精品解析：湖北武汉市第十二中学2026-2027学年高二上学期9月数学独立作业

高二数学独立作业 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项． 1. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 2. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据标准差最大，即方差最大，应用方差求法求出各项对应的方差，即可得. 【详解】由标准差最大，即方差最大， A：平均数为，则方差为， B：平均数为，则方差为， C：平均数为，则方差为， D：平均数为，则方差为， 综上，B的标准差最大. 故选：B 3. 事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的独立性及对立定义求解. 【详解】根据已知至少有一个发生， 则对立事件为都不发生，所以的对立事件为. 4. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 5. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 6. 已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积. 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 7. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【解析】 【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确. 解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 8. 设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】方法1：如图为中点，在底面的投影为， 则在底面投影在线段上，过作垂直， 易得，过作交于， 过作，交于，则,,， 则，即，， 即，综上所述，故B正确. 方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然） 由最大角定理，故B正确. 方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点， 易得，故B正确. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10. 在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为棱的中点时， B. 当时，四点共面 C. 当时， D. 当时，面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】依托三棱柱棱长与夹角条件得到基底向量数量积，分别对四个选项：A通过向量分解求出系数求和判断对错；B利用空间四点共面向量充要条件推导；C展开数量积化简消去参数得定值；D结合点到直线距离与均值不等式求三角形面积最小值． 【详解】 对于A，当点为棱的中点时， ， 所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即， 所以四点共面，B正确； 对于C，当时， ， 所以， 所以 ，C正确； 对于D，当时， ， ， 所以点到的距离， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为，D正确． 11. 如图，在正四棱锥中，，点F是的中点，点E为线段上一点（包含边界），则下列结论中正确的是（ ） A. 四面体的体积是定值 B. 若E是的中点，且平面，则 C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的体积之比为 D. 若，且，则四面体的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，若是中点得，再由线面平行的判定有平面，最后根据已知及棱锥的体积求法判断；对B，用基底表示出，从而得到，结合空间向量共面的结论判断；对C，利用等体积法求内切球的半径，利用正棱锥的结构特征确定外接球球心位置，再利用几何关系求其半径，最后由判断；对D，根据已知求出四面体的外接球的半径，再求表面积即可判断. 【详解】A：若是中点，是中点，故， 由平面，平面，因此平面， 在上，故到平面的距离为定值，面积也为定值， 因此四面体体积为定值，A正确， B：取为空间向量的基底，则， 设， 因为四点共面，所以， 所以，即，故B正确； C：由，，则，，中上的高为， 所以，， 设内切球的半径为，则， 即， 设外接球球心为，则在上，设外接球半径为， 则， 所以，故C错误； D：若，且，易知中，为中点， 所以， 由正棱锥的结构特征知，且，则， 由A知也是的中点，则， 由且都在平面内，所以平面， 结合四面体的对称性，其外接球的球心在中底边的高所在直线上， 所以外接球半径为，而在中底边的高为， 所以，则，可得， 所以，则表面积，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把答案写在答题纸的指定位置上． 12. 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题． 【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值． 13. 已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由三角形重心的向量性质以及向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是的重心，所以，设为中点， 所以，因为， 因为，，所以，即 ，将代入可得，， 因为，所以，因为是平面ABC外的一点， 且为非零向量，所以. 14. 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线与成角时，与成角； ②当直线与成角时，与成角； ③直线与所成角的最小值为； ④直线与所成角的最大值为. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，、、三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，，，斜边以直线为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【详解】解：由题意知，、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为1， 故，， 斜边以直线为旋转轴，则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 以C坐标原点，以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，直线a的方向单位向量，， 直线b的方向单位向量，， 设B点在运动过程中的坐标中的坐标， 其中θ为与的夹角，， ∴在运动过程中的向量，，， 设与所成夹角为， 则， ∴，∴③正确，④错误． 设与所成夹角为， 则， 当与夹角为时，即， ， ∵，∴， ∵，∴，此时与的夹角为， ∴②正确，①错误． 【点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角. （2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围. 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15. 据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差． 【答案】（1）众数为，平均数为，中位数为； （2）平均数，方差. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中众数、平均数和中位数的定义及计算公式直接求解； （2）根据直方图求出两组数据的频率之比即为样本量之比，利用分层抽样合并后的平均数和方差公式进行计算. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为， 所以众数为该区间的中点值，即. 平均数为： . 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内. 设中位数为，则， 解得. 故估计观看此电影的观众的年龄的众数为，平均数为，中位数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为. 设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则. 由题意知，，；，. 则合并后的平均数. 合并后的方差   . 故两组年龄合并后的平均数为，方差为. 16. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以为基底向量，表示向量，； （2）求证：； （3）求的长． 【答案】（1）， （2）因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； （3） 【解析】 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）距离为1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为； （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 记事件甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲赢的概率为. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为. 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题. 19. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2） 法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为. 法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学独立作业 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项． 1. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 2. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（ ）． A. B. C. D. 4. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A. B. C. D. 6. 已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 8. 设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则 A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 10. 在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为棱的中点时， B. 当时，四点共面 C. 当时， D. 当时，面积的最小值为 11. 如图，在正四棱锥中，，点F是的中点，点E为线段上一点（包含边界），则下列结论中正确的是（ ） A. 四面体的体积是定值 B. 若E是的中点，且平面，则 C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的体积之比为 D. 若，且，则四面体的外接球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把答案写在答题纸的指定位置上． 12. 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 13. 已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 14. 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线与成角时，与成角； ②当直线与成角时，与成角； ③直线与所成角的最小值为； ④直线与所成角的最大值为. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15. 据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差． 16. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以为基底向量，表示向量，； （2）求证：； （3）求的长． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 19. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $