第3章 第18讲 导数与函数的单调性(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 以导数符号为核心，系统整合单调区间判断、参数求解、图像分析等方法，构建“求导-解不等式-分类讨论”的逻辑链条，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|1-4题|定义法（求导解不等式）、单调性比较|导数正负与函数增减的对应关系| |参数应用|2、6、8、9题|方程根与解集关系、恒成立问题转化|含参函数单调性的分类讨论逻辑| |图像分析|3、5、14题|导函数图像与原函数单调性互推|数形结合思想的应用| |综合探究|12、13题|分段函数求导、新定义问题构造|导数应用的拓展与迁移|

课时分层测评21　导数与函数的单调性 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.函数f＝的单调递增区间是(　　) A. B.， C.， D. 答案：A 解析：函数f＝的定义域是R，f'＝.由f'＞0可得2x－x2＞0，即x2－2x＜0，解得0＜x＜2，因此函数f.故选A. 2.若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间是[－1，4]，则a＝(　　) A.－1 B.1 C.－4 D.4 答案：C 解析：易知f'(x)＝x2－3x＋a，根据题意知f'(x)≤0的解集为[－1，4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝(－1)×4＝－4.故选C. 3.已知f'(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：D 解析：根据导函数的图象可得，当x∈(－∞，0)时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减；当x∈(0，2)时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减，所以只有D选项符合.故选D. 4.已知函数f(x)＝ln x，且a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.a＞c＞b D.c＞b＞a 答案：B 解析：由f(x)＝ln x，得f'(x)＝ln x＋，当x∈(0，1)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减.因为c＝f，0＜＜＜＜1，所以f＞f＞f，故c＞a＞b.故选B. 5.(多选)已知函数f的导函数f'的大致图象如图所示.下列结论正确的是(　　) A.f在上单调递增 B.f在上单调递增 C.f既有极大值，也有极小值 D.曲线y＝f在x＝1处的切线斜率为3 答案：BCD 解析：由图可知，当x∈∪时，f'＜0；当x∈时，f'＞0.故f，上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确；又函数f在x＝－1处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故C正确；因为f'＝3，所以曲线y＝f在x＝1处的切线斜率为3，故D正确.故选BCD. 6.(多选)若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可以是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：BD 解析：f'(x)＝x－＝(x＞0)，令f'(x)＞0，得x＞3，令f'(x)＜0，得0＜x＜3，所以函数f(x)的单调递增区间是(3，＋∞)，单调递减区间是(0，3).因为函数f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调，所以或m－1≥3，解得1＜m≤2或m≥4.故选BD. 7.已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是　　　　　. 答案：(－∞，1)(填(－∞，1]也可以) 解析：当x＜0时，f(x)＝－x－2，则f(x)在(－∞，0)上单调递减.当x≥0时，f(x)＝(x－2)ex，则f'(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex，当0≤x＜1时，f'(x)＜0，f(x)在[0，1)上单调递减.又(0－2)e0＝－0－2，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，1)(或(－∞，1]). 8.若函数h(x)＝ln x－ax2－2x在(，2)上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：根据题意，h'＝－ax－2＜0在区间上有解，即a＞－上有解.设t＝，则t∈，故只需求f＝t2－2t在t∈上的最小值，而f＝t2－2t＝－1，当t＝1时，取得最小值－1，故得a＞－1. 9.(10分)已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)在(1，2)上为单调函数，求实数a的取值范围. 解：(1)f'(x)＝1－＝. 当a≤0时，显然f'(x)＞0(x≠0)， 这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，f'(x)＝， 令f'(x)＝0，解得x＝±. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表： x (－∞，－) － (－，0) (0，) (，＋∞) f'(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) 单调 递增 b－2 单调 递减 单调 递减 2＋b 单调 递增 所以f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减. (2)因为函数f(x)在(1，2)上为单调函数，故若f(x)在(1，2)上单调递增，则f'(x)≥0在x∈(1，2)时恒成立，所以x2－a≥0，即a≤x2在x∈(1，2)时恒成立，所以a≤1. 若f(x)在(1，2)上单调递减，则f'(x)≤0在x∈(1，2)时恒成立，所以x2－a≤0，即a≥x2在x∈(1，2)时恒成立，所以a≥4. 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞). (10、11题，每小题5分，共10分) 10.已知函数f(x)＝ax－loga(x＋1)(a＞1)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，e] B.(1，e) C.[e，＋∞) D.(e，＋∞) 答案：B 解析：求导可得f'(x)＝axln a－.由题意f'(x)＝axln a－＜0有解，即axln a＜有解，即ax(x＋1)(ln a)2＜1有解.令g(x)＝ax(x＋1)(ln a)2，因为a＞1，易知g(x)＝ax(x＋1)(ln a)2在(0，＋∞)单调递增，此时g(0)＝(ln a)2，所以(ln a)2＜1.又a＞1，ln a＞0，所以0＜ln a＜1，解得1＜a＜e.故选B. 11.已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间是　　　　. 答案：(0，1) 解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f'(x)＝. 令φ(x)＝－ln x－1(x＞0)，φ'(x)＝ － － ＜0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，φ(x)＞0，即f'(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)＜0，即f'(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间是(0，1). 12.(15分)已知函数f(x)＝ax－(a＋1)ln x－，讨论函数f(x)的单调性. 解：因为f(x)＝ax－(a＋1)ln x－，所以f'(x)＝a－＋＝＝，x＞0. 当a≤0时，令f'(x)＞0，得0＜x＜1，令f'(x)＜0，得x＞1， 所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a＜1时，令f'(x)＞0，得0＜x＜1或x＞，令f'(x)＜0，得1＜x＜， 所以f(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当a＝1时，f'(x)＝≥0恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞1时，令f'(x)＞0，得0＜x＜或x＞1， 令f'(x)＜0，得＜x＜1， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a＜1时，f(x)在(0，1)上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增； 当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞1时，f(x)在上单调递增， 在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. (每小题5分，共10分) 13.(多选)若函数f(x)·ln x在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的函数为(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝x－1 C.f(x)＝ D.f(x)＝ex 答案：AD 解析：令g(x)＝f(x)·ln x，x∈(0，＋∞).对于A，g(x)＝·ln x，x∈，则g'(x)＝＞0恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B，g(x)＝(x－1)ln x，x∈(0，＋∞)，则g'(x)＝ln x－＋1.又'＝＋＞0，g'(1)＝0，所以当0＜x＜1时，g'(x)＜0，g(x)在(0，1)上单调递减，当x＞1时，g'(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于C，g(x)＝·ln x，x∈，则g'(x)＝.又'＝－－＜0，所以g'(x)在定义域上单调递减，且g'(e)＝＜0，不符合题意；对于D，g(x)＝ex·ln x，x∈，则g'(x)＝ex·.令h(x)＝ln x＋，则h'(x)＝－＝，所以当x＞1时，h'(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增；当0＜x＜1时，h'(x)＜0，h(x)在(0，1)上单调递减.所以h(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值，h(x)min＝h(1)＝1＞0，所以g'(x)＝ex·＞0恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意.故选AD. 14.(多选)已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示，则g(x)＝(　　) A.在区间(0，1)上单调递增 B.在区间(1，4)上单调递减 C.在区间(1，)上单调递减 D.在区间(，4)上单调递减 答案：AC 解析：当x＝0或x＝2时，f(x)＝0，则函数g(x)＝的定义域是(－∞，0)∪(0，2)∪(2，＋∞)，排除B、D；g'(x)＝，由图易得，当x∈(0，1)时，f(x)＞f'(x)，即g'(x)＝＞0，所以函数g(x)＝在(0，1)上单调递增，故A正确；又由图象得，当x∈(1，)时，f(x)＜f'(x)，即g'(x)＝＜0，所以函数g(x)＝在(1，)上单调递减，故C正确.故选AC. 学生用书⬇第74页 学科网（北京）股份有限公司 $