单调递减，求a的取值范围． 变式7-3（解答·★★★★★） 已知函数的导函数为．若在上单调递增，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数与单调性 用导数判定单调性、讨论含参函数与反求参数 一、导数与单调性 用导数判定单调性 一、含参讨论的分界点从哪里来。适用条件是导数整理后化成两个因式之商，其中一个因式的根含有参数。结论是分类的分界点只有两个来源，一是导数的根与零的大小关系，二是导数的根与定义域端点的位置关系。由来是导数的符号由各个因式的正负共同决定，根的位置一变，符号表就跟着变。先把根解出来，再看它落在定义域的里面、外面还是端点上，三种位置对应三种符号表，不必每一类都从头重算。 二、定义域会随参数变化。适用条件是函数里含有对数式或分式，且参数出现在被取对数的式子或者分母里。结论是求导之前必须先把定义域解出来，因为参数会改变定义域本身。这类题的讨论往往不是由导数的符号引起的，而是由定义域引起的 ——先看清定义域怎么随参数移动，讨论的框架就定了。 三、两根谁大，是讨论的主线。适用条件是导数化成两个一次因式相乘的形式，两个根都含参数。结论是比较这两个根的大小，再分别讨论。两根相等的情形必须单独成一类，此时导数不变号，函数在整个定义域上单调。 四、带绝对值的函数先分段再求导。适用条件是函数里出现绝对值。结论是按绝对值内部的零点把定义域切开，每一段上把绝对值去掉得到分段函数，再逐段讨论单调性。分段点两侧的函数值相等，所以分段点附近要单独核对导数的符号。 五、单调区间与给定区间要分清归属。适用条件是题目说「在某个区间上单调」而不是「求单调区间」。结论是这种题不要去解单调区间，而是把给定区间当作条件，要求导数在这个区间上不变号。前者是正着求，后者是反着用。 例1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】讨论单调性的固定动作：先写定义域，再求导，然后把导数化成便于判号的形状，最后按参数分情况说清楚每一段上是增还是减。本题函数含 ，定义域是 。 【关键】求导得 。分母 ，所以符号只看分子 。按 的取值分两类。当 时， 在 上恒成立，导数恒正，函数在 上单调递增；当 时，导数的零点为 ， 时导数为负、函数递减， 时导数为正、函数递增。 时， 在 上递增； 时， 在 上递减，在 上递增。 【易错】第一，定义域必须写在最前面 —— 只能取正数，单调区间不能写到 上去。第二， 这一类不要漏，很多人只讨论 就收笔。第三，分类的界点 归到哪一类都可以，但要写清楚归在哪边。 【答案】 时， 在 上递增； 时， 在 上递减，在 上递增。 变式1-1（解答·★★★★☆） 设函数．讨论的单调性． 【切入点】指数型函数讨论单调性，关键是看 与常数 的大小。定义域是全体实数，求导后把常数因子提出来。 【关键】。常数 不影响符号，所以要看 的正负。当 时，，导数恒正，函数在 上单调递增；当 时，令 得 ， 时导数为负、函数递减， 时导数为正、函数递增。 时， 在 上递增； 时， 在 上递减，在 上递增。 【易错】解 时别忘了先把两边取对数再除以 ，零点写成 就少了系数。另外 这一类要单独说 ——此时方程无解，函数在整个实数轴上递增。 【答案】 时， 在 上递增； 时， 在 上递减，在 上递增。 例2（解答·★★★★☆） 已知函数，．讨论的单调性． 【切入点】函数由对数与分式相加而成，定义域是 。求导之后通分，让符号变成一个分式的正负问题 ——这是含 与 的函数的常规打法。 【关键】求导得 。分母恒正，所以符号由分子 决定，零点为 。当 时， 恒成立，函数在 上单调递增；当 时，函数在 上单调递减、在 上单调递增。 时， 在 上递增； 时， 在 上递减，在 上递增。 【易错】先把两项合成一个分式再判号，比分别看 与 的符号省事得多。另外要注意分子的零点是否落在定义域内 ——本题 时零点落在定义域外，所以导数不变号。 【答案】 时， 在 上递增； 时， 在 上递减，在 上递增。 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】一个分式加一个对数，定义域是 。求导后通分，把符号问题变成分子的一次式问题。 【关键】。分母恒正，符号由分子 决定。当 时， 恒成立，函数在 上单调递减；当 时，零点为 ，函数在 上递减、在 上递增。 时， 在 上递减； 时， 在 上递减，在 上递增。 【易错】分子的零点位置与 的符号直接相关： 时零点在正半轴， 时零点不在定义域内。分类时把 与 合成一类更省笔墨，但要说明白为什么可以合。 【答案】 时， 在 上递减； 时， 在 上递减，在 上递增。 变式2-2（解答·★★★★☆） 已知，．当时，讨论的单调性． 【切入点】题目先固定 ，函数只剩一个参数 ，求导后按 的符号分类即可。定义域是 。 【关键】 时 ，求导得 。分母恒正，符号由 决定。 【关键】当 时，，函数单调递减；当 时，零点 ，函数在 上递减、在 上递增。 时， 在 上递减； 时， 在 上递减，在 上递增。 【易错】 时 ，它确实是递减的，归入 那一类没问题，但要单独核一下，别默认「 时没有 项就跳过」。 【答案】 时， 在 上递减； 时， 在 上递减，在 上递增。 例3（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】含 的函数，定义域由真数大于零决定，即 —— 这个定义域从 开始而不是从 开始，后面写单调区间要跟着它走。 【关键】求导。 用商法则：。分母在定义域内恒正，所以符号由分子 决定。 【关键】分子是增函数，零点为 。当 （即 ）时，零点落在定义域外，导数在 上恒正，函数递增；当 时，零点 落在定义域内，函数在 上递减、在 上递增。 时， 在 上递增； 时， 在 上递减，在 上递增。 【易错】定义域是 而不是 ，这是本题与前面几道最不一样的地方，写成 会把递减区间漏掉一半。另外分类的界点是 （零点与定义域端点重合），不是 。 【答案】 时， 在 上递增； 时， 在 上递减，在 上递增。 变式3-1（解答·★★★★☆） 已知函数.讨论函数的单调性． 【切入点】这次参数跑到了指数上，求导之后它仍留在指数里，所以不能简单分离，要按 的符号分类讨论。定义域是全体实数。 【关键】。当 时 ，，函数在 上单调递减。当 时，令 得 ，所以 时零点是 。当 时，因为 而 ，方程无解，且 恒成立，所以导数恒负，函数递减。 【关键】 时再判号： 小于零点时 ，导数为负、函数递减； 大于零点时导数为正、函数递增。 时， 在 上递减； 时， 在 上递减，在 上递增。 【易错】 时不要硬解方程 ——左边恒正而右边恒负，直接说明无解更利落。另外 要单独列出来，它既不属于 也不属于 ，漏掉就会少一类结论。 【答案】 时， 在 上递减； 时， 在 上递减，在 上递增。 例4（解答·★★★★☆） 已知函数.讨论的单调性． 【切入点】这道题的导数分子是一个二次式，它的符号不能一眼看出，要先算判别式、再按根的存在情况分类。定义域是 。 【关键】求导并通分：。分母恒正，所以只需研究分子 在 上的符号。 【关键】分子开口向上，判别式 。当 （即 ）时分子恒非负，函数递增；当 时两个正根为 ，导数的符号依次为正、负、正，函数先增后减再增；当 时两根一正一负，正根为 ，函数在 上递减、在 上递增。 时， 在 上递增； 时， 在 与 上递增，在中间那段上递减； 时， 在 上递减，在 上递增。 【易错】三类要按「两根都在定义域内、一正一负、无实根」分开，漏掉 这一类是最常见的。另外 与 时判别式为零，导数不变号，要归到「递增」那一类里。 【答案】 时， 在 上递增； 时， 在 与 上递增，在中间那段上递减； 时， 在 上递减，在 上递增。 变式4-1（解答·★★★★☆） 已知函数.讨论的单调性． 【切入点】又是「求导后通分」的套路，但这题要多讨论一步： 的正负直接决定分子有没有正的零点。定义域是 。 【关键】。分母恒正，分子 的符号与 有关。当 时，，所以分子恒为负，函数在 上单调递减；当 时，令 得 ，函数在 上递减、在 上递增。 时， 在 上递减； 时， 在 上递减，在 上递增。 【易错】 时分子恒负、 时才有正零点，这个分界点必须写清楚。另外解 时要记住 ，只取正根，写 会把负根也带进来。 【答案】 时， 在 上递减； 时， 在 上递减，在 上递增。 变式4-2（解答·★★★★☆） 已知函数．若，讨论的单调性． 【切入点】题目给了 的范围，要求讨论单调性。先求出导数的一般形式，再比较两个零点谁在左谁在右。定义域是 。 【关键】求导得 ，通分后分子为 。把它分解因式：两根为 与 。（可代回检查：两根之和为 、两根之积为 ，与系数吻合。）由 知 。再比较两根的大小：，所以 时两根相等， 时前者更大。 【关键】当 时两根重合，分子是完全平方的相反数，导数恒非正，函数在 上递减；当 时，分子开口向下，在两根之外为负、两根之间为正，所以函数在 上递减、在 上递增、在 上递减。 时， 在 上递减； 时， 在 上递减，在 上递增，在 上递减。 【易错】两根的大小要靠作差来判断，不能想当然认为 一定更小 —— 的符号一变，位置就换了。另外 这个零点在 时不落在定义域内，但本题限定了 ，两者都在正半轴，可以放心比较。 【答案】 时， 在 上递减； 时， 在 上递减，在 上递增，在 上递减。 变式4-3（解答·★★★★☆） 已知函数的一个极值点是．讨论的单调性． 【切入点】「 是极值点」给的是一个等式，先用它把 与 的关系找出来，再讨论单调性。定义域是全体实数。 【关键】求导得 。分母恒正，极值点处分子为零。由 得 ，化简得 。于是 。 【关键】分子的零点为 与 ，大小关系由 决定： 时 ， 时两根重合， 时 。按这三种情形分别写出增减区间即可。。 时， 在 与 上递减，在 上递增； 时， 在 上递减； 时， 在 与 上递减，在 上递增。 【易错】分解因式时符号容易错：分子是 而不是 ，提出负号后两根的位置才对。另外 时两根重合，分子不变号，函数在整个实数轴上单调递减，这一情形不能漏。 【答案】。 时， 在 与 上递减，在 上递增； 时， 在 上递减； 时， 在 与 上递减，在 上递增。 变式4-4（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】函数是一个商式，分子上还有复合的指数，所以求导用商法则，并且要注意指数部分也要用复合函数法则。定义域是 。 【关键】分子的导数是 ，用商法则：。 【关键】指数因子与分母都恒正，所以符号由 决定。当 时 ，函数在 上递减；当 时零点为 ，函数在 上递减、在 上递增。 时， 在 上递减； 时， 在 上递减，在 上递增。 【易错】分子求导时别漏掉内层的 —— 而不是 。另外分母是 ，求导后变成 与 ，阶数别写错。 【答案】 时， 在 上递减； 时， 在 上递减，在 上递增。 由单调性求参数范围 一、分离参数是首选，但要先看能不能分离。适用条件是参数以一次的形式出现，或者只出现在分母、系数里。结论是把参数单独留在不等式的一边，另一边构造成新函数求最值。由来是分离之后参数与自变量互不纠缠，讨论的范围立刻收窄。