11.2026年安徽省合肥市新站区一模-【木牍中考】2027安徽中考数学试题汇编配套课件

数 学 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11.2026年合肥市新站区一模 本卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟. -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的. 1.－2026的绝对值是(　　) A. B.－ C.2026 D.－2026 C -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2 2.2026年2月发布的安徽省《2025年政府工作报告》指出，2025年全省汽车总产量368.6万辆、新能源汽车产量179.4万辆，同比分别增长3.3%，6.6%，汽车、新能源汽车产量双双跃居全国首位.数据179.4万用科学记数法表示为(　　) A.17.94×105 B.1.794×105 C.0.1794×106 D.1.794×106 D -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3 3.下列运算正确的是(　　) A.3a＋a＝4a2 B.a(b－2)＝ab－2a C. ＝6a6 D.(2a－1)2＝4a2－1 B -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 4 4.合肥渡江战役纪念馆，主体建筑如两艘并行的巨型战舰，直指长江方向；馆身与地面呈49°角上扬，明确象征1949年渡江战役胜利，寓意“中国号”巨轮乘风破浪、扬帆起航.其中一艘战舰简化几何体如图所示，其俯视图是(　　) A B C D C -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 5 5.如图所示的计算程序中，可得y与x之间的函数关系，下列结论正确的是(　　) A.函数值y随自变量x的增大而增大 B.函数图象不经过第一象限 C.函数图象向下平移2个单位长度，新的函数图象过原点 D.函数图象与x轴的交点坐标是 C -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 5 【解析】根据程序，得y＝－3x＋2. 选项 正误 原因 A × ∵k＝－3＜0，∴y随x的增大而减小 B × ∵k＝－3＜0，b＝2＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限 C √ 函数y＝－3x＋2的图象向下平移2个单位长度，得y＝－3x，y＝－3x的函数图象过原点 D × 令y＝－3x＋2＝0，得x＝，∴函数y＝－3x＋2的图象与x轴的交点坐标是 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6 6.如图，在△ABC中，AC＝3AB，点D在边AC上，且∠ABD＝∠C.如果AD＝1，那么CD的长度是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 B 【解析】∵∠ABD＝∠C，∠BAC＝∠DAB，∴△ABD∽△ACB，∴，∴，解得AB＝3，∴AC＝9，∴CD＝AC－AD＝9－1＝8. -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7 7.小明和爸爸周日去观看电影，在网上购票时，小明发现只剩下一排有空位(如图)，此时3排3号座和3排4号座已售出.若其余座位由系统随机分配，则小明和爸爸相邻而坐的概率是(　　) A. B. C. D. C -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】由题意列表如下： 7 　　爸爸 小明　　 1 2 5 6 1   (1，2) (1，5) (1，6) 2 (2，1)   (2，5) (2，6) 5 (5，1) (5，2)   (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，5)   由表格可得，总共有12种等可能的情况，其中相邻坐着的为(1，2)，(2，1)，(5，6)，(6，5)，共有4种情况，∴小明和爸爸相邻而坐的概率是. -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8 8.如图，直线y＝2x＋b交反比例函数y＝(k≠0)的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点.已知S△OCD＝4，CD＝2AC，则k的值为(　　) A.4 B.6 C. D.8 B -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】过点A作AE⊥y轴于点E.∵∠COD＝∠AEC＝90°，∠OCD＝∠ECA，∴△AEC∽△DOC，∴.∵CD＝2AC，∴，令x＝0，则y＝2x＋b＝b，令y＝2x＋b＝0，解得x＝－，由图知b＞0，∴OC＝b，OD＝，∴S△OCD＝·b＝4，解得b＝4，∴OC＝4，OD＝2，∴CE＝2，AE＝1，∴OE＝4＋2＝6.∵点A在第一象限，∴A(1，6)，将A(1，6)代入y＝(k≠0)得6＝，∴k＝6. 8 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【多解法】如图，过点A作AE⊥y轴于点E，AF⊥x轴于点F.由CD＝2AC，易得△ACE∽△DCO，相似比k1＝； △DCO∽△DAF，相似比k2＝.∵S△DCO＝4，∴S△ACE＝4×＝1，S△DAF＝4÷＝9， ∴S四边形COFA＝9－4＝5， ∴k＝S矩形OEAF＝1＋5＝6. 8 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 9 9.已知两个非负实数a，b满足3a＋b＝a＋3＝c＋1，则下列结论正确的是(　　) A.a－c＝2 B.2≤c≤3.5 C.0≤a≤3 D.b＋2c＝8 B -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】 选项 正误 原因 A × ∵a＋3＝c＋1，∴a－c＝－2 D × ∵a－c＝－2，∴a＝－2＋c，∵3a＋b＝a＋3，∴2a＋b＝3，∴2(－2＋c)＋b＝3，∴b＋2c＝7 C × ∵a，b为非负实数，2a＋b＝3，∴b＝3－2a≥0，∴0≤a≤1.5 B √ ∵a＝－2＋c，∴c＝a＋2，∵0≤a≤1.5，∴2≤a＋2≤3.5，即2≤c≤3.5 9 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【小妙招】(赋值法＋排除法)不妨取a＝1，则b＝1，c＝3，符合题意，即可排除A，D项；再取a＝2，则b＝－1，不符合题意，即可排除C项. 9 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10 10.如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，动点D从点A开始沿AB边以每秒1个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动到点C，连接DE，点F为DE中点.设时间为t(s)，DE2为y，y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是(　　) A.AB＝4 B.连接BF，BF有最小值为 C.若点M是边AC的中点，则MF的最小值为1 D.连接AF，CF，则AF＋CF的最小值为2 图1　　 图2 C -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10 【解析】由题意得AD＝t＝BE，∴当t＝1时，AD＝BE＝1，y＝DE2＝10，在Rt△BDE中，∠ABC＝90°，∴BD2＋BE2＝DE2，即BD2＋12＝10，解得BD＝3，∴AB＝BD＋AD＝4，A项正确；在Rt△BDE中，F是斜边DE上的中点，∴BF＝DE，∵BD2＋BE2＝DE2，即(4－t)2＋t2＝DE2，∴DE2＝2t2－8t＋16＝2(t－2)2＋8，∵2＞0，∴当t＝2时，DE2取最小值，此时最小值为8， -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 即DE的最小值为2，∴BF有最小值为，B项正确；以点B为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系，则D(4－t，0)，E(0，t)，C(0，4)，A(4，0)，∵F和M分别为DE和AC的中点，∴F，M(2，2)（依据：中点公式：已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为）， 10 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴MF＝(依据：距离公式：平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离为).∵＞0，0≤t≤4，∴当t＝2时，MF取最小值，此时最小值为，C项错误； 10 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∵F，设F(x，y)，则x＝，y＝，消去t得y＝－x＋2，∴点F在直线y＝－x＋2上运动(关键点)，如图2，作点A(4，0)关于直线y＝－x＋2的对称点A'(2， －2)，∴AF＋CF＝A'F＋CF，∴AF＋CF的最小值为A'C的长，A'C＝＝2，D项正确. 10 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 图1 图2 10 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【多解法】本题A，B项易于判断，对于C，D项，核心在于确定点F的运动轨迹，用几何方法证明，如图，过点E作EP∥BD交AC于点P，连接PD，BF，PF，作△ABC的中位线MN.∵EP∥BD，∴∠CEP＝90°，又∠C＝45°，∴EP＝EC，∵AB＝BC，AD＝BE，∴BD＝EC，∴EP＝BD，易证四边形BDPE为矩形，∵F为对角线DE的中点，∴B，F，P三点共线且F为BP的中点.∵F，M分别为BP，AB的中点， ∴FM∥AC，同理可得FN∥AC，∴M，F， N三点共线，即点F在中位线MN上. 10 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11.计算：＋1＝________. 3 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 12.如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧BO与墙MN平行且距离为a，小汽车车门AO的长度为b.当车门打开的角度(即∠AOB)为60°时，车门边 缘的点A处与墙的距离为___________. a－b -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】过点A作AC⊥OB于点C，延长CA交MN于点D.根据题意可得OB∥MN，CD＝a，OA＝b，在Rt△AOC中，AC＝OA·sin ∠AOB＝b，故AD＝CD－AC＝a－b，即车门边缘的点A处与墙的距离为a－b. 12 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13 13.如图，△ABC内接于☉O，＝2.若AB＝6，BC ＝，则☉O的半径是________. 　 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】过点O作OE⊥AB(关键点)交☉O于点E，交AB于点F，连接OA，AE，∴，AF＝AB＝3.∵＝2，∴，∴AE＝BC＝，在Rt△AEF中，EF＝＝2.设☉O的半径为x，则OA＝OE＝x，∴OF＝OE－EF＝x－2，在Rt△AOF中，OF2＋AF2＝OA2，∴(x－2)2＋32＝x2，解得x＝，即☉O的半径为. 13 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且BE＝CF，连接AE，BF交于点G，连接CG. 14 (1)若点E是边BC的中点，则GC的长 为________； (2)若GC＝CF，则的值为________. 　 　 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】(1)过点G作GT⊥BC于点T，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠CBF＝∠BAE，∴∠CBF＋∠AEB＝∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠BGE＝90°.∵在正方形ABCD中，AB＝BC＝1，点E是边BC的中点，∴BE＝CE＝，∴tan ∠BAE＝，AE＝.∵AB·BE＝AE·BG(依据：等面积法)，∴BG＝. 14 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∵∠CBF＝∠BAE，∴tan ∠CBF＝.设GT＝x，BT＝2x，∵GT2＋BT2＝BG2，∴x2＋(2x)2＝，解得x＝(负值舍去)，∴GT＝，BT＝，∴CT＝BC－BT＝1－，∴CG＝.(2)如图，∵CG＝CF，∴∠1＝∠2，∵AE⊥BF，∠BCF＝90°，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∴∠3＝∠4.∵∠GCE＝∠BCG，∴△GCE∽△BCG(关键点)， 14 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴.∵BE＝CF，CG＝CF，∴BE＝CG，∴，∴点E为线段BC的黄金分割 点，∴，∴ . 14 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【多解法】(1)(建系法)如图，以点B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，1)，C(1，0).由题可得BE＝CF＝，∴E，F，易得直线AE：y＝－2x＋1，直线BF：y＝x，联立y＝－2x＋1与y＝x，得点G，∴GC＝. 14 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)过点C作CM⊥GF于点M.∵GC＝CF，CM⊥GF，∴GM＝FM.设BE＝CF＝a，易得BF＝，BG＝ ，易证△ABG∽△CFM，∴＝a，∴GM＝FM＝.∵BG＋GM＋FM＝BF，∴，解得a＝(负值舍去)，∴CE＝1－BE＝1－，∴. 14 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.解不等式组： 【参考答案】解不等式＞1，得x＞3，..................3分 解不等式5x＜3x＋8，得x＜4，..................6分 ∴不等式组的解集为3＜x＜4...................8分 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16 16.2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋，势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢.某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价提高了20%，同样用2400元购进的数量比第一次少10套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元. -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】设第一次购进的玩具套装每套的进价是x元，则第二次购进的玩具套装每套的进价是(1＋20%)x元. 由题意，得＝10，..................4分 解得x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意...................7分 答：第一次购进的玩具套装每套的进价是40元...................8分 16 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上. (1)以点C为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△A1B1C(A的对应点是A1，B的对应点是B1)，画出△A1B1C； 【参考答案】(1)如图所示，△A1B1C即为所求...................3分 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17 (2)求△A1B1C的面积； (2)＝10×4－×4×4－×6×2－×10×2＝40－8－6－10＝16...................6分 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17 (3)用无刻度的直尺在线段A1B1上找一点P，使得.(保留作图痕迹，不写作法) (3)如图所示，点P即为所求...................8分 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18 18.九年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度.由于松树周边有花坛，无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告. 调查目的 测量李明家楼下的一棵松树的高度 调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为30 m； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为39°； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为30 m，且松树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为10 m -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18 建立模型   第18题图 根据调查数据，画出数学图形.如图，点B，E，H，D，F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，CD＝30 m，DF＝30 m，EH＝10 m，α＝39° 测量工具 卷尺、测角仪器、无人机 参考数据 sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81 问题解决 求松树AB的高度(结果精确到0.1 m) -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】过点A作AM⊥GH于点M. ∵CD＝30 m，DF＝30 m，CD⊥BF， ∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠DCF＝∠CFD＝45°. 由题意知AE∥CF，∴∠AEB＝∠CFD＝45°. ∵AB⊥BF，∴∠AEB＝∠BAE＝45°，∴AB＝BE...................3分 设AB＝BE＝x m， ∵EH＝10 m，∴BH＝BE＋EH＝(x＋10)m. 18 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 易知四边形ABHM为矩形， ∴AM＝BH＝(x＋10) m，MH＝AB＝x m， ∴GM＝CD－MH＝(30－x) m...................5分 在Rt△AMG中，∠MAG＝α＝39°，tan ∠MAG＝， ∴≈0.81，解得x≈12.1. 答：松树AB的高度约为12.1 m...................8分 18 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.人工智能是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能为主题的知识竞赛(满分50分)，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩(成绩用x表示，且x为整数，单位：分)，将测试成绩按以下5组进行整理：A(待合格)：0≤x＜10；B(合格)：10≤x＜20；C(中等)：20≤x＜30；D(良好)：30≤x＜40；E(优秀)：40≤x≤50，绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19 九年级部分学生成绩频数直方图　　九年级部分学生成绩扇形统计图 (已知C组学生的成绩分别为21，22，23，23，24，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29；A，B，C，D，E这五组成绩的平均数分别取5，15，25，35，45) -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次抽查的样本容量为________，扇形统计图中α的值为______________________°； (2)请补全频数直方图，样本中竞赛成绩的中位数为___________________分； 26.5...................7分 80 18...................3分 （2）补全频数直方图如下 ...................5分 九年级部分学生成绩频数直方图 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19 (3)请你结合上述材料，计算样本数据的平均数. (3)(5×4＋15×24＋25×16＋35×28＋45×8)÷80＝26.5(分). 答：样本数据的平均数为26.5分...................10分 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20 20.如图，AB为☉O的直径，过点A作☉O的切线AM，点C是半圆AB上一点(不与点A，B重合)，连接AC，过点C作CD⊥AB于点E，连接BD并延长交AM于点F. -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (1)求证：∠CAB＝∠AFB； 20 【参考答案】(1)∵AM是☉O的切线， ∴AB⊥AM. ∵CD⊥AB，∴CD∥AM， ∴∠BDC＝∠AFB. ∵∠CAB＝∠BDC，∴∠CAB＝∠AFB...................4分 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20 (2)若☉O的半径为5，AC＝8，弦BD，组成的弓形阴影部分面积记为S1，剩余阴影部分面积记为S2，求S2－S1的值. (2)连接AD.∵CD⊥AB，∴AD＝AC＝8， ∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°， ∴BD＝＝6，∠DAF＋∠DFA＝90°. ∵AM为☉O的切线，∴∠BAF＝90°， -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴∠DAF＋∠DAB＝90°，∴∠DFA＝∠DAB， ∴△ABD∽△FAD，∴， 即，解得AF＝...................7分 记弦AD，组成的弓形面积为S3， 则S2－S1＝S△ADF－S3－S1＝S△ADF－(S3＋S1)＝S△ADF－(S半圆－S△ADB)＝S△ADF＋S△ADB－S半圆＝S△ABF－S半圆＝×10×π×52＝π...................10分 20 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【多解法】(2)连接BC.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°， ∴BC＝＝6. ∵∠CAB＝∠AFB， ∴tan ∠AFB＝tan ∠CAB＝，∴AF＝， ∴S2－S1＝S△ABF－S半圆＝×10×π×52＝π. 20 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 六、(本题满分12分) 21. 【项目主题】如果一个多边形的所有顶点都位于正方形网格的交点上，那么这样的多边形被称为格点多边形.教师展示一系列基础的格点多边形(图1)，学生尝试计算它们的面积，随后教师提出问题：格点多边形的面积与哪些因素有关？ 图1　　　 备用图 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 【项目分析】学生交流讨论，教师收集意见，形成4个子问题，具体如表1. 子问题A 格点多边形的面积与它的边数(或顶点个数)有关 子问题B 格点多边形的面积与它的周长有关 子问题C 格点多边形的面积与它内部的格点数有关 子问题D 格点多边形的面积与它的边上格点数有关 【项目探究】 当存在多个变量时，如何确定某一变量对结果有无影响，学生提出用控制变量法，即保证其他量不变，看该量变化是否使结果改变.结合图1，用控制变量法进一步探究. 表1 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 任务一：问题筛选 图1中第一组，其顶点个数、内部格点数、边上格点数相同，周长不同但面积相同，说明子问题　①　不成立.  图1中第二组，其内部格点数、边上格点数相同，顶点个数不同但面积相同，说明子问题　②　不成立.  -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 任务二：探究论证 控制内部格点数为1，改变边上格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表2.可发现规律：内部格点数为1时，边上格点数每增加1，格点多边形面积增加0.5. 边上格点数 3 4 5 6 … 多边形面积 1.5 2 2.5 3 … 内部格点数 1 2 3 4 … 多边形面积 2 　③　  　④　  5 … 表3 表2 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 控制边上格点数为4，改变内部格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表3.完成表格填空，可发现规律：　⑤　.  任务三：公式归纳 不妨设格点多边形的面积为S，边上格点数为L，内部格点数为N，尝试建立三者之间的数量关系.有了之前活动的经验，在教师的引导下，学生可想到采用控制变量的方法，以“分步归纳”的方式进行推理. -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 当N＝1时，根据表2的实验数据，可归纳出S＝L； 当N＝2时，动手实验，记录新的数据，整理如表4，由表4可归纳出S＝L＋1； L 3 4 5 6 … S 2.5 3 3.5 4 … L 3 4 5 6 … S 3.5 4 4.5 5 … 表4　N＝2时，S与L的关系 表5　N＝3时，S与L的关系 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 当N＝3时，动手实验，记录新的数据，整理如表5，由表5可归纳出S＝L＋2； 以此类推，可以发现S，L，N之间的数量关系式为　⑥　，这就是著名的皮克公式.  【项目应用】 将地图上公园(部分)轮廓抽象为格点多边形，通过几何画板调整网格使其顶点落于格点(个别不在格点上的顶点，用附近格点代替)，利用皮克公式计算面积，结合比例尺换算出公园实际面积. -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________　②________　③________　④________　⑤　　　　 　　　　　　　　　  　　　　 　　　　　　　　　  ⑥　 　　　　  B A 3 4 边上格点数为4时，内部格点数每增加1，格点多边 形面积增加1 S＝L＋N－1...................12分 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22 七、(本题满分12分) 22.如图，在△ABC中，AB＝AC，P为AC边上一点，连接PB，将△PBC沿PB翻折，得到△PBD，PD交AB于点E. 图1 图2 图3 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22 (1)如图1，当PD∥BC时，猜想四边形BCPD的形状，并说明理由. 【参考答案】(1)四边形BCPD是菱形...................1分 理由：由折叠可知BD＝BC，PD＝PC， ∠DBP＝∠CBP， ∵PD∥BC，∴∠DPB＝∠CBP， ∴∠DBP＝∠DPB，∴BD＝PD＝BC＝PC， ∴四边形BCPD是菱形...................3分 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22 (2)当AP＝AC时： (ⅰ)如图2，若∠A＝60°，BC＝6，求BE的长； (2)(ⅰ)∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠A＝∠D＝60°，AB＝AC＝BD＝BC＝6. ∵AP＝AC，∴AP＝2，DP＝CP＝2AP＝4. ∵∠A＝∠D，∠DEB＝∠AEP， -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴△DEB∽△AEP(关键点)， ∴＝3，∴DE＝3AE，BE＝3EP， 设EP＝x，则BE＝3x，DE＝4－x，∴AE＝. ∵BE＋AE＝AB，∴3x＋＝6，解得x＝， ∴BE＝3x＝...................8分 22 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22 (ⅱ)如图3，若PD⊥AB，求证：BE＝2AE＋DE. (ⅱ)欲证BE＝2AE＋DE，如何构造出“2AE” 是难点也是关键点.考虑到CP＝2AP（即条件“AP＝AC”），应怎样作辅助线呢？ 过点C作CF⊥AB于点F，∴∠CFB＝90°. ∵PD⊥AB，即∠BED＝90°， ∴∠BED＝∠CFB， -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠D＝∠ACB，∴∠D＝∠ABC， ∴△DEB≌△BFC(AAS)，∴DE＝BF，FC＝BE. ∵∠BFC＝∠BED＝90°， ∴EP∥FC，∴△APE∽△ACF， ∴. ∵AP＝AC，∴AE＝AF，∴EF＝2AE. ∵BE＝EF＋BF，∴BE＝2AE＋DE...................12分 22 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 八、(本题满分14分) 23.已知抛物线y＝ax2＋2x＋c(a≠0)顶点纵坐标为－1－. (1)求c的值. 【参考答案】(1)根据题意可得抛物线的对称轴为直线x＝－＝－，即顶点的横坐标为－， 将x＝－代入抛物线表达式，得y＝a×＋2×＋c＝－＋c. ∵抛物线顶点纵坐标为－1－， ∴－1－＝－＋c，∴c＝－1...................4分 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【多解法】(1)由顶点坐标公式可得＝c－＝－1－， ∴c＝－1. 23 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 (2)约定：若函数图象上存在点(x1，y1)，(x2，y2)满足＝0，且x1＋y1≠0时，则称点(x1，y1)与(x2，y2)为一对“对偶点”，并称该函数为“对偶函数”. (ⅰ)发现a＝1时，上述二次函数是“对偶函数”，求出该函数的“对偶点”； -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)(ⅰ)当a＝1时，y＝x2＋2x－1. ∵＝0，≥0，≥0， ∴＝0，＝0，∴x1＋y2＝0，x2＋y1＝0， ∴x2＝－y1，y2＝－x1. ∵函数y＝x2＋2x－1的“对偶点”为(x1，y1)，(x2，y2)， 23 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴ ∵x2＝－y1，y2＝－x1， ∴②可化为－x1＝－2y1－1，　③ ①－③得y1＋x1＝＋2x1＋2y1， ∴(x1－y1＋1)(x1＋y1)＝0. ∵x1＋y1≠0，∴x1－y1＋1＝0，即y1＝x1＋1，..................7分 23 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 代入①得x1＋1＝＋2x1－1，解得x1＝1或x1＝－2， ∴ 经检验都满足x1＋y1≠0，此时 ∴函数y＝x2＋2x－1的“对偶点”为(1，2)与(－2， －1)...................10分 23 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【多解法】(ⅰ)由题意知“对偶点”满足x2＝－y1，y2＝－x1， 易知过“对偶点”的直线与x轴正方向的夹角为45°， ∴设过“对偶点”的直线为y＝x＋m. 联立得x2＋x－1－m＝0， ∴x1＋x2＝－1， ∴y1＋y2＝(x1＋m)＋(x2＋m)＝x1＋x2＋2m＝－1＋2m， ∴“对偶点”的中点坐标为， 23 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∵点在直线y＝－x上，∴m＝1. 将m＝1代入x2＋x－1－m＝0，解得x＝1或x＝－2， ∴ 经检验都满足x1＋y1≠0， ∴函数y＝x2＋2x－1的“对偶点”为(1，2)与(－2，－1). 23 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 (ⅱ)若二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)是“对偶函数”，直接写出实数a的取值范围. (ⅱ)a＞－且a≠0...................14分 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 提示：∵y＝ax2＋2x－1是“对偶函数”，∴∵x2＝－y1，y2＝－x1，∴②可化为－x1＝a－2y1－1　③，①－③得y1＋x1＝a()＋2(x1＋y1)，∴a(x1－y1)(x1＋y1)＝－(x1＋y1)， 23 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∵x1＋y1≠0，∴a(x1－y1)＝－1，即y1＝x1＋，代入①得x1＋＝a＋2x1－1，化简得a2＋ax1－a－1＝0，∵方程a2＋ax1－a－1＝0有解(关键点)，∴Δ＝a2－4a2(－a－1)≥0，∴a≥－，当a＝－时，原方程可化为x1＋＝0，解得x1＝，∴y1＝－，此时x1＋y1＝0，不符合题意，∴a≠－.综上所述，a＞－且a≠0. 23 -‹#›- -‹#›- 11.2026年合肥市新站区一模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 $