精品解析：湖北麻城市第一中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

麻城一中2028届高二年级9月月考 数 学 试 题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，即， 所以，即， 所以， 所以． 2. 已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 3. 为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件的概率性质，先计算甲、乙两人均未猜对的概率，再用1减去该概率得到所求结果。 【详解】设事件为“甲猜对谜语”，事件为“乙猜对谜语”，，，，， 由题意可知与相互独立，则 与相互独立， “甲、乙至少有1人猜对”的对立事件为“甲、乙两人均未猜对”， 所以甲、乙至少有1人猜对的概率为： . 4. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为,所以 所以在上的投影向量的坐标为： ， 故选 ：C. 5. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【答案】B 【解析】 【分析】由互斥的独立事件的性质和概率逐项判断可得. 【详解】对于A，由互斥事件的加法公式可得，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，，即， 所以A与B相互独立，故C正确； 对于D，若A与B相互独立，则，故D正确. 故选：B. 6. 如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】船垂直抵达对岸，说明合速度只有垂直河岸分量；船的静水速度需要分出向西分量抵消水流，利用速度矢量直角三角形求出垂直河岸的速度，再求时间与． 【详解】 设船自身速度的向北分量，向西分量抵消水流向东的速度： 船向西分速度大小，用来抵消水流， 由勾股定理：，，解得， ：船行驶方向（船静水速度方向）与向东水流方向的夹角， 船的速度指向西北方向，船速矢量：向西3，向北3， 船速与向东（水流方向）夹角，这个角是钝角， 对船速矢量：对边向北分量，斜边， , 过河时间：沿正北方向速度， ， 所以． 7. 甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是（ ） A. 甲：中位数为9，众数为11 B. 乙：中位数为9，极差为3 C. 丙：平均数为8，极差为4 D. 丁：平均数为8，方差为3 【答案】B 【解析】 【分析】通过理解中位数，众数，极差，平均数，方差的概念及相关知识，再对5个数据进行举例假设分析，即可得到判断. 【详解】对于A，中位数为9，众数为11，说明11至少有两个数，不妨取两个11， 则由中位数可知另外两个数肯定不超过9，故A能判断这组数据都小于12，所以不能选A； 对于B，中位数为9，极差为3，由于极差是5个数中最大与最小的差， 由于该组数据由5个整数组成，所以不妨取4个9，1个12，这样不能判断该组数据一定小于12，故选B； 对于C，平均数为，极差为，由于个数都是整数，根据条件可知，这个数中肯定最大数与最小数的差为，则可知最大数肯定大于，最小数肯定小于，故最小数加得最大数肯定小于，从而能判断这组数据一定都小于12，故不能选C； 对于D，平均数为8，方差为3，由方差公式可得， 若存在数12，则 ，这与方差为3相矛盾，所以最大数也一定小于12，故不能选D； 故选：B. 8. 足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知几何体为正四棱台，根据正四棱台以及球的结构特称求出外接球的半径，进而可得表面积. 【详解】依题意，几何体为正四棱台，其底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 正四棱台高为， 设上、下底面中心分别为，外接球的球心为，半径为，， 圆的半径分别为，显然， 则，即球心在正四棱台外， 于是，解得， 所以的外接球的表面积为. 故选：D 【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，且，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A. 线面垂直判定需平面内两条相交直线，题中可能平行，故不能推出 ；B. 三点到平面距离相等可能是平面相交时对称分布，不能直接得平行；C. 若且，则可能平行于也可能含于，故 “” 不准确；D. 由线面垂直性质，平行线中一条垂直则另一条也垂直该平面，故正确. 【详解】选项A：线面垂直的判定要求直线垂直于平面内两条相交直线， 若，即使、，也无法推出，因此A命题错误； 选项B：当与相交时，内也可存在不共线三点到距离相等 例如两点在交线同侧、一点在交线异侧，三点到的距离相同， 此时与不平行，因此B命题错误； 选项C：若，，则可能平行于，也可能， 并非一定有，因此C命题错误； 选项D：由线面垂直的性质可知，两条平行线中若一条垂直于一个平面， 则另一条也垂直于该平面，因此若，，则，D命题正确. 综上，命题中不正确的是ABC. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为 C. 直线平面 D. 二面角的大小为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用线线角的定义及正方体的性质，结合等边三角形的性质即可求解；对于B，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；对于C，利用线面垂直的判定定理即可求解；对于D，根据已知条件及二面角的平面角的定义，结合锐角三角函数即可求解. 【详解】对于A，因为为正方体，所以,且， 所以四边形为平行四边形，所以，且， 所以异面直线与所成的角的大小即为与所成的角，故或其补角为所求. 再由正方体的性质可得为等边三角形，故， 即异面直线与所成的角为，故A错误； 对于B，由题意可知，，故B正确； 对于C，由正方体的性质可得，平面，平面， 所以， 因为为正方体，所以四边形为正方形，即， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 同理可证，又，平面， 所以平面，故 C正确； 对于D，由正方体的性质可知，平面，平面， 所以，因为为正方体，所以四边形为正方形，即， 所以是二面角的平面角， 因为为正方体，所以四边形为正方形， 所以，即， 所以二面角的大小为，故D 错误. 故选：BC. 11. 相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，其几何表述为：若圆内弦与弦相交于点 ，则．已知点是直径为的圆内定点，且，弦，均过点，如图所示，则（   ） A. B. C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算性质，结合平面向量的加法几何意义、相交弦定理逐一判断即可. 【详解】对于A，设直线与圆相交于，由平面向量数量积的定义和相交弦定理可知： ，所以A正确； 对于B、C，设弦的中点为， ， 由相交弦定理可知：， 所以， 因为，所以，因此， 同理可得，所以不一定成立，故B错误、C正确； 对于D，当时，由相交弦定理可知： ，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据：6，8，，12，14的平均数为10，则该组数据的上四分位数为______________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据平均数的计算方法求出，再根据第75百分位数的计算方法求解即可. 【详解】，解得， 所以该数据按从小到大排列为：， ，所以该组数据的上四分位数为第4个数据12. 13. 如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据斜二测画法的规则还原原长即可. 【详解】 过点作，垂足为， 因为，，四边形为等腰梯形， 所以，所以， 所以原梯形中的长度为. 14. 记的内角，，所对的边分别为，若满足，的恰有两个且互不全等，则这两个三角形的周长之和的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理可得，化简得， 假设满足条件的三角形恰有两个，分别为和， 则，， 假设，则两三角形全等，与题目要求矛盾，所以， 整理得关于的一元二次方程，该方程有两个不等的正实数根， 所以，，，解得. 由韦达定理可知，所以这两个三角形的周长之和为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，非零向量. （1）若，，向量与的夹角是钝角，求的取值范围； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量的运算表示出向量后，利用两向量夹角为钝角时数量积小于零且不共线的条件求取值范围. （2）通过向量平行时的性质求出与间的数量关系，并通过函数性质求解最小值. 【小问1详解】 由，， 则， 因为向量与夹角为钝角，所以，且与不共线， 则 解得且， 所以的取值范围为 【小问2详解】 依题意，， 由，得，则 由为非零向量，得，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为 16. 在中，设内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若点在上，，，求的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，结合三角形内角和定理化简式子和，化简得到的值，进而求出. （2）根据角平分线性质和三角形面积公式得到与、的关系，由余弦定理和基本不等式求出的最大值，从而得到的最大值. 【小问1详解】 由，利用正弦定理可得， 又，可得， 即. 又因为，故， 因此，即， 又，则. 【小问2详解】 由题意知是的角平分线，， 所以. 由得， ， 所以，当且仅当时，等号成立. 因为， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为底面是平行四边形，所以． 因为是边的中点，是边的中点，所以，则． 而平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行的传递性可得，即可根据线面平行的判定定理证得平面. （2）由题意以及二面角的定义可知即为二面角的平面角，解三角形求出的值，再利用点到平面的距离是点到平面距离的一半，求出和，即可解出. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，，平面，所以，， 则即为二面角的平面角，即．    因为，由余弦定理得， 即，解得，所以． 如图，过点作于点，连接． 因为平面，平面，所以． 而，，平面，所以平面． 在中，. 因为是边的中点， 所以点到平面的距离是点到平面距离的一半， 即．   因为平面，平面，所以， 即四边形是直角梯形，由（1）知，． 在等腰三角形中，． 所以在直角梯形中， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 如图所示，质点，在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点，同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次． （1）求质点移动一次移动到顶点的概率； （2）求质点与各移动2次后均移动到顶点的概率； （3）求质点与各移动3次后至少有一个移动到顶点的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件“质点移动一次移动到顶点”，根据古典概型即可求解； （2）设事件“质点移动2次后移动到顶点”，事件“质点移动2次后移动到顶点”，利用事件的独立性即可求解； （3）设事件“质点移动3次后移动到顶点”，事件“质点移动3次后移动到顶点”，先求，再利用即可求解. 【小问1详解】 设事件“质点移动一次移动到顶点”，因为质点从顶点出发， 且每次等可能地沿棱移动到顶点，，处，所以； 【小问2详解】 设事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件包括下列三种情况：；；， 所以； 事件包括下列两种情况：；， 所以， 则， 即这两个质点移动2次后都移动到顶点的概率为； 【小问3详解】 设事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件包含下列6种情况：，，，， ，， 则； 事件包含下列7种情况：，，；，，，， 所以， 则， 即这两个质点移动3次后至少有一个移动到顶点的概率为． 19. 在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）当，且时，求； （2）角，，所对的边分别为，，，，求证：； （3）在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． 【答案】（1）； （2）由，则， 在中，由正弦定理得，解得①， 在中，， 由正弦定理得，，得②， 由①②+，即. 由正弦定理，可得. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，再结合正余弦定理，分别表示，联立求解即可； （2）结合正弦定理可证明； （3）结合向量关系，可求得，进而求其范围即可. 【小问1详解】 当，且时，得， 由余弦定理，得，所以， 又，所以，， 在中，由正弦定理得，解得， 比如， 在中，由正弦定理得，解得， 所以，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意有，，则 ， 所以， 因为，解得， 又由三角形边的关系知，则，即 ，整理得，解得，即， 而时，单调递减，，， 所以的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 麻城一中2028届高二年级9月月考 数 学 试 题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为复数，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 6. 如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（    ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是（ ） A. 甲：中位数为9，众数为11 B. 乙：中位数为9，极差为3 C. 丙：平均数为8，极差为4 D. 丁：平均数为8，方差为3 8. 足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，且，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为 C. 直线平面 D. 二面角的大小为 11. 相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，其几何表述为：若圆内弦与弦相交于点 ，则．已知点是直径为的圆内定点，且，弦，均过点，如图所示，则（   ） A. B. C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据：6，8，，12，14的平均数为10，则该组数据的上四分位数为______________． 13. 如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 14. 记的内角，，所对的边分别为，若满足，的恰有两个且互不全等，则这两个三角形的周长之和的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，非零向量. （1）若，，向量与的夹角是钝角，求的取值范围； （2）若，求的最小值. 16. 在中，设内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若点在上，，，求的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图所示，质点，在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点，同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次． （1）求质点移动一次移动到顶点的概率； （2）求质点与各移动2次后均移动到顶点的概率； （3）求质点与各移动3次后至少有一个移动到顶点的概率． 19. 在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）当，且时，求； （2）角，，所对的边分别为，，，，求证：； （3）在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $