专题25 椭圆的标准方程与几何性质 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题25　椭圆 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题25　椭圆的标准方程与几何性质 一、核心知识 1．椭圆的定义：平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数 2a（）的点的轨迹；这两个定点叫焦点，两焦点间的距离叫焦距。 2．标准方程（中心在原点）：焦点在 轴上为 （）；焦点在 轴上为 （）。 3．参数关系：，其中 是长半轴长、 是短半轴长、 是半焦距，且 、。 4．几何性质：顶点为 与 ，焦点为 ，长轴长 2a、短轴长 2b、焦距 2c。 5．离心率 ，； 越接近 1 椭圆越扁，越接近 0 越接近圆。 6．焦半径：焦点在 轴上时 、（ 在椭圆上），故 的取值范围是 。 7．焦点三角形：（），也可用 计算。 8．直线与椭圆的位置关系：联立方程后消元得一元二次方程，用判别式判断： 相交、 相切、 相离。 9．弦长公式：，其中 、 由韦达定理给出。 10．弦中点问题用点差法：把两端点坐标代入椭圆方程作差，可得 （ 为弦的中点）。 11．通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长为 ，是最短的焦点弦。 12．求离心率的通法：由题设列出 、、 的关系式，结合 化为关于 的方程，再在 内求解。 二、题型精练 题型一　椭圆的定义与标准方程 【方法与技巧】 用定义求方程：先由 2a、2c 确定 、，再由 求 ，最后按焦点位置写出标准方程。 焦点在 轴上时分母大的项在 下；焦点在 轴上时分母大的项在 下，看分母大小即可确定焦点位置。 已知两点求方程可用待定系数法：设 （、 且 ），代入两点坐标解方程组。 【例题精讲】 1．椭圆 的长半轴长为（　　） A．5 B．4 C．25 D．3 2．若椭圆的焦点在 轴上，且 、，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 3．已知椭圆的焦点为 、，且经过点 ，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．椭圆 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．椭圆 的焦点在（　　） A． 轴上 B． 轴上 C．坐标原点 D．无法确定 3．若椭圆的长轴长为 10、短轴长为 8，则 （　　） A．3 B．6 C． D．9 4．椭圆 （）的焦距为（　　） A． B．2a C．2b D． 5．已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为 10，焦距为 8，且焦点在 轴上，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 6．若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 应满足（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．椭圆 的长轴长为（　　） A．4 B．2 C．1 D．8 2．椭圆 的短轴长为（　　） A．6 B．3 C．10 D．5 3．椭圆 的焦距为（　　） A．8 B．4 C．16 D．12 4．中心在原点、焦点在 轴上，且 、 的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 5．椭圆 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 6．椭圆 （）中 ，且椭圆过点 ，则 （　　） A．4 B．2 C．8 D． 7．若椭圆的焦点为 ，且长轴长为 4，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 8．椭圆 的两个焦点之间的距离为　　　　。 题型二　椭圆的几何性质与离心率 【方法与技巧】 离心率 ，知道 、、 中任意两个量即可求出 。 求离心率的通法：把题设条件翻译成 、、 的关系式，再用 全部换成 、，最后两边同除以 的相应次方得到关于 的方程。 焦半径 、 是求距离最值的利器，其取值范围是 。 【例题精讲】 1．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．若椭圆的离心率 ，且 ，则 （　　） A．2 B．1 C．8 D． 3．椭圆 （）上一点到焦点的最大距离为（　　） A． B． C． D．2a 【变式训练】 1．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．若椭圆的离心率为 ，且 ，则 （　　） A．2 B． C．4 D． 3．椭圆 （）过点 ，且离心率为 ，则 （　　） A．5 B．4 C．3 D．25 4．椭圆 上一点到右焦点的距离的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．椭圆的离心率越大，椭圆（　　） A．越扁 B．越圆 C．面积越大 D．周长不变 6．椭圆 （）中，若 ，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．若椭圆的离心率 ，则（　　） A． B． C． D． 3．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．椭圆上一点到两个焦点的距离之和为（　　） A．2a B． C．2c D．2b 5．若椭圆的离心率 ，且 ，则 （　　） A．3 B．1 C． D．9 6．椭圆 上一点到左焦点距离的最小值为（　　） A．2 B．5 C．8 D．3 7．已知椭圆 （）的离心率为 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．椭圆 的离心率为　　　　。 题型三　直线与椭圆的位置关系 【方法与技巧】 联立直线与椭圆方程，消去 （或 ）得到一元二次方程，用判别式 判断公共点个数。 有两个公共点（相交）， 有一个公共点（相切）， 没有公共点（相离）。 过椭圆内部任意一点的直线必与椭圆有两个交点；过椭圆上一点的直线至少有一个交点（可能相切）。 【例题精讲】 1．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 3．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．过椭圆中心 【变式训练】 1．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 2．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过焦点 3．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过焦点 4．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过椭圆中心 5．过椭圆 的右焦点且斜率为 1 的直线与椭圆的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．无法确定 6．与椭圆 相切且斜率为 1 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过焦点 3．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过椭圆中心 4．过椭圆中心的直线与椭圆的公共点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．4 5．直线 与椭圆 恒有公共点，则（　　） A．对任意实数 都成立 B．只有 时成立 C．只有 时成立 D．不成立 6．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过焦点 7．椭圆 的右顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 8．直线 与椭圆 的公共点个数为　　　　。 题型四　弦长与弦中点问题 【方法与技巧】 弦长用 ，两根之和与两根之积直接由韦达定理得到，不必解方程。 弦中点问题首选点差法：设两端点坐标代入椭圆方程后作差，可得 ，其中 为弦的中点。 一组平行弦的中点轨迹是一条过椭圆中心的线段，其斜率与原弦斜率满足 。 【例题精讲】 1．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 2．椭圆 中一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D．2 3．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．椭圆 中所有斜率为 1 的弦的中点所在的直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 2．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4 3．椭圆 的一条弦被点 平分，则该弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 4．椭圆 （）中，斜率为 的弦的中点为 ，则（　　） A． B． C． D． 5．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 6．椭圆 中，过左焦点且垂直于 轴的弦长为（　　） A．3 B． C．6 D． 【巩固练习】 1．椭圆 的通径长为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 2．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A．2 B．1 C．4 D． 3．椭圆 的通径长为（　　） A． B． C． D．4 4．椭圆 中所有斜率为 2 的弦的中点所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 5．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 6．椭圆 （）的通径长为（　　） A． B． C． D．2b 7．椭圆 中，一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D．2 8．直线 被椭圆 截得的弦长为　　　　。 题型五　椭圆中的最值与范围问题 【方法与技巧】 设椭圆上一点的参数坐标 ，把目标量写成 的函数，再用配方法或有界性求最值。 利用焦半径的取值范围 ，可直接得到椭圆上一点到焦点距离的最值。 焦点三角形面积 ，当 取最大值 时面积最大；也可由 直接计算。 【例题精讲】 1．椭圆 上一点到右焦点的距离的最小值为（　　） A．2 B．5 C．8 D．3 2．椭圆 上一点到原点的距离的最大值为（　　） A．2 B．1 C． D．4 3．椭圆 上一点到点 的距离的最小值为（　　） A．1 B．2 C．5 D．3 【变式训练】 1．椭圆 上一点到点 的距离的最大值为（　　） A．5 B．1 C．3 D． 2．椭圆 上一点到左焦点距离的最大值为（　　） A． B． C．6 D． 3．椭圆 上一点到直线 的距离的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．椭圆 （）上一点到原点距离的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．椭圆 上一点 P 与两焦点 、 构成的三角形面积的最大值为（　　） A． B． C．1 D．3 6．若 P 为椭圆 上一点，、 为焦点，则 （　　） A．10 B．5 C．8 D．6 【巩固练习】 1．椭圆 上一点的横坐标的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．椭圆 上一点到直线 的距离的最小值为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 3．椭圆 上一点到原点的距离的最大值为（　　） A．3 B．2 C． D．9 4．椭圆 上一点到右焦点距离的最大值为（　　） A．9 B．5 C．1 D．4 5．椭圆 的两焦点为 、，点 P 在椭圆上且 ，则 的面积为（　　） A．1 B． C．2 D． 6．椭圆 （）上一点的纵坐标的最大值为（　　） A． B． C． D．2b 7．椭圆 上一点到点 的距离的最小值为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 8．椭圆 上一点到左焦点距离的最大值为　　　　。 题型六　椭圆的综合应用 【方法与技巧】 涉及焦点三角形时，用定义 与余弦定理联立，可求角与面积。 涉及向量数量积时，设点 后用坐标运算，再结合椭圆方程消去一个变量。 “定点、定值”类问题可先用特殊位置猜出结论，再用一般情形加以验证或证明。 【例题精讲】 1．椭圆 的两焦点为 、，点 P 在椭圆上，若 ，则 （　　） A．4 B．6 C．5 D．8 2．椭圆 （）的左顶点为 、右焦点为 ，若 、，则左顶点到右焦点的距离为（　　） A．8 B．2 C．5 D．3 3．椭圆 上一点 P 满足 ，则 的面积为（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式训练】 1．椭圆 （）上一点 P 满足 ，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 2．过椭圆 的左焦点作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点，则 （　　） A． B． C． D． 3．椭圆 的右焦点为 F，过 F 且垂直于 轴的直线交椭圆于 A、B，则 （　　） A．1 B．2 C． D． 4．椭圆 上横坐标为 1 的点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 5．椭圆 （）的一个焦点为 ，若 、，则过该焦点且垂直于长轴的弦长为（　　） A． B． C． D．8 6．设椭圆 的两焦点为 、，点 P 在椭圆上，则 的最小值为（　　） A． B． C．1 D．0 【巩固练习】 1．椭圆 上一点到两焦点的距离之和为（　　） A．10 B．5 C．8 D．6 2．椭圆 的焦距为（　　） A．4 B．2 C．8 D． 3．椭圆 上纵坐标为 的点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 4．过椭圆 的右焦点且垂直于 轴的弦长为（　　） A． B． C． D．4 5．椭圆 中，过右焦点且斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 6．椭圆 （）的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．椭圆 的两个焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 8．椭圆 上一点与两焦点构成的三角形面积的最大值为　　　　。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．椭圆 的长轴长为（　　） A．10 B．5 C．8 D．4 2．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 3．椭圆 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 4．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过椭圆中心 5．椭圆 的通径长为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 6．椭圆 上一点到左焦点距离的最大值为（　　） A．9 B．5 C．1 D．4 7．椭圆 上一点到点 的距离的最小值为（　　） A．1 B．2 C．5 D．3 8．若椭圆 （）的离心率为 ，且 ，则 （　　） A．2 B． C．4 D． 【多项选择题】 9．关于椭圆，下列说法正确的有（　　） A．椭圆上一点到两焦点的距离之和为 2a B．离心率 C． D．离心率越大椭圆越扁 10．关于椭圆中 、、 的关系，下列说法正确的有（　　） A． B． C． D． 11．关于直线与椭圆，下列说法正确的有（　　） A．联立方程后用判别式可判断位置关系 B． 时有两个公共点 C．弦长可写成 D．弦中点问题可用点差法 【填空题】 12．椭圆 的焦距为　　　　。 13．椭圆 上一点到点 的距离的最大值为　　　　。 14．椭圆 上一点 P 满足 ，则 　　　　。 （答案与逐题详解见《解析版》） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题25　椭圆 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题25　椭圆的标准方程与几何性质 一、核心知识 1．椭圆的定义：平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数 2a（）的点的轨迹；这两个定点叫焦点，两焦点间的距离叫焦距。 2．标准方程（中心在原点）：焦点在 轴上为 （）；焦点在 轴上为 （）。 3．参数关系：，其中 是长半轴长、 是短半轴长、 是半焦距，且 、。 4．几何性质：顶点为 与 ，焦点为 ，长轴长 2a、短轴长 2b、焦距 2c。 5．离心率 ，； 越接近 1 椭圆越扁，越接近 0 越接近圆。 6．焦半径：焦点在 轴上时 、（ 在椭圆上），故 的取值范围是 。 7．焦点三角形：（），也可用 计算。 8．直线与椭圆的位置关系：联立方程后消元得一元二次方程，用判别式判断： 相交、 相切、 相离。 9．弦长公式：，其中 、 由韦达定理给出。 10．弦中点问题用点差法：把两端点坐标代入椭圆方程作差，可得 （ 为弦的中点）。 11．通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长为 ，是最短的焦点弦。 12．求离心率的通法：由题设列出 、、 的关系式，结合 化为关于 的方程，再在 内求解。 二、题型精练 题型一　椭圆的定义与标准方程 【方法与技巧】 用定义求方程：先由 2a、2c 确定 、，再由 求 ，最后按焦点位置写出标准方程。 焦点在 轴上时分母大的项在 下；焦点在 轴上时分母大的项在 下，看分母大小即可确定焦点位置。 已知两点求方程可用待定系数法：设 （、 且 ），代入两点坐标解方程组。 【例题精讲】 1．椭圆 的长半轴长为（　　） A．5 B．4 C．25 D．3 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 2．若椭圆的焦点在 轴上，且 、，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴上时标准方程为 ，代入 、 得 。选 A。 3．已知椭圆的焦点为 、，且经过点 ，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴上，；点 在椭圆上说明 ，故 ，方程为 。选 A。 【变式训练】 1．椭圆 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，焦点在 轴上，故为 。选 A。 2．椭圆 的焦点在（　　） A． 轴上 B． 轴上 C．坐标原点 D．无法确定 【答案】A 【详解】 的分母 25 大于 的分母 16，故焦点在 轴上。选 A。 3．若椭圆的长轴长为 10、短轴长为 8，则 （　　） A．3 B．6 C． D．9 【答案】A 【详解】、，。选 A。 4．椭圆 （）的焦距为（　　） A． B．2a C．2b D． 【答案】A 【详解】焦距为 2c，而 ，故为 。选 A。 5．已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为 10，焦距为 8，且焦点在 轴上，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ， 得 ，，故方程为 。选 A。 6．若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴上要求 的分母更大，即 （且 ）。选 A。 【巩固练习】 1．椭圆 的长轴长为（　　） A．4 B．2 C．1 D．8 【答案】A 【详解】，长轴长为 。选 A。 2．椭圆 的短轴长为（　　） A．6 B．3 C．10 D．5 【答案】A 【详解】，短轴长为 。选 A。 3．椭圆 的焦距为（　　） A．8 B．4 C．16 D．12 【答案】A 【详解】，，焦距为 8。选 A。 4．中心在原点、焦点在 轴上，且 、 的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴时大分母在 下，故为 。选 A。 5．椭圆 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，焦点在 轴上，故为 。选 A。 6．椭圆 （）中 ，且椭圆过点 ，则 （　　） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【详解】点 说明 ，故 。选 A。 7．若椭圆的焦点为 ，且长轴长为 4，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、，，故方程为 。选 A。 8．椭圆 的两个焦点之间的距离为　　　　。 【答案】 【详解】，焦距为 。 题型二　椭圆的几何性质与离心率 【方法与技巧】 离心率 ，知道 、、 中任意两个量即可求出 。 求离心率的通法：把题设条件翻译成 、、 的关系式，再用 全部换成 、，最后两边同除以 的相应次方得到关于 的方程。 焦半径 、 是求距离最值的利器，其取值范围是 。 【例题精讲】 1．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 2．若椭圆的离心率 ，且 ，则 （　　） A．2 B．1 C．8 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．椭圆 （）上一点到焦点的最大距离为（　　） A． B． C． D．2a 【答案】A 【详解】由焦半径公式， 的取值范围是 ，故最大值为 。选 A。 【变式训练】 1．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 2．若椭圆的离心率为 ，且 ，则 （　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】，故 ，，。选 A。 3．椭圆 （）过点 ，且离心率为 ，则 （　　） A．5 B．4 C．3 D．25 【答案】A 【详解】由点 得 ；，故 ，。选 A。 4．椭圆 上一点到右焦点的距离的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、，故取值范围为 。选 A。 5．椭圆的离心率越大，椭圆（　　） A．越扁 B．越圆 C．面积越大 D．周长不变 【答案】A 【详解】 越大说明 越接近 、 越小，椭圆越扁。选 A。 6．椭圆 （）中，若 ，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 2．若椭圆的离心率 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 即 ，又 ，得 ，即 。选 A。 3．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 4．椭圆上一点到两个焦点的距离之和为（　　） A．2a B． C．2c D．2b 【答案】A 【详解】由椭圆的定义，距离之和恒为 2a。选 A。 5．若椭圆的离心率 ，且 ，则 （　　） A．3 B．1 C． D．9 【答案】A 【详解】。选 A。 6．椭圆 上一点到左焦点距离的最小值为（　　） A．2 B．5 C．8 D．3 【答案】A 【详解】、，最小距离为 。选 A。 7．已知椭圆 （）的离心率为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 8．椭圆 的离心率为　　　　。 【答案】 【详解】，。 题型三　直线与椭圆的位置关系 【方法与技巧】 联立直线与椭圆方程，消去 （或 ）得到一元二次方程，用判别式 判断公共点个数。 有两个公共点（相交）， 有一个公共点（相切）， 没有公共点（相离）。 过椭圆内部任意一点的直线必与椭圆有两个交点；过椭圆上一点的直线至少有一个交点（可能相切）。 【例题精讲】 1．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】代入得 ，即 ，解得 或 ，有两个交点，故相交。选 A。 2．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】代入得 ，即 ，只有一个公共点 ，故相切。选 A。 3．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．过椭圆中心 【答案】A 【详解】代入得 ，，故相离。选 A。 【变式训练】 1．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】代入得 ，即 ，只有公共点 ，故相切。选 A。 2．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过焦点 【答案】A 【详解】代入得 ，，有两个交点，故相交。选 A。 3．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过焦点 【答案】A 【详解】代入得 ，，有两个交点 ，故相交。选 A。 4．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过椭圆中心 【答案】A 【详解】代入并整理得 ，有两个不同实根，故相交。选 A。 5．过椭圆 的右焦点且斜率为 1 的直线与椭圆的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．无法确定 【答案】A 【详解】焦点在椭圆内部，过椭圆内部一点的直线必与椭圆有两个交点。选 A。 6．与椭圆 相切且斜率为 1 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，代入整理得 ，令 ，得 ，故 。选 A。 【巩固练习】 1．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【详解】椭圆上点的横坐标满足 ，直线 上没有椭圆上的点，故相离。选 A。 2．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过焦点 【答案】A 【详解】代入得 ，有两个交点，故相交。选 A。 3．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过椭圆中心 【答案】A 【详解】代入得 ，，故相交。选 A。 4．过椭圆中心的直线与椭圆的公共点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．4 【答案】A 【详解】由中心对称性，过中心的直线与椭圆交于关于中心对称的两个点。选 A。 5．直线 与椭圆 恒有公共点，则（　　） A．对任意实数 都成立 B．只有 时成立 C．只有 时成立 D．不成立 【答案】A 【详解】直线恒过点 ，而该点恰在椭圆上，故无论 取何值都至少有一个公共点。选 A。 6．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过焦点 【答案】A 【详解】代入得 ，，有两个交点，故相交。选 A。 7．椭圆 的右顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 且焦点在 轴上，右顶点为 。选 A。 8．直线 与椭圆 的公共点个数为　　　　。 【答案】2 【详解】联立得 ，有两个不同实根，故有 2 个公共点。 题型四　弦长与弦中点问题 【方法与技巧】 弦长用 ，两根之和与两根之积直接由韦达定理得到，不必解方程。 弦中点问题首选点差法：设两端点坐标代入椭圆方程后作差，可得 ，其中 为弦的中点。 一组平行弦的中点轨迹是一条过椭圆中心的线段，其斜率与原弦斜率满足 。 【例题精讲】 1．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入得 ，，，弦长。选 A。 2．椭圆 中一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由点差法 。选 A。 3．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立得 ，两根为 0 与 ，，弦长。选 A。 【变式训练】 1．椭圆 中所有斜率为 1 的弦的中点所在的直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。选 A。 2．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4 【答案】A 【详解】该弦就是长轴，长为 。选 A。 3．椭圆 的一条弦被点 平分，则该弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对称性，被 轴上的点 平分的弦垂直于 轴，方程为 （此时两交点的中点为 ）。选 A。 4．椭圆 （）中，斜率为 的弦的中点为 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把两端点坐标代入方程作差即得 。选 A。 5．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入得 ，，弦长。选 A。 6．椭圆 中，过左焦点且垂直于 轴的弦长为（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】该弦即通径，长为 。选 A。 【巩固练习】 1．椭圆 的通径长为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】通径长。选 A。 2．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A．2 B．1 C．4 D． 【答案】A 【详解】该弦就是短轴，长为 。选 A。 3．椭圆 的通径长为（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】通径长。选 A。 4．椭圆 中所有斜率为 2 的弦的中点所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。选 A。 5．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入得 ，，弦长。选 A。 6．椭圆 （）的通径长为（　　） A． B． C． D．2b 【答案】A 【详解】通径长为 。选 A。 7．椭圆 中，一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】。选 A。 8．直线 被椭圆 截得的弦长为　　　　。 【答案】 【详解】，弦长。 题型五　椭圆中的最值与范围问题 【方法与技巧】 设椭圆上一点的参数坐标 ，把目标量写成 的函数，再用配方法或有界性求最值。 利用焦半径的取值范围 ，可直接得到椭圆上一点到焦点距离的最值。 焦点三角形面积 ，当 取最大值 时面积最大；也可由 直接计算。 【例题精讲】 1．椭圆 上一点到右焦点的距离的最小值为（　　） A．2 B．5 C．8 D．3 【答案】A 【详解】、，最小距离为 。选 A。 2．椭圆 上一点到原点的距离的最大值为（　　） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【详解】设 ，则 ，故最大值为 2。选 A。 3．椭圆 上一点到点 的距离的最小值为（　　） A．1 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【详解】，令 ，该式在 时取最小值 1，故最小距离为 1。选 A。 【变式训练】 1．椭圆 上一点到点 的距离的最大值为（　　） A．5 B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】同上， 在 时取最大值 25，故最大距离为 5。选 A。 2．椭圆 上一点到左焦点距离的最大值为（　　） A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】、，最大距离为 。选 A。 3．椭圆 上一点到直线 的距离的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】椭圆上点的横坐标最大为 2，故到直线 的最小距离为 。选 A。 4．椭圆 （）上一点到原点距离的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】短轴端点离原点最近（距离 ），长轴端点最远（距离 ），故取值范围为 。选 A。 5．椭圆 上一点 P 与两焦点 、 构成的三角形面积的最大值为（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】，而 ，故最大面积为 。选 A。 6．若 P 为椭圆 上一点，、 为焦点，则 （　　） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【详解】由椭圆定义，距离之和为 。选 A。 【巩固练习】 1．椭圆 上一点的横坐标的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。选 A。 2．椭圆 上一点到直线 的距离的最小值为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】椭圆上点的纵坐标最大为 1，故最小距离为 。选 A。 3．椭圆 上一点到原点的距离的最大值为（　　） A．3 B．2 C． D．9 【答案】A 【详解】长轴端点离原点最远，距离为 。选 A。 4．椭圆 上一点到右焦点距离的最大值为（　　） A．9 B．5 C．1 D．4 【答案】A 【详解】、，最大距离为 。选 A。 5．椭圆 的两焦点为 、，点 P 在椭圆上且 ，则 的面积为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 6．椭圆 （）上一点的纵坐标的最大值为（　　） A． B． C． D．2b 【答案】A 【详解】由 得 ，故纵坐标最大值为 。选 A。 7．椭圆 上一点到点 的距离的最小值为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】，当 时取最小值 4，故最小距离为 2。选 A。 8．椭圆 上一点到左焦点距离的最大值为　　　　。 【答案】8 【详解】、，最大距离为 。 题型六　椭圆的综合应用 【方法与技巧】 涉及焦点三角形时，用定义 与余弦定理联立，可求角与面积。 涉及向量数量积时，设点 后用坐标运算，再结合椭圆方程消去一个变量。 “定点、定值”类问题可先用特殊位置猜出结论，再用一般情形加以验证或证明。 【例题精讲】 1．椭圆 的两焦点为 、，点 P 在椭圆上，若 ，则 （　　） A．4 B．6 C．5 D．8 【答案】A 【详解】由定义 ，故 。选 A。 2．椭圆 （）的左顶点为 、右焦点为 ，若 、，则左顶点到右焦点的距离为（　　） A．8 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【详解】两点都在 轴上，距离为 。选 A。 3．椭圆 上一点 P 满足 ，则 的面积为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 【变式训练】 1．椭圆 （）上一点 P 满足 ，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．过椭圆 的左焦点作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】左焦点为 ，直线为 ；联立得 ，故 ，。选 A。 3．椭圆 的右焦点为 F，过 F 且垂直于 轴的直线交椭圆于 A、B，则 （　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】该弦为通径，长为 。选 A。 4．椭圆 上横坐标为 1 的点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入得 ，，故 。选 A。 5．椭圆 （）的一个焦点为 ，若 、，则过该焦点且垂直于长轴的弦长为（　　） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】通径长为 。选 A。 6．设椭圆 的两焦点为 、，点 P 在椭圆上，则 的最小值为（　　） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】设 ，、，则数量积 ，最小值为 。选 A。 【巩固练习】 1．椭圆 上一点到两焦点的距离之和为（　　） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【详解】由定义，距离之和为 。选 A。 2．椭圆 的焦距为（　　） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【详解】，，焦距为 4。选 A。 3．椭圆 上纵坐标为 的点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入得 ，，故 。选 A。 4．过椭圆 的右焦点且垂直于 轴的弦长为（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】通径长为 。选 A。 5．椭圆 中，过右焦点且斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】右焦点为 ，直线为 ；联立得 ，故 ，。选 A。 6．椭圆 （）的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】短轴端点到两个焦点的距离都等于 ，故为等腰三角形。选 A。 7．椭圆 的两个焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，焦点在 轴上，故为 。选 A。 8．椭圆 上一点与两焦点构成的三角形面积的最大值为　　　　。 【答案】 【详解】。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．椭圆 的长轴长为（　　） A．10 B．5 C．8 D．4 【答案】A 【详解】，长轴长为 。选 A。 2．椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 3．椭圆 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，焦点在 轴上。选 A。 4．直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．过椭圆中心 【答案】A 【详解】联立得 ，有两个不同实根，故相交。选 A。 5．椭圆 的通径长为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】通径长。选 A。 6．椭圆 上一点到左焦点距离的最大值为（　　） A．9 B．5 C．1 D．4 【答案】A 【详解】、，最大距离为 。选 A。 7．椭圆 上一点到点 的距离的最小值为（　　） A．1 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【详解】 在 时取最小值 1。选 A。 8．若椭圆 （）的离心率为 ，且 ，则 （　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】，得 ，。选 A。 【多项选择题】 9．关于椭圆，下列说法正确的有（　　） A．椭圆上一点到两焦点的距离之和为 2a B．离心率 C． D．离心率越大椭圆越扁 【答案】ABCD 【详解】A 是定义，B 是离心率公式，C 是参数关系，D 是离心率的几何意义，全部正确。故选 ABCD。 10．关于椭圆中 、、 的关系，下列说法正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】椭圆中长半轴最大，且 说明 ；D 由 直接推出。四项都正确。故选 ABCD。 11．关于直线与椭圆，下列说法正确的有（　　） A．联立方程后用判别式可判断位置关系 B． 时有两个公共点 C．弦长可写成 D．弦中点问题可用点差法 【答案】ABCD 【详解】四项分别是位置关系的判定方法、判别式的含义、弦长公式与点差法，全部正确。故选 ABCD。 【填空题】 12．椭圆 的焦距为　　　　。 【答案】 【详解】，焦距为 。 13．椭圆 上一点到点 的距离的最大值为　　　　。 【答案】5 【详解】 在 时取最大值 25，故最大距离为 5。 14．椭圆 上一点 P 满足 ，则 　　　　。 【答案】3 【详解】。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $