2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试考前强化训练卷

2026一2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试考前强化训练卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1.下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x2+3=0 B.-2x+4=0 c.x-11=0 D.x2-y=0 2.1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫 榫，凹进部分叫卯.如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是() 3.如图，在△MBC中，DE1IBC,AD=2,BD=3,AC=10,则AE的长为() A A.3 B.4 c.5 D.6 4.下列各组线段中，成比例线段的一组是() A.Icm,2cm,3cm,4cm B.2cm,3cm,4cm,6cm C.Icm,3cm,5cm,7cm D.2cm,4cm,6cm,8cm 5.如图，四边形ABCD中，AC=BD,顺次连结四边形各边中点得到的图形是() 0 A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.以上都不对 6.如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一 横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米.则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根 据题意，列方程为() 试卷第1页（共3页） A.(40-2x)(34-x)=960 B.40×34-40x-34x+2.x2=960 c.(（40-x(34-2x)=960 D.40×34-40x-2×34x=960 7.关于*的一元二次方程(a-5)r-4-1= 有实数根，则满足() A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5 8.如图，AC∥BD,且AB与CD交于点O,OA=2,OB=1,OD=0.6,则OC的长为() D B A.1 B.1.2 c.1.5 D.1.8 9.如图，在矩形CD中，点4的坐标是2-)，点C的坐标是 ,5),连接BD,则BD的长是（） A.4 B.6 C.v5 D.V29 10.如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=4,E是AB的中点，F是线段EC上一动点，P为DF的中点， 连接PB,则线段PB的最小值为() D B 24 A.5 B 25 C.4 D.3+6 二、填空题（每小题3分，满分18分） x-4 2x= 11.已知y3,那么x+y 12.如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E,使AE=AC,以AE为一边作菱形 ,9N2 AEFC,若菱形的面积为，则正方形边长为 试卷第2页（共3页） 13.已知a是方程x2+3x-5=0的一个实数根，则2a+6a+2025的值为 14.将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABCD中，对角线 AC=6,BD=8,则纸条重叠部分的面积为一 A 15.已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE=MN, ∠MCE=35°，求∠ANM的度数. ND A E 16.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD=4DC,点E是线段BD上一点，将△BCE沿CE折叠，使点 DC B落在AC边上的点F处，若EF IBD,则BE-- 三、解答题：(17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72 分，解答题要有必要的文字说明) 17.解方程： (6x+2y2-144=0 22x-7x+3=0 试卷第3页（共3页） 18.在如图的方格纸中， △0AB与△OAB 关于点P为位似中心的位似图形. 珠 3 234/56x (1)在图中标出位似中心P的位置： (②以原点0为位似中心，在第三象限画出△01B的一个位似 0AB,使它与△0MB 的位似比为24， A B, (3)分别写出A,B的对应点， 的坐标： ④己知5.0“的面积为25，则四边形 BB,A 的面积为」 19.如图，在oABCD中，点O为边AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E,连接AE,BD, ∠BDC=90° E D (I)求证：四边形ABDE是矩形； 试卷第4页（共3页） ②连接0C,若4B=2,BD=25,求0C的长. 20.“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红 打卡地.据统计，2025年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为1.6万人次，第三天游客人数达 到2.5万人次. ()求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为6元.根据销售经验，每把扇子定价为25 元时，平均每天可售出300把.若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把.若该文创小店 想通过售出这批扇子每天获得6300元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 21.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E. D (I)用无刻度的直尺和圆规作∠BAD的平分线，交BC于点F;(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕 迹) (2)在(1)的条件下，连接EF,四边形ABFE是什么特殊的四边形？请加以证明： (3)在(2)的条件下，若AB=10,BE=16,求平行四边形ABCD中BC边上的高. 22.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，有A,B,C,D四个格点.连结AC,BD. B 试卷第5页（共3页） (1)求证：△BOC∽△AOD: AO (2)求0C的值. 23.【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中 一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线， G 图1 图2 图3 备用图 (1)【应用】 如图1，△ABC中，AC=3,AB=4,BC=2,D是AB上一点，BD=1,求证：CD是△ABC的完美分 线； (2)如图2，菱形ABCD中，AB=4,点E是边CD中点，点F是边BC上一点，连接AF交线段BE于G ,若BG是△ABF的完美分割线，且AB=AG,求FG的长； (3)如图3，矩形ABCD中，点O是DB的中点，E为射线DA上的动点，连接EO并延长交射线BC于F, OG G是射线OB上一点，∠GFO=∠DFO,若GO是△EGF的完美分割线，请直接写出OD的值. 24.对于关于x的代数式ar+br+c,若存在实数m,使得当x=m时，代数式的值也等于m,则称m为 这个代数式的“不动值”、例如：对于关于x的代数式x,当x=0时，代数式的值等0；当x=1时，代 数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”· (1)关于x的代数式x2-6的不动值是 (2)判断关于x的代数式2x-x+1是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由. 3)已知关于x的f代数式ar-(3a-8a-小x+2a2-13a+15a≠0) 试卷第6页（共3页） ①若此代数式仅有一个不动值，求的值： ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值. 试卷第7页（共3页） 参考答案 题号 2 3 5 6 7 10 答案 A A B B A A C B B A 11.7 x_4 【详解】解：因为y3, 4 所以x=,y】 3， 4 2×y 8 2x 所以x+y4 3=3 3+y3 7. 8 故答案为：7， 12.3 【详解】解：设正方形的边长为x, AC=AE=2x, CB=x是菱形的高， x=9V2 √2 x=-3. 故答案为：3 13.2035 【详解】解：，a是方程x+3x-5=0的一个实数根， .a2+3a-5=0, 即a2+3a=5, :2a+60+2025 =2(a2+3a+2025 =2×5+2025 =2035 故答案为：2035 14.24 【详解】解：由题意知，AD∥BC,AB∥CD, :.四边形ABCD是平行四边形， 如图，作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,由等宽可得AE=AF, 试卷第8页（共3页） B E :8=及e BC×AE=)CDxAF,即BC=CD: 1 .2 2 四边形ABCD是菱形， ·Sm=24CxBD=24, 故答案为：24 15.55°155度 【详解】解：如图，过M作MG∥AB交AD于G, G ND A E B M :四边形ABCD为正方形， ∴∠NGM=∠A=∠B=90°，且AB=MG=CB 在Rt△GMN和Rt△BCE中 MN=EC GM=BC '.△GMN≌△BCE(HL) .∠ANM=∠CEB, 又：∠MCE=35°， ∠CEB=90°-35°=55°， .∠ANM=55° 故答案为：55° V10 16.6 【详解】解：设AD=4m,则CD=m,AB=5m :EF⊥BD,∠ABC=90° ∴.∠CFE+∠FDE=90°，∠CBE+∠ABD=90° 由折叠的性质得∠CBE=∠CFE .∠ABD=∠FDE .BC=CF=3m 试卷第9页（共3页） ∴.DF=CF-CD=2m 过点C作CP⊥BD于点P, B EF⊥BD ∴.∠BEF=90° ∴.∠BEC=∠FEC=135° ∴.∠CEP=45o :∴△CEP是等腰直角三角形 设CP=EP=k CP⊥BD CP∥EF ∴.∠FDE=∠CPD,∠EFD=∠PCD ,∴FEDACPD :DP-CP_CD 1 DE=EFDF2 EF=BE=2k DP-PE= 3 在Rt△CPD中，由勾股定理得， CD=VCP2+DP2=1 -k 3 DC JTOk =31 √10 BE 2k 6 √1o 故答案为：6 17.【详解】(1)解： (x+2)2-144=0 (x+2)2=144 x+2=12, 解得=105=-14 (2)2x2-7x+3=0, (2x-1)(x-3)=0 试卷第10页（共3页） 解得4=3,62 18.(1)解：如图：P即为所画； -3 2 1234/56 A 4 -6 △OA,B2 (2)解：如图： 即为所画； 34/56 (3)解：已知4(-2，-)，B(-山，-3)，以原点0为位似中心，位似比为2：1，且在第三象限， . （-2×2,-1×2)=(-4,-2)B2 (-1×2,-3×2)=(-2,-6) 2的坐标为 的坐标为 故答案为：（4，-2)，（-2,6)： (④解：：△0AB与401B 的位似比为2：1， …它们的面积比为4：1， S△0B=2.5 .S04B=2.5×4=10 …四边形 ABB2 ”的面积为 044-S0B=10-2.5=7.5 故答案为：7.5 19.(1)证明：，点O为边AD的中点， ..AO=DO ,四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD」 试卷第11页（共3页） ∠BAO=∠EDO, .∠AOB=∠DOE .△AOB≌△DOE ∴.OB=OE .四边形ABDE是平行四边形， ∠BDC=90° .∠BDE=90°， ∴，口ABDE是矩形： (2)解：如图，过点O作OF⊥DE于点F, 四边形ABDE是矩形， :.DE=AB=2,OD=1AD,OB=OE=1BE,AD=BE ∴.OD=OE .OF⊥DE :.DF=EF=IDE=1. 2 ∴.OF是△BDE的中位线， :.oF=1BD=5 2 ,四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=2. ..CF=CD+DF=3 在R△OF中，0C=VCF2+0F2=32+5=V4, 即OC的长为4 20.【详解】(1)解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为'， 由题意得，1.6+r}=2.5 =0.25=25%5=-2.25 解得 (舍)， 答：从假期第一天到第三天的平均日增长率为25%； (2)解：设每把扇子降价x元， 则每把扇子的利润为(25-x-6元，即9-)元， 每天售出扇子(300+30)把， 试卷第12页（共3页） 依题意得，(19-x)300+30x)=6300 整理得，x2-9x+20=0, 解得x=4或x=5, ,想尽可能地减少库存，即选择售出扇子数量较多的方案， 当x=4时，售出300+30×4=420（把）， 当x=5时，售出300+30×5=450（把），450>420， ∴每把扇子应降价5元， 答：每把扇子应降价5元 21.(1)如图，射线AF即为所求： E (2)解：四边形ABFE是菱形， 证明：：四边形ABCD是平行四边形， :.AD∥BC .∠EAF=∠BFA, ,AF平分∠BAD, ∴.∠EAF=∠BAF ∴.∠BFA=∠BAF, .BA=BF, 同理可证明：AB=AE, .AE=BF, ∴.四边形ABFE是平行四边形， .BA=BF, ∴，四边形ABFE是菱形： (3)解：过点A作AI⊥BC于点I, 刀 ,四边形ABFE是菱形， 试卷第13页（共3页） CABF=BM=1O,BW=E=BE=8,AJ=F时，AF⊥BE 4J-VAB-BF-6 .AF=2AJ=12、 :2AF×BE=BF×A和 1 2xi6=10 .A1=9.6, ∴平行四边形ABCD中BC边上的高为9.6 22.()证明：过点D作DE⊥AC于点D,如下图： ,DE⊥AC .∠DEO=∠BC0=90°， 又，∠DOE=∠BOC, .△BCO∽aDEO, 又：DE=2,BC=1, OC BO BC 1 .OE DO DE 2' EC=2, . 2 ,0C=EC 3 :OA=AE+0E=3+4_13 33, 由图可得，DB=V2+3=3 :0D=DB=名B,0B=DB=1B 3 3 3 3 13 23A3=3 3 又，∠DOA=∠BOC, .△BOC∽△AOD. 试卷第14页（共3页） A0_3 =6.5 (2)解：由(1)可得，0C2 23.(1)证明：AB=4,BC=2,BD=1, DB BC .BC AB ∠B=∠B, .△BCD∽△BAC, AB=4,BD=1,AC=3. .AD=AC=3. .CD是△ABC的完美分割线； (2)解：菱形ABCD, .ABI‖CDAB=BC ∴.∠ABG=∠BEC, AB=AG. ∠ABG=∠AGB .∠BEC=∠AGB .BG是△ABF的完美分割线，AB=AG, .△BGF∽△ABF .∠GBF=∠BAF 在△BAG和△CBE中， ∠BEC=∠AGB ∠EBC=∠BAG AB=BC .△BAG≌aCBE(AAS) .BG=EC=2 △BGF∽△ABF GF BF BG 1 ..BF AF AB 2' 设FG=x,则FB=2x,FA=4x, .4x-x=4」 即FG=4 4 x= 3 4 答：FG=4 3· (3)解：①当G0=OF或FO=OE时，如图： 试卷第15页（共3页） G 则四边形EGFD是正方形， 0G=1 ..OD ②当GF=OF时，如图： A B 设GF=OF=OE=1, ∴.EF=2, .△EOG∽aEGF EG EF EG 2 :E0EG,即1=EG, ∴.EG=V2 EO EG GO 1 .EG EF GF 2 ,△EOG∽AEGF ∴.∠EGO=∠EFG ·∠GFO=∠DFO ∴.∠EGO=∠DFO .∠EOG=∠DOF .△EOG∽ADOF EO GO GO 1 ..OD OF GF2 ..OD=2, 0Gs 2 0G_1 .0D2 ③当GE=OE时，如图 A D B G 此时EF=2OE=2EG 试卷第16页（共3页） GF OF GO 1 同理可得EFGFEG2, :△FGOAFEG. GO EG 1 ∴.GFEF2, .∠GFO=∠DFO GO GF GO OD 1 .ODDF,即GF=DF2, OD 1 .BD 2' .DF=BD .∠GEO=∠OGF=∠ODC=∠CDF」 .DC平分∠ODF, OD 0Q 1 .DFFg2· 设00=1，则0F=2, ∴.EG=EO=FO=3, GO 1 EG G0-3V2 2, G0_09_1 EG-OD ∴.OD=V2 0G3 .OD2· OG 综上所述， D的值为1或3或2 答：1或2或2 24.【详解】(1)解：依题意得x2-6=x, .x2-x-6=0 即x-3x+2）=0 解得=3书=-2 故答案为：3或-2. (2)解：依题意得2x2-x+1=x 试卷第17页（共3页） .2x2-2x+1=0 △=(-2)2-4×2×1=-4<0 原方程无解。 2x2-x+1 关于x的代数式 没有不动值， (3)解：①依题意得 2x2-(3a2-8a-1x+2a2-13a+15=x ∴.a2x2-(（3a2-8ax+2a2-13a+15=0 ·仅有一个不动值， A=0 [-(3a2-8aj-4d2(2a2-13a+15)=0 整理得：a4+4a3+4a2=0」 .a2(a2+4a+4)=0 即0(a+2}2=0 解得：a=0(不合题意，舍去，a=-2。 a=-2 ②依题意得r-(Ba-8a-1小r+2m-13a+15=x a2x2-(3a2-8ax+2a2-13a+15=0 整理得： 设方程两个解为5，t, s+t=3a-8 sM=2a-13a+15 a (6-=(s+}-41=(a+2 :s一1为整数， 2-1后为骏我 a .正整数a=1或2. 试卷第18页（共3页）