如果参数出现在指数或者对数的内部，分离不成，就只能整体讨论函数的单调性。 二、恒成立与存在性，取的最值方向相反。适用条件是题干出现「恒成立」或「存在」字样。结论是恒成立取一侧的最值，存在性取另一侧的最值。存在一个点让不等式成立，只需要找到能满足的那一个点，所以求的是另一个方向的最值。两句话只差一个字，取的最值正好相反。 三、区间的端点能不能取到，决定开闭。适用条件是题目给的区间为闭区间或半开半闭。结论是端点处的导数可以不满足严格不等号，只要函数整体仍然单调即可。判据是把端点单独代进导数检验，端点合不合要求与区间内部不并在一起讨论。 四、不单调等价于导数存在变号零点。适用条件是题目说函数在给定区间上不单调。结论是导数在这个区间内必须有变号的零点，也就是导数的零点落在区间内部。把这句话当作条件用，通常比先求单调区间再回头比对更快。 五、先用必要条件筛掉一批参数。适用条件是函数在某个区间上单调递增，而这个区间里有一个容易算导数的点。结论是可以先代入这个点，得到参数的一个必要条件，把讨论范围缩小，再逐一验证。这是做小题时的提速办法，解答题里仍需完整书写。 例5（解答·★★★★☆） 设函数．若在区间上单调递增，求的取值范围． 【切入点】「在 上单调递增」是恒成立问题，把它翻译成 在该区间上恒成立，参数 就能分离出来。 【关键】求导得 ，要求它对一切 非负，即 。记 ，求导得 。令它为零得 ，而 ，落在区间内。所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。 的取值范围是 。 【易错】最值点不在端点而在区间内部，所以不能只算 处的值。另外要核一下 是否落在 内 ——若它落在区间外，最小值就要在端点取了。 【答案】 的取值范围是 。 变式5-1（解答·★★★★☆） 已知函数，.若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间． 【切入点】题目把极值点的位置告诉了，「 处取极值」给出的是 ，先用它把 定下来，再求单调区间。定义域是 。 【关键】，由 得 。代回得 ，再求一次导：，所以 在 上单调递增，至多一个零点；而 ，所以零点就是 。于是 时 、函数递减； 时 、函数递增。 【易错】求出 之后要说明它确实能用 ——由 得到的只是候选，还要确认两侧变号（本题用二阶导的符号说清了 单调，从而必然变号）。另外单调区间要写成「减区间 、增区间 」，别把两段连成一片。单调递增区间为 。； 在 上递减、在 上递增。 【答案】； 在 上递减、在 上递增。 变式5-2（解答·★★★★☆） 已知函数.若，求的单调区间． 【切入点】题目给了 ，所以讨论时只需按这一个符号来，把导数化成便于判号的形状即可。定义域是 。 【关键】。分母恒正，所以符号由分子 决定，它的零点为 。因为 ，这个零点落在正半轴上。于是 时导数为正、函数递增； 时导数为负、函数递减。 【易错】 时 才是正的，若直接写零点为 就会把区间写反。另外本题只问单调区间，不需要讨论 的其他取法 ——题目已经把范围给定了，多讨论反而出错。，单调递减区间为 。 的递增区间为 ，递减区间为 。 【答案】 的递增区间为 ，递减区间为 。 例6（解答·★★★★☆） 已知函数在上单调递增.求的值． 【切入点】函数是「乘积 + 多项式」的形状，求导后用乘积法则逐项算，再把结果因式分解，让恒成立的式子变成两个因式之积。定义域是 。 【关键】逐项求导：，，。三项相加， 与 正好抵消：。 【关键】要求 对一切 成立。当 时 ，需要 ；当 时 ，需要 。两个条件合起来要求 。。 【易错】因式分解后两项的符号要分别讨论 —— 在 两侧变号，这正是定出 的关键。只盯着一侧讨论，会得出一段 的范围而不是唯一值。 