精品解析：甘肃张掖市第一中学2026年秋学期九年级9月数学练习卷

2026年秋学期9月份练习卷 九年级数学（总分150分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 3. 一元二次方程配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直角三角形中，，，，为直角三角形的中线，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 1 5. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 6. 下列说法正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 如图，当的值为多少时，（　　） A. 20 B. 27 C. 36 D. 45 8. 设方程的两个根为，那么的值等于（ ） A. B. C. 4 D. 6 9. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的根是：______． 12. 若2y﹣5x＝0，则x：y＝___． 13. 已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的面积是__________． 14. 已知线段m，n，且，求的值为_____． 15. 中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 16. 如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________． 三、解答题: 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 18. 若求的值； 19. 已知，在和中，，且的周长为，求的周长． 20. 如图，在中，，分别是边和上的点，且，，，，求的长． 21. 如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？ 22. 已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值． 23. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 24. 如图，在中，，，，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 26. 【模型建立】 （1）如图1，点E是正方形边上一点，连接，过点B作交于点F，交于点G．用等式写出线段，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，点E是正方形边上一点，连接，过点E作交于点G，交的延长线于点M，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接，过点E作交的延长线于点G，交的延长线于点M，用等式直接写出线段，，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期9月份练习卷 九年级数学（总分150分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； B、该方程中含有两个未知数，属于二元方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、方程整理得：，未知数最高次数是1，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3. 一元二次方程配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤：移项、方程两边都加上一次项系数一半的平方的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 4. 如图，在直角三角形中，，，，为直角三角形的中线，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的斜边中线的性质，掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，是解题关键．由勾股定理可得，再根据直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：在直角三角形中，，，， ， 为直角三角形的中线， ， 故选：C． 5. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 【答案】D 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A.，故此选项不符合题意； B.，故此选项不符合题意； C.，故此选项不符合题意； D.，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，根据菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，当的值为多少时，（　　） A. 20 B. 27 C. 36 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 8. 设方程的两个根为，那么的值等于（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴， ∴， 故选：C． 9. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设有个球队参赛，每两队之间赛一场，总比赛场数为所有可能的组合数.每个球队需与其他个球队比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总场数为，根据总场数为15，列出方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛，根据题意，得， 故选：D． 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可． 【详解】解：如图 ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8， ∴AB==5， 作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值， ∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点， ∴E′在AD上，且E′是AD的中点， ∵AD=AB， ∴AE=AE′， ∵F是BC的中点， ∴E′F=AB=5． 故选：C． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的根是：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．先移项，然后直接开平方即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：． 12. 若2y﹣5x＝0，则x：y＝___． 【答案】 【解析】 【分析】将等式变形，进而根据比例的性质求得的值． 【详解】2y﹣5x＝0， 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 13. 已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形面积的计算公式：菱形的面积等于对角线的乘积的一半可解答． 【详解】∵菱形的面积等于对角线的积的一半， 那么这个菱形的面积为. 故答案为：. 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质. 14. 已知线段m，n，且，求的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质和分式的求值，设，是解答本题的关键． 设，，代入约分化简． 【详解】∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 15. 中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 16. 如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE=， 再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度． 【详解】解：连接BE，如图： 由题意可知，MN垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴，则∠AEB=90°， 在等腰直角三角形ABE中，AB=4， ∴BE=AE=， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EBC=∠AEB=90°， 在Rt△BCE中，由勾股定理，则 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到∠EBC=∠AEB=90°． 三、解答题: 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） ，． （2） ，． （3） ，． （4） ，． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握根据一元二次方程的特征选择合适的解法是关键． （1）用开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：, , 或, ，． 【小问2详解】 解：, , 或, ，． 【小问3详解】 解：, , 或, ，． 【小问4详解】 解：, , , 或, ，． 18. 若求的值； 【答案】 【解析】 【分析】根据比例性质，先将分式利用交叉相乘的方法化简成整式方程，即可求出的值． 【详解】解： ， ， ， ， ． 19. 已知，在和中，，且的周长为，求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】证明，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为， ∴的周长为 20. 如图，在中，，分别是边和上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据可证，再根据相似三角形对应边成比例即可求出结果． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ． 21. 如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？ 【答案】每条道路的宽为1米． 【解析】 【分析】设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，根据“草坪的面积为570”列出方程即可解答． 【详解】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为， ， 解得：（不合题意，舍去） 答：每条道路的宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法． 22. 已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值． 【答案】（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0， 即方程有两个不相等的实数根； （2）m=-4或m=-2 【解析】 【分析】(1)、根据根的判别式判断即可； (2)、将x=3代入方程，解方程即可得m的值，继而可得方程的另一个根． 【详解】(1)略 (2)、∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3， ∴把x=3代入方程得：32+2m×3+m2﹣1=0， 整理得：m2+6m+8=0， 解得：m=﹣4或m=﹣2 23. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，点是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，点是的中点，得，由，，证明四边形是平行四边形，则四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，则，可证明四边形是平行四边形，而，，则四边形是菱形，，所以，，，求得，则，由，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是菱形，三角形是等边三角形， ∴，，，， ， ， ， ， 的长是． 【点睛】此题重点考查菱形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出四边形是平行四边形及是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质可证，，根据两个角对应相等的两个三角形相似可证； （2）利用勾股定理求出，再根据相似三角形对应边成比例即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，，， ， ， ， ， ． 25. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 【答案】（1）20%；（2）能 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)2，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可； （2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可． 【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x． 根据题意，得2(1＋x)2＝2.88， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%. (2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4， 所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大． 26. 【模型建立】 （1）如图1，点E是正方形边上一点，连接，过点B作交于点F，交于点G．用等式写出线段，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，点E是正方形边上一点，连接，过点E作交于点G，交的延长线于点M，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接，过点E作交的延长线于点G，交的延长线于点M，用等式直接写出线段，，的数量关系． 【答案】 （1）解：．理由如下： ∵， ∴， ， ∵正方形， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ； （2）．理由如下： 如图，在上取一点，使，连接． ∵正方形， ∴， ∴平行且等于， ∴四边形为平行四边形， ， ∵， ． 由（1）知， ； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，关键是要能根据题意构造出全等三角形，即作出合适的辅助线，截取等长线段作辅助线是解决此类题型常用的方法． （1）证明即可； （2）在上取一点，使，连接．再证明．由（1）知，即可得出结论； （3）在上取一点，使，连接，再证明，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）． 如图，在上取一点，使，连接， 由平行且等于得四边形为平行四边形， 平行且等于． ，． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $