精品解析：安徽阜阳市太和县第八中学2026-2027学年高二上学期9月份数学自测卷

高二上学期9月份数学自测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中，D为上一点且满足，为直线上一点，且，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 2. 已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，其中，是虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 若对于任意的实数都有成立，则θ的值可能是（ ） A. B. C. D. 0 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 化简的值为（ ） A. B. C. － D. － 8. 已知函数，若存在常数，使得函数为偶函数，则可以为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则此三角形为等腰三角形 11. 下列说法正确的有（ ） A. 中，，，，则满足条件的的个数为2 B. 若，则关于的方程有一解 C. D. 锐角三角形中，，，则的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知，，则______. 13. 已知，则_____，向量与向量的夹角＝______. 14. 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则___________． 15. 在△ABC中，分别是角的对边，若，，向量， 且. 则△ABC的面积是_________ 四、解答题：本题共4小题，每小题18分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （1）已知角终边上一点，且，求和的值． （2）已知是第三象限的角，且，①化简；②若，求 17. 已知函数 （1）完善下面的表格并作出函数在上的图象： 0 π x 1 （2）解不等式 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点． （1）设平面平面，证明：． （2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由． （3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围． 19. 设函数的定义域为，，如果满足：任意，均有成立，则称是在上的“密切函数”. （1）判断函数是否为上的“密切函数”； （2）某市拟在直线段道路一侧或两侧修建一条分流车道，车道的第一部分为如下图所示的曲线段，是函数的图象；第二部分为曲线段，是函数且的图象. （i）求点的坐标； （ii）为确保分流车道不至于偏离道路过远，要求分流车道对应的函数是在上的“密切函数”，求符合要求的实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期9月份数学自测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中，D为上一点且满足，为直线上一点，且，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据向量的线性运算利用表示，根据平面向量基本定理列方程求的值. 【详解】设，则， 因为，所以， 又，所以， 所以， 所以. 故选：A. 2. 已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以、为邻边作平行四边形，以、为邻边作平行四边形，连接、、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，利用余弦定理可求得结果. 【详解】以、为邻边作平行四边形，以、为邻边作平行四边形，连接、、，如下图所示： 因为四边形为平行四边形，则且， 同理可知且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以，异面直线与所成角为或其补角， 由勾股定理可得，， 在中，，，， 所以，， 由余弦定理可得， 因此，直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 3. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可知，，可求得答案. 【详解】因为点是角终边上一点， 所以. 故选：D. 4. 若，其中，是虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，由复数相等求出，直接计算即可. 【详解】解：因为，所以，则. 故选：A. 5. 若对于任意的实数都有成立，则θ的值可能是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】将题干条件等式左边进行展开，重新整理表达式，推出后进行判断即可. 【详解】， 整理可得，， 即， 对于，不可能恒成立， 故只有，则，， 结合选项，只有A符合. 故选：A 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求出，进而由向量的坐标运算求出结果. 【详解】∵，， ∴， ∴. 故选：A. 7. 化简的值为（ ） A. B. C. － D. － 【答案】A 【解析】 【详解】应用诱导公式及和角余弦公式化简求值即可. 【分析】. 故选：A 8. 已知函数，若存在常数，使得函数为偶函数，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的解析式，得和都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解. 【详解】由， 得是偶函数， 因为不可能是奇函数， 所以和都是偶函数， 为偶函数，则，即， 为偶函数，则，， ，，结合选项，只有时，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由余弦函数的图象的对称中心坐标求出的值，可得函数的解析式， 【详解】由图可知， 则，因为，所以． 由，得，得， 因为，所以， 所以． 故选：AB 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则此三角形为等腰三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理及三角方程即可求解. 【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，因为，，，所以,即, 所以有两解，所以有两解，故B正确； 对于C，因为为钝角三角形，但不一定是钝角，所以不一定成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 由，得或，解得或， 所以此三角形为等腰三角形或此三角形为直角三角形，故D错误. 故选：AB. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 中，，，，则满足条件的的个数为2 B. 若，则关于的方程有一解 C. D. 锐角三角形中，，，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理化简判断A，根据辅助角公式计算求解判断B，应用同角三角函数关系及两角差正弦计算求解判断C，应用余弦定理计算求解判断D. 【详解】A．，所以没有满足条件，A错误； B．，所以，因为，所以，B正确； C．，C正确； D．设，由余弦定理，，，解得，所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数平方关系及正弦二倍角化简求值. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为： 13. 已知，则_____，向量与向量的夹角＝______. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】第一空：通过求得，即可求解，第二空：由向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 即，得. 因为，所以. 设向量与向量的夹角为，则有 ， 因为，所以，即向量与向量的夹角为. 故答案为：2； 14. 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】直角三角形中较小的内角为，斜边为1， 则直角三角形的两条直角边分别为， 所以小正方形的边长为，即， 也即，可得， 因， 因为锐角，则. 故答案为：. 15. 在△ABC中，分别是角的对边，若，，向量， 且. 则△ABC的面积是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据向量平行求出，结合余弦定理可得，利用面积公式可求答案. 【详解】因为，； 所以，解得； ， 即，解得； 又，所以， 所以△ABC的面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共4小题，每小题18分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （1）已知角终边上一点，且，求和的值． （2）已知是第三象限的角，且，①化简；②若，求 【答案】（1），；（2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，在根据定义求出和的值； （2）①利用诱导公式、同角三角函数基本关系式即可得出，②利用诱导公式得到，再利用同角关系式即得. 【详解】（1）由题可得，又， 解得， ∴，， ∴，； （2）① ； ②由得：， ∴， ∵是第三象限的角， ∴， ∴. 17. 已知函数 （1）完善下面的表格并作出函数在上的图象： 0 π x 1 （2）解不等式 【答案】（1） 0 π x 0 0 1 0   图象如下： （2） 【解析】 【分析】（1）由表格中所给数据计算得到其他对应数据完善表格；由五点作图法绘出函数在上的图象； （2）根据正弦函数的图象和性质解得答案. 【小问1详解】 表格如下： 0 π x 0 0 1 0   图象如下： 【小问2详解】 由得， 所以， 解得， 所以不等式 的解集为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点． （1）设平面平面，证明：． （2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由． （3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以． 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB． 因为平面PCD，平面平面，所以． （2）解：设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM． 因为F为PD上靠近点P的三等分点， 所以F为PM的中点，所以． 因为平面AMO，平面AMO，所以平面AMO． 同理可证平面AMO． 因为，所以平面平面AMO． 因为平面平面，平面平面，所以． 因为F为PM的中点，所以H为PC的中点． （3） 【解析】 【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可得证； （2）取PC的中点，则即为平面与棱的交点.设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM．通过证明平面AMO、平面AMO证得平面平面AMO，再根据面面平行的性质得到，结合F为PM的中点，即可得证； （3）过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI，证得为二面角的平面角.根据题设条件，运用等面积法、相似等平面几何知识得到，令，，得到，利用该函数的单调性求值域即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI， 因为，，，所以平面PBC，所以． 因为，，所以平面NID，则， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由底面是平行四边形，，得,． 由等面积法可得, 由，， 所以，． 则． 令，． 在中，则． 令，，则在上单调递增， 所以，， 所以二面角的正弦值的取值范围为． 19. 设函数的定义域为，，如果满足：任意，均有成立，则称是在上的“密切函数”. （1）判断函数是否为上的“密切函数”； （2）某市拟在直线段道路一侧或两侧修建一条分流车道，车道的第一部分为如下图所示的曲线段，是函数的图象；第二部分为曲线段，是函数且的图象. （i）求点的坐标； （ii）为确保分流车道不至于偏离道路过远，要求分流车道对应的函数是在上的“密切函数”，求符合要求的实数的取值范围. 【答案】（1）是上的“密切函数” （2）（i）；（ii）或 【解析】 【分析】（1）分析可知：若是在上的“密切函数”， .故根据定义分析函数在上的单调性及最值即可求解； （2）（i）根据点在函数的图象上，先求出函数的解析式，代入横坐标即可求点坐标； （i）根据点坐标代入可得.对和进行分类讨论，根据“密切函数”的定义研究函数的单调性与最值即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， 则在上单调递增， 所以， . ∴，有. 所以函数是上的“密切函数”. 【小问2详解】 （i）由图可知，函数在上的最大值为，则. 又，则，即. 因为，所以， 则，故. 所以，故. （ii）因为过点，所以，则， 所以. 设，则在其定义域上单调递减. ①当时，根据复合函数单调性可知：函数在[5,10]上单调递增， 要满足分流车道对应的函数为上的“密切函数”，则需要，即，解得. ②当时，函数在[5,10]上单调递减， 要满足分流车道对应的函数为上的“密切函数”，则需要， 即，解得. 综上所述，或. 【点睛】本题为新定义题型，综合考查函数的最值、单调性、周期性等性质，以及分类讨论、数形结合等数学思想，属于压轴题.解题的关键是理解“密切函数”的定义，将问题转化为求函数的最值，进而研究函数单调性即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $