20.2026年安徽省芜湖市二模-【木牍中考】2027安徽中考数学试题汇编配套课件

数 学 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20.2026年芜湖市二模 　本卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的. 1.－2的相反数是( ) A.2 B.－2 C. D.－ A -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2.据统计，截至2024年安徽省机器人全产业链企业数有500多户，营收超600亿元，其中600亿用科学记数法表示为( ) A.0.6×1011 B.6×1010 C.6×109 D.6×108 2 B -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 A　　　 B　　　 C　　　 D 3.中国鼓文化是以鼓为载体，融合音乐、舞蹈等的传统艺术形式，如图是一种鼓的示意图，其左视图是( ) 3 D -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 4.下列计算正确的是( ) 4 C 【解析】 选项 正误 原因 A × 2ab与3a2b不是同类项，不能合并 B × ＝9a4 C √ 计算正确 D × (a－b)2＝a2－2ab＋b2 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 5.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，点M在AC边上，△ABM的周长为13，则下列结论正确的是( ) A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠C C.∠2＝∠C D.∠ABC＝90° 5 C 【解析】∵△ABM的周长为13，∴AB＋AM＋MB＝13，∵AB＝6，∴AM＋MB＝7.∵AC＝AM＋MC＝7，∴MB＝MC，∴∠2＝∠C. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6.在等边△ABC中，D为AB中点，以点A为圆心，AD长为半径作弧交AC于点E.若BC＝2，则的长是( ) A. B. C. D. 6 D 【解析】∵在等边△ABC中，BC＝2，∴AB＝BC＝2，∠BAC＝60°，∵D为AB中点，∴AD＝AB＝1， ∴的长是. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7.某智慧课堂有4种互动方式：抢答、随机选择一人作答、小组作答、老师指定一人作答(每种互动方式可反复选择)，数学课上老师先随机选择一种互动方式，再随机选择一种互动方式，则两次选到同一互动方式的概率是( ) A. B. C. D. 7 A 【解析】∵共有4种互动方式且可重复选择，∴第一次选择有4种等可能结果，第二次选择也有4种等可能结果，共有等可能的结果数为4×4＝16种.∵两次选到同一互动方式的结果共有4种，∴两次选到同一互动方式的概率是. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8.如图，正六边形ABCDEF为一个机械零件的截面图，已测得AB＝1，则四边形GCHF的面积是( ) A. B. C.2 D.3 8 A -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝BC＝AF＝1，∠ABC＝∠BAF＝(6－2)×180°÷6＝120°， ∴∠BAC＝(180°－∠ABC)＝30°， ∴∠GAF＝120°－30°＝90°，同理，得∠AFB＝30°， ∴FG＝， 同理，可得CG＝CH＝FH＝，∴四边形GCHF是菱形， ∴四边形GCHF的面积为CG·AF＝×1＝. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 A.当ax2＋2ax－b＞kx－c时，n＜x＜m B.当x≥0时，ax2＋2ax＋c≤c C.若点(－，y1)在二次函数y＝ax2＋2ax＋c图象上，则y1＜c D.－ac＋bk＞0 9.一次函数y＝kx＋b(k≠0)与二次函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是( ) 9 C -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】 选项 正误 原因 A √ 对于ax2＋2ax－b＞kx－c，移项可得ax2＋2ax＋c＞kx＋b， ∵两个函数图象交点的横坐标为x＝n和x＝m，结合图象可得n＜x＜m B √ 当x≥0时，抛物线最高点为抛物线与y轴的交点，为(0，c)， 即ax2＋2ax＋c的最大值为c，∴当x≥0时，ax2＋2ax＋c≤c C × 由对称轴公式可知，抛物线的对称轴是直线x＝－＝－1， ∴在抛物线上与点(0，c)关于对称轴x＝－1对称的点是(－2，c)，∵－2＜－＜－1，∴y1＞c D √ ∵抛物线开口向下，与y轴交点在正半轴，∴a＜0，c＞0， ∵直线经过第二、三、四象限，∴k＜0，b＜0，∴－ac＋bk＞0 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10.如图，在△ABC中，∠ABC＝22.5°，∠BAC＝45°，BC＝4，P为∠ABC的平分线上一动点，Q为AB边上一动点，PQ＋AP的最小值为( ) A.2 B.2 C.4 D.6 10 B -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 此题是动点求最值问题，且属于“两动一定”问题.由对称将AP＋PQ转化为一条线段，并找出最小线段.而难点在于由题意不能直接求最小线段的值，可构造等腰直角三角形，将45°利用起来，巧妙的是作辅助线后，图中有“一线三等角”模型和等腰三角形. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 作点Q关于BP对称的对称点G，连接PG，AG，则PG＝PQ， 过点A作AK⊥BC交BC延长线于点K. ∵P为∠ABC的平分线上一动点， ∴点G在射线BC上，∴PQ＋AP＝PG＋AP≥AG≥AK， ∴PQ＋AP的最小值为AK，此时点G，K重合，点A，P，G共线， 过点C作CR⊥AC交AB于点R，过点R作RT⊥BC于点T. ∵∠BAC＝45°，∴△ACR为等腰直角三角形，CR＝CA， 易得△RTC≌△CKA，∴AK＝CT，∵∠ARC＝∠ABC＋∠RCT，∠ABC＝22.5°，∴∠RCT＝22.5°＝∠ABC，∴RB＝RC，∵RT⊥BC， ∴TB＝TC＝BC＝2，∴AK＝CT＝2，∴PQ＋AP的最小值为2. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11.若式子有意义，则实数x的取值范围是 _________. x≥ -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 12.某团队对A，B，C，D四类新型气象卫星的信号回传速率(单位：Mbps)进行了5次测试，测试数据的统计结果如下表： 卫星型号 A B C D 平均回传速率 60 63 58 63 回传速率方差 9.5 17.2 8.1 4.2 已知气象卫星对信号回传速率要求快且稳定，则性能最优的卫星是________.(填“A”“B”“C”或“D”) D　 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】由统计知识可知，平均回传速率反映回传速度的快慢，方差反映数据的波动程度，方差越小，稳定性越好.根据表格数据，A，B，C，D四类卫星的平均回传速率最大的是B和D，满足速率快的要求，比较B和D的方差：D的方差更小，稳定性更好，因此D满足速率快且稳定的要求，即性能最优的卫星是D. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13 13.如图，点A在函数y1＝(x＞0)的图象上，连接AO并延长，交函数y2＝(x＜0)的图象于点B，C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC.若△ABC的面积是6，则k的值为________. 1　 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】过点A作AD⊥x轴，过点B作BF⊥x轴， ∴∠AOD＝∠BOF，∠ADO＝∠BFO＝90°，∴△AOD∽△BOF，∵S△AOD＝＝2k，S△BOF＝， ∴＝4，∴＝4，∴BF＝AD. ∵AO＝AC，AD⊥x轴，∴OC＝2OD＝4OF， ∴S△AOC＝2S△AOD＝4k，S△BOC＝4S△BOF＝2k， ∴S△ABC＝S△AOC＋S△BOC＝6k＝6，∴k＝1. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14 14. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“共和数”，例如：四位数1235，∵12＋23＝35，∴1235是“共和数”，又如：四位数3824，∵38＋82≠24，∴3824不是“共和数”. (1)若一个“共和数”为，则m的值为________； 4　 【解析】(1)由题可得10m＋2＋26＝68，解得m＝4. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)若一个“共和数”M的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去2a，结果能被7整除，则满足条件的M的最小值是________. 1684 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)由题意得“共和数”M＝符合条件10a＋b＋(10b＋c)＝10c＋d，整理得10a＋11b－9c＝d，一个“共和数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去2a为100a＋10b＋c－(100b＋10c＋d)－2a＝98a－90b－9c－d＝98a－90b－9c－10a－11b＋9c＝88a－101b＝7(12a－15b)＋4a＋4b. 又∵结果能被7整除，∴是整数，∵1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，且均为整数，∴a＝1时，原四位数可得最小值，此时b只能取6，∴10＋11×6－9c＝d，即d＝76－9c，此时只有c＝8，d＝4符合题意.故满足条件的M的最小值是1684. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.化简：. 【参考答案】原式＝..................3分 ＝ ＝－1...................8分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16 16.如图，在平面直角坐标系中，△AOB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，3)，B(2，2)，将△AOB绕点O逆时针旋转90°后，点A，B分别落在点A1，B1处. (1)直接写出点A1的坐标：________________； (2)画出旋转后的△A1OB1； (3)连接AB1，请利用格点(网格线的交点)作出△AB1O边B1O上的高AH. (－3，1).... 2分 (2)旋转后的△A1OB1如图所示..........5分 (3)高AH如图所示...........8分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验.十二月初水稻采收产量为200吨，二月初水稻采收产量增至242吨.假设技术稳定，每月产量的平均增长率相同. (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率； 【参考答案】(1)设每月产量的平均增长率为x. 由题意，得200(1＋x)2＝242， 解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不符合题意，舍去). 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为10%...................6分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ (2)242×(1＋10%)＝242×1.1＝266.2(吨). 答：预计三月初水稻采收的产量将达到266.2吨............ 8分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18 18.数学兴趣小组开展探究活动，发现：对于任意两个连续的正整数的乘积与较大数的和，一定为较大数的平方.例如4和5，有4×5＋5＝25＝52. (1)【证明结论】请将该结论的证明过程补充完整. 设m，n是连续的正整数，且m＜n，可得n＝m＋1， ∴mn＋n＝ .(方框中需要书写具体推理过程) ∴mn＋n一定是正数n的平方. n(m＋1)＝n·n＝n2....... 3分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)【类比证明】该小组还发现：任意两个连续的正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方.请你完成证明. (2)设m，n是连续的正整数，且m＜n， ∴n＝m＋1，∴n－1＝m，∴mn－m＝m(n－1)＝m2. ∴任意两个连续的正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方...................8分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A，B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点(点A，B，C在同一水平面内)，小明同学在点A处测得∠BAC＝42°，小军同学在点B处测得∠ABC＝61°，两人之间的距离AB为60米，求此河流的宽度.(参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.90，sin 61°≈0.87，tan 61°≈1.80) -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】过点C作CD⊥AB于点D. 设AD＝x，则BD＝60－x， 在Rt△ADC中，∠BAC＝42°，tan ∠BAC＝， ∴CD＝AD·tan ∠BAC＝0.9x...................4分 在Rt△CDB中，∠ABC＝61°，tan ∠ABC＝， ∴1.80≈，解得x＝40，∴CD＝0.9×40＝36(米). 答：此河流的宽度约为36米...................10分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20 20.已知AB是☉O的直径，AT是☉O的切线，AT＝10. (1)如图1，若∠ATB＝45°，求OT的长； 图1 【参考答案】(1)∵AT是☉O的切线， ∴AB⊥AT，即∠BAT＝90°. ∵∠ATB＝45°，∴∠ABT＝45°， ∴AB＝AT＝10，∴AO＝5， ∴OT＝＝5...................4分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)如图2，C是OB上一点，若∠ATC＝45°，TC与☉O相交于点D，过点D作弦DE∥AT，与AB相交于点F，DE＝12，求OT的长. 图2 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)连接OD. ∵∠ATC＝45°，∠BAT＝90°，∴∠ACT＝45°＝∠ATC，∴AC＝AT＝10. ∵DE∥AT，∴AB⊥DE，即∠CFD＝90°. ∵∠ACT＝45°，∴∠CDF＝∠ACT＝45°，∴CF＝DF. ∵AB是☉O的直径，AB⊥DE，∴DF＝DE＝6＝CF(依据：垂径定理)， ∴AF＝AC－CF＝4...................8分 设半径为r，则OF＝r－4，在Rt△ODF中，∵OF2＋DF2＝OD2， ∴(r－4)2＋62＝r2，解得r＝，∴OT＝...................10分 图2 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 六、(本题满分12分) 21. 【问题背景】有关研究表明，维生素C(学名：抗坏血酸)对豚鼠牙齿生长有一定的影响.生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食0.5 mg和1.0 mg剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量(牙齿生长长度用x表示，单位：mm，分为四组：A.5≤x＜10；B.10≤x＜15；C.15≤x＜20；D.20≤x≤25)，下面给出部分信息： 0.5 mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度在B区间的数据为： 10，10，11，12，12，12，13，14，14 1.0 mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为： 6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【实践探究】 剂量 0.5 mg 1.0 mg 平均数 12 13.45 中位数 a 13 众数 12 b 两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表 0.5 mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度扇形统计图 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a＝________，b＝________，m＝____________； 12 12 15........... 3分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；(写出一条理由即可) (2)1.0 mg剂量更适合豚鼠牙齿的生长.理由：1.0 mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度的平均数大于0.5 mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度的平均数.(说法不唯一，合理即可).........8分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)若养殖基地准备按0.5 mg和1.0 mg的剂量分别投喂1000只和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度低于10 mm的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计有多少只豚鼠需要加大剂量投喂. (3)1000×30%＋1500×＝675(只). 答：估计有675只豚鼠需要加大剂量投喂...................12分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22 七、(本题满分12分) 22.如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，连接AE，将AB沿AE翻折至AF，点B的对应点F落在▱ABCD内，射线AF交DC于点G，与射线BC相交于点P，延长EF交DC于点Q. (1)求证：△EFP≌△ECQ. 【参考答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B＝∠DCP. 由折叠可知△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE， ∴∠AFE＝∠DCP，∴180°－∠AFE＝180°－∠DCP，即∠EFP＝∠ECQ. ∵E是BC中点，∴BE＝EC. 由翻折得BE＝EF，∴EF＝EC. ∵∠QEC＝∠PEF，∴△EFP≌△ECQ(ASA)...................3分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)若AB＝AE，AP平分∠DAE. (ⅰ)求证：2QG2＝FG·AG； (2)(ⅰ)连接AQ. ∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB. 由翻折可知∠BAE＝∠EAP，∠AEB＝∠AEQ. ∵AP平分∠DAE，∴∠DAP＝∠EAP. ∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∠DAP＝∠P， ∴∠BAE＝∠EAP＝∠P＝∠AEB＝∠B. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 设∠BAE＝∠EAP＝∠P＝α，则∠B＝∠AEB＝2α， 在△ABE中，α＋2α＋2α＝180°，∴α＝36°. 由(1)知△EFP≌△ECQ，则∠EQC＝∠P＝∠DAG＝36°. ∵∠FGQ＝∠DGA，∴△QFG∽△ADG，∴，∴FG·AG＝QG·DG. ∵EQ＝EP＝EA，∠AEQ＝∠AEB＝72°， ∴∠QAE＝∠EQA＝(180°－∠AEQ)＝54°， ∴∠AQG＝∠EQA＋∠EQC＝54°＋36°＝90°，∴AQ⊥DG. 又∵∠B＝∠D＝∠AGD＝∠BAG＝72°，∴AD＝AG， ∴QG＝DQ，即DG＝2QG，∴2QG2＝FG·AG...................7分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (ⅱ)若CG＝a，GQ＝b，求证：＝1. (ⅱ)过点Q作QH⊥AP于点H. 由(ⅰ)可知∠QFG＝∠QGF＝72°，∴QF＝QG， ∵QH⊥FG，∴FH＝GH. ∵△EFP≌△ECQ，∴EQ＝EP. ∵EF＝EC，∴FQ＝CP. 又∵∠EQC＝∠P，∠QGF＝∠PGC， ∴△FQG≌△CPG(AAS)， ∴FG＝CG＝a，则FH＝GH＝. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 由(ⅰ)知∠FEP＝180°－∠AEB－∠AEF＝36°， ∴∠FEP＝∠EQC＝36°，∴EC＝CQ＝CG＋GQ＝a＋b. ∵E是BC中点，∴BE＝EC＝a＋b，BC＝2EC＝2a＋2b， ∴AD＝2a＋2b. 由(ⅰ)知DQ＝GQ＝b， ∵∠D＝∠AGD＝72°，∠AQD＝∠QHG＝90°， ∴△ADQ∽△QGH，∴，∴，即b2－a2＝ab， ∴两边同除以ab，得＝1...................12分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 八、(本题满分14分) 23.若两条直线y＝mx＋n(m≠0)与y＝nx＋m(n≠0)存在交点P(s，t)，则这两条直线就叫作“伴随直线”，二次函数y＝mx2＋nx＋t为“伴随函数”. (1)求直线y＝3x＋2的“伴随函数”表达式； 【参考答案】(1)根据题意，得y＝3x＋2的“伴随直线”表达式为y＝2x＋3， 联立，得解得 ∴交点的坐标为(1，5)，即s＝1，t＝5， ∴“伴随函数”表达式为y＝3x2＋2x＋5...................4分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)直线y＝mx＋n经过点(－2，3)，且m，n，t满足条件4m＜t＜2n，求m的取值范围； (2)涉及m，n，t，最终求m的取值范围，所以应当将n与t用m表示. 根据题意，得y＝mx＋n的“伴随直线”表达式为y＝nx＋m， 联立，得解得∴t＝m＋n. ∵直线y＝mx＋n经过点(－2，3)，∴－2m＋n＝3，即n＝2m＋3. ∵4m＜t＜2n，∴4m＜m＋2m＋3＜2(2m＋3)，解得－3＜m＜3. ∵n≠0，∴2m＋3≠0，即m≠－， ∴m的取值范围为－3＜m＜3且m≠－且m≠0...................9分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)若直线y＝mx＋n(m＞1)的“伴随函数”与x轴两个交点的距离为2，当m≤x≤m＋6时，其“伴随函数”的最小值为－m，求其“伴随函数”的表达式. (3)注意m≤x≤m＋6与函数增减性的关系. 由(2)知直线y＝mx＋n(m≠0)的“伴随函数”表达式为y＝mx2＋nx＋m＋n. ∵“伴随函数”与x轴两个交点的距离为2， ∴＝2.解得n1＝－2m，n2＝6m...................11分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ①当n＝－2m时，y＝mx2＋nx＋m＋n＝mx2－2mx－m，对称轴为直线x＝1. ∵m＞1，∴当m≤x≤m＋6时，y随x的增大而增大， ∴当x＝m时，函数取得最小值， 即m3－2m2＝0，解得m1＝2，m2＝0(舍去)， 此时n＝－4，∴“伴随函数”的表达式为y＝2x2－4x－2. -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ②当n＝6m时，y＝mx2＋nx＋m＋n＝mx2＋6mx＋7m，其对称轴为直线x＝－3， ∵m＞1，∴当m≤x≤m＋6时，y随x的增大而增大， ∴当x＝m时，函数取得最小值，即m3＋6m2＋7m＝－m， 解得m1＝－2，m2＝－4，m3＝0(不合题意，均舍去). 综上所述，直线y＝mx＋n的“伴随函数”表达式为y＝2x2－4x－2...................14分 -‹#›- -‹#›- 20.2026年芜湖市二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 A.2ab＋3a2b＝5a3b2 B.＝－9a6 C.3a3·(－4a2)＝－12a5 D.(a－b)2＝a2－b2 $