【答案】。 变式6-1（填空·★★★★☆） 已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 【切入点】题目只给了 时的解析式，但研究的是 上的单调性，所以先用奇函数把 那一半的解析式求出来。 【关键】 为奇函数意味着 。令 ，则 ，即函数图象关于点 中心对称。所以对 ，可令 用已知解析式：。 【关键】在 上求导并整理。记 （此时 ，且 随 增大而减小）：，。要在该区间上递增，需 ，即 。因 ，当 时 ，只要 ；当 时 为负，不可能满足。所以 。 的取值范围是 。 【易错】把 换成 时，求导链条上要多乘一个 （内层导数是负的），漏掉的话符号正好相反。另外区间是左开右闭，端点 能取到，所以 可以取到使等号成立的值。 【答案】 的取值范围是 。 变式6-2（解答·★★★★★） 已知函数（）.若在上单调递增，求的取值范围． 【切入点】函数带绝对值，不能直接求导。先按绝对值的零点 分段，每一段上把绝对值去掉再研究 —— 定义域是 ，正好分成两段。 【关键】当 时，，。要求它非负，即 ，而 时 ，所以 。 【关键】当 时，，。要求它非负，即 ，而 时 且可以任意接近 ，所以 。两段的结果取交集：。 的取值范围是 。 【易错】两段必须同时满足，所以是取交集而不是并集。另外要注意 处函数虽然连续但不可导，不过本题只要求单调递增，两侧各自递增就能保证整体递增，不必额外验证这一点。 【答案】 的取值范围是 。 例7（解答·★★★★★） 已知函数．若在上单调递增，求的值． 【切入点】「在 上递增」即 对一切实数成立。本题的导数里同时有 与一次项，不能直接分离参数，改用「最小值为零」这条思路。 【关键】，注意到 。要让 处处非负， 必须是它的最小值点，所以 ，即 ，得 。 【关键】代回检验： 时 。由常见不等式 （在 处取等）知 ，确实恒成立。。 【易错】这一类题必须检验：由 只是找到了候选值，不验证就可能把「导数存在负值」的参数留下来。另外 是本解法的入口，先看出这一点比硬分离参数快得多。 【答案】。 变式7-1（解答·★★★★★） 已知函数.若在定义域上单调递减，求的取值范围． 【切入点】「在定义域上单调递减」比「在某区间上递减」更强，要求导数在整个定义域上都不大于零。定义域是 。 【关键】，要求它非正，即 对一切 成立。记 ，用商法则求导：。所以 时 递增、 时 递减，最大值 。于是 。 的取值范围是 。 【易错】这里是 ，所以要的是 的最大值而不是最小值。另外 在 时趋于负无穷、在 时趋于零，两端都不超过 ，所以最大值确实在 处取到。 【答案】 的取值范围是 。 变式7-2（解答·★★★★★） 函数，.若在上单调递减，求a的取值范围． 【切入点】同样是「在定义域上递减」的恒成立题，求导之后分离参数。定义域是 。 【关键】，要求它非正，两边乘正数 得 ，即 。由基本不等式 （ 时取等），所以右边的最小值是 ，从而 。 的取值范围是 。 【易错】两边乘 时不用讨论符号（ 恒正），但若乘的是 就必须分段。另外这里要的是右边函数的最小值（因为 小于等于它），方向别弄反。 【答案】 的取值范围是 。 变式7-3（解答·★★★★★） 已知函数的导函数为．若在上单调递增，求的取值范围． 【切入点】函数由对数与二次式组成，定义域是 。「在 上递增」翻译成导数非负恒成立，然后分离参数。 【关键】，要求它非负，即 。由基本不等式 ，所以 ，右边函数的最大值是 ，从而 。 的取值范围是 。 【易错】负号会让不等号方向在直觉上「反转」： 取最小值 时， 取的是最大值 。所以这一步要的是最大值，写成最小值就错了。 【答案】 的取值范围是 。 学科网（北京）股份有限公司 $