第3章 第18讲 导数与函数的单调性(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 以导数与单调性关系为核心，通过分层训练系统构建“求导判单调-已知单调求参数-综合应用”的解题体系，强化逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|8题（1-8题）|导数符号判断单调区间、参数范围求解、构造函数比较大小|导数与单调性关系→应用| |综合运用|2题（10-11题）|构造函数法、导数与函数性质综合|单调性应用→函数比较| |创新拓展|1题（13题）|切线方程求解、含参单调性分类讨论|导数几何意义→综合应用|

课时分层测评21　导数与函数的单调性 (时间：60分钟　满分：90分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.(2026·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：易知函数定义域是，因为f(x)＝，所以f'(x)＝＝.令f'(x)＞0，得ln ＜，所以0＜2x＜，即0＜x＜.故选A. 2.(2026·广东东莞模拟)已知函数f(x)＝2x＋cos 2x，则(　　) A．f＜f＜f B．f＜f＜f C．f＜f＜f D．f＜f＜f 答案：B 解析：由f(x)＝2x＋cos 2x求导得f′(x)＝2－2sin 2x＝2(1－sin 2x)．因为对于x∈R，都有sin 2x≤1成立，故f′(x)≥0，即函数f(x)＝2x＋cos 2x在R上单调递增．又e＜3＜π，故f．故选B． 3.(2026·浙江金华模拟)已知函数f(x)＝a－ln x在区间上单调递增，则a的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：求导得f'(x)＝a·－＝，要满足函数f(x)＝a－ln x在区间上单调递增，则f'(x)＝≥0，即a≥.因为x∈，所以∈，即a≥2，则a的最小值为2.故选B. 【教师备选】　(开放题)设函数f(x)＝ax＋ln x，能说明“对于任意的0＜x1＜x2，都有 f(x1)＜f(x2)成立”为真命题的一个实数a的值可以是　　　　． 答案：1(答案不唯一，只要满足a≥0即可) 解析：对于任意的0＜x1＜x2，都有 f(x1)＜f(x2)成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f'(x)＝a＋≥0恒成立，即a≥－，由于－∈，故只需a≥0即可. 4.已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图，则不等式xf′(x)＜0的解集为(　　) A．⋃ B．⋃ C．⋃ D．⋃ 答案：C 解析：由f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，)和(2，＋∞)上单调递增，在(，2)上单调递减，则当x∈(－∞，)时，f'(x)＞0，x∈(2，＋∞)时，f'(x)＞0，x∈(，2)时，f'(x)＜0，所以不等式xf'(x)＜0的解集为(－∞，0)∪(，2).故选C. 5.(多选)(2026·湖南常德模拟)下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是(　　) A．y＝x2 B．y＝x2ln C．y＝xsin x D．y＝x2e 答案：AD 解析：对于A，f(x)＝x2，定义域是R，f＝＝x2＝f(x)，所以f(x)＝x2是偶函数，且f(x)＝x2在上单调递增，故A正确；对于B，g(x)＝x2ln ，定义域是∪(0，＋∞)，g＝ln ＝x2ln ｜x｜＝g(x)，所以g(x)＝x2ln 是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝x2ln x，g'(x)＝x，令g'(x)＜0，得0＜x＜，即g(x)＝x2ln 上单调递减，故B不正确；对于C，h(x)＝xsin x，定义域是R，h＝－xsin ＝xsin x＝h(x)，所以h(x)＝xsin x是偶函数，h＝＞－＝h，所以h(x)＝xsin x在上不单调递增，故C不正确；对于D，μ(x)＝x2，定义域是R，μ＝＝x2＝μ(x)，所以μ(x)＝x2是偶函数，当x∈时，μ(x)＝x2ex，μ'(x)＝xex＞0恒成立，所以μ(x)＝x2上单调递增，故D正确.故选AD. 6.(多选)(2026·安徽合肥模拟)已知a，b∈R，且2a＞2b＞1，则(　　) A．ea－ln b＞eb－ln a B．＜ea－b C．＞1 D．aa＞ba 答案：ABD 解析：因为a，b∈R，且2a＞2b＞1，所以a＞b＞0.对于A，易知函数f(x)＝ex＋ln x是增函数，所以f(a)＞f(b)，即ea＋ln a＞eb＋ln b，所以ea－ln b＞eb－ln a，故A正确；对于B，设g(x)＝xex，则g′(x)＝(1＋x)ex，在x＞－1时，g′(x)＝(1＋x)ex＞0，因此x＞－1时，g(x)是增函数，从而g(a)＞g(b)，即aea＞beb，所以＜ea－b，故B正确；对于C，若a＝b＋2π，则满足a＞b，但＞1不成立，故C错误；对于D，由函数y＝xa是增函数知aa＞ba，故D正确．故选ABD． 7.(2026·广东深圳模拟)∀x1，x2∈，且x1≠x2，不等式＞m恒成立，则实数m的取值范围是　　　　． 答案： 解析：不妨设1≤x1＜x2≤e，则x2－x1＞0.由＞m可得－＞m，所以－mx2＞－mx1.令f(x)＝ex－mx，则f＞f.因为1≤x1＜x2≤e，所以f(x)＝ex－mx在上单调递增，所以f'(x)＝ex－m≥0对于x∈恒成立，可得m≤ex对于x∈恒成立，所以m≤e. 8.(多题同解)(1)(一题多解)若函数f(x)＝ln (ax＋1)＋(x≥0，a＞0)的单调递增区间是［1，＋∞)，则a的取值集合是　　　　． (2)若函数f(x)＝ln (ax＋1)＋(x≥0，a＞0)在区间［1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　． 答案：(1){a|a＝1}　(2)［1，＋∞) 解析：(1)法一：f(x)的单调递增区间是［1，＋∞)，即f(x)仅在区间［1，＋∞)上单调递增．f′(x)＝．令f′(x)≥0，即ax2＋a－2≥0，所以x2≥≤0，即a≥2，则x2≥恒成立，f(x)的单调递增区间是［0，＋∞)，不符合题意．若＞0，即0＜a＜2，则f(x)的单调递增区间是［＝1，解得a＝1.符合题意． 法二：f′(x)＝．由题意，得x＝1是f′(x)＝0的根，即a×12＋a－2＝0，解得a＝1.经检验，符合题意． (2)f′(x)＝．由f(x)在［1，＋∞)上单调递增，可得对任意x≥1，f′(x)≥0，即a(x2＋1)≥2.所以a≥()max＝1.所以a≥1. 9.(10分)(2026·江西南昌模拟)已知函数f(x)＝2ax＋ln x＋． (1)已知f(x)在x＝1取得极值，求a的值； (2)当a＜0时，讨论f(x)的单调性． 解：(1)因为f(x)＝2ax＋ln x＋， 所以f'(x)＝2a＋－＝. 因为f(x)在x＝1取得极值，所以f'＝a＋1＝0⇒a＝－1，经检验符合题意. (2)由题意可知f(x)的定义域是， f'(x)＝2a＋－＝. 由f'(x)＝0可得x＝或x＝－. 当a＝－2时，f'(x)≤0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 当a＜－2时，＞－，故令f'(x)＞0，解集为(－，)，令f'(x)＜0，解集为(0，－)∪(，＋∞)， 因此f(x)的递增区间是，递减区间是，. 当－2＜a＜0时，＜－，令f'(x)＞0，解集为(，－)，令f'(x)＜0，解集为(0，)∪(－，＋∞)， 因此f(x)的递增区间是，递减区间是，. 综上所述，当a＝－2时，f(x)在上单调递减； 当a＜－2时，f(x)的递增区间是，递减区间是，； 当－2＜a＜0时，f(x)的递增区间是，递减区间是，. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(2026·山东济南模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 答案：A 解析：因为b＝，c＝，构造函数f(x)＝，x＞1，则f'(x)＝.当1＜x＜e时，f'(x)＞0；当x＞e时，f'(x)＜0，故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减.由于b＝＝＝＝f，c＝＝f，且e＜3＜4，则f＞f，即c＞b.又b＝＞＝a，所以a＜b＜c.故选A. 11.已知函数f(x)＝xcos x－ax＋a，x∈［0，］．当a≥1时，f(x)的单调递减区间是　　　　． 答案：［0，］ 解析：f'(x)＝cos x－xsin x－a.令g(x)＝cos x－xsin x－a，x∈［0，］，则g'(x)＝－2sin x－xcos x≤0，所以g(x)在区间［0，］上单调递减.当a≥1时，g(0)＝1－a≤0，所以g(x)≤0，即f'(x)≤0.所以f(x)的单调递减区间是［0，］. 12.(15分)(2026·江西萍乡模拟)已知函数f(x)＝e2x－ex＋2ax＋1，其中a∈R． (1)若f(x)的图象在处的切线经过点(，0)，求a的值； (2)讨论f(x)的单调性． 解：(1)f'(x)＝e2x－ex＋2a. 因为f＝－a－，f'＝a－1， 所以f(x)的图象在处的切线方程为y＋a＋＝x. 将代入得a＋＝，解得a＝－2. (2)f'(x)＝e2x－ex＋2a＝(ex－2)， 当a≤0时，ex－a＞0，令f'(x)＞0，得x＞ln 2；令f'(x)＜0，得x＜ln 2， 所以f(x)在上单调递增，在(－∞，ln 2)上单调递减. 当a＝2时，f'(x)＝≥0，所以f(x)在上单调递增. 当a＞2时，令f'(x)＞0，得x＞ln a或x＜ln 2；令f'(x)＜0，得ln 2＜x＜ln a， 所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 当0＜a＜2时，令f'(x)＞0，得x＞ln 2或x＜ln a；令f'(x)＜0，得ln a＜x＜ln 2， 所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当a≤0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减； 当0＜a＜2时，f(x)在，(ln 2，＋∞)上单调递增，在上单调递减； 当a＝2时，f(x)在上单调递增； 当a＞2时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 13.(15分)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝(＋a)ln(1＋x)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝ln(x＋1)(x＞－1)， 则f'(x)＝－×ln(x＋1)＋×， 据此可得f(1)＝0，f′(1)＝－ln 2， 所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 y－0＝－ln 2(x－1)，即(ln 2)x＋y－ln 2＝0. (2)由函数的解析式可得f'(x)＝ln (x＋1)＋×(x＞－1)， 满足题意时f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立． 令ln (x＋1)＋≥0， 则－(x＋1)ln (x＋1)＋(x＋ax2)≥0， 令g(x)＝ax2＋x－(x＋1)ln (x＋1)，原问题等价于g(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 则g′(x)＝2ax－ln (x＋1)， 当a≤0时，由于x＞0时，2ax≤0，ln (x＋1)＞0，故g′(x)＜0，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 此时g(x)＜g(0)＝0，不合题意； 令h(x)＝g′(x)＝2ax－ln (x＋1)， 则h′(x)＝2a－， 当a≥，2a≥1时，由于x＞0时，＜1， 所以h′(x)＞0，h(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 即g′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以g′(x)＞g′(0)＝0，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，g(x)＞g(0)＝0，满足题意． 当0＜a＜时，由h'(x)＝2a－＝0，可得x＝－1， 当x∈时，h'(x)＜0，h(x)在区间上单调递减，即g'(x)单调递减， 注意到g'(0)＝0，故当x∈时， g'(x)＜g'(0)＝0，g(x)单调递减， 由于g(0)＝0，故当x∈时， g(x)＜g(0)＝0，不合题意. 综上可知，实数a的取值范围是. 学生用书⬇第69页 学科网（北京）股份有限公司 $