3.4 圆周角题型分类练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 以圆周角定理为核心，构建“概念-定理-应用”三层逻辑体系，通过分类题型提炼“辅助线构造+多位置关系讨论”解题方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|5知识点|定义辨析+要点总结|从圆心角到圆周角，层层递进| |题型突破|6模块（约60题）|辅助线构造、多解讨论、定理综合应用|基础计算→性质证明→压轴拓展，逐步深化|

02 圆周角题型分类练习 知·识·框·架 知识梳理 知识点01 圆心角与弧的定义 圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角． 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB． 2． 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．如下图， 要点： （1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 注意不是角与弧相等．即不能写成圆心角∠AOB=． （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧．等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）． 知识点02 圆心角定理及其推论 1．圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距． （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等． （3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提． 2．圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等． 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)． 知识点03 圆周角 圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 知识点04 圆周角定理 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交． （2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中． （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1．圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等． 知识点05 圆内接四边形及其性质 1．圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． 2．圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补． 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 题·型·突·破 一、圆周角定理 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点A，B，C在上．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，C，D是上位于异侧的两点．若C是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，内接于，为的直径，且于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第2题图 第3题图 第4题图 5．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知是圆O的一条弦，且，则弦所对的圆周角是_____． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的半径，弦的长为，若在上找一点，则______． 7．（25-26九年级上·江苏南京·期中）点A，B，C在上的位置如图，已知，则__________°． 8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）在直径为的中，弦，则弦所对的圆周角的度数______． 二、直径所对圆周角是90° 9．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．圆的一条弦把圆分成度数的比为的两条弧，则弦所对的圆周角等于（     ） A． B．或 C． D．或 11．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为____________°． 13．（2026·江苏南京·二模）以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 第9题图 第11题图 第12题图 第13题图 14．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，，则_________________°． 15．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）如图，等腰三角形的顶角为，以腰为直径作半圆，分别交、于点D、E． 则____________________ ． 16．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，的度数为，则_______． 第14题图 第15题图 第16题图 三、圆内接四边形对角互补 17．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）如图，四边形内接于，是直径，是弧的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·江苏南京·一模）如图，四边形是的内接四边形，，是直径，若，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏南京·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 20．（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 21．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于，E是延长线上一点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 第18题图 第19题图 第20题图 第21题图 22．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接四边形中，若的半径为1，，，则的度数为（    ） A．120° B．135° C．150° D．165° 23．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点E在上，连接，若，则________． 24．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为________ 25．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 26．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是_______． 第23题图 第24题图 第25题图 第26题图 27．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，点在上，若，则的度数为______． 28．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形内接于，延长交于点．若，则________°． 29．（25-26九年级上·江苏南京·期中）四边形是的内接四边形，若，则______． 30．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，已知内接于，作的垂直平分线交于点，连接．若，则__________°． 31．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，A、B、C、D是上的点，若的度数为，则________． 第27题图 第28题图 第30题图 第31题图 32．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在的内接五边形中，，则______°． 33．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）在圆内接四边形中，若，则等于_______． 34．如图，在中，过，，三点的与相交于点．若，则______． 35．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，过四边形的顶点A，C，D的圆，分别交于点E，若，，则的度数为______ 36．如图，四边形内接于，连接，．若，则 的度数为______． 37．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_______． 第34题图 第35题图 第36题图 第37题图 38．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为的劣弧上一点，若，则_________． 39．如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于_________． 40．（2024·江苏南京·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 41．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，．求证． 第38题图 第39题图 第40题图 第41题图 42．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形内接于，．求证：． 43．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知：四边形内接于．求证：．（用两种不同方法证明） 证法1： 证法2： 四、与圆中角度有关的计算与证明 44．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中，，以为直径的交于，交于． (1)求证：； (2)若，求和的度数． 45．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，过，，三点的交于点． (1)求证； (2)若点为中点，，，求的半径． 46．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，以为直径的经过的顶点C，，分别平分和，的延长线交于点D，连接．判断的形状，并证明你的结论． 47．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，为的直径，点在上，延长到点，使，延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 48．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接、、． (1)求的度数； (2)若，求的半径． 49．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，是上一点，在直径上取点，使，延长交于点，分别作，垂直于，垂足分别为，．已知的半径是2． (1)求证：是的平分线； (2)若，则的长是______． 50．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． (1)若，求的度数； (2)若点是弦上一点，且平分，求证． 51．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，矩形内接于，点E在上，． (1)连接，求证：； (2)若分别交，于点F，G，，，求的半径． 52．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为的直径，点在上，延长至点，使．延长与的另一个交点为，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 53．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为的直径，于点，，与交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 54．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的外接圆，．过点B作，垂足为F，与交于点D，连接并延长，与交于点 (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 55．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，内接于，为的中点，在上，连接． (1)如图，若，垂足为，直线分别交，于点，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：； (2)如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由． 五、四点共圆问题 56．（25-26九年级上·江苏南京·期中）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图①，四边形内接于⊙． 求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的个顶点共圆（图②） 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点，，画⊙． 假设点落在⊙外，BC交⊙于点，连接DE， 四边形内接于⊙， 可得 ， ， ，与得出矛盾； 同理点也不会落在⊙内， ，，，共圆． （3）结论运用：如图，线段，点，分别在射线和线段上运动，以为边在内部作等边，则的最小值为 ． 57．（23-24九年级上·江苏南京·期中）（1）【学习心得】 小宸同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得简单． 例如：如图1，在中，，，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． （2）【问题解决】 如图2，在四边形中，，，求的度数．小宸同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：是否能找到一个圆，确定圆心和半径，使得四点都在这个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小宸的思路解决这个问题，并写出解题过程． （3）【问题拓展】 ①如图3，的三条高相交于点，求证：． ②如图4，在中，，是边上的高，且，，求出的长． 六、与圆有关的压轴题 58．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则_______°，_______°． （2）如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）_______． 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点E、F分别是边上的动点，连接，交于点P，若始终保持，在点E从点A运动到点C过程中，的最小值是_______． 59．（2026·江苏南京·模拟预测）由图形的旋转想到的 【模型提炼】 (1)将线段绕点O旋转一定角度得到线段，分别是A、B的对应点．如图①，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【提出问题】 若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使．试用尺规作图确定直线l的位置． 【分析问题】 根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况． (2)当点P在的边上，如图②，点P在的边上，作出直线l． 【模型应用】 (3)当点P在的内部，如图③，如何作出直线l呢？小红观察图①，结合旋转的性质，想到如下作法： 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 请说明小红作图的正确性（写出主要思路即可）． (4)当点P在的外部如图④，作出直线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 60．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的分角． (1)如图1，是中的分角，若，________（请用含的代数式表示）； (2)如图2，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点F，连结并延长交的延长线于点E．求证：是中的分角； (3)如图3，在（2）的条件下，连结，，若是的直径．求证：． 61．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）从圆的知识拓展学习，我们知道以下两个命题都正确，现在可在下面的答题中直接运用． A命题：若两个三角形有一条公共边，且在公共边的同侧所对的两角相等，则这两个三角形的顶点在同一个圆上． B命题：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和． (1)根据以上两个命题．结合下面的图①填空： 因为______，所以A，B，C，D四点共圆，此时______． (2)如图②，是等边的外接圆，点P在上运动不与B，C重合，连结，求证： (3)如图③，在扇形中，，点A在上，，求扇形的半径的长． (4)如图④，是等边三角形，点D在的延长线上，连接，点E在边上，连接，且，，，那么的长为______． 62．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图①，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点． (1)求证：是等边三角形； (2)能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； (3)若的半径为2，则面积的最大值是______． 63．（24-25九年级上·江苏南京·期中）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：    “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．    (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在的圆的半径长为_____； ②面积的最大值为_____． (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部，我们记为P，请你利用图1证明； (3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点M在直线的左侧，且． ① 用尺规作出点M的运动路径，并求线段长的最小值； ② 过点M作，垂足为H，若不小于，则长的范围是． 64．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的直径，是上（不与点，重合）的任意一点，，为上的两点．若，则称为直径的回旋角． (1)若为直径的回旋角，且，求的大小． (2)如图，点，在上，若于点，交于点，连接交于点． ①是直径的回旋角吗？请说明理由． ②猜想的度数与度数的大小关系，并给出证明． (3)若直径的回旋角，且的周长为，请直接写出的长度． 65．（25-26九年级上·江苏南京·期中）（1）如图（1），是的外接圆，点在外．求证：． （2）如图（2），，是的边上的两点，点在边上．若，利用直尺和圆规求作满足条件的所有的点．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） （3）如图（3）A，B是的边上的两点，且，，．点在边上．若，直接写出的长的取值范围． 66．（25-26九年级上·江苏南京·期中）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E． 【特殊情形】 (1)如图①，，过圆心O作，垂足为F．当BD是圆O的直径时，求证：． 【一般情形】 (2)如图②，，过圆心O作，垂足为F．当BD不是圆O的直径时，求证：． 【经验迁移】 (3)如图③， ， ， F为上的一点，，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为___________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《圆周角题型分类练习》参考答案 题号 1 2 3 4 9 10 11 17 18 19 答案 D D C A C D D A D D 题号 20 21 22 答案 D B D 1．D 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质，连接，先根据等腰三角形的性质求得，再根据圆周角定理求得，然后根据弧的度数等于其对应的圆心角的度数求解即可． 【详解】解：连接 ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， 则的度数为， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理直接求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，然后根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴； 故选C． 4．A 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的内角和与外角定理，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．根据垂径定理得，，得到，推出，根据三角形的外角定理求出，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：为的直径，且于点， ，， ， ，即， ， 设与交于点G， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．或 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是分两种情况求解．判定是等边三角形，推出，求出，再利用圆内接四边形对角互补求出，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 6．或． 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理逆定理，先由勾股定理逆定理求出，分别在优弧和劣弧取点和，连接，，，，则，然后根据圆内接四边形的性质可求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图，分别在优弧和劣弧取点和，连接，，，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：或． 7．34 【分析】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键； 连接，通过等腰三角形的性质得到，，进而得到，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： ． 8．或 【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角也有两个，它们的关系是互补关系；弦长等于半径时，弦所对的圆心角为． 【详解】解：如图，弦所对的圆周角为，连接， 因为， 所以，， 根据圆周角定理可知，， 根据圆内接四边形的性质可知，， 所以，弦所对的圆周角的度数或． 故答案为：或． 9．C 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，在中利用内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数为， 故选：C. 10．D 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质， 根据题意画出图形，然后利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】如图弦把圆分成度数的比为的两条弧， ∴，， ∴， 故选：D． 11．D 【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 12．30 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解：为直径， ， ， ， ∵， ． 故答案为：． 13． 【分析】连接，由直径所对的圆周角等于90度，由直角三角形两个锐角互余可得出，由圆内接四边形的性质得出． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 14．68 【分析】由直径所对圆周角为直角结合题意可求出，再根据圆内接四边形的性质可求出，最后根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 15．/25度 【分析】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．连接，，由为直径可得出，由利用等腰三角形的三线合一即可得出，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵为直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 16．105 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余，先根据圆周角定理求得 ，，则，然后根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是半圆的直径， ∴， ∵的度数为， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故答案为：105． 17．A 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再由是直径，可得到，再由是弧的中点，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∴． 18．D 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质．先连接，利用等腰三角形的性质求出，然后连接，结合圆周角定理求出，进而求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴． ∴． ∵是直径， ∴， ∴． 19．D 【详解】∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数 = ． 20．D 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．准确地作出辅助线是解题的关键． 首先在优弧上取点E，连接，由圆的内接四边形的性质，可得，由圆周角定理可求得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点E，连接， ∵是的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 21．B 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补． 先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由两角互补的性质即可得出结论． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ． 故选：． 22．D 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，圆的基础知识等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．先判定是等边三角形得到，判定是等腰直角三角形得到，，从而得到，再根据等边对等角求得，继而得解． 【详解】解：连接、、、， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ 故选：D． 23．20 【分析】连接，由圆内接四边形对角互补可得的度数，由直径所对的圆周角相等和直角三角形两锐角互余可得的度数，再由同弧所对的圆周角相等可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 24． 【分析】本题考查圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 连接，，根据圆内接四边形的性质证得，,进而证得，根据三角形内角和定理证得，再利用圆内接四边形的性质，进行计算求解即可． 【详解】解：连接，， 四边形是的内接四边形， ，, 是的中点， ， , , 四边形是的内接四边形， , 故答案为：． 25． 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 26．/130度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，根据直径所对的圆周角是直角和三角形内角和定理可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可求出的度数． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是以为直径的圆的内接四边形， ∴， 故答案为：． 27．/85度 【分析】通过连接，利用等腰三角形的性质得出，，从而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． 28．110 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ， 故答案为：110． 29． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 根据圆内接四边形的性质得，，则利用可计算出，然后利用互补计算出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵， 设，则，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 30．36 【分析】本题考查了圆的内接四边形，垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握基本性质是解题关键； 连接，设，通过等腰三角形性质和内角和定理得到，再通过平行线性质和角度的和差关系得到，，再通过圆的内接四边形性质列出方程解方程即可． 【详解】解：连接，设， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵四边形内接， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：36． 31．155 【分析】本题主要考查圆周角的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角的性质及圆内接四边形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∴； 故答案为155． 32． 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，根据圆内接四边形对角互补可得，，据此结合已知条件可求出，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是的内接四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 33．112.5° 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．设，先根据圆内接四边形的性质可得，求解出x的值，即可得到，进而可求． 【详解】解：设， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 34． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，由四边形是平行四边形，则，又四边形是圆内接四边形，所以，得出，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．52 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆圆周角定理是解题的关键． 连接，根据圆内接四边形的性质求出，再根据三角形的外角性质计算求出，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， 是的外角，， ， 的度数为：， 故答案为：． 36．/123度 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质得到即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴ 故答案为：． 37． 【分析】本题考查圆内接四边形以及圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及直径所对的圆周角为直角，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：35． 38． 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，能正确作辅助线是解此题的关键．作圆周角，根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形性质求出即可． 【详解】解：如图作圆周角，使在优弧上， ， ， 、、、四点共圆， ， ， 故答案为：． 39．/度 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 40．15 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 41． 解：如图所示，连接， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了弧、弦和圆周角之间的关系，平行线的判定，可证明，根据等弧所对的圆周角相等可得，据此可证明结论． 【详解】略 42． 证明：如图所示，连接， ， ， ， ． ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了弧、弦和圆周角之间的关系，平行线的判定与性质、圆内接四边形的性质，连接，可证明，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的判定可得，则，结合圆内接四边形的对角互补和补角性质可证明结论． 【详解】略 43． 证法1：连接、，如图所示， ∵的度数是的度数的一半，的度数是的度数的一半， 又∵与的度数和是， ∴. 证法2：作直径交于点E，连接、， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 【分析】本题考查圆内接四边形对角互补的证明；证法1可从圆弧的度数与圆周角的关系角度证明，证法2可从直径所对的圆周角是直角角度证明. 【详解】略 44．(1) 证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ． (2)， 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得即可得出结论； （2）先求出，根据三角形内角和定理求出，等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质求出，再根据四边形是的内接四边形，结合，即可得出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：是的直径， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角和定理和外角的性质等知识． 45．(1)证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，根据为中点，得出，根据，求得，进而勾股定理求得，设，则，进而在，中，勾股定理分别表示出，根据建立方程，求得的值，进而求得的半径． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ∵为中点， ∴ 由（1）可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ 在中，， 在中，, ∵ ∴ ∴ 解得： ∴，即的半径为． 46． 为等腰直角三角形，证明如下： 平分，平分， ，． ，， ． ， 为直径， ， 是等腰直角三角形． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，解题的关键是掌握角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等． 根据角平分线的定义、结合等量代换可得，即；然后再根据直径所对的圆周角为即可解答． 【详解】略 47．(1) 证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)+ 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为和，可得，再根据，可得，由等边对等角可得． （2）设，则，勾股定理可得，代入数值即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 在中，，即， 解得，（舍去）， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，等腰三角形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 48．(1) (2)4 【分析】（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等得，由直径所对圆周角为得，通过三角形内角和可求出的度数； （2）连接，则半径，由圆周角定理得，则是等边三角形，，从而可得的半径． 本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即的半径为4． 49．(1) 证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； (2)2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定和性质． （1）连接，推出，由余角的性质推出，由圆周角定理推出，因此，由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质推出，得到，即可证明结论； （2）由圆心角、弧、弦的关系定理推出，得到，由圆周角定理推出，判定，推出，得到E与O重合，因此，得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵是圆的直径， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E与O重合， ∴， ∴． 故答案为：2． 50．(1) (2) 证明：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查圆周角定理的推论，角平分线的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的判定．熟练掌握同弧（或等弧）所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角是解题关键． （1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解； （2）由角平分线的定义得出，．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，即． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； （2）略 51．(1) 证明：四边形是矩形， ，． ． ， ． ，即． ． ． (2)的半径为 【分析】本题主要考查矩形的性质、弧、弦之间的关系、圆周角的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、弧、弦之间的关系、圆周角的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）连接，则有，然后可得，通过证明可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， 是直径． ． ， ． ， ． ． ． 在中，． ，，， ． ． ． 在中，． 的半径为． 52．(1) 证明：为的直径， ，即． ， 是线段的垂直平分线． ． ． 又同弧所对的圆周角相等，， ； (2)12 【分析】本题考查了圆的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用圆的直径所对圆周角为直角、线段垂直平分线的性质结合勾股定理进行求解． （1）由为的直径，易证得，又由，根据线段垂直平分线的性质，可证得，，又因为同弧所对的圆周角相等，，即可得； （2）首先设，则，根据在中，，可得方程：，解此方程即可求得的长，继而求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：设， ， ． 在中，根据勾股定理，已知，则有： ， 解得（线段长度不能为负，舍去）， ， 由（1）知， ， 又， ． 53．(1) 证明：∵为的直径，于， ∴由垂径定理得； 又∵， ∴； ∴，； ∴； ∵在同圆中，等弧对等弦， ∴. (2)的长为 【分析】本题考查了圆的垂径定理、等弧对等弦与圆周角性质、勾股定理及等腰三角形的判定，解题的关键是通过“同角的余角相等”和“等弧所对等圆周角相等”证得角相等，进而判定等腰三角形，再结合勾股定理建立方程求解未知线段。 （1）要证，先由垂径定理得时，再结合已知，推得，根据“等弧对等弦”证得； （2）先由（1）得,垂径定理得；在中求；通过“同角的余角相等”和“等弧所对圆周角相等”证,得等腰（）；设,用表示，最后在中用勾股定理列方程求解. 【详解】（1）略 （2）解：连接，，   由（1）知,   ∵，为直径，由垂径定理得；   ∵, ∴,则（直角三角形两锐角互余）；   ∵为直径， ∴（直径所对圆周角为直角），则；   由和，得（同角的余角相等）；   又∵, ∴；   ∴（等量代换）， 则为等腰三角形，；   设, ∴,则；   在中，由勾股定理得,  代入、、，得；   展开左边：,消去得；   解得,即 答：的长为. 54．(1) 证明：连接，，延长交于点， 点A在的垂直平分线上． 点O在的垂直平分线上 垂直平分 即 即 ； (2) 证明：连接、，如图： ， ， ． 【分析】本题考查线段垂直平分线性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键． （1）连接，，延长交于点，根据线段垂直平分线的性质可证得垂直平分，进而证得，从而得出结论； （2）连接、，根据等腰三角形的性质，结合圆周角定理证得，进而证得，从而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 55．(1) （Ⅰ）证明：连接、， ∵为优弧的中点， ∴， ∴， 又， ∴、都在的垂直平分线上， ∴是垂直平分线，即； （Ⅱ）证明：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，         ∴， ∴， 又， ∴； (2) ，理由， 在上截取，连接、． ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）（）连接、， 利用圆的有关性质, 线段垂直平分线的判定与性质解答即可； （）连接，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一的性质解答即可； （）在上截取，连接、，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）（Ⅰ）略； （）略； （2）解：略． 【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加的辅助线，熟练掌握以上知识的应用． 56． （1）证明：如下图，连接、， ，，且， ， 同理， ； （2），；（3）． 【分析】（1）连接、，由和、和为同弧所对的圆心角和圆周角， 得出：，，已知，即可得出， 同理； （2）由圆内接四边形对角互补、等量代换即可求解； （3）由是等边三角形得出，已知，所以，从而得出：、、、四点共圆，由同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等得：；作，点始终在射线上运动，由垂线段最短可知，当，即点处时，最小，最后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略； （2），； （3）是等边三角形， ， ， ， 、、、四点共圆， （同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等） 作，点始终在射线上运动， 由垂线段最短可知，当，即点处时，最小， 在中，， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆的定义，等边三角形，含的直角三角形定理，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟知圆内接四边形对角互补和同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等． 57．（1）45；（2）； （3）证明：∵，如图3， ∴点A、F、H、E在以为直径的同一个圆上， ∴， 同理：点B、D、H、F在以BH为直径的同一个圆上，∠DFC=∠CBE， 又∵， ∴； （4） 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由A、B、C、D共圆，得出； （3）①先判断出点A、F、H、E在以为直径的同一个圆上，得出，同理得出，即可得出结论；②如图4，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．利用圆周角定理推得是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到；则在中，易得，进而得解． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴点B、C、D都在以点A为圆心，以长为半径的圆上， ∵是的圆心角，而是圆周角， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图2，取的中点O，连接． ∵， ∴点A、B、C、D共圆， ∴， ∵， ∴； （3）①略 ②解：如图4，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵，O为圆心， ∴， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，判断四点共圆是解本题的关键． 58．(1)50，130 (2)或 (3)如图3， (4) 【分析】（1）根据圆周角定理计算的度数，然后根据圆内接四边形的性质求的度数； （2）与（1）的求法一样（注意分类讨论）； （3）先作的垂直平分线得到的中点，再以为直径作圆交的垂直平分线于，然后以点为圆心，为半径作，则在内的弧为满足条件的点所组成的图形； （4）先证明，得到，，根据（3）问点P的运动轨迹是，，连接，证明，进而得到，，，根据勾股定理求出，，根据，可得，即可求出的最小值为． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：50，130； （2）解：当在优弧上时，， 当在劣弧上时，， 故答案为：或； （3）劣弧（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形； （4）解：如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P的运动轨迹是， ∴． 连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形性质、等边三角形的性质的运用、全等三角形的判定及性质的运用，解题关键是证明三角形全等，本题还考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 59．(1) (2) 如图，直线l即为所求； (3) 如图③， 理由：∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (4) 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 【分析】 （1）根据旋转的性质得出，，故点O是和的垂直平分线的交点； （2）由过平面内一点P存在直线l，当点P在的边上，则点C与点P重合，先在线段上截取，再在上截取，然后作直线即可； （3）先证明，，结合，进而得出，可证点O，C，E，D共圆，可证，然后证明即可说明小红作图的正确性； （4）仿照（3）的作法及说明方法解答即可． 【详解】（1）解：如图①，连接，，作和的垂直平分线，交于点O，则点O即是所求作的旋转中心； （2）略 （3）略 （4）解：理由：连接， ∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 60．(1) (2) 证明：如图2，延长到点， 四边形内接于， ， ， ， 平分， ， ， ， 是的平分线， ， ， ，， ， ， 是的外角平分线， 是中的分角； (3) 证明：如图3，连接， 是中的分角， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形外角性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角． （1）根据分角的定义得到，，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）延长到点，根据圆内接四边形的性质得到，得到，根据圆周角定理得到，进而得到，根据分角的定义证明结论； （3）连接，根据分角的定义得到，进而证明，根据得到，根据等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：是中的分角， ，， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）略 61．(1)， (2) 证明：在上取点D，使，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点P在上运动不与B，C重合， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) (4)7 【分析】（1）由圆周角定理和题意即可得解； （2）在上取点D，使，连接，证明是等边三角形，得，再证明得，从而可得出结论； （3）构造圆内接四边形，延长交圆O于点D，连接，利用B命题建立关于半径的方程求解即可； （4）条件中有2倍角，故构造一个外角等于二倍角从而得到等腰三角形，在线段上截取作，连接，证，可得，从而证明，再过点E作于点G，设，将都用x表示，最后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知因为， 所以A，B，C，D四点共圆， 此时； 故答案为：，； （2）略 （3）解：延长交圆O于点D，连接，，，如图3， 设半径为r，则， ， ， 为直径， ， 在中，， ，， ， ， 即， ， 解得负值舍去， 即扇形的半径的长； （4）解：如图4，在线段上截取，连接， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 过点E作于点G， 设，则，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 62．(1) 证明：连接，， ∵劣弧的度数为， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形； (2)的度数为，，． (3) 【分析】（1）连接，，证明，，从而可得结论； （2）如图，连接，，由为等边三角形，，结合，可得，如图，当重合时，，为等腰三角形，可得，如图，当时，连接，由，可得， （3）解：如图，连接，证明，可得，取的中点，连接，，，，，过作于，当过时，最大，可得最大，则最大，再进一步解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴在上， ∵为等边三角形， ∴， ∵为等腰三角形，此时， ∴， 如图，当重合时，，为等腰三角形， ∴同理可得：， ∴， 如图，当时，连接， ∴， 同理：在上， ∵， ∴， 综上：的度数为，，． （3）解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴在上，， ∵，， ∴， ∴， 取的中点，连接，，，，， ∵由等边三角形可得， ∴， ∴在以为圆心，为半径的上， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴在上， 过作于，当过时，最大， ∴最大，则最大， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大面积为． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，弦，弧，圆心角的关系的应用，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 63．(1)①；② (2) 证明：如图2所示，设与弦所在圆交于点D，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；    (3)①如图所示，    ； ② 【分析】（1）①设弦所在圆的圆心为O，连接，由圆周角定理得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案；②要使的面积最大，则点A到的距离要最大，故当点A运动到时（运动到图中），此时点A到的距离要最大，即此时的面积最大，据此求解即可； （2）设与弦所在圆交于点D，连接，由同弧所对的圆周角相等得到，由三角形外角的性质得到，据此可证明； （3）如图所示，以为边向左作等边三角形，以为圆心，的长为半径作圆，则点M的轨迹为优弧（不包括端点C、D）；如图所示，过点O作于E，由矩形的性质得到，，由等边三角形的性质得到，则，据求出，，则；当B、M、O三点共线，且点M在线段上是，线段有最小值，据此由勾股定理得，则线段的最小值为；②如图所示，过点O作于P，于G，连接，利用三角形面积计算公式得到；利用等边三角形的性质和勾股定理得到，再证明四边形是矩形，得到，，则，求出，可得；同（1）②可知，当时的面积最大，此时，由圆的对称性可知当点M继续向点C运动直至时，此时刚好有，点M再继续运动，则，故当不小于时． 【详解】（1）解；①如图所示，设弦所在圆的圆心为O，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）； 故答案为：； ②∵要使的面积最大， ∴点A到的距离要最大， ∴当点A运动到时（运动到图中），此时点A到的距离要最大，即此时的面积最大， 设直线与交于H，则， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：；    （2）略 （3）解：①以为边向左作等边三角形，以为圆心，的长为半径作圆，则点M的轨迹为优弧（不包括端点C、D）； 如图所示，过点O作于E， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点M在优弧（不包括端点C、D）上运动， ∴当B、M、O三点共线，且点M在线段上是，线段有最小值， 在中，由勾股定理得， ∴线段的最小值为； ②如图所示，过点O作于P，于G，连接， 当时，则， ∴， ∴； ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 同（1）②可知，当时的面积最大，此时， 由圆的对称性可知当点M继续向点C运动直至时，此时刚好有，点M再继续运动，则， ∴当不小于时．    【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合，勾股定理，矩形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． 64．(1) (2) 解：①是直径的回旋角，理由如下： ∵过圆心， ∴，即垂直平分， ， 又 ∵， ， 又 ∵， ， ∴是直径的回旋角． ②回旋角的度数与的度数相等，证明如下： 连接， 由①知：， ， ， ， 又 ∵， ， 又 ∵的度数等于度数， ∴回旋角的度数与的度数相等． (3)4或6 【分析】（1）用平角减去，再除以 2 可得； （2）①利用垂径定理可知垂直平分，从而得出，再用对顶角相等和等量代换，从而证明，即是直径的回旋角； ②连接，利用可证，又用圆周角定理可知，从而可知回旋角的度数与的度数的大小相等； （3）过点作于点，过点作于点，连接，由②得回旋角的度数与的度数相等，可知，从而求出的长，则，联立可得的长度，从而解决问题． 【详解】（1）解：∵为直径的回旋角， ， 又 ∵， ； （2）略 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵的直径， ∴， 由（2）②得回旋角的度数与的度数相等， ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ，， ∵的周长为， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴解得或， ， ， 和都是等腰直角三角形， 当时，点在上， ， 在中， ，， 当时，点在上，同理可得， ， 综上所述：的长度为4或6． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了对新定义的理解与应用，圆的基本性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键，属于中考压轴题． 65． （1）证明：设交于点E，连接，则， ∵， ∴； （2）如图，作等边，作外接圆O，设与的交点为，，则，故点，即为所求作： （3） 【分析】（1）根据圆周角定理和三角形的外角性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质和圆周角定理画图即可； （3）在图（2）的基础上，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度，再根据（1）中结论可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，由（2）中作图痕迹，得，，， 在中，， 由勾股定理得， ∴，则； 中，，， ∴，， 由勾股定理得， ∴，则； 过O作于G，连接，则，， 在中，，， ∴，； 在中，，， ∴，则， ∴， ， 由（1）知，当点C在内部时，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的外角性质、等边三角形的尺规作图及其性质、尺规作三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出图形是解答的关键． 66．(1) 证明：在⊙O中，， OF是△ADB的中位线， ∵BD为⊙O的直径，， (2) 证明：作直径DG，连接AG． 在⊙O中， OF是△ADG的中位线， DG是⊙O的直径， ， ． (3) 【分析】（1）根据垂径定理可知F是AD中点，故OF是的中位线，即，再根据垂径定理说明即可； （2）作直径DG并连接AG，根据中位线定理证明，再根据圆周角定理证明，从而证明即可； （3）根据条件分析出当时，AM取最小值，利用含直角三角形的性质与勾股定理即可解出此时AM的长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3） 在中，，，M是DF的中点， 如图⑤所示，当AF的长度发生变化时： 点M是DF中点 点M始终保持在平行于AF的直线上 当AM的长度取最小值时， 如图④，此时，取AD中点H，连接MH，则 H、M分别是AD、DF中点 MH是的中位线， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题型，主要考查垂径定理、圆周角定理与中位线定理的应用，根据三个小问的变化情况，构造含中位线的三角形，是本题的解题关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $