第42讲 空间直线、平面的平行 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间直线与平面平行的核心考点，以线面平行、面面平行的判定定理和性质定理为基础，通过基础回顾梳理知识体系，分五大题型（基本问题、线面判定、线面性质、面面判定与性质、存在性问题）构建逻辑框架，配合课时精练实现考点梳理、方法指导与真题训练的有机结合。 讲义突出数学思维与空间观念的培养，如线面平行判定中通过构造中位线或平行四边形转化线线平行，存在性问题采用假设法探究位置关系，助力学生快速掌握证明思路。分层设计例题与练习，精准突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生空间几何应考能力提供系统支撑。

第42讲 空间直线、平面的平行 题型一 空间中平行关系的基本问题 2 题型二 直线与平面平行的判定 7 题型三 直线与平面平行的性质 22 题型四 平面与平面平行的判定与性质 35 题型五 平行关系中的存在性问题 50 课时精练 63 【基础回顾】 知识点1：线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒ a∥b 知识点2：面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒ a∥b 【必备知识】 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β． 2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ． 3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 4．若α∥β，a⊂α，则a∥β． 题型一 空间中平行关系的基本问题 (1)判断与平行关系相关的命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是选择题还是含有选择项的填空题，都可以先从中选出最熟悉、最容易判断的选项确定或排除，再逐步判断其余选项． (2)直线、平面间平行的判定方法 ①关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件； ②结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断； ③利用实物进行空间想象，比较判断； ④熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 【例题精讲】 1．设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【分析】结合线面平行的判定定理验证充分性，结合线面平行的性质验证必要性. 【详解】已知，：如果本身也在平面内（是不同直线）， 此时，不满足，因此充分性不成立； 若，则和平面无公共点，与内的直线可以平行，也可以异面， 不一定满足，因此必要性不成立， 综上，“”是“”的既非充分又非必要条件. 2．已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】作出相交平面可说明B项错误；借助于长方体模型可说明D项错误；利用面面平行的判定定理可说明A正确；利用线面平行的判定定理可判断C项. 【详解】对于A，由可得，又有，且是两个平面，故，即A正确； 对于B，如图，取，，且，则易得，但得不到，故B错误； 对于C，由，可得或，故C错误； 对于D，如图，设为长方体的两个相对的底面，是长方体的一条竖直和一条水平的棱， 显然满足，但得不到，故D错误. 3．已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于 ，面面平行的判定定理要求相交，若 ，则 可能相交，故错误； 对于 ，过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故， 又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故正确； 对于C，若 ，则 或 ，故 错误； 对于，若， 如果或，则不能判断 ，故错误. 4．已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断. 【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”， 但“”不成立，故充分性不成立； 若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立； 所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 5．已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ） A．若平行于同一直线，则 B．若垂直于同一直线，则 C．若不平行，则在内不存在与平行的直线 D．若不平行，则与不可能垂直于同一平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若平行于同一直线，则或与相交，所以A不正确； 对于B，若与垂直于同一直线，则与平行或相交或异面，所以B不正确； 对于C，若不平行，设，在平面内作直线， 因为，所以，即在内存在与平行的直线，所以C不正确； 对于D，若，可得，所以不平行，则与不可能垂直于同一平面，所以D正确. 6．已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，可能平行于平面，也可能(此时不平行于平面，)，故A错； 对于B，若，，直线，可能平行、相交或异面，故B错； 对于C，如果两平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故C正确； 对于D，若，，直线与平面可能相交、平行或. 7．已知为两条不同直线，为三个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线面平行、面面平行的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，所以可能平行也可能异面，所以A错误； 对于选项B： 若，所以可能与平面平行，也可能在平面内，所以B错误； 对于选项C： 若，那么，也可能平面相交，所以C错误； 对于选项D： 根据平行平面的传递性，若，则.所以D正确. 故选：D. 8．（多选）设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】用空间几何中线、面平行与垂直的判定定理与性质，构造反例来排除错误选项即可. 【详解】若，，则或m与n相交或m与n异面，选项A错误; 若，，则，选项B正确; 若，，则或α与β相交，选项C错误; 若，，则或，又，则，选项D正确 9．（多选）已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，且 ，则 B．若，且 ，则 C．若 ，且，则 D．若，且 ，则 【答案】AD 【分析】根据点，线，面位置关系的定理和性质逐一判断即可. 【详解】A，因为，，所以， 又，所以不同的平面满足，故A正确； B，若，且，则或两平面相交， 比如：正方体的底面和侧面中分别取直线，且，但是底面和侧面并不平行，故B错误； C，若，且，则两平面相交或平行， 比如：正方体的上下两个底面中分别取直线，且，上底面与平行，但是上底面与下底面并不垂直；故C错误； D，因为，，则，又，所以，故D正确. 故选：AD 10．（多选）设为互不重合的两个平面，m，n为互不重合的两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若m，n为异面直线，且，，，，则 C．若m，n与所成的角相等，则 D．若，，，则 【答案】ABD 【分析】由线线关系、线面关系、面面关系逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由，得，又，所以，故A正确； 对于B，在空间取一点，过点分别作，，则与确定一个平面 ，由，，得，，所以，同理，所以，故B正确；    对于C，当m，n相交，且与都平行时，m，n与所成的角相等，此时与不平行， 故C错误； 对于D，由，可知，在上取一点，过在内作一直线， 使得，则，过在内作一直线，使得，则，显然 ，则，故D正确.      故选：ABD. 题型二 直线与平面平行的判定 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)(客观题可用)． 【例题精讲】 1．如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，满足，，且，，，．点M为的中点，点N为的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)以A为原点，分别以，，所在方向建立空间直角坐标系． 则，，，， ，，，． 因为M为的中点，N为的中点，所以，． 有． 平面中，，． 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则， 又，则， 而平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）以A为原点，分别以，，所在方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量证明线面平行即可； （2）求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求平面与平面的夹角即可． 【详解】（1）略 （2）易得平面的一个法向量为． 在平面中，，． 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则． 设平面与平面所成角为， 则， 因此， 即平面与平面所成二面角的正弦值为． 2．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：连接，交于点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； 证法二：连接交于点，连接交于点，连接，推导出，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）法一：连接，交于点，连接、，如图．    因为四边形是矩形，所以是的中点． 又是的中点，所以，且．         又，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以．         又平面，平面，所以平面．     法二：如图，连接交于点，连接交于点，连接． 因为为的中点，且，所以． 又为的中点，且，所以， 所以，则．             因为平面，平面，所以平面． （2）如图，以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．    不妨设，则、、、、， 所以，，，．     设平面的一个法向量为， 则，令，得，，则． 设平面的一个法向量为， 则，令，得，，则． 设平面与平面的夹角为，则，             所以平面与平面夹角的余弦值为． 3．如图，在三棱锥中，底面，点F在棱上，且，E为的中点，D为的中点，G在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若为等边三角形，且，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线构造面面平行再证明线面平行； （2）先建立坐标系再求出平面的法向量即可求两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）如图，取的中点H，连接，，． 因为E为中点，所以，又平面，平面，所以平面． 因为，所以，又，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面，           又平面，所以平面. （2）如图，以A为坐标原点，以为y轴，为z轴，过A在平面内作为x轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，，所以，则， 又因为E为中点且，所以． 取的中点T，连接，，则，，则为两平面夹角的平面角或其补角． 因为，，， 所以，           所以平面和平面夹角的余弦值为． 4．如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为2的菱形．，，．    (1)若点，分别为棱和棱的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)因为，且，所以四边形是等腰梯形. 取的中点，连接、.是中点，故，； 又是中点，菱形中，，故，. 因此且，四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，故平面.    (2) 【分析】（1）取的中点，连接、.根据中位线以及菱形的性质得到四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，应用线面角正弦公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由，菱形边长为，故为正方形，进而. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 故可以为原点，分别以为轴，以过点的平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系. 由（1）易得，，，，，. 故，，. 设平面的法向量， 则，故可取. 设直线与平面所成角为， 则. 因为，故.    5．如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)如图，连接，交于点，连接．    在长方体中，四边形是矩形， 因为对角线与交于点，所以为的中点， 又点是棱的中点，所以 ， 又平面 平面，所以平面． (2)连接． 在长方体中，四边形是矩形，所以 ， 因为点分别是棱的中点，， 所以 ，所以四边形是正方形，． 在长方体中，平面， 又平面，所以． 因为 平面， 所以平面． 【分析】（1）根据中位线得到线线平行，再根据线线平行证明线面平行； （2）先证明线线垂直，然后得到线面垂直． 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面． (2)若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①点为上靠近点的三等分点，理由见解析；② 【分析】（1）利用线面平行的判定证明； （2）①利用线面平行的性质得，再结合相似比得解；②先利用线面垂直的判定证得平面，再结合棱锥的体积公式计算求解. 【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，． 在中，为的中点，为的中点， ，． 在平行四边形中，为的中点， ，， 且， 四边形为平行四边形， ． 平面，平面， 平面． （2）①如图，连接交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． ． 四边形是平行四边形，为的中点， ， ， ，即点为上靠近点的三等分点． ②在四边形中，，，， ． 取的中点，连接． 是正三角形， ，且． 平面平面，且平面平面，平面， 平面． 为上靠近点的三等分点， 点到平面的距离为． 三棱锥的体积． 7．如图，在边长为2的正方体中，为中点， (1)证明： 平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)在边长为2的正方体中，设交于点，则是中点， 连接，因为为中点，所以 ， 又平面平面，所以 平面. (2)在边长为2的正方体中，平面， 平面， 底面为正方形，， 平面平面， 平面. (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得； （2）由线面垂直的判定定理及正方体的性质可得； （3）根据棱锥的体积公式可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在边长为2的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为. 8．如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； (3)求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)证明： 如图所示，连接正方形的对角线，交于点，则是的中点， 又是的中点，因此在中，是中位线，故. 又平面，平面，所以平面，得证. (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行； （2）利用平行线转化异面直线所成角，结合三角形和三角函数求角的大小； （3）由几何关系确定∠POD是二面角的平面角，进而在中计算正切值. 【详解】（1）略. （2）由（1）知，因此异面直线与所成角等于与所成的角. 正方形边长为2，故，则； ，，， 在中：； 是中位线，， 故. 在中， ， 因此是直角三角形，， 故： ，得， 即异面直线与所成角的大小为. （3）由，，，得平面，因此，，故就是二面角的平面角. 为中点，，， 在中，. 又，因此， 所以二面角的平面角的正切值为. 9．在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)取的中点，连接. 因为为的中点，所以，且. 又因为，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，利用中位线定理及已知条件证明四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接，证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）略 （2）分别取的中点，连接. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在等腰梯形中，过点作于点. 因为，所以， 又，所以. 以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于的直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 则，设平面的法向量为， 则，即，取，得， 易知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则， 所以二面角的大小为. 10．如图，在四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AA1为AC的中点． (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）解法一：通过证明四边形 为平行四边形得到，利用线面平行的判定定理得到证明.解法二：通过证明四边形为平行四边形得到 ，利用线面平行的判定定理得到证明. （2）解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而得到直线与平面所成角的正切值．解法二：作出合理辅助线，利用定义法从而得到直线与平面所成角的正切值． 【详解】（1）解法一：因为四边形是正方形，，所以． 因为四边形是正方形，，所以，所以 ， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面． 解法二： 证明：取的中点，连接， 易得是的中位线，所以． 根据棱台的性质可得，所以 ， 因为，所以，则， 所以四边形为平行四边形，所以 ， 因为平面平面， 所以平面． （2）解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以 ，． 设平面的法向量为，则， 令，则， 则 设直线与平面所成的角为， 则 ， 故直线与平面所成角的正切值为． 解法二：设与交于点，连接．过点作，交于． 因为四边形为正方形，所以四边形为正方形，所以． 因为平面，所以平面， 又平面，则． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 因为 ，平面，平面， 所以平面， 所以即为直线与平面所成的角， 因为，所以即为直线与平面所成的角． 连接，则， 所以， 所以，故直线与平面所成角的正切值为． 题型三 直线与平面平行的性质 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． 【例题精讲】 1．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. (2)取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. (3)线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 【分析】（1）直接由线面平行的性质定理可得； （2）取的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （3）取的中点，由已知条件可得四边形是平行四边形，进而可得 平面，再结合（2）的结论及面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．如图，直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把折起，使点A到点P的位置，且．    (1)设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明：. (2)证明：平面； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到线面平行，进而得到线线平行； （2）由勾股定理逆定理得线线垂直，进而得到线面垂直； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得到二面角的余弦值和正切值 【详解】（1）因为，E为AB的中点，所以， 因为，所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 又平面与平面的交线为l，平面，所以 （2）因为，E为AB的中点，所以， 因为，，所以平行四边形为正方形，⊥， 故， 又，故，由勾股定理逆定理可得， 折叠过程中，⊥，又，平面， 所以平面； （3）由（2）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 则， 设二面角的夹角为，由图可知为钝角，故， 所以，所以.    3．如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是，上的点，且． (1)记平面平面，证明：； (2)证明：三条直线，，交于一点． 【答案】(1)证明：在和中， 因为，分别是和的中点，所以，． 又因为，所以，．所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面，所以． (2)证明：由（1）得，，，所以四边形为梯形． 所以梯形的两腰和相交于一点，设交点为． 因为点，平面，所以点平面，同理点平面． 又因为平面平面，所以点， 所以三条直线，，交于一点． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 【答案】(1)取线段的中点，连接，，由于， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，故. (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明面，再由线面平行的性质定理证得. （2）建立空间直角坐标系，设，，由点到平面距离的向量求法，表示出点到平面的距离，即可得的关系，根据棱锥的体积公式，利用基本不等式可求得四棱锥体积的最小值. 【详解】（1）略 （2）连接，交于点，因为底面为菱形，所以. 又平面，所以如图建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， 得，，. 设平面的法向量， 则， 所以点到平面的距离为，化简得， 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 故，即四棱锥体积的最小值为． 5．如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)M是线段的中点． 【答案】(1)在正方形中，在平行四边形中， ∵平面，平面，且平面，平面， ∴平面，平面， 又∵平面，平面，且， ∴平面平面. (2)取与交点为，则，连接. ∴平面平面， ∵平面，且平面， ∴，在平行四边形中， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴M是线段的中点. 【分析】（1）由线线平行得到线面平行，从而证明面面平行； （2）由线面平行的性质得到线线平行，借助平行四边形的性质即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； (2)若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）先证明面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）建立空间直角坐标系，设出的长度，写出点的坐标，然后计算和平面的法向量，然后利用直线与平面所成角的正弦值为，列出方程求解. 【详解】（1）是正方形，， 又平面，平面，平面. 又平面平面，平面，. （2）如图所示，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 是直线上的一点，设，则，，，. ，，. 记平面的法向量为. ，令，则. ，. 记直线与平面所成的角为，由题意可得： . 整理得，解得或. 即或. 7．如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. （2）在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 8．如图，四棱锥的底面为梯形，BC∥AD，底面，，.设平面与平面的交线为l. (1)证明：BC∥l； (2)若二面角A－PD－C的正弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)因为， 平面 ， 平面 ， 所以平面 . 又因为 平面 ，平面 平面 ， 所以 . (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面 ，再利用线面平行的性质定理证明 ； （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的正弦值求出底面相关边长，进而求出底面积和体积. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，. 又因为，，平面， 所以平面. 如图，过点作， 因为， 所以. 又平面，所以，. 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 设，(). 因为，在中，，即. 则，，，. ，，，. 设平面的法向量为， 则，取，则，，所以. 设平面的法向量为， 则 ， 因为，所以.取，则，所以. 设二面角 的大小为，则. 因为，所以. 所以 . 因为，且，所以. 即. 整理得. 又，代入上式得：，，，解得. 所以，即，. 在梯形中，. 因为，且，所以. 所以底面的面积. 四棱锥的体积. 9．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可得证； （2）证明平面，利用线面平行的性质即可证明； （3）过作的平行线交于，求出，证明平面，再根据平面即可得到平面平面，即可得到平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， ∵四边形为正方形， ∴点为的中点，又为的中点， ， 平面PAC，平面， 平面. （2），平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， . （3）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下： 由，为中点得， 过作的平行线交于，连接，， 由于，则， ，平面，平面， 平面， 由（1）知平面， 又，平面， ∴平面平面， 又平面， 平面， 所以侧棱上存在一点，使得平面，且. 10．如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）存在，；（ii）存在， 【分析】（1）由得平面，再由线面平行的性质定理，结合两平面交线，证得； （2）（i）连接交于，利用的比例关系和线面平行判定，得到的值； （ii）根据梯形底面积比求两部分体积比，再结合棱锥体积公式列方程，解得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面，所以. （2）（i）存在点，使得平面，此时. 证明如下：连接交于点，连接 因为，且，所以，又因为，， 所以，因为平面，平面，所以平面. （ii）存在，且，理由如下： 记四棱锥的体积是. 由，得，故， 即. 设，则. 令，得，解得. 故存在点，当时，平面将四棱锥分为体积相等的两部分. 题型四 平面与平面平行的判定与性质 1．判定面面平行的四种方法 (1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)． (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)． (4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)． 2．面面平行的应用 (1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行． (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行． 【例题精讲】 1．已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用线面平行的性质定理可证得结论成立； （3）利用面面垂直的性质得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立. 【详解】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． （2）因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 2．如图，在正方体中，分别是棱的中点，. (1)求证：平面平面； (2)已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面. （2）求得正方体体积为，利用锥体和台体的体积公式，分别求得三棱锥的体积为和三棱台的体积为，得到夹在平面与平面之间的几何体的体积，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，因为分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面DBEF，所以平面； 连接，则，且， 可得四边形为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面， 所以平面平面. （2）解：由正方体的棱长为2，可得正方体体积为, 三棱锥的体积为, 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为, 所以平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 3．如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： (1)平面∥平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证，再由线面平行的判定即可证平面，同理可证平面，再由面面平行的判定证明即可； （2）根据题意可证平面，再结合平面∥平面，即可得到平面． 【详解】（1）证明：连接， ∵分别是 的中点， ∴，又∵平面，平面， ∴平面， 同理可证平面， 且平面，平面，， ∴平面平面； （2）证明：在正方体中，是的中点， ，平面，平面， ，又平面， 平面，又平面平面， 平面． 4．如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由正方体中点性质证、,再利用线面平行判定定理证、分别平行于平面,最后由面面平行判定定理证平面平面； （2）依据点与直线、平面的从属关系,推出都在平面与平面的交线上,从而证得三点共线. 【详解】（1）连接，又点分别为棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 连接，又点分别为棱的中点，所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以，即三点共线. 5．如图，是斜边的等腰直角三角形，正三角形所在平面与三角形所在平面垂直，梯形中，，且梯形所在平面与三角形所在平面垂直． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明平面，根据三角形的性质及面面垂直的性质判断平面，平面，进而．方法一，连接BE，构造平行四边形PEBN得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面；方法二取BC的中点，连接MF，构造平行四边形MPEF得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面； （2）取AB的中点，连接ED，分别以EA，ED，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PMC与平面PAN的法向量，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）因为平面平面，所以平面. 因为是斜边的等腰直角三角形，所以． 如图1，取AC的中点，连接PE． 因为是正三角形，且，所以，且， 又平面平面ABC，平面平面， 所以平面. 因为，平面平面BCMN，平面平面，平面BCMN， 所以平面， 所以． 如图2，连接BE，因为， 所以四边形PEBN为平行四边形，因此． 因为平面平面， 所以平面， 又平面平面PMN， 所以平面平面. 方法二： 如图3，取BC的中点，连接MF． 因为，所以，又，所以， 又，所以四边形BFMN是平行四边形， 所以， 因为，所以， 连接EF，因为平面平面，平面平面，平面BCMN， 所以平面， 又平面，所以， 因此四边形MPEF是平行四边形，． 因为平面平面ABC，所以平面， 又平面平面平面， 所以平面平面. （2）如图4，取AB的中点，连接ED，因为是AC的中点，所以， 又是斜边的等腰直角三角形， 所以，所以． 又平面平面，所以，所以EP，EA，ED两两垂直． 分别以EA，ED，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以 ） 设平面PMC的法向量为， 则即取，得， 则是平面PMC的一个法向量． 设平面PAN的法向量为， 则即取，得， 则是平面PAN的一个法向量． 设平面PMC与平面PAN的夹角为， 则， 因此平面PMC与平面PAN夹角的余弦值为． 6．如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合基本事实证明即可； （2）由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）由得， 由两平行直线确定一个平面，可知四点共面． （2）由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面平面． 7．已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）先应用面面平行性质定理得出点是的中点，再应用平面平面性质定理，得出，即可证明； （2）连接，通过证明平面得出，同理进而证明平面，即可证明线线垂直. （3）结合（2）应用线面垂直性质定理证明判断，再应用三棱柱及棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点． （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. 8．如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点. (1)设平面平面，求证：． (2)棱上是否存在一点M，使平面DBF?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图，连接， 因为在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 方法一：因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 方法二：因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以．所以． 方法三：在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，则． (2)存在，且，理由如下： 取的中点G，连接AG，FG， 因为F，G分别为，的中点，所以，， 因为，，所以，， 所以四边形ABFG为平行四边形，所以， 设M为的中点，则，所以. 因为平面DBF，平面DBF，所以平面DBF， 故存在所求的点M，且. 【分析】（1）由题设得，再由线面平行的判定、性质定理或面面平行的性质定理证明结论； （2）取的中点G，连接AG，FG，易得，设M为的中点，从而得到，则，最后由线面平行的判定定理证得结论. 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，    又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接，     为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 10．如图所示，在四棱柱中，菱形与菱形的边长均为，且平面平面，,，为棱上的动点. (1)若平面平面，求证：； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角的正切值为?若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且点在靠近的三等分点上 【分析】（1）借助面面平行的性质定理证明即可得； （2）由题意可取中点，则有、、两两垂直，再以为原点建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面法向量后结合空间向量夹角余弦公式计算即可得. 【详解】（1）在四棱柱中，平面平面， 由平面平面，平面平面， 则； （2）存在，且点在靠近的三等分点上，理由如下： 取中点，连接、， 由，，， 由余弦定理得， 则，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，故， 由，则， 有，则， 故、、两两垂直，则可以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、， 则，，， 设，，则， 则， 由轴平面，则平面的法向量可为， 设平面的法向量为， 则有，取，则，， 故平面的法向量可为， 设平面与平面所成的角为，则， 则， 则， 化简得，解得或， 又，则，故点在靠近的三等分点上. 题型五 平行关系中的存在性问题 三种平行关系的转化 解决存在性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在． 【例题精讲】 1．如图，四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，点E在线段上． (1)证明：平面； (2)当为何值时，平面，并写出其证明过程． 【答案】(1)∵底面是菱形，， ． ，，，， ． 同理，． 又平面，平面，平面， 平面． (2)当时，平面，证明如下： 当时，点为的中点． 连接交于点，则是的中点． 连接，则． 又平面，平面， 所以平面． 【分析】（1）由勾股定理证明，，并根据线面垂直的判定定理证明平面； （2）当时，根据线面判定定理结合条件可证平面． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，正方体的棱长为，，分别是，上的点，且，，是线段上的动点（含端点）． (1)判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出定值；若不是，求三棱锥体积的最小值． (2)当平面时，求的值． 【答案】(1)不是，体积的最小值为 (2) 【分析】（1）借助反证法，假设三棱锥的体积是定值，则有平面，借助线面平行性质及面面平行判定定理及性质定理可得，又因为与平面交于点，所以与平面相交，两者矛盾，即可得三棱锥的体积不为定值；在线段的所有点中，到平面的距离最小，则可借助等面积法求出三棱锥体积即可得三棱锥体积的最小值； （2）借助线面平行判定定理及其性质定理，可得当线段平面时，满足平面，则可借助等体积法计算，到平面的距离，，即可得的值. 【详解】（1）三棱锥的体积不是定值． 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 因为平面，所以平面， 如图，过点作交于点，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 取的中点，连接，则为的中点，所以， 因为与平面交于点，所以与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值； 由图知，线段在平面的同侧， 且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 则， 所以三棱锥体积的最小值为； （2）如图，连接，，． 由正方体的对角面是矩形，得． 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 当线段平面时，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则， 因为是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以． 3．如图，在四棱锥中，平面，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值． 【答案】(1)面，平面， ， ，，、平面， 平面． (2)，， ． 又面，面， ， ，平面， 平面， 平面， 平面平面． (3) 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由条件确定平面，即可证明； （3）通过平面，得到，进而可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）平面，平面平面，平面， ， 在中，点为中点， 点为中点， ． 4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使平面？若存在，请找出具体位置，予以证明，并求点到平面的距离；若不存在，请分析说明理由． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，，所以，所以， 因为平面平面，平面底面 ，所以平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. (2)存在，F为中点， 点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）假设线段上是否存在一点，使平面，连接交于O， 平面，平面平面， 所以，在中，O为中点，所以F为中点，假设成立，F为中点； 由（1）可知，两两垂直，，所以建立如图所示空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 所以，即，令得，，所以， 点到平面的距离为.    5．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)点M为线段上靠近C的四等分点， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 6．如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，. (1)若平面交平面于直线l，求证：； (2)当直线时，求三棱锥的体积； (3)是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）利用面面平行的性质，结合正方体的结构特征推理得证. （2）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法计算得解. （3）作出几何图形，再借助线面平行的性质确定点并求出比值. 【详解】（1）在正方体中，平面平面， 平面 平面，平面 平面，则， 由分别为的中点，则，所以. （2）连接，由为中点，，得， 而，因此为中点， 点到平面的距离等于点平面的距离的一半， 即， 于是， 所以三棱锥的体积为. （3）如图，令直线交的延长线分别于， 直线交的延长线分别于， 连接交分别于，连接并延长交的延长线于， 则平面即为平面，由点分别是棱的中点， 得，则，又， 于是四边形是平行四边形，设， 平面平面，平面，要平面， 当且仅当，此时，，， 所以在上存在点P，使得直线平面，此时. 7．如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 8．如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面； (2) (3)存在，是上靠近的三等分点， 【分析】（1）利用线面垂直的性质及线面垂直的判定证明即可； （2）延长交于E，延长交于F，利用面面夹角的定义计算即可； （3）利用平面的性质及线面平行的性质判定即可. 【详解】（1）略 （2）如下图所示，因为，则四点共面， 延长交于E，延长交于F，易得平面平面， 作，连接， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 由平面，则，，即平面与平面夹角为， 易知，所以，则， ； （3）假设线段上存在点M满足题意， 由平面平面，平面，平面，则， 又平面平面，平面，平面，则， 所以，即是上靠近的三等分点，此时 9．如图，在直三棱柱中，，，M是AB的中点，已知平面与平面的夹角为 (1)求的长； (2)若N是的中点，P是与的交点，Q是线段上一点，且平面求． 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，记，应用向量法求面面角的余弦值，得到方程求参数，即得结果； （2）设，得，进而可得，结合线面平行及向量垂直的坐标表示求参数，即可得解； 【详解】（1）如图，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 记，则，，，，BC中点 因为平面ABC，平面ABC，所以，又， 由 且都在平面内，所以平面， 所以为平面的一个法向量，又，， 设为平面的法向量，有，则， 令，所以平面的一个法向量， ，解得． （2）由（1）知，， 设，则，， 因为平面，所以，由（1）知 所以，解得，所以． 课时精练 1．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明：连接，与交于点O，可知O为的中点. 连接.因为E是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明线面平行； （2）利用正方体的性质，结合已知条件，利用几何法或向量法，求出二面角的余弦值，进而求出二面角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）不妨设正方体的棱长为2，则由E，F分别为，的中点，可得. 连接，则，，所以即为二面角的大小. ，则. 连接，，则，. 在中，， 则二面角的正弦值为. 2．如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. (1)求证：平面PCD； (2)求证：平面平面ABCD； (3)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)取PD的中点E，连接ME，CE，如图. ∵M为PA的中点， ∴，， ∵N为BC的中点且四边形ABCD为菱形， ∴，. ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面PCD，平面PCD， ∴平面. (2)如图，连接， ∵，O是的中点， ∴， 由菱形知，又，PO，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. (3) 【分析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，先证明四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，先证平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）过点B作于点F，连接DF，OF，先证明为二面角的平面角，再在中利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点B作于点F，连接DF，OF. ∵平面PAC，平面PAC， ∴. ∵，BD，平面BDF，. ∴平面BDF， ∴，. ∴为二面角的平面角. ∵，，PC，PA，OF共面， ∴， ∵O是AC的中点， ∴F是PC的中点， 又∵， ∴，， ∴. ∵F是PC的中点，又， ∴， ∴， ∴二面角的平面角的余弦值为. 3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点． (1)求证：平面． (2)已知． （i）若，求证：平面平面； （ii）若，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：设，如图，连接. 因为是中点，是中点， 所以为的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面. (2)（i）证明：当时，四边形为正方形，所以， 因为平面平面，所以， 又平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （ii）. 【分析】（1）连接，则为的中位线，通过，即可证； （2）（i）根据线面垂直的判定定理证明直线平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面；（ii），所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，利用余弦定理可求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）由（1）得，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角． 在中，， 由余弦定理得， 即异面直线与所成角的余弦值为． 4．如图，已知正方形的边长为6，点，分别在边，上，，现将沿线段折起到位置，使得． (1)求五棱锥的体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）作出辅助线，得到线面垂直，面面垂直，求出棱锥的高，进而求出五棱锥的体积； （2）由线段之间的关系得到时，，从而得到线面平行，求出答案 【详解】（1）连接，设，连接． 因为四边形是正方形，， 所以是的中点，且，， 从而有，，又，平面， 所以平面，且平面． 从而平面平面． 过点作垂直于且与相交于点， 则平面． 因为正方形的边长为6，， 故，， 所以， 所以，则， 所以五棱锥的体积． （2）线段上存在点，使得平面，此时．证明如下： 连接，，，，且易知过点． 当时，又，所以． 又平面，平面，所以平面． 又，平面，平面， 所以平面． 又，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 5．已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为O. (1)求的长度 (2)求正四棱锥的表面积和体积； (3)设平面平面，求证：； 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）利用侧面积是底面积两倍的已知条件结合勾股定理建立方程，解出底边长从而得出斜高SE； （2）直接将底面积与侧面积相加得出表面积，并利用底面积和已知的高代入棱锥体积公式计算体积； （3）通过底面正方形对边平行得出直线平行于平面，再利用线面平行的性质定理推导出交线与已知底边平行. 【详解】（1）设底面ABCD的边长为a，因为O为底面中心，E为BC的中点，所以且， 底面积为，已知，在中，， 侧面积为， 因为侧面积是底面积的2倍，则有， 因为，解得，代入得， 解得，则（负根舍），即. （2）由（1）得侧面积为，底面积为， 则表面积，体积. （3）由题意得底面为正方形，则平面，平面，所以平面， 且平面，平面平面，则. 6．如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），理由见解析；（ii） 【分析】（1）先利用梯形性质得出为等边三角形，翻折后仍为等边三角形，再通过勾股定理证明，结合，证明 平面，从而推出平面平面. （2）（i）利用面面平行的性质，结合中位线定理，通过线线平行推导线面平行，再由面面平行的判定定理得出； （ii）由（i）知为的中点，先证 ，算出、，再由得 ，得出 ，用等面积法得到棱的距离，通过三棱锥体积转换 ，算出到平面的距离，通过计算即可求得结果. 【详解】（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且， 因为为的中点，故. 同理，四边形为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面， 所以平面. 又平面，故平面平面. （2）（ⅰ）. 理由如下： 如图，连接，与，分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点. 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面. 又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 7．如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，． (1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)证明：； (3)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)，理由见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据两个平面内的一组相交直线分别对应平行可判断两平面平行，再根据面面平行的性质即可解答； （2）根据面面垂直的性质可判定平面，再根据线面垂直的定义即可证明结论； （3）根据已知数据建立合适的空间直角坐标系即可根据线面角的向量求法解答. 【详解】（1），理由如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为，且， ，平面，平面，平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以. （2）因为，是的中点，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （3）如图1，作，连接，作， 因为，所以， 又，所以四边形为矩形. 由知，， 在中，， 所以，为的中点，所以为正三角形， 如图2，连接，因为是的中点，所以，以为原点，以直线分别为轴建立空间直角坐标系. 因为，所以，在正中，，所以， ，所以，， 所以， ，所以，是的中点，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8．如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面平面，证明见解析 【分析】（1）分别连接、、、交对边于、、、点，推导出四边形为平行四边形，推导出，可得，即可证得结论成立； （2）推导出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）分别连接、、、交对边于、、、点． 因为、、、分别是所在三角形的重心． 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且，所以，， 故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面． （2）由（1）得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面. 9．如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点． (1)求证：平面； (2)已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； (3)求的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证； （2）由（1）中信息，利用线面平行的性质推理判断； （3）利用等体积法，结合柱体体积公式求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，为中点，连接，由D是的中点， 得，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面； 由，得四边形为平行四边形，， 而，则四边形为平行四边形， 而平面，平面，因此平面， 又平面， 则平面平面，而平面， 所以平面. （2）； 由（1）知平面，而平面平面，平面， 所以. （3）依题意，平面， 则 ， 所以的体积为. 10．如图所示，在长方体中，点M，N分别是直线，上的动点． (1)若M，N分别为线段，的中点，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求． 【答案】(1)取中点，连接， 因为为线段的中点，点是中点，所以， 又平面，平面，所以平面 同理，因为为线段，点是中点，所以， 又平面，平面，所以平面 因为平面，所以平面平面， 又平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据面面平行的性质证明线面平行即可. （2）设，根据空间向量法求解二面角的平面角的余弦值，计算求得结果. 【详解】（1）略 （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设， 由，得， ； 设平面的法向量为，则，令，所以， 设平面的法向量为，则，令，所以， 因为二面角的余弦值为 ，可知二面角的平面角为锐角， 所以，即， 当时，，即，解得， 此时二面角的平面角为钝角，舍掉. 当时，，即，解得， 此时二面角的平面角为锐角，因此. 11．如图，在直三棱柱中，分别是、、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面是正三角形，，求平面CEF与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，根据平行关系的转化可得平面平面，从而可证平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求面面角的余弦值. 【详解】（1） 取的中点为，连接， 由直三棱柱可得四边形为矩形，而， 则，而， 所以，故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面. 因，故，同理，故， 同理平面，而，平面， 故平面平面，而平面，故平面. （2） 在平面内过作直线垂直于， 由直三棱柱建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则，故， 设平面的法向量为，则， 则，取. 又，， 设平面的法向量为，则， 则，取. 设平面CEF与平面所成的角为， 则. 12．如图所示，四边形为矩形，平面，，为上的点，且平面. (1)求三棱锥的体积； (2)设在线段上，且满足，则线段上是否存在一点，使得平面？ 【答案】(1) (2)存在点为线段上靠近点的一个三等分点 【分析】（1）通过线面垂直的判定与性质推导出，再利用等体积法计算出三棱锥体积； （2）过点作交于点，通过证明平面平面，确定上的三等分点满足平面. 【详解】（1）平面，. 平面. 又平面，. 平面，平面， ，平面. 又平面，. 又， ，则点到平面的距离为， . （2）存在这样的点.如图所示，在中，过点作交于点，在中，过点作交于点，连接， 则由比例关系易得. ，平面，平面， 平面. 同理，平面，又， ∴平面平面. 平面，平面. ∴点为线段上靠近点的一个三等分点. 13．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点. (1)求证：平面平面PAB； (2)若二面角的大小为： （ⅰ）求PA的长； （ⅱ）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】(1)通过证明线面平行，从而证明面面平行； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解空间角的正弦值. 【详解】（1）在PAD中，、分别是PD、AD的中点， 所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 因为四边形ABCD是直角梯形，且，所以， 又，是AD的中点，所以，， 所以四边形ABCF是矩形，所以， 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 因为，平面CEF，平面CEF， 所以平面平面PAB； （2）（ⅰ）连接AC，BF， 由（1）同理可证四边形BCDF是平行四边形，所以， 因为四边形ABCF是矩形，，所以四边形ABCF是正方形， 所以，所以， 又平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC，又平面PAC，又平面PAC，所以PC，PA， 所以是二面角的平面角，即， 所以，因为四边形ABCF是正方形，且， 所以，所以； （ⅱ）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以 ， ， ， 设平面BCE的一个法向量为 ，则, 所以，取，则，， 所以 ，设直线CD与平面BCE所成的角为， 所以 所以直线CD与平面BCE所成角的正弦值为. 14．如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，得到，即可证明四点共面. （2）取中点，连接，，根据面面平行的判定定理得到平面平面，即可得到平面. 【详解】（1）证明：连接，正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为、分别是、的中点，所以， 所以. 又两条平行线确定一个平面，所以，，、四点共面. （2）取中点，连接，. 正方体中，、为中点，则，， 所以四边形为平行四边形，所以. 正方形中，，， 又、为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以. 又平面，平面，所以平面. 由（1）知，，同理可得，平面. 又，，平面，所以平面平面. 又平面，所以平面. 15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. (1)若，证明：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据数量积为零可得，从而证得平面.方法二：取的中点，连接，，根据面面平行的判定定理证明平面// 平面，从而得到// 平面；方法三：取的中点，连接，，先证明，再根据线面平行的判定定理证得// 平面. （2）根据线面角的向量求法，列得关于的方程，求解可得的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 易证四边形为矩形，所以. 以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，. ，，，， . 设平面的法向量为， 则取，得. 若，则. 因为，所以. 因为平面，所以// 平面. 方法二： 如图，取的中点，连接，. 在中，分别为的中点，所以. 因为平面，平面，所以// 平面. ，，所以四边形是平行四边形，. 因为平面，平面，所以// 平面. 因为，平面，平面，所以平面// 平面. 因为平面，所以// 平面. 方法三： 如图，取的中点，连接，. 在中，，分别为，的中点，所以，. 因为，所以，所以四边形为平行四边形，. 因为平面，平面，所以// 平面. （2）记直线与平面所成的角为， ， 化简得，解得或，所以的值为或. 16．如图，在空间几何体中，底面满足，点为线段上靠近点的三等分点，点、为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若平面经过点、、三点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值． 【答案】(1)连接，由点为线段上靠近点的三等分点，得， 由为线段的中点，得，由，得， 而，则，四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面， 又点为线段的中点，则，同理平面， 而平面，则平面平面，又平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行 判定性质推理得证. （2）利用面面平行的性质确定点位置并作出此点，再利用平行线分线段成比例定理求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面平面，而平面平面，平面平面， 则，，所以点是线段上靠近点的三等分点，如图. 17．如图，在长方体中，，，点为棱的中点． (1)证明：平面； (2)取、中点M、N，若平面交于，证明：为中点； (3)求异面直线与所成角的大小； 【答案】(1)设，连接， 因为点为棱的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以 平面. (2)因为M、N、P分别为、、的中点， 则在长方体中，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，则平面平面， 而平面交于，则点到长方体上下底面的距离等于到上下底面的距离， 而为棱的中点，则为中点. (3) 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，即可证明线面平行； （2）先证明平面平面，平面平面，可得点到长方体上下底面的距离等于到上下底面的距离，进而求证即可； （3）由（1）知，可得为异面直线与所成的角或其补角，又利用平行线转化异面直线所成角，结合等边三角形的性质可求角的大小； 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）得，，所以为异面直线与所成的角或其补角， 由题意得，， 所以，故三角形是等边三角形， 因为，所以， 所以异面直线与所成的角为. 18．如图，在三棱锥中，，，分别为侧棱，，上异于端点的点，且． (1)求证：平面平面； (2)在线段上取靠近点的三等分点，连接，则在线段上是否存在点，使，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面； 同理可证得平面， 又因为，，平面， 所以平面平面． (2)存在，点是线段上靠近点的三等分点． 【分析】（1）根据题意证明平面，平面，再结合面面平行的判定定理即可证明； （2）连接，显然与相交，设交点为，进而结合面面平行的性质定理得，再结合几何关系即可求得点是线段上靠近点的三等分点. 【详解】（1）略 （2）解：存在．点是线段上靠近点的三等分点． 理由如下： 连接，显然与相交，设交点为． 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以． 所以在线段上存在点，使得． 由可得，且． 设， 如图，在平面内，有，即，， 又因为， 所以有， 所以点是线段上靠近点的三等分点． 19．如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且，点为上的点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明：连接， 在中，因为，所以，且． 又，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． (2)证明：由（1）得，又平面，平面， 所以平面. 在中，因为，所以，所以． 又平面，平面，所以平面． 又因且，平面， 所以平面平面． 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行. 【详解】（1）略 （2）略 1 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $ 第42讲 空间直线、平面的平行 题型一 空间中平行关系的基本问题 2 题型二 直线与平面平行的判定 4 题型三 直线与平面平行的性质 7 题型四 平面与平面平行的判定与性质 11 题型五 平行关系中的存在性问题 15 课时精练 18 【基础回顾】 知识点1：线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒ a∥b 知识点2：面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒ a∥b 【必备知识】 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β． 2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ． 3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 4．若α∥β，a⊂α，则a∥β． 题型一 空间中平行关系的基本问题 (1)判断与平行关系相关的命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是选择题还是含有选择项的填空题，都可以先从中选出最熟悉、最容易判断的选项确定或排除，再逐步判断其余选项． (2)直线、平面间平行的判定方法 ①关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件； ②结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断； ③利用实物进行空间想象，比较判断； ④熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 【例题精讲】 1．设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2．已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若，则 4．已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 5．已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ） A．若平行于同一直线，则 B．若垂直于同一直线，则 C．若不平行，则在内不存在与平行的直线 D．若不平行，则与不可能垂直于同一平面 6．已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．已知为两条不同直线，为三个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（多选）设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 9．（多选）已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，且 ，则 B．若，且 ，则 C．若 ，且，则 D．若，且 ，则 10．（多选）设为互不重合的两个平面，m，n为互不重合的两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若m，n为异面直线，且，，，，则 C．若m，n与所成的角相等，则 D．若，，，则 题型二 直线与平面平行的判定 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)(客观题可用)． 【例题精讲】 1．如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，满足，，且，，，．点M为的中点，点N为的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 2．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 3．如图，在三棱锥中，底面，点F在棱上，且，E为的中点，D为的中点，G在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若为等边三角形，且，求平面和平面夹角的余弦值． 4．如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为2的菱形．，，．    (1)若点，分别为棱和棱的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 5．如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面． (2)若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 7．如图，在边长为2的正方体中，为中点， (1)证明： 平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积. 8．如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； (3)求二面角的平面角的正切值. 9．在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 10．如图，在四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AA1为AC的中点． (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正切值． 题型三 直线与平面平行的性质 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． 【例题精讲】 1．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 2．如图，直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把折起，使点A到点P的位置，且．    (1)设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明：. (2)证明：平面； (3)求二面角的正切值． 3．如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是，上的点，且． (1)记平面平面，证明：； (2)证明：三条直线，，交于一点． 4．如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 5．如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)M是线段的中点． 6．如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； (2)若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 7．如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 8．如图，四棱锥的底面为梯形，BC∥AD，底面，，.设平面与平面的交线为l. (1)证明：BC∥l； (2)若二面角A－PD－C的正弦值为，求四棱锥的体积. 9．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 10．如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 题型四 平面与平面平行的判定与性质 1．判定面面平行的四种方法 (1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)． (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)． (4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)． 2．面面平行的应用 (1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行． (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行． 【例题精讲】 1．已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 2．如图，在正方体中，分别是棱的中点，. (1)求证：平面平面； (2)已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 3．如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： (1)平面∥平面； (2)平面. 4．如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 5．如图，是斜边的等腰直角三角形，正三角形所在平面与三角形所在平面垂直，梯形中，，且梯形所在平面与三角形所在平面垂直． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 6．如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 7．已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 8．如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点. (1)设平面平面，求证：． (2)棱上是否存在一点M，使平面DBF?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 9．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 10．如图所示，在四棱柱中，菱形与菱形的边长均为，且平面平面，,，为棱上的动点. (1)若平面平面，求证：； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角的正切值为?若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由. 题型五 平行关系中的存在性问题 三种平行关系的转化 解决存在性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在． 【例题精讲】 1．如图，四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，点E在线段上． (1)证明：平面； (2)当为何值时，平面，并写出其证明过程． 2．如图，正方体的棱长为，，分别是，上的点，且，，是线段上的动点（含端点）． (1)判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出定值；若不是，求三棱锥体积的最小值． (2)当平面时，求的值． 3．如图，在四棱锥中，平面，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值． 4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使平面？若存在，请找出具体位置，予以证明，并求点到平面的距离；若不存在，请分析说明理由． 5．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 6．如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，. (1)若平面交平面于直线l，求证：； (2)当直线时，求三棱锥的体积； (3)是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由. 7．如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 8．如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 9．如图，在直三棱柱中，，，M是AB的中点，已知平面与平面的夹角为 (1)求的长； (2)若N是的中点，P是与的交点，Q是线段上一点，且平面求． 课时精练 1．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 2．如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. (1)求证：平面PCD； (2)求证：平面平面ABCD； (3)求二面角的平面角的余弦值. 3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点． (1)求证：平面． (2)已知． （i）若，求证：平面平面； （ii）若，求异面直线与所成角的余弦值． 4．如图，已知正方形的边长为6，点，分别在边，上，，现将沿线段折起到位置，使得． (1)求五棱锥的体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 5．已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为O. (1)求的长度 (2)求正四棱锥的表面积和体积； (3)设平面平面，求证：； 6．如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 7．如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，． (1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)证明：； (3)若，求直线与平面所成角的正弦值． 8．如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 9．如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点． (1)求证：平面； (2)已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； (3)求的体积． 10．如图所示，在长方体中，点M，N分别是直线，上的动点． (1)若M，N分别为线段，的中点，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求． 11．如图，在直三棱柱中，分别是、、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面是正三角形，，求平面CEF与平面所成角的余弦值． 12．如图所示，四边形为矩形，平面，，为上的点，且平面. (1)求三棱锥的体积； (2)设在线段上，且满足，则线段上是否存在一点，使得平面？ 13．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点. (1)求证：平面平面PAB； (2)若二面角的大小为： （ⅰ）求PA的长； （ⅱ）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值. 14．如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. (1)若，证明：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 16．如图，在空间几何体中，底面满足，点为线段上靠近点的三等分点，点、为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若平面经过点、、三点，且与棱交于点．请作图画出在棱上的位置，并求出的值． 17．如图，在长方体中，，，点为棱的中点． (1)证明：平面； (2)取、中点M、N，若平面交于，证明：为中点； (3)求异面直线与所成角的大小； 18．如图，在三棱锥中，，，分别为侧棱，，上异于端点的点，且． (1)求证：平面平面； (2)在线段上取靠近点的三等分点，连接，则在线段上是否存在点，使，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 19．如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且，点为上的点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 1 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $