椭圆的标准方程、椭圆的性质、椭圆的光学性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以椭圆标准方程、性质及光学性质为核心，通过问题情境发展数学眼光，以题载理构建从定义到应用的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆的标准方程|例4+变式4|焦点位置判断、定义应用、离心率关联|从方程形式到参数关系，构建a,b,c逻辑基础| |椭圆的性质|例4+变式4|焦距计算、离心率求解、焦点三角形综合|性质源于标准方程，延伸至几何量关系| |椭圆的光学性质|例3+变式2|反射光线过焦点、切线法线关系应用|光学性质为性质拓展，体现数学应用意识|

圆锥曲线：椭圆的标准方程、椭圆的性质、椭圆的光学性质专项训练 圆锥曲线：椭圆的标准方程、椭圆的性质、椭圆的光学性质专项训练 考点目录 椭圆的标准方程 椭圆的性质 椭圆的光学性质 考点一 椭圆的标准方程 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为． 例2．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 例3．（2025·四川雅安·二模）椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】根据题意及椭圆的定义求出，即可得解. 【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴上，设其标准方程为， 由题意可知焦距， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 例4．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为__________． 【答案】 【分析】根据题意，由椭圆的几何性质求出、的值，结合椭圆的标准方程计算可得答案． 【详解】解：根据题意，如图： ，由椭圆的对称性可得：， 又，由勾股定理可得：， 所以，， 又，则， 椭圆标准方程为． 故答案为：． 变式1．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 变式2．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，即，所以动点P的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点P的轨迹方程． 【详解】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为. 故选：D 变式3．（2025·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为______. 【答案】 【分析】利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得. 【详解】由题设，可得， 又为上顶点，则，故， 所以，则，故标准方程为. 故答案为： 变式4．（2023·四川甘孜·一模）已知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若且的面积为，则曲线的标准方程为__________. 【答案】 【分析】利用已知条件确定，，的值，可得椭圆的标准方程. 【详解】如图： 因为：，所以：，即. 由得：，即. 所以：，且，，均为正数，解得：. 所以椭圆的标准方程为：. 故答案为： 考点二 椭圆的性质 例1．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】设，，根据，列式，联立即可求解. 【详解】根据，设，， 则，， 因为，所以， 在中，因为，所以， 即，① 在中，， 即，② 联立①②解得，， 所以椭圆的长轴长为. 例2．（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求． 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则. 因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即. 所以.解得. 因为，所以. 例3．（2026·辽宁抚顺·一模·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点作垂直于的直线交于两点，则（    ） A．的离心率为 B．的短轴长为 C．为等边三角形 D．为等边三角形 【答案】AC 【分析】先根据椭圆方程应用焦点坐标列式得出，进而求出离心率及短轴长，判断A，B，C，最后结合椭圆定义求出边长判断D. 【详解】由的左、右焦点分别为，得1，解得， 则，所以C的离心率，短轴长为， 又因为，所以为等边三角形，故选项A正确，选项B错误，选项C正确； 由题意设，则，解得， 所以，又， 所以，即不是等边三角形，故选项D错误. 例4．（25-26高三上·甘肃金昌·阶段检测·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中点，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】先利用椭圆经过的点代入求得椭圆方程，即可计算判断A，B两项，将点代入椭圆方程计算比较即可判断C项，设点，计算并化简，结合椭圆的几何性质即可判断D项. 【详解】因点在椭圆上，则有，故椭圆方程为， 对于A，由上分析，可得，，，故椭圆的长轴长为，故A错误； 对于B，椭圆的离心率为，故B正确； 对于C，将点代入，因，则该点在椭圆内，故C正确； 对于D，设，，因， 则， 又，则， 当且仅当点为椭圆的右顶点时，的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 变式1．（2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据椭圆定义，，则当三点共线时，取得最小值. 【详解】根据题意，，且点为椭圆右焦点， 根据椭圆定义，， 即如图，当三点共线时，取得最小值. 变式2．（2026·河南南阳·一模）已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 所以椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为，即， 又两椭圆的交点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由， 代入椭圆： 中， 得化简可得： ，解得：， 又，故. 变式3．（2026·海南儋州·二模·多选）已知椭圆的焦距为，直线与相交于，两点，的中点为，点在直线上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为 C． D．到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为 【答案】AC 【分析】由题意可得，将椭圆方程与直线方程联立，结合韦达定理及中点坐标公式，可求得，，进而可判断A，B；求出点的坐标，根据向量数量积的坐标运算，可判断C；求出关于直线的对称点，利用,求解后可判断D. 【详解】由题意可得，所以，所以， 所以椭圆方程为， 由，可得， 设，则有，解得， 所以，所以， 所以椭圆的离心率，故A正确； 因为，所以，所以椭圆的短轴长为，故B错误； 因为，所以直线与椭圆联立后所得方程为：， 解得，所以，即， 所以，所以，故C正确； 因为椭圆的两焦点分别为，又因为在直线上， 设关于直线的对称点为， 则有，解得，所以， 所以,, 当三点共线时，等号成立， 又因为， 即到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为，故D错误. 变式4．（25-26高三下·广东·阶段检测·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点，若，，则（    ） A． B． C．的离心率 D．当的长轴长为时，的短轴长为 【答案】ABD 【分析】利用题中条件以及椭圆的定义可判断AB选项；由结合余弦定理可得出关于、的等式，可求出该椭圆的离心率的值，可判断C选项；根据求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，则，， ，， 所以，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为，故， 由余弦定理可得， 代入A中的数据并整理可得，即， 因为，解得，故该椭圆的离心率为，C错； 对于D选项，当的长轴长为时，则，则， 故该椭圆的短轴长为，D对. 考点三 椭圆的光学性质 例1．（2026·河北邢台·三模）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上顶点为，为上一点，在点处的切线为，过点 且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，若的面积，到的距离之和为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，分别过作直线的垂线，再由到的距离之和为，求得，设，则，求得，得到，在中，利用余弦定理，化简求得，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】因为 ，可得， 如图所示，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， 又因为到的距离之和为，所以，则， 设，则， 所以， 则， 可得，所以，则， 由余弦定理得， 所以，即，可得， 所以椭圆的离心率为. 例2．（2026·重庆江津·三模）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 的左、右焦点分别为从发出的一条光线交椭圆于点A，在点A处反射后交椭圆于点B，在点B处反射后再次经过点.若且 则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用椭圆的定义得到线段之间的关系，再结合余弦定理建立关于的方程，进而求出离心率. 【详解】设，所以，故，，则 在中，， 即， 化简为，解得：， 在中，根据余弦定理，， 即，化简为 两边同时除以得：，则离心率.    例3．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则_______________．    【答案】/ 【分析】由椭圆的光学性质得到直线平分，可得，然后算出答案即可. 【详解】因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得， 由椭圆C的方程为，所以,, 由椭圆的定义可知：， 由椭圆的光学性质得到直线平分，可得. 故答案为：. 变式1．（2026·重庆·模拟预测）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.设椭圆的两个焦点分别为，，如图，光线由点发出射到椭圆上的点处，经反射后到点，再经过轴反射到椭圆上的点，最后反射回点，若光线经过的总路程为12，且，则直线的斜率为（ ） A． B．-2 C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义与几何性质，结合余弦定理求解即可. 【详解】由题可知， 所以， 设，则， 根据反射规律可知：，所以， 所以， 所以， 整理并化简得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以直线的斜率为 变式2．（2026·四川成都·三模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线均为，求出点到的距离，结合椭圆的定义得到原点到点处切线的距离，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，结合焦距为即可求解. 【详解】如图，设点处的切线为为的平分线，交轴于点，则， 过点，分别作，垂足分别为，过点作于点. 设，则.因为，所以， 所以.因为为的中点， 所以由梯形的中位线定理， 得， 所以.因为，所以，所以.因为， 所以在中由余弦定理， 得， 即，所以，即.又因为， 所以，即椭圆的长轴为8. 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：椭圆的标准方程、椭圆的性质、椭圆的光学性质专项训练 圆锥曲线：椭圆的标准方程、椭圆的性质、椭圆的光学性质专项训练 考点目录 椭圆的标准方程 椭圆的性质 椭圆的光学性质 考点一 椭圆的标准方程 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·四川雅安·二模）椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为______. 例4．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为__________． 变式1．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2025·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为______. 变式4．（2023·四川甘孜·一模）已知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若且的面积为，则曲线的标准方程为__________. 考点二 椭圆的性质 例1．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 例2．（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 例3．（2026·辽宁抚顺·一模·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点作垂直于的直线交于两点，则（    ） A．的离心率为 B．的短轴长为 C．为等边三角形 D．为等边三角形 例4．（25-26高三上·甘肃金昌·阶段检测·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中点，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的最大值为 变式1．（2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式2．（2026·河南南阳·一模）已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（    ） A．4 B．5 C． D． 变式3．（2026·海南儋州·二模·多选）已知椭圆的焦距为，直线与相交于，两点，的中点为，点在直线上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为 C． D．到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为 变式4．（25-26高三下·广东·阶段检测·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点，若，，则（    ） A． B． C．的离心率 D．当的长轴长为时，的短轴长为 考点三 椭圆的光学性质 例1．（2026·河北邢台·三模）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上顶点为，为上一点，在点处的切线为，过点 且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，若的面积，到的距离之和为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·重庆江津·三模）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 的左、右焦点分别为从发出的一条光线交椭圆于点A，在点A处反射后交椭圆于点B，在点B处反射后再次经过点.若且 则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则_______________．    变式1．（2026·重庆·模拟预测）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.设椭圆的两个焦点分别为，，如图，光线由点发出射到椭圆上的点处，经反射后到点，再经过轴反射到椭圆上的点，最后反射回点，若光线经过的总路程为12，且，则直线的斜率为（ ） A． B．-2 C． D． 变式2．（2026·四川成都·三模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 2 学科网（北京）股份有限公司 $