2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试学情自测卷

2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试学情自测卷培优卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在下面的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲、乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．乙和丙 4．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段在横格纸上，与作业本的横线交于点，若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，平行四边形的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点E，连结．则下列说法一定正确的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 7．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，身高的小利（）站在距路灯杆的C点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为（   ） A． B． C． D． 9．菱形如图，为上一点，为延长线上一点，于点，交于，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（    ） A． B． C． D．9 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知，则的值为________． 12．如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是______ 13．如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为_______． 14．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________． 15．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AEFD与矩形ABCD相似，则的值为___． 16．如图，在菱形中，，点在边上，连结，将绕点旋转，点恰好落在边上的点处，且，若，，则_______． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．选择适当的方法解方程． (1)； (2)． 18．如图，在平面直角坐标系中，小正方形的边长看成单位1，的顶点坐标分别为，，． (1)画出向上平移3个单位长度得到的； (2)在y轴右侧，以原点O为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为． (3)若是边上任意一点，通过（2）的位似变换后，点P的对应点为，则点的坐标为________．（用含a，b的式子表示） (4)若点Q为线段上的黄金分割点，且，则的长度为________． 19．有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知cm，高cm，矩形的边在边上，G、H分别在、上，设的长为ycm、的长为xcm． (1)写出y与x的函数关系式； (2)当x取多少时，是正方形． 20．如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 21．年月日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”火箭模型，已知火箭模型每件的进货价为元，经市场调研发现，当该火箭模型的销售单价为元时，每天可销售件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．设火箭模型的销售单价增加元． (1)当天火箭模型的销售量为_____件； (2)求当该火箭模型的销售单价为多少元时，该产品当天的销售利润是元． 22．如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 23．阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 形如是常数，的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果： 设一元二次方程的两个实数根为，，计算： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成的形式，即通过解一元二次方程可以将一些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是______； (2)已知是多项式的一个因式，则______； (3)请用阅读内容中的方法，在实数范围内分解因式：注：实数范围内分解因式是指因式中的系数和常数项是实数 24．我们把一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．已知P是四边形对角线上一点，将沿折叠得到，交于O． (1)如图1，若四边形是正方形，． ①求证：； ②若四边形是等对边四边形，则 _____； (2)如图2, 已知四边形是菱形，．若四边形是等对边四边形，求等对边四边形的面积； (3)如图3，已知四边形是矩形，直线恰好经过的中点H，若四边形是等对边四边形，且，请直接写出的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 2．A 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 3．C 【详解】解：由于三个图形都为矩形，所以角都是，只看它们的边长比例即可， 甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为， ∴相似的是甲和丙， 故选：C． 4．C 【详解】解：依题意列得， 解得且． 故选：C． 5．B 【详解】解：过点作横线的垂线，交点所在横线于点，交点所在横线于点，如图所示， 则， ， ，即， ， 故选：B． 6．B 【详解】解：由作图知，， ∵， ∴， 在平行四边形中，当时， ， ∴四边形不一定是矩形， 故A不符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故B符合题意； 当时， 平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故C不符合题意； 当时， 平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形不一定是菱形， 故D不符合题意； 故选：B． 7．A 【详解】解：∵阴影部分的面积为64， ∴， 设，则， 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为， 故选：A． 8．A 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选A． 9．B 【详解】解：∵菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．B 【详解】解：作于， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由图象知：，，， 令， ∴ 由勾股定理： ∴， ∴， 故选：B． 11． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为： 12． 【详解】解：设正方形零件的边长为．则， 由题可知，四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得．即， 故答案为：． 13．24 【详解】解：，， 菱形的面积 故答案为：． 14． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴原式； 故答案为：5． 15． 【详解】解：矩形纸片对折，折痕为， ， 矩形与矩形相似， ， 即， ， ． 故答案为：． 16．3或1 【详解】解：过点作于点，连接， 当在点左侧， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵将绕点旋转，点恰好落在边上的点处， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当在点右侧， 与①同理可得，，， ， ∴， ∴， 故答案为：3或1． 17．【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： 或， 解得， ． 18．(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求； （3）解：由于点的坐标为，相似比为， 根据题意得：点的坐标为． （4）解：∵点Q为线段上的黄金分割点，且，， ∴， ∴． 19．【详解】（1）解：∵四边行是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； （2）由题意得：当时，即时，是正方形， ∴，解得：， ∴当时，是正方形． 20．(1)证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 21．【详解】（1）解：当天火箭模型的销售量为件； 故答案为：； （2）解：依题意，得． 整理得，即， 解得， （元）． 答：当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元． 22．(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， 由（1），知； ， 即， ∵，， ． 在中，，，， ． 23．【详解】（1）解：一元二次方程的两个实数根为，， ； 故答案为：； （2）设多项式的另一个因式为， ， 即， ，， 解得，； 故答案为：； （3）解方程， ， ， ，， ． 24．(1)①证明：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可得， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴； ②由题可知当四边形是等对边四边形时，则， ∵ ∴， ∴， ∴此时点O在垂直平分线与交点位置， ∴O为中点， ∵正方形， ∴， 设，则由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是菱形，，四边形是等对边四边形， ∴可得， ∴， 由菱形的性质和折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接交于Q，则垂直平分， ∴，， ∴等对边四边形的面积． （3）解：如图，延长至点F，使，连接， ∵H为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由已知以及翻折可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴ ∴， 在上取一点G，使， ∵ ∴， ∴， 过A作于点K，则可设 ∴， ∴， 解得（负值舍去）； ∴， ∴， ∴为． $