第29讲 新定义不等式与小题压轴专项训练-2027届高三数学一轮复习

第29讲 新定义不等式与小题压轴 新定义数列·集合组合·量词与反例·收官压轴 一、新定义数列:不等式链当定义 1. 定义即翻译. “”一类的定义,逐字拆开就是两条不等式:递增与有上界 ——“是否为某某数列”就是验这两条,“求参数”就是解这两条对参数的约束. 2. 上确界意识. “ > 一切 ”⟺“ 上确界”:数列逼不上界的临界值就是参数的下界;取等与否看端点是否真取到. 3. 倒数平移. 递推式 右边加正项时, 的差是负的小量——取倒数再放缩(如 )是处理“控制上界”的标准起手. 例1（解答·★★★★★） 已知，若正项数列满足，则称为“上界m数列”．（1）若，判断数列是否为“上界1数列”，并说明理由；（2）若数列是“上界m数列”，求m的最小值；（3）若，且．证明：数列是“上界1数列”． 变式1（解答·★★★★★） 若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”.（1）试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”；（2）设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数k的最大值；（3）设数列满足，，试判断数列是否是“倍增数列”，并说明理由. 变式2（解答·★★★★★） 已知数列满足：①，②，则称数列有性质Ω，数列称为“数列”，记．（1）若，写出的所有可能值（直接给出答案即可）；（2）当，时，设；数列为等差数列．请判断是的什么条件？并说明理由；（3）若数列符合且，记集合（）．在到中任取两个不同元素，，求的概率最大值． 二、集合上的新定义:和、差与完备性 1. 子集和结构. 集合元素从小到大排列:要能表示出 的一切整数,必须 且 (否则 断档)——这是“完备表示”的充要骨架,也直接给出元素个数的下界. 2. 配对计数. 证明“个数不超过 ”一类上界,找配对:和为定值的两个数至多取其一,把 的自由度压到 . 3. 差集封闭. “任意两数之差仍是某数到基准数的距离”这类定义,先问基准数是最大还是最小——反证:若在中间,最大减最小没处安放. 例2（解答·★★★★★） 对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和．定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”．（1）判断，和是否为完全集合（无需证明）；（2）若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值；（3）设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 例3（解答·★★★★★） 在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第（）轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，（），则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足．（1）写出，并求出数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）证明：． 变式3（解答·★★★★★） 记集合，为集合（）的两个子集，且满足，为空集．定义：（两个和号分别表示集合，中所有元素的和）．（1）当时，求的所有可能的值；（2）求的最小值；（3）设为不超过的自然数，且与的奇偶性相同，证明：存在，，使得． 三、新定义小题:量词、距离与反例 1. 小题里的新定义. 定义读完先做两件事:代一个具体对象探路(特殊方格、具体函数、具体点),再找不变量或永真式( 一类)——小题要的是快,不是全. 2. 量词与反例. “可能成立”=存在实例,“一定成立”=任取皆真——多选题里两类选项的应对武器不同:前者构造,后者证明或反例. 3. 距离与旋转. 曼哈顿距离的“圆”是正方形、旋转是线性变换——新几何定义回到坐标与图象,不等式只负责最后一步放缩. 例4（多选·★★★★☆） 在的方格表中，任意填入个互不相等的实数（为该数所在的行与列的序数），取每行的最大数得到个数，其中最小的一个是；再取每列的最小数，又得到个数，其中最大的一个是。下列结论中可能成立的有（　） A. B. C. D. 变式4（填空·★★★★☆） 定义在上的函数满足.若，对，，则 = __________，并写出的一个函数解析式__________. 变式5（单选·★★★☆☆） 已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（ ） A. 若的周期为1，则满足性质 B. 若，则不满足性质 C. 若（且）满足性质，则 D. 若偶函数满足性质，则图象关于直线对称 变式6（单选·★★★☆☆） 若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式7（填空·★★★☆☆） 已知函数，，则的取值范围是__________. 变式8（多选·★★★★☆） 将平面向量绕起点逆时针旋转角得到的向量记为，已知向量，，则（　） A. B. C. D. 变式9（单选·★★★★☆） 已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29讲 新定义不等式与小题压轴 新定义数列·集合组合·量词与反例·收官压轴 一、新定义数列:不等式链当定义 1. 定义即翻译. “”一类的定义,逐字拆开就是两条不等式:递增与有上界 ——“是否为某某数列”就是验这两条,“求参数”就是解这两条对参数的约束. 2. 上确界意识. “ > 一切 ”⟺“ 上确界”:数列逼不上界的临界值就是参数的下界;取等与否看端点是否真取到. 3. 倒数平移. 递推式 右边加正项时, 的差是负的小量——取倒数再放缩(如 )是处理“控制上界”的标准起手. 【通法】定义逐字拆成不等式. 【通法】参数临界=上确界,取等单独验. 【通法】控制上界,倒数放缩. 例1（解答·★★★★★） 已知，若正项数列满足，则称为“上界m数列”．（1）若，判断数列是否为“上界1数列”，并说明理由；（2）若数列是“上界m数列”，求m的最小值；（3）若，且．证明：数列是“上界1数列”． 【切入点】“上界 数列”即 (递增)且 (恒小于 )。 (1) 。比较前两项的自变量: 与 ,由 知 ;又 给两角均小于 ,正弦递增,故 ——不满足递增,不是上界 1 数列。 (2) 且递增(作差 )。“上界 数列”要求 对一切 成立,而 无限逼近 ,故 ,最小值为 。 (3) 递增性:。再证 :取倒数, 累加得 。而 ,且对 有 (裂项),故 于是 ,即 。故该数列是上界 1 数列。 【关键】三问三种武器:(1) 比较前两项就否掉递增;(2) 上界参数卡在上确界;(3) 的核心是倒数放缩 配上裂项 —— 这个粗界足够粗糙也足够用,放缩够用即停. 【答案】（1）不是（ 不递增）;（2）;（3）证明见解析 变式1（解答·★★★★★） 若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”.（1）试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”；（2）设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数k的最大值；（3）设数列满足，，试判断数列是否是“倍增数列”，并说明理由. 【切入点】(1) 数列 :比值 ?即 依次增大,,是;数列 :比值 依次减小(),不是。 (2) 且比值 为整数、逐个严格增,故 ,,依此递推;由 与整除关系逐步收紧得 ,,,,而 ,故 最大为 。 (3) 斐波那契数列满足 。记 ,则 再用 与 化简: (其中 到 一步用了 与 的展开对消)。而 ,故 恒成立,即 ,相邻奇数项比值严格增——原数列的奇数项子列是倍增数列。 【关键】(2) 的账本:整数比值逐个增 ⟹ 累乘不小于阶乘,再用质因数分解把每个比值的天花板收紧;(3) 的不变量 是卡西尼型恒等式的初等化身——构造差、证 、落一个正的初值,三步完成递推式证明. 【答案】（1）是；不是;（2）;（3）是（证明见解析） 变式2（解答·★★★★★） 已知数列满足：①，②，则称数列有性质Ω，数列称为“数列”，记．（1）若，写出的所有可能值（直接给出答案即可）；（2）当，时，设；数列为等差数列．请判断是的什么条件？并说明理由；（3）若数列符合且，记集合（）．在到中任取两个不同元素，，求的概率最大值． 【切入点】(1) 由 与 :, 逐层倒推,可能值为 。 (2) 必要性方向( 不成立):常数列(恒为 )是公差为 的等差数列,也是 数列,但 。充分方向( 成立): 到 净增 ,而 步内每步至多增 、步数只有 步——每一步都必须恰好 ,故数列只能是 一直到 ,确为等差。所以 是 的充分不必要条件。 (3) 第一步(奇偶约束):整数、 与 合起来给 ,故 (奇偶交替),从而 为偶当且仅当 。故 。 第二步(构造达到):取 ,,,,,此后按 循环:,,,。每步差恰为 且相邻不等;前缀和按 每 项循环,零点恰在 与 处, 达到上界:( 或 )、( 或 )。 于是 【关键】(2) 是抽屉原理的反向用:总增量被步数与单步上限双面夹死,每步只能取上限——“唯一可能”三个字从此而来;条件判定恰好回扣第21讲的充要条件框架;(3) 的钥匙是奇偶强制:三条件合起来逼出 ,前缀和的奇偶被下标模 4 锁死, 的上界与构造同源. 【答案】（1）;（2）充分不必要条件;（3） 时 , 时 , 时 二、集合上的新定义:和、差与完备性 1. 子集和结构. 集合元素从小到大排列:要能表示出 的一切整数,必须 且 (否则 断档)——这是“完备表示”的充要骨架,也直接给出元素个数的下界. 2. 配对计数. 证明“个数不超过 ”一类上界,找配对:和为定值的两个数至多取其一,把 的自由度压到 . 3. 差集封闭. “任意两数之差仍是某数到基准数的距离”这类定义,先问基准数是最大还是最小——反证:若在中间,最大减最小没处安放. 【通法】完备表示:. 【通法】计数上界,先找配对. 【通法】差集封闭,基准在端点. 例2（解答·★★★★★） 对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和．定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”．（1）判断，和是否为完全集合（无需证明）；（2）若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值；（3）设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 【切入点】(1) :子和 ,子集和取遍 至 (二进制结构),是完全集合;:表示不出 ,不是;:子和 ,取遍 至 ,是完全集合。 (2) 设元素从小到大排列为 到 。能表示 强制 ;要不断档须 ,归纳得 。故前 个元素至多 ,元素个数至少 ;构造 : 不断档,子和恰 ,故最小值为 。 (3) 先证 :若 ,其余元素之和为 ,连 都表示不出,矛盾。再证 中没有不小于 的元素:若 且 ,则 须能表示;含 的子集和至少为 ,故只能由 去掉 后的剩余元素表示,而其总和为 ,不可能。于是 的元素全部落在 至 中,且表示 强制 。这样的 至多 个(其余 个位置各取或不取),故 得证。 【关键】(2) 的断档原理 是一条不等式管两件事:个数下界与构造存在性;(3) 的上界全靠配对:发现 不可兼得,自由度从 砍到 ——计数上界题,先找“不可兼得”的结构. 【答案】（1）是；不是；是;（2）;（3）证明见解析 例3（解答·★★★★★） 在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第（）轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，（），则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足．（1）写出，并求出数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）证明：． 【切入点】(1) 逐轮变换: 的奇数项为 、偶数项为 ; 的奇数项为 、偶数项为 ; 的奇数项为 、偶数项为 ; 的奇数项为 、偶数项为 。由 :, 时两式相减 ,即 ,故 。 (2) 第 轮和增加 ,第 轮增加 ,两轮合计 ;而 ,故 ,即 偶时 ; 奇时用 得 。 (3) ,故第 项 由 (): 求和: 其中 、 为标准几何型级数(错位相减可得)。故总和小于 ,得证。 【关键】(2) 的两轮打包:奇偶轮各算增量、配对相加恰为 ——分段数列求通项先“打包”;(3) 的放缩链:根号里提出完全平方 ,再用 松成两个几何级数—— 的线性上界是放缩题里最常用的一把小刀,而 与 两个级数和要背. 【答案】（1）,;（2）（ 偶）,（ 奇）;（3）证明见解析 变式3（解答·★★★★★） 记集合，为集合（）的两个子集，且满足，为空集．定义：（两个和号分别表示集合，中所有元素的和）．（1）当时，求的所有可能的值；（2）求的最小值；（3）设为不超过的自然数，且与的奇偶性相同，证明：存在，，使得． 【切入点】(1) :,子和 ,由对称性只列一半: 取空集得 ; 得 ; 得 ; 得 ; 得 ; 得 ; 得 ; 得 。可能值为 。 (2) 与 同奇偶,最小值为:当 偶( 或 )时取 —— 时取 为全部奇数 到 连同偶数 到 ,首尾配对两集合等和; 时挖去 到 后同法,再放回 与 。当 奇( 或 )时取 ,在上述等和划分基础上把 (或 )单独挪到一侧。 (3) 对 归纳:目标 ,与 同奇偶、。 时 成立。设对 成立: 到 的划分可实现一切与 同奇偶的差 。把 放入 得差 ( 取遍长 、步长 的等差列),放入 得 ;两段合起来覆盖 内与 同奇偶的一切值,只要 ,即 ——对 成立(), 直接验。故一切 (与 同奇偶、)都可实现,得证。 【关键】(2) 按 的奇偶分四类,等和划分靠首尾配对;(3) 的归纳要点是新元素只有两个去处(入 或入 ),可实现的差集随之平移两段——覆盖衔接条件 用二次和一步放缩,这就是“步长 2 的等差列”能缝合成连续(同奇偶)区间的原因. 【答案】（1）;（2） 偶时最小值 , 奇时最小值 ;（3）证明见解析 三、新定义小题:量词、距离与反例 1. 小题里的新定义. 定义读完先做两件事:代一个具体对象探路(特殊方格、具体函数、具体点),再找不变量或永真式( 一类)——小题要的是快,不是全. 2. 量词与反例. “可能成立”=存在实例,“一定成立”=任取皆真——多选题里两类选项的应对武器不同:前者构造,后者证明或反例. 3. 距离与旋转. 曼哈顿距离的“圆”是正方形、旋转是线性变换——新几何定义回到坐标与图象,不等式只负责最后一步放缩. 【通法】先代特例,再找不变量. 【通法】可能=构造,一定=证明或反例. 【通法】新距离回坐标,旋转回线性. 例4（多选·★★★★☆） 在的方格表中，任意填入个互不相等的实数（为该数所在的行与列的序数），取每行的最大数得到个数，其中最小的一个是；再取每列的最小数，又得到个数，其中最大的一个是。下列结论中可能成立的有（　） A. B. C. D. 【切入点】设 (第 行最大),(第 列最小)。第 行最大给 ,第 列最小给 ,故 即 恒成立——B()不可能,排除。 A:构造第一行 、第二行 的方格:,,,可能;C:构造第一行 、第二行 的方格:,可能;D:当 且 为偶数时,如 ,:,可能。故 ACD。 【关键】“行最大里的最小,列最小里的最大”—— 是维恩式永真式(经 中转);其余选项全靠 小方格构造:一个反例/正例各管一个选项,小题新定义就吃这一套. 【答案】ACD 变式4（填空·★★★★☆） 定义在上的函数满足.若，对，，则 = __________，并写出的一个函数解析式__________. 【切入点】 给符号结构: 时 , 时 (用反证法排除零点:若 ,则 与 矛盾)。 由 恒成立,两因式同号,故 与 同时越过 :对一切 成立,临界必须重合, 记 :,即 , 或 。 须为正整数:取 ,乘积恒为 ;若 ,乘积为 ,舍。故 (或 的镜像)。验证:两宗量 与 同以 为临界,恒同号,两个函数值都是 ,乘积恒为 。 【关键】两条宗量同号,把函数方程压成临界重合等式 ;三次方程因式分解出两个正根后, 这个条件负责二选一,无零点引理再排除 ——压轴填空的每一层都有一把小筛子. 【答案】;（）,（）（或 的镜像） 变式5（单选·★★★☆☆） 已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（ ） A. 若的周期为1，则满足性质 B. 若，则不满足性质 C. 若（且）满足性质，则 D. 若偶函数满足性质，则图象关于直线对称 【切入点】性质 : 对一切 。 A:周期 给 ,即 成立;而 要求 ,除非 ,假; B:,恰满足 ,假; C: 对一切 给 ,故 ,假; D:偶函数配 :,而偶性给 ,故 ,图象关于 对称,真。选 D。 【关键】新定义+函数性质:每项都化成一条具体等式再判——A 差个符号、B 现成反例、C 一行解出 的符号、D 用偶性把滞后改对称;定义题的小题,逐项“翻译”就是全部工作量. 【答案】D 变式6（单选·★★★☆☆） 若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】, 且 。两条不等式给 。记 : 时 的范围:在 上由 增到 ,在 上由 减向 ,故 (右端 取到,左端取不到),从而 , 选 A。 【关键】三元约束消元到比值:把目标平方、除以 ,一切只剩 ;对勾函数 在负区间上的“峰在 ”一手包办范围——端点取不到的原因( 是严格不等式)决定开区间. 【答案】,选 A 变式7（填空·★★★☆☆） 已知函数，，则的取值范围是__________. 【切入点】。两次均值不等式: 记 ,(): 等号需 且 (即 ),解得 ,,与 矛盾,取不到;又各因子恒正,故 【关键】四因子乘积的最值,两两配对用两次均值:第一对的配方 恰是 的化身;取等点 被严格不等式 恰好卡掉——开区间的“开”就是这样来的. 【答案】 变式8（多选·★★★★☆） 将平面向量绕起点逆时针旋转角得到的向量记为，已知向量，，则（　） A. B. C. D. 【切入点】旋转变换保持线性组合:,且连续两次旋转角度相加。 A:转两次即 ,真;B:线性性,真; C:逐步展开 ,而选项右端多出 (代 、 实算 ,选项右端为 ),假; D:递推展开 。 时: 旋转 (整圈)回到自身;而 的 次旋转按 个方向各出现 次, 个方向单位向量之和为零,和为 。故 ,,真。故 ABD。 【关键】旋转的两条代数性质(线性、角相加)撑起 A、B、C;D 的机关是周期清点:,向量 的旋转和绕一圈归零——新定义压轴多选的最后一项,往往藏着一个“恰好整除”的清点. 【答案】ABD 变式9（单选·★★★★☆） 已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 给 在单位圆内;()给 在以 为中心、顶点 的正方形(曼哈顿球)内。正方形上离原点最远的点是 或 :。而 可沿 反向伸到单位圆上,故 选 D。 【关键】两种距离的“球”形状不同:欧氏球是圆,曼哈顿球是正方形——图象一画,最值 = 远点距离 + 本方半径;三角形不等式 负责把两段接起来. 【答案】,选 D 学科网（北京）股份有限公司 $