第03讲 圆的方程（8核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学讲义聚焦“圆的方程”高考核心考点，涵盖圆的定义与方程、点与圆位置关系、轨迹方程等内容，按知识逻辑构建体系。通过考情分析明确要求，知识梳理夯实基础，重难突破提炼方法，分层集训强化应用，体现复习的系统性和针对性。 资料以数学思维与数学语言为特色，如“圆过定点问题”中引导学生用分离参数法分析恒成立条件，培养推理与模型意识。分层练习从基础到真题递进，配合方法总结，助力高效突破难点。为教师提供清晰考点与难度梯度，便于把控节奏，提升学生应考能力。

第03讲 圆的方程 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识点1 圆的定义和圆的方程 知识点2 点与圆的位置关系 知识点3 轨迹方程 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 求圆的方程 考点05 圆过定点问题 方法技巧 求圆的方程的常用方法 考点06 与圆相关的最值问题 考点02 求圆心和圆半径 考点07 圆的轨迹问题 考点03 二元二次方程表示圆的条件 方法技巧 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 考点04 点与圆的位置关系 考点8 新定义问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 圆的方程 全国Ⅰ卷T11，全国Ⅱ卷T9，北京卷T11 全国Ⅰ卷T7，北京卷T2 北京卷T3 圆与其他知识的交汇 上海卷T11， 全国Ⅱ卷T10，天津卷T12 考情解读 从近 3年考情来看，直线与圆的相关知识是高频考点，题型以选择题、填空题为主，分值多为 5 分。考查点涵盖直线与圆的位置关系、圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、切线长以及由直线与圆的位置关系求参数等，且常与点到直线的距离、平面轨迹方程、解三角形、抛物线弦长等知识关联，体现出知识点交叉融合的命题特点，注重对学生几何运算能力和知识综合应用能力的考查。 备考策略 备考时，首先要扎实掌握直线与圆的核心知识点，如圆的标准方程、一般方程，直线与圆位置关系的判定方法（代数法、几何法），点到直线的距离公式等。其次，针对高频考点进行专项训练，尤其要强化 “直线与圆 + 其他圆锥曲线 / 解三角形” 这类综合题的练习，提升知识迁移和综合解题能力。同时，注重解题方法的总结，比如利用几何法（圆心到直线的距离与半径的关系）解决直线与圆的位置关系问题，可提高解题效率． 知识・归纳梳理 知识1 圆的定义和圆的方程 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F. 4．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 知识2 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 知识3 轨迹方程 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 必记结论 1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为. 2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上. 3．圆心在任一弦的垂直平分线上. 重难・核心突破 考点01 求圆的方程 典例1．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 典例2．（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【考法预测1】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 【考法预测3】（25-26高三·全国·一轮复习）圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的一般方程是_______． 【考法预测4】（（2026·广西桂林·二模）过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. 考点02 求圆心和圆半径 典例1．（2026高三·全国·专题练习）（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【考法预测2】（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中曲线的长度为（   ） A． B． C． D． 考点03 二元二次方程表示圆的条件 典例1．1．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【考法预测1】（25-26高二上·河北·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【考法预测3】若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点04 点与圆的位置关系 典例1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 典例2．已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，则“点在圆外”是“点在圆外”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考法预测2】点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点05 圆过定点问题 典例1．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 典例2．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 【考法预测1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【考法预测2】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【考法预测3】在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 考点06 与圆相关的最值问题 典例1．（多选）（2026·河南·三模）已知点，，为圆：上一点，则（    ） A．点在圆外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 典例2．已知中的是所在平面内的动点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·江西吉安·一模）已知过原点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【考法预测2】（2026·河北衡水·一模）若非负数，满足，则的最大值为（   ） A． B．42 C． D．40 【考法预测3】（2026·湖北·三模）已知，，，点在圆上运动，则（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆为的内切圆 D．的最大值为88 【考法预测4】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 考点07 圆的轨迹问题 典例1（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）已知，，为平面上的一个动点，若，则的轨迹所围成的面积为（   ） A． B． C． D． 典例2（2026·广东揭阳·二模）若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【考法预测1】（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【考法预测3】（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 【考法预测4】（2026·辽宁朝阳·三模）已知复数在复平面内对应的点分别为，且点连接后构成三角形，则下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则是一个等腰三角形 B．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹是以为直径的圆 C．若复数满足，则在复平面内对应的点为的内心 D．若复数满足，则在复平面内对应的点为的重心 方法技巧 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 考点08 圆相关的新定义问题 典例1（25-26高三上·河南漯河·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为______；若为圆上任意一点，则最大值是______. 【考法预测2】（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【考法预测3】（2026·湖南·一模）在空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点P，G分别满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南永州·三模）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 6．（多选）（2026·山东烟台·模拟预测）已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 7．（多选）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A． B．存在点 使 C． 构成的三角形面积最大值为 D．若 恒成立，则 的取值范围为 8．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 9．（2026·山东泰安·模拟预测）已知线段的长为4，动点满足（为常数，），且点始终在以为圆心1为半径的圆外，则的范围是___________． 能力进阶 1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，则“圆不经过第四象限”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（    ） A．轴与圆可能相切 B．直线与圆可能相交 C．轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D．原点与圆上的点的距离的最大值为 6．（多选）（24-25高三下·云南昭通·阶段检测）已知曲线，，则下列选项正确的是（   ） A．，曲线均不为圆 B．，曲线都关于点中心对称 C．当时， D．当时，直线是曲线的一条渐近线 7．（多选）（25-26高三上·河北沧州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 8．（2026·贵州贵阳·二模）已知平面上两定点，，若动点P满足，则P到抛物线的焦点F的最小距离为______． 9．（2026·安徽·模拟预测）如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线C称为“羽毛球曲线”，曲线C与x轴有A，B两个交点，且经过点. (1)求a，r的值； (2)设，M为曲线C上的动点，求的最小值. 真题实战 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．点的坐标为 B．时，圆与轴相切 C．当时，圆与圆相切 D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为 4．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 5．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 6．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 7．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 圆的方程 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识点1 圆的定义和圆的方程 知识点2 点与圆的位置关系 知识点3 轨迹方程 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 求圆的方程 考点05 圆过定点问题 方法技巧 求圆的方程的常用方法 考点06 与圆相关的最值问题 考点02 求圆心和圆半径 考点07 圆的轨迹问题 考点03 二元二次方程表示圆的条件 方法技巧 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 考点04 点与圆的位置关系 考点8 新定义问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 圆的方程 全国Ⅰ卷T11，全国Ⅱ卷T9，北京卷T11 全国Ⅰ卷T7，北京卷T2 北京卷T3 圆与其他知识的交汇 上海T11， 全国Ⅱ卷T10，天津卷T12 考情解读 从近 3年考情来看，直线与圆的相关知识是高频考点，题型以选择题、填空题为主，分值多为 5 分。考查点涵盖直线与圆的位置关系、圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、切线长以及由直线与圆的位置关系求参数等，且常与点到直线的距离、平面轨迹方程、解三角形、抛物线弦长等知识关联，体现出知识点交叉融合的命题特点，注重对学生几何运算能力和知识综合应用能力的考查。 备考策略 备考时，首先要扎实掌握直线与圆的核心知识点，如圆的标准方程、一般方程，直线与圆位置关系的判定方法（代数法、几何法），点到直线的距离公式等。其次，针对高频考点进行专项训练，尤其要强化 “直线与圆 + 其他圆锥曲线 / 解三角形” 这类综合题的练习，提升知识迁移和综合解题能力。同时，注重解题方法的总结，比如利用几何法（圆心到直线的距离与半径的关系）解决直线与圆的位置关系问题，可提高解题效率． 知识・归纳梳理 知识1 圆的定义和圆的方程 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F. 4．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 知识2 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 知识3 轨迹方程 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 必记结论 1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为. 2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上. 3．圆心在任一弦的垂直平分线上. 重难・核心突破 考点01 求圆的方程 典例1．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 典例2．（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 【考法预测1】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 【考法预测2】（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 【答案】（或）（两种形式均正确） 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解. 【详解】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，， 解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 【考法预测3】（25-26高三·全国·一轮复习）圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的一般方程是_______． 【答案】 【分析】依题意，设圆心坐标为，根据题意可得出关于的方程，解出的值，可得出圆心坐标，进而可得出圆的标准方程，化为一般方程即可. 【详解】设圆心坐标为，则，解得，所以圆心为， 所以圆的方程为，即． 故答案为：． 【考法预测4】（（2026·广西桂林·二模）过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】联立方程，消去得，所以，， 则交点坐标为，，，， 不妨设圆的标准方程为：，代入得：， 所以圆的标准方程为：. 方法技巧 求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. 考点02 求圆心和圆半径 典例1．（2026高三·全国·专题练习）（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径. 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 则圆的半径为2. 故选：B. 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】整理圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B. 【考法预测2】（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而求得圆心坐标和圆的半径. 【详解】由，得. 所以方程表示的圆的圆心坐标为，半径为3. 故选：B. 【考法预测3】（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中曲线的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是一个圆的标准方程， 其中圆心坐标为，半径， 圆的周长为． 考点03 二元二次方程表示圆的条件 典例1．1．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 【考法预测1】（25-26高二上·河北·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，关于的方程表示一个圆或点求解. 【详解】因为关于的方程有实数解， 所以方程表示圆或点， 则，即 ， 解得或， 故选：B 【考法预测2】“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】化成标准方程， 所以，解得或， 因为或推不出，可以推出或， 所以方程表示圆是的必要不充分条件. 故选：B. 【考法预测3】若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 考点04 点与圆的位置关系 典例1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 典例2．已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D 【考法预测1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，则“点在圆外”是“点在圆外”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】依据点与圆的位置关系推断出点到圆心距离与半径的关系，进而判断充分性与必要性. 【详解】点到圆心距离. 点到圆心距离. 先判断充分性. 因点在圆外，故，即，故，即点在圆外. 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分条件. 再判断必要性. 因点在圆外，故，但不能判断与的大小关系. 故“点在圆外”不是“点在圆外”的必要条件. 综上，“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 故选：. 【考法预测2】点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 【考法预测3】已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简圆的方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】解：由圆，可得， 可得，解得， 又由点在圆外，则，解得， 综上可得：，所以实数的取值范围是. 故选：D. 考点05 圆过定点问题 典例1．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 典例2．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点______． 【答案】， 【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标. 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 【考法预测1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【考法预测2】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【考法预测3】在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 考点06 与圆相关的最值问题 典例1．（多选）（2026·河南·三模）已知点，，为圆：上一点，则（    ） A．点在圆外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆的位置关系以及两点间的距离求解即可. 【详解】对于A， ，所以在圆外，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，当时，，，，C错误； 对于D，设，则，故 ， ，所以 ， 当且仅当 时取等，D正确． 典例2．已知中的是所在平面内的动点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，可知， 故是直角三角形，且， 以为坐标原点，为轴，为轴，建立下图所示坐标系， 则，设， 则的轨迹是以为圆心，半径为的圆，方程为， ， ，这表示点到的距离， 点到圆心的距离， ，即， ． 【考法预测1】（2026·江西吉安·一模）已知过原点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】判断原点与圆的位置关系，再由最小需有直线，最后应用几何法求弦长即可. 【详解】由，即原点在已知圆内部，且圆心，， 若原点为，要使最小，则圆心到直线的距离最大，此时直线， 而，所以最小. 【考法预测2】（2026·河北衡水·一模）若非负数，满足，则的最大值为（   ） A． B．42 C． D．40 【答案】C 【分析】利用换元法转化为圆的方程，再利用点与圆的位置关系即可求解. 【详解】令，，所以，则. 因为，所以， 则（，）， 则点的轨迹为圆不在第二、四象限的部分， 则表示点到坐标原点的距离， 由图可知，该距离的最大值为， 此时，，即，，所以的最大值为. 【考法预测3】（2026·湖北·三模）已知，，，点在圆上运动，则（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆为的内切圆 D．的最大值为88 【答案】BCD 【分析】对于A，根据点与圆的位置关系的判定即可判断；对于B，根据点坐标求直线方程即可；对于C，判断出直线与圆的位置关系，结合圆心在内部即可判断；对于D，设，进而可得化为，结合即可判断． 【详解】对于A，，则点在圆外，故A错误； 对于B，直线的方程为， 整理为，故B正确； 对于C，直线的方程为与圆相切， 直线的方程为与圆相切， 直线的方程为， 圆心到直线的距离，则圆与直线相切， 又圆心在内， 所以圆为的内切圆，故C正确； 对于D，设， 因为，，三点， 所以 ， ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取得最大值88，故D正确． 【考法预测4】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 考点07 圆的轨迹问题 典例1（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）已知，，为平面上的一个动点，若，则的轨迹所围成的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：使用两点间距离公式结合条件可得的轨迹为圆，进而可得轨迹所围成的面积；法二：由题意得的轨迹为存在一条直径位于轴上的圆，由此求出圆的端点，进而可得半径与面积. 【详解】法一：因为，，设，由得， 平方并整理得，化简并整理得， 故点的轨迹是圆，其半径为，故其面积为. 法二：因为，，，所以的轨迹为一条直径位于轴上的圆， 设此直径的端点坐标为，则或 所以或，所以的轨迹所围成的面积为. 典例2（2026·广东揭阳·二模）若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】A 【分析】先求出直线l过定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断. 【详解】由直线l：， 令，解得， 则直线l（不包含直线）过定点， 由对称性可知，，即点N到定点的距离为， 又直线l不包含直线， 所以点关于直线的对称点不在点N的轨迹中， 则N的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉点），因此，点N的轨迹为圆的一部分. 【考法预测1】（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件，求出点的轨迹为圆，进而将向量用坐标形式表示，利用数量积的坐标表示， 将数量积的取值范围，转化成求横坐标的相关范围，从而最终求出的取值范围. 【详解】解：以线段中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设点为， 由，所以，两边平方化简整理得： ，因此，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 因为，，所以， 又因为点满足，所以， 化简得：. 由圆方程可知，，所以， 即. 【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【详解】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． 【考法预测3】（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据条件判断出点的轨迹，然后根据三角形面积公式结合图象可求解出的面积的最大值. 【详解】设，因为，所以， 化简可得， 所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 又因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为. 【考法预测4】（2026·辽宁朝阳·三模）已知复数在复平面内对应的点分别为，且点连接后构成三角形，则下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则是一个等腰三角形 B．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹是以为直径的圆 C．若复数满足，则在复平面内对应的点为的内心 D．若复数满足，则在复平面内对应的点为的重心 【答案】AD 【分析】对A、B和C，根据选项条件，利用复数的几何意义，即可求解；对D，根据条件，利用复数的几何意义及复数的运算，得到，即可求解. 【详解】对于A，由，知，故为等腰三角形，所以A正确； 对于B，设复数在复平面内对应的点为P，由，得到， 若与A，B两点重合，不满足，所以点P的轨迹一定不是以AB为直径的圆，故B错误； 对于C，设复数在复平面内对应的点为P，由， 得到，所以点P为的外心，故C错误； 对于D，设，设复数z在复平面内对应的点为P， 则，所以， 则，所以点P为的重心，D正确． 方法技巧 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 考点08 圆相关的新定义问题 典例1（25-26高三上·河南漯河·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，利用题意得到，然后三角换元，表示，然后化简求最值即可. 【详解】设，因为，即， 令，，则，， 可得， 所以的最大值为. 故选：C. 【考法预测1】（25-26高三上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为______；若为圆上任意一点，则最大值是______. 【答案】 【分析】根据已知有，应用分类讨论去绝对值求出动点的轨迹，进而得到面积，数形结合判断最大对应点的位置，再应用点线距离公式、圆的性质求距离最大值. 【详解】由题设， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 所以点的轨迹所围成图形如下图示， 轨迹是边长为的正方形，故其面积为8， 由图及以上分析知，直线上的线段存在点到圆上点的距离最大， 由的圆心为，半径，则到的距离为， 而到的距离为，到的距离为，显然， 综上，线段上到圆上点的最大距离. 故答案为：8， 【考法预测2】（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先利用几何直观判断取最小值的情形，再结合构造出需要优化的目标函数，最后通过分类讨论得到最小值. 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 【点睛】目标函数优化问题一定要注意计算出来的最值能否取得. 【考法预测3】（2026·湖南·一模）在空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点P，G分别满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出点P，G的轨迹，然后把问题转化为一个正方形上的点与圆上的点的距离的取值范围，数形结合可得答案. 【详解】设，， ∵，∴， G点的轨迹为. 又，则，， 即， 化简得P点的轨迹为. 在平面直角坐标系中作出G，P轨迹， 设G点轨迹与y轴两个交点分别为M，N，P点轨迹为圆， 圆心为，半径， 且与y轴两个交点分别为H，T，如图所示， 结合图象得：， 又，， 所以. 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径. 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 故圆的半径为2. 故选：B. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】配方得到圆的充要条件即可判断. 【详解】方程配方得， 若方程表示圆，则，解得， 则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 3．（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【详解】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 4．（2026·湖南永州·三模）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，则，代入数值求解. 【详解】由题可知，点M的轨迹是以为圆心，半径的圆. 则， 所以. 5．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【详解】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 6．（多选）（2026·山东烟台·模拟预测）已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 【答案】AC 【分析】选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解. 【详解】点代入，， 点在圆内部，选项A正确； ， 点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误； ，以为中点的弦所在的直线的斜率为， 其方程为，即， 以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确； 过点的直线截圆的弦长为，由， 得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，即， ，解得，直线为，即， 所以直线的方程为或，选项D错误. 7．（多选）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A． B．存在点 使 C． 构成的三角形面积最大值为 D．若 恒成立，则 的取值范围为 【答案】AD 【分析】先求出圆 的圆心和半径，由圆上的点到定点距离的最小值等于圆心到定点的距离减去圆半径，求得，结合两点间距离公式及二次函数的最值，判断A；根据正弦定理及正弦函数的最值求得的范围，从而得到的范围判断B；分析 构成的三角形面积最大值情况，判断C；由 恒成立，得，得关于的不等式，求解可得 的取值范围，判断D. 【详解】圆 的圆心为，半径为，又， 对于A，因 为圆 上的动点，则. 而， 当且仅当时，等号成立，所以，所以A正确； 对于B，由，得点在圆外. 当三点共线时，； 当三点不共线时，由正弦定理得，， 所以. 因为，所以. 又，所以. 综上所述，，所以B错误； 对于C，设点到直线的距离为，则的面积. 因为点在圆上，所以的最大值等于半径为，所以. 当或时，. 所以 构成的三角形面积无最大值，所以C错误； 对于D，若 恒成立，则恒成立， 即恒成立，化简得， 解得或，所以D正确. 8．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 9．（2026·山东泰安·模拟预测）已知线段的长为4，动点满足（为常数，），且点始终在以为圆心1为半径的圆外，则的范围是___________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，；根据得到点的轨迹方程，结合点始终在以为圆心1为半径的圆外，得到的轨迹方程与圆的位置关系，将位置关系转化为关于的不等式，从而得到的范围. 【详解】以所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则； 由线段的长为4，可设，. 则，. ，得. ，； 点在以为圆心，为半径的圆上. 又点始终在以为圆心， 为半径的圆外， 圆和圆外离或者内含. 或； 或，解得或； ，或， 即的范围是. 能力进阶 1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，则“圆不经过第四象限”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合圆不经过第四象限，根据圆心到原点的距离与半径的大小关系列不等式求出的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为圆， 所以圆，则圆心坐标为，半径， 因为半径，所以，化简得：， 解得，又因为，所以， 若圆不经过第四象限，则圆心到轴的距离要大于等于半径， 即，移项可得：，解得：或， 又因为，可得，所以可推出， 所以是的充分条件， 当时，不满足，所以是的不必要条件， 综上，圆不经过第四象限是的充分不必要条件. 2．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 3．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意设，根据数量积的坐标表示，辅助角公式，及正弦函数的性质即可求解． 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将流量损耗函数化简为对勾函数形式，再结合点与圆的位置关系确定的取值范围，最后利用对勾函数单调性求最小值. 【详解】由圆可知圆心，半径， 令，则，因为，， 所以， 所以， 因为在上单调递增， 所以当时，. 5．（多选）（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（    ） A．轴与圆可能相切 B．直线与圆可能相交 C．轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D．原点与圆上的点的距离的最大值为 【答案】AC 【分析】A，设圆，令举例说明；B，令，利用关系式求出的范围，再根据直线与圆的位置关系判断方法计算即可；C，先根据圆与轴相交求出的范围，再根据弦长公式即可判断；D，将问题转化为求的最值，再利用几何意义即可求出. 【详解】设圆， 因点在圆上，则， 若，则，则圆，此时轴与圆相切，故A正确； 令，则， 因直线与圆有交点，则， 得， 则圆心到直线的距离， 则，故直线与圆不可能相交，故B错误； 因，得， 令，则化为， 故当时圆与轴相交， 弦长为，等号成立时，故C正确； 因， 则可以理解为以为圆心，以为半径的圆上的点到的距离， 则的最大值为， 故， 故原点与圆上的点的距离的最大值为，故D错误. 故选：AC 6．（多选）（24-25高三下·云南昭通·阶段检测）已知曲线，，则下列选项正确的是（   ） A．，曲线均不为圆 B．，曲线都关于点中心对称 C．当时， D．当时，直线是曲线的一条渐近线 【答案】ABD 【分析】利用圆的方程的特点可判断A选项；利用曲线的对称性可判断B选项；将曲线方程化为关于的二次方程，结合判别式可判断C选项；求出双曲线的渐近线方程，可判断D选项. 【详解】选项A：由曲线，， 若曲线为圆，需满足和系数相等且无交叉项， 展开原方程得：，交叉项系数为，无法消除， 故曲线无法为圆，选项A正确； 选项B：验证曲线关于点对称，将点替换为对称点代入方程： 得，与原方程形式一致， 故，曲线都关于点中心对称，选项B正确； 选项C：当时，方程为， 整理为关于的二次方程：. 判别式，即得， 解得，选项C错误； 选项D：当时，方程为，渐近线为， 化简得或，即得或， 所以直线是曲线的一条渐近线，选项D正确， 故选：ABD. 7．（多选）（25-26高三上·河北沧州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短、三角代换法、平面向量数量积的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】设点，因为， 所以，整理得， 所以圆C的方程为，故A错误． 因为，所以． 因为， 所以，故B正确． 设A关于直线的对称点为， 则解得 因为，所以， 所以当，C，M三点共线时，有最小值． 因为， 所以，故C正确． 设，， 因为，， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为，故D正确． 故选：BCD 8．（2026·贵州贵阳·二模）已知平面上两定点，，若动点P满足，则P到抛物线的焦点F的最小距离为______． 【答案】 【分析】设点，由题设等式代入坐标化简即得点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，利用圆的几何性质即可求得答案. 【详解】设点，由可得， 两边平方，得，即， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 因抛物线的焦点为，则， 根据圆的几何性质可知， P到抛物线的焦点F的最小距离为. 9．（2026·安徽·模拟预测）如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线C称为“羽毛球曲线”，曲线C与x轴有A，B两个交点，且经过点. (1)求a，r的值； (2)设，M为曲线C上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据点的坐标求出抛物线方程，进而得到点A，B的坐标，最后求出圆的半径. （2）设，根据的取值范围，分类讨论取值，再求出最小值. 【详解】（1）∵将点的坐标代入，可得a=1，∴抛物线. 又∵的图象与x轴交于点，∴， 把点A，B的坐标代入半圆，可得r=1. （2）设，∵，∴. ∵当时，，∴， ∴当时，； ∵当时，，∴， ∴当时，.∵<，∴的最小值为. 真题实战 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 3．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．点的坐标为 B．时，圆与轴相切 C．当时，圆与圆相切 D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 4．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 5．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 6．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 7．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： ________． 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $