精品解析：甘肃兰州市城关区兰州志成中学2026-2027学年九年级第一次阶段性测试数学试卷（9月）

2026-2027学年九年级第一学期阶段性检测 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程：①，②，③，④，⑤中是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A. B. C. D. 3. 如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ） A. 3 B. C. D. 0或 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（ ） A. 2m B. 1.5m C. 1m D. 0.5m 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 若关于x的方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 8或10 8. 在式子中，x每增加1，增加k，b没变，因此y也增加k．在一次函数中，当x由2增加到3时，函数值y由5增加到7，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 9. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的比赛叫做双循环比赛），共要比赛90场．设有个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是正方形 11. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 13 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 因式分解：________． 13. 若是方程的一个根，则___________． 14. 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是__________．（填写“甲”或“乙”） 甲 乙 平均成绩（单位：环） 6.58 7.67 方差 6.91 0.72 15. 如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 解方程： （1）；（公式法） （2）．（配方法） 18. 如图，在矩形中，相交于点O，过点D，E分别作，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长． 19. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 20. “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 21. 已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？ （2）如果这个方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 22. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，同时点Q从点C出发沿边向点B以的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动． （1）运动几秒时的面积为？ （2）的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 23. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 24. 如图，在平行四边形中，，点E是线段上的一点，连接． （1）在线段上求作一点F，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，证明：四边形为平行四边形的结论（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）． 解：（2）证明：在平行四边形中， ∵， ∴_________________， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和， ， ∴， ∴_____________，， ∴， ∴_____________， ∴四边形为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）． 25. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若，为某个直角三角形的两个顶点，且该直角三角形的两条直角边分别与坐标轴垂直，则称该直角三角形为点，的“坐标直角三角形”，图1为点，的“坐标直角三角形”示意图． 如图2，点A的坐标为． （1）若点的坐标为，求点，的“坐标直角三角形”的面积； （2）点在轴上，若点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，直接写出直线的表达式； （3）点在直线上，且点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，求点的坐标． 26. 课本再现： （1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值．如图，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． 知识应用： （2）如图，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求▱的周长； （3）如图，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级第一学期阶段性检测 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程：①，②，③，④，⑤中是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：①是分式方程，故①不是一元二次方程； ②中含有两个未知数，故②不是一元二次方程； ③符合一元二次方程的定义，故③是一元二次方程； ④，当时，方程化为，不含二次项，故④不是一元二次方程； ⑤将整理得：，不含二次项，故⑤不是一元二次方程． 综上，只有③是一元二次方程． 故选：A． 2. 根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 3. 如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ） A. 3 B. C. D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键. 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程常数项移动右边，两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并． 【详解】解：x2-2x=5， x2-2x+1=5+1，即（x-1）2=6， 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解． 5. 铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（ ） A. 2m B. 1.5m C. 1m D. 0.5m 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题可知,, ∴, ∴, ∴, 解得． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 7. 若关于x的方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形三边的关系，学会分类讨论求出符合的所有情况是解此题的关键. 首先利用因式分解法解二元一次方程，然后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后相加就是三角形的周长． 【详解】解：， ， 解得，， 两个实数根恰好是等腰三角形的两边长， 等腰三角形的三边为2、2、4或2、4、4， 2+2=4，不能构成三角形， 所以三角形三边为2、4、4， △ABC的周长为10． 故选：B． 8. 在式子中，x每增加1，增加k，b没变，因此y也增加k．在一次函数中，当x由2增加到3时，函数值y由5增加到7，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】确定和的增加量，结合x每增加1，y增加k可得答案． 【详解】解：∵由增加到，由增加到， ∴的增加量为，的增加量为， ∵每增加时，的增加量等于， ∴． 9. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的比赛叫做双循环比赛），共要比赛90场．设有个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】有x个球队参加比赛，每两队之间都进行两场比赛即每个队伍都要进行(x－1)场比赛，共进行x(x－1)场比赛，根据题意列方程即可． 【详解】由题意可得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题关键． 10. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形，正方形和菱形的判定即可解答． 【详解】解：A、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项错误； B、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项正确； C、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误； D、符合题意由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误； 故选：B． 11. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率， 然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为13， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 因式分解：________． 【答案】x（1+2x）（1-2x） 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】原式=x(1-4x) =x（1+2x）（1-2x） 故答案为x（1+2x）（1-2x）． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． 13. 若是方程的一个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到满足的等式，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， ∴． 14. 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是__________．（填写“甲”或“乙”） 甲 乙 平均成绩（单位：环） 6.58 7.67 方差 6.91 0.72 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差越大，成绩越不稳定．根据图形可知，甲的射击不稳定，可判断新手是甲． 【详解】解：根据表中信息可以看出，甲平均成绩较差，且方差更大， 方差越大，成绩越不稳定， 新手是甲． 故答案为：甲． 15. 如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得，又结合，，得出是等边三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的长． 【详解】解：连接，， ，， 垂直平分， ， 菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】． 17. 解方程： （1）；（公式法） （2）．（配方法） 【答案】（1），． （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法和配方法解一元二次方程成为解答本题的关键． （1）先利用根的判别式判定根的情况，然后再运用求根公式求解即可； （2）先移项后配方，然后再利用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 【小问2详解】 解：． ． ． ∴，． 18. 如图，在矩形中，相交于点O，过点D，E分别作，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质和一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明即可； （2）菱形的性质，求出的长，证明是等边三角形，求出的值，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，且四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ． 19. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】 （1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形； （2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形． 试题解析：解：（1）略 （2）略 考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理． 20. “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． 【小问1详解】 解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， 答：售价应上涨6元． 21. 已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？ （2）如果这个方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1），四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，解一元二次方程，综合运用各知识点是解答本题的关键． （1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根； （2）利用一元二次方根与系数的关系得到，，将变形为，再将，代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意：四边形是菱形时，则， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， ，四边形是菱形； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根分别为， ，， ， ， 解得：． 22. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，同时点Q从点C出发沿边向点B以的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动． （1）运动几秒时的面积为？ （2）的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 【答案】（1）P、Q同时出发，或后可使的面积为； （2）不存在使得的面积等于面积的一半的时刻，理由： 由题意得：， ∴， 整理可得：， ，该方程无实数解， 所以，不存在使得的面积等于面积的一半的时刻． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解本题的关键是审题后，列出相关的一元二次方程，应掌握一元二次方程根的判别式及求解． （1）设后，可使的面积为，分别表示出线段和线段的长，再利用三角形的面积公式列出方程求解； （2）先求，根据题意建立方程，由根的判别式可得结果． 【小问1详解】 解：设后，可使的面积为． 由题意得，，，， ∴， 整理得：， 解得：，， 所以P、Q同时出发，或后可使的面积为． 【小问2详解】 略 23. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴菱形的面积＝． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 24. 如图，在平行四边形中，，点E是线段上的一点，连接． （1）在线段上求作一点F，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，证明：四边形为平行四边形的结论（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）． 解：（2）证明：在平行四边形中， ∵， ∴_________________， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和， ， ∴， ∴_____________，， ∴， ∴_____________， ∴四边形为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求； （2）；；； 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交线段、于点、，再以点为圆心，以相同长为半径画弧，交线段于点，再以点为圆心，以线段的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点； （2）根据矩形的判定定理，得出四边形是矩形，再根据矩形的性质，得出，，，，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据平行四边形的判定定理，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：在平行四边形中， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，，， 在和， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：；；； 【点睛】本题考查了尺规作图、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理，解本题的关键在正确用尺规作相等角，并熟练掌握相关的性质定理． 25. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若，为某个直角三角形的两个顶点，且该直角三角形的两条直角边分别与坐标轴垂直，则称该直角三角形为点，的“坐标直角三角形”，图1为点，的“坐标直角三角形”示意图． 如图2，点A的坐标为． （1）若点的坐标为，求点，的“坐标直角三角形”的面积； （2）点在轴上，若点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，直接写出直线的表达式； （3）点在直线上，且点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据坐标与图形，结合新定义，根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据新定义得出是斜边，且与坐标轴的夹角为，则或，进而待定系数法求解析式即可求解； （3）由（2）可知点一定在直线或上，又点在直线上，联立解方程组即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴． 【小问2详解】 解：∵点的坐标为，点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形， 是斜边，且与坐标轴的夹角为 ∵到轴的距离为， ∴或， 设经过，的解析式为， 则，解得， ∴， 设经过，的解析式为， 则，解得：， ∴， 综上所述，直线的表达式为或． 【小问3详解】 ∵点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形 ∴由（2）可知点一定在直线或上， 又∵点在直线上， ∴可列方程组或， 解得或， ∴点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数交点问题，理解新定义，等腰三角形的性质，一次函数的性质是解题的关键． 26. 课本再现： （1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值．如图，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． 知识应用： （2）如图，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求▱的周长； （3）如图，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）连接，过点作于，证，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）连接，，，由，求得，，，从而求出． 【小问1详解】 解：如图1，连接， 四边形是矩形， ，，，，， ，， ，， ， 解得：； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于，如图2所示，则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长； 【小问3详解】 解：如图3，连接，，，过点作于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ，过点分别作直线的垂线、垂足分别为点、、． ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $