安徽宿州市灵璧中学2026-2027学年高二清北班第二次对抗赛数学试题

灵璧中学清北班第二次对抗赛数学参考答案 题号 2 3 6 个 9 10 答案 A c A C B B D AB BCD 题号 11 答案 ACD 12.513.1114.8 15.(1)(1,2) (2)x+2y-5=0 19 (3)2或2 【详解】(1)解：直线l的方程可化为a(x-)-0y-2)=0, x-1=0 令y-2=0,解得x=1,y=2,即点P的坐标为，2). (2)解：当OP⊥1时，点O到直线I的距离最大， 此时直线OP的斜率KoP与直线I的斜率满足kopk,=-l, 因为ko=2,所以 nas、1 Γ2，即2 1 =0 所以直线I的方程为2 2 ,即x+2y-5=0 )解：令y0.可得0，所段。0 令x=0,可得y=2-a,所以B(0,2-0),且a≠0，a≠2， 可得 Mg2-j0-=2日1p80-0r+e-a2= 所以 1m=2gwi*g-ad22o- 当且仅当a=±l时，等号成立， 当a=1时，直线I的方程为x-y+1=0,此时A(-1,0),B(0,1), g-04108. 可得△AOB的面积为°2 当a=-1时，直线1的方程为x+y-3=0,此时A(3,0),B(0,3), S-104WOB-2. 9 可得△AOB的面积为2 19 综上可得，△AOB的面积为2或2. 16.(1)(x-4)2+y2=16 1<4-64+v6 t>1 (2) 5或5 【详解】(1)设圆心为C(a,b), 因为圆心在直线x+y-4=0上，所以Q+b-4=0,即b=4-a. 又圆经过A8,O)和B4,4),所以CAHCBI, V(a-8)2+(b-0)2=V(a-4)2+(b-42 代入b=4-a,并化简： (a-8)2+(4-a)2=(a-4)2+(4-a-4)2 (a-8)2=a2→a2-16a+64=a2→a=4 因此b=4-4=0,圆心为C(4,0), 半径rCA=√(8-4)2+(0-02=4 所以圆C的标准方程为：(x-4)2+y2=16 (2)圆C:圆心(4,0)，半径1=4： 圆D:圆心亿，2)，半径2=1 两圆没有公共点，即外离或内含。 圆心距d=Vt-4)+(21-02-V52-8t+16 D 外离条件： d>5+5=4+1=5 V5t2-8t+16>5→5t2-8t+16>25→5t2-8t-9>0 4-V61 t< 1>4+6 解得5或5 内含条件： d<5-5=4-1=3 V5t2-8t+16<3→5t2-8t+16<9→5t2-8t+7<0, 判别式△=（-8)2-4×5×7=64-140=-76<0，无解. 4-V61 t< 1>4+6 t的取值范围为： 5或5 17.(1)在△ABC中，AC=2,BC=1,∠ACB=60°， AB2=BC2+AC2-2BC·AC cos∠ACB=1+4-2×1×2× =3 由余弦定理得 所以AB=V5,故AC2=BC+AB2, 所以△ABC为直角三角形，且AB⊥BC, 又因为PA⊥面ABCD,ADC平面ABCD,所以AD⊥PA 又因为AD⊥PB,且PA∩PB=P,PA,PBC平面PAB, 所以AD⊥面PAB,ABC平面PAB, 所以AD⊥AB, 又因为AB、BC、ADC平面ABCD,所以BC∥AD 又因为BC丈平面PAD,ADC平面PAD,所以BC∥平面PAD V114 (2)38 【详解】(1)略 (2)因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,以A为原点AB、AD、AP所在直线分别为x、Y、Z轴 建立如下图所示的空间直角坐标系， B 则P(0,0,2),C(5,10),B3,0,0).D0,1,0) PC=(5,1-2).BD=(-V3,1,0).PD=(01,-2) 设i=(化，y,2)为面PBD的一个法向量， i·BD=0 「-V3x+y=0 iPD= 0,故y-2z=0 令x=2,解得i=(2,25,V5) 记PC与面PBD所成角为B, sin =cos(PC,n)= PC.n 2√3√114 则 1PC‖元-22×V1938 114 所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为38. 飞-1 18.(1)k23 【详解】(1)解法一：设由题知，C(-1,0),D(1,0) 1 X=- ①当直线AB的斜率不存在时，直线AB方程为2，如图所示， D 将=2，代入+少2=1，解得 -5-0 =-2 1-13 2 k2 3 当线B的，我B为，我祁方为三+，》 段..分⅓=+ 联立+=1，希去少得. +2+x号-10 k2 发11食4可】 -115 “x+x=2+1k2+1, 连接BC,BD,由圆的性质可得BC⊥BD,kack即=-l, 点=k业=-koko=-片上 k2 kac x-1x2-1 k2 4 1-k2 1 k2+1'2k2+14 1 (x-1)(x2-1) x2-(x1+x2)+1 k2 -1 4 -2 +1k2+1+1 k=1 综上可得，飞，3 解法二：由题知，C(-1,0),D1,0) ①当直线AB的斜率不存在时，同法1. -k2 1二1xk2+144k2+1) ②当直线AB的斜率存在时，同法1得 x+x=k尺+12+1 =x-1=(+) ++++++)+ 1 11 + 2 k(x-) 1 1 1 七2+1 6+2:-）+2-名26+26+x)252 15 1 11. 111 44k2+)k2+125 2 42+241 15 33.33 4 4(k2+1254 k=1 综上可得，3 1 解法三：设直线AB方程为 =mw-2.AG）,B(）,则 x=mY-2 联立r+少=1，消去x得 m2+1y2-my-20, 3 ∴.y+y2= my2=- m2+1, 4m2+1 3 y+y2 4m m= 整理得 44+5) 1 =-1-上(：2+1） my2+ m+2片 40+⅓)+ 2 1. 4 41 k(：-1) 3 39 x2+1 y2 my-2 m%52 子 (2)由(1)知k=3k,直线AD和直线BC方程分别为y=k(x-)和y=3k(x+), y=k(x-1) 联立y=3张(x+0,消去y得x=-2,点G在直线x=-2上，如图所示， D =2 GA-GBsin∠AGB |GA|GB1-x+2.为+2 S.CDsCGD GD GC 3 1 .31「 可可月可品 3m2 m∈R 0< m2+1 S 。的取值范围为41川 19.(1)x=-2或3x-4y+10=0: (2)①n=V2②d(E,F)e[v2-l,4+V5) 【详解】(1)由题意，过点H-2,1)且斜率为-1的直线方程为x+y+1=0, 1川√2 又圆O(0,0)到该直线的距离为V?+P =V14 2 所以该直线被圆O截得的弦长为 ，解得2=4， 所以圆0的方程为+y=4,圆心坐标为00,0)，半径为2， 当过点H(-2,)的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为x=-2: 当切线斜率存在时，设切线方程为y-1=k(x+2),即x-y+2k+1=0 12k+1=2 、3 由Vk2+1,解得4，则切线方程为3x-4y+10=0, 所以过点H的圆O的切线方程为x=-2或3x-4y+10=0 (2)①设点Px,),则x2+y2=4,1PA=Vx-a2+0-22,1PBVG-m2+0-12. 图P阳24P8P-9+U-2P=rKr+0- 又x2+y2=4,化简得2ac+4y-a2-8=2mn2x+2n2y-m2n2-5n2, 2a=2mn2 4=2n2 因为P为圆O上在意一点，所以a+8=m2+5m2 n=√2 a-2 又m>0,n>0,解得m=1 ，所以常数n=V2」 ②由①知a=2,m=1,所以圆C:x2+y2=1,E(2,-0,F(t,1) 曼哈顿距离：d(E,F)=r-2+|t+ 因为直线l过E,与圆交于M,N,且M为WE的中点，设Vc,则2,2 wr1.号号=1w--4 又N在圆上：x2+y2=1,两式相减得4x-2y++1=0 因为直线4x-2++1=0与圆C有两个交点，分别为M,N, 2+1 <1 故圆心到该直线的距离小于1，所以V16+42 整理得-22-15<0，解得2<5，所以-V5<t<V5 令f0=-2++1山，在(-5，N5)上分段求值域： 当1e(-5,-V2],f0=-t-3,在(-V5,-V2]上单调递减，所以此时值域为[V2-l,2+V⑤)， 当∈(-√2，-，f0=1-t-,在一2，-上单调递增，所以此时值域为N2-1,: 71V2f0=平+t+31=2时取最大值4，值移3 13 当tE(W2,⑤)，f0=+t-1,在(W2,V⑤)上单调递增，值域为W2+l,4+V5⑤)， 综上所述，d(E,F)∈[V2-l,4+V5) 灵璧中学清北班高二第二次对抗赛 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 卷Ⅰ（选择题） 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知直线：，：，则的充要条件的是（ ） A． B． C．或3 D． 2．若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ） A．12 B．9 C． D． 4．设直线被圆所截弦的中点为，点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．关于下列命题，正确的是（ ） A．若点在圆外，则或 B．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 C．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 D．已知点是直线上一动点，、是圆：的两条切线，、是切点，则四边形的面积的最小值为 8．设圆：，直线：，点，使得存在点，使（为坐标原点），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二．选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的选项中，有多个符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，不选、有错选的均不得分． 9．若圆上总存在两个点到点的距离为1，则的取值可以是（ ） A．1 B． C． D． 10．已知曲线方程表示椭圆，则下列说法正确的是（ ） A．的取值集合为 B．当时，焦点坐标为 C．当时，记椭圆所包围的区域面积为，则 D．当时，随着越大，椭圆就越接近于圆 11．已知直线：，其中，点是直线上的一个动点．圆：，其中，点是圆上的一个动点．则下列说法中正确的是（ ） A．当，时，圆心到直线的距离为4 B．当，时，是坐标原点，则的最小值为 C．当时，不存在，使圆与直线相离 D．存在，使对任意的，圆与直线均相切 卷Ⅱ（非选择题） 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分 12．已知坐标原点到直线：的距离为1，则的最大值为__________． 13．已知圆：，直线：，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为__________． 14．在三棱柱中，为等腰直角三角形，且，，若直线与平面所成的角为，则的最小值为__________． 四．解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．已知直线：恒过点，且与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点． （1）求点的坐标； （2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程； （3）当取得最小值时，求的面积． 16．已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若圆：（）与圆没有公共点，求的取值范围． 17．如图，四棱锥中，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．如图所示，圆：与轴的交点分别为，，过点的直线与圆交于，两点． （1）记直线，的斜率分别为，，求的值； （2）设为直线与的交点，，的面积分别为，，求的取值范围． 19．已知过点且斜率为的直线被圆：截得的弦长为 （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，．为圆上任意一点，（为常数）． ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆：交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $