第二单元 三角形的再认识 A卷-【王朝霞系列丛书】2026-2027学年五年级上册数学培优100分单元AB卷（北师大版·新教材）

培优100分数学五年级上册BS版 第二单元三角形的再认识 王朝酸 A卷 母子题培优专项卷 本单元三角形的再认识在小学数学试卷占10分左右，常考考，点中，巧求角的度数、用分类讨论法求等 腰三角形的内角度数、三角形的三边关系、用有序列举法解决摆三角形问题、用假设法求等腰三角形的边长 或周长、用观察法求复杂图形中角的度数是试卷中的重难，点，也是最容易失分的地方。在日常学习中，紧抓 重难失分，点，是期末冲满分、进阶培优的关键。请同学们先做母题，学习答题方法或策略，再完成对应的子 都 题。加油吧！ ≈重难点1巧求角的度数 套 母题〔宁波市期末〕如下图，三角形ABC是一个直角三角形，计算 培优攻略” 图中∠1、∠2和∠3的度数。 解决这类问题时，我们要牢 弥 记下面特殊角的度数： 封 直角三角形中，直角是90°； 内 等边三角形中，三个角都是 B605032C 要答 60°； 等腰三角形中，两个底角度 数相等。 扇 子题1下图中，三角形ABC是等边三角形，求∠1和∠2的度数。 20 子题2求下面等腰三角形ABC中∠1、∠2和∠3的度数。 1y 32 20 B C 子题3下图中的三角形都是等腰三角形，且∠A=36°，求∠1和∠2 “培优小贴士 的度数。 在利用三角形内角和计算 时，要确定三个角是在同一 个三角形中。 P ⊙ ≈重难点2求等腰三角形的内角度数一分类讨论法 母题〔东莞市期末〕小马画了一个等腰三角形，其中一个内角的 “培优小贴士 度数是30°，它的另外两个内角的度数分别是多少？ 已知等腰三角形的一个内 角（小于90°），要注意这个 已知角可能是底角，也可 能是顶角。 子题1一个等腰三角形，其中一个内角的度数是110°，求另外两 个内角的度数。 “培优攻略 已知等腰三角形的顶角与 子题2在等腰三角形中，较大角是较小角度数的4倍。这个三角 底角度数之间的倍数关系 形的顶角与底角各是多少度？ 时，可以先根据三角形的内 角和是180°求出其中一份 的度数是多少，再求出顶角 与底角的度数。 之重难点3三角形的三边关系 母题 教材第28页第6题变式用3根小棒摆成一个三角形，其 “培优攻略 中两根小棒分别长3cm和5cm,第三根小棒可能长 三角形任意两边之和大于 ( )cm。(取整厘米数，写出所有可能) 第三边，任意两边之差小于 子题1一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边分别 第三边。 长3dm和l5cm,第三条边最长是( )cm,最短是 )cmo 子题2三角形的两条边长分别是8cm和14cm,第三条边长不可 能是( )cm。(填序号)》 A.5 B.9 C.18 D.20 ≈重难点4摆三角形问题—一有序列举法 母题〔杭州市期末〕有5根小棒，长度分别是7cm、6cm、5cm、 3cm、2cm,从中任选3根小棒围成一个三角形，则一共可以围成多 培优攻略一 少个不同的三角形？ 解决此类题时，要根据“三角 形任意两边之和大于第三 边”进行有序组合，不重复、 不遗漏地列举出所有可能。 培优100分 数学 五年级上册BS版 子题1从5根长度分别是3cm、4cm、5cm、6cm、7cm的小棒中 子题3〔西安市期末)张爷爷准备用一根14dm长的木条做一个等 “培优小贴士” 选择3根摆三角形，能摆出多少个不同的三角形？ 腰三角形的风筝架子（边长都是整分米数），底边长度有几种可能？ 注意我们要反向检验三边 长度是否满足三角形的三 边关系。 弥 子题2从5根长度分别是4cm、6cm、8cm、10cm、12cm的小棒 中选择3根摆三角形，能摆出多少个不同的三角形？ ≈重难点6求复杂图形中角的度数—观察法 封 母题〔长沙市期末〕如下图，在正方形ABCD中，点E、F分别是线 培优小贴士 段AB、CD的中点，将正方形的∠A和LB折起，使顶点A、B都与线段 折叠前与折叠后的部分完 子题3小强家要建一座漂亮的房子，请你帮他选择3根木料做成 “培优小贴士 EF上的点G重合，求∠1的度数。 全相同，对应边相等，对应 房子的三角架（三角架有两边相等），一共有多少种选择？ 先有序组合，不重复、不 角相等。 06m 遗漏地列举出所有可能 06m 03m 的情况，再筛选出符合要 o3m 求的组合。 内 05m ≈重难点5求等腰三角形的边长或周长 假设法 子题1如下图，在正方形ABCD中，点E、F分别是线段AB、CD的 母题〔深圳市期未〕一个等腰三角形的周长是30cm,其中一条边 中点，将正方形的LA和LB折起，使顶点A、B都与线段EF上的点G 不 “培优攻略 是12cm,另外两条边分别是多少厘米？ 重合，求L2的度数。 解决这类问题的关键是利 A 用三角形的三边关系确定 等腰三角形的底和腰。 要 子题1一块等腰三角形的土地，周长是180m,其中一条边是 50m,另外两条边分别是多少米？ 答 子题2如下图，在一张三角形纸片ABC中，LC=90°，将这张纸片 “培优小贴士” 沿线段DE剪去一个角后变成一个四边形ABED,那么图中∠1十∠2 本题可以借助四边形的内 等于多少度？ 角和是360°求解。 题 子题2〔重庆市期未)一块等腰三角形纸板的一边是7cm,另一边 是15cm。这块等腰三角形纸板的周长是多少厘米？ 2 D 培优100分数学五年级上册BS版4.0.50.5 0.50.5 【解析】分析如下： A+B=18.06 >C-B=23.26-18.06=5.2 A+C=23.26 C-B=5.2 五、1.1.25+0.15+0.08=1.48(m) C+B=20.8J 2C=5.2+20.8=26 答：他第三次跳了1.48m。 综上所述，C是26÷2=13，B是20.8-13=7.8， A是18.06-7.8=10.26。 2.18.6-2.8+18.6=34.4(m) 答：两次一共投了34.4m。 第二单元A卷 母子题培优专项卷 3.14.05+13.98+14.12+13.85=56(秒) ≈重难点1 答：他们班的总成绩是56秒。 母题】 ∠3=180°-50°=130° 4.156.8-84.3=72.5(kg) ∠1=90°-(180°-60°-50°)=20° 72.5+72.5=145(kg) ∠2=180°-130°-20°=30° 156.8-145=11.8(kg) A 答：装柠檬水的桶重11.8kg。 5.（1)林林比奇思多跳了多少米？（或奇思比林林 【解析】如图： 少跳了多少米？) B260°5032c (2)示例一淘气比奇思少跳了多少米？ 因为∠3+50°=180°，所以∠3=180°-50°=130°；因 ①② 为∠4+60°+50°=180°，所以∠4=180°-60°-50°= 2.3-2.08=0.22(m) 70°，三角形ABC是直角三角形，所以∠4十∠1=90°， 答：淘气比奇思少跳了0.22m。 所以∠1=90°-∠4=90°-70°=20°；又因为∠1+ 示例二淘气和军军一共跳了多少米？ ∠2+∠3=180°，所以∠2=180°-130°-20°=30°。 ①3 子题1∠1=180°-60°=120° 2.08+0.15+2.08=4.31(m) ∠2=180°-120°-20°=40° 答：淘气和军军一共跳了4.31m.（答案不唯一)》 子题2 ∠A=∠C=20° 附加题 ∠1=180°-90°-20°=70° ∠2=180°-70°=110° 2.62.12.8 ∠3=180°-20°-110°=50° 2.72.52.3 子题3 ∠1=180°-36°-36°=108° 2.22.92.4(答案不唯一） ∠2=(180°-36°)÷2-36°=36° A 【解析】观察给出的数可以发现，2.1十2.9= 2.2+2.8=2.3+2.7=2.4+2.6=5,剩余的数是 2.5,所以把2.5填在最中间的空格里。如图： 【解析】如图： ,三角形APC是等腰三角 PA1 B 2.5 将剩余每组数分别填在2.5所在 形，所以∠A=∠3=36°，三角形内角和是180°，所以 ∠1=180°一36°-36°=108；三角形ABC也是等腰三 角形，所以∠2+∠3=(180°-36°）÷2=72°，∠2= 的横行、竖行和斜行剩余的两个空格里，就可 72°-36°=36°。 以保证每横行、竖行和斜行上三个数的和相 已重难点2 等，注意答案有多种。 母题 情况一：30°是顶角 2.23.26-18.06=5.2 (180°-30°)÷2=75° C:5.2+20.8=2626÷2=13 另外两个内角分别是75°和75° B:20.8-13=7.8 情况二：30°是底角 A:18.06-7.8=10.26 180°-30°-30°=120° 答：A是10.26，B是7.8，C是13。 另外两个内角分别是30和120° 答：它的另外两个内角的度数分别是75°和 所以一共可以围成6个不同的三角形。 75°或30和120°。 【解析】在等腰三角形中，当已知角小于90°时，这个 子题1能摆出9个不同的三角形。 角可能是顶角，也可能是底角；当已知角大于或等于 【解析】①当最长边是7cm时，所有的组合情况有 90°时，这个角只能是顶角。本题中已知角是30°，可 (7、6、5),(7、6、4),(7、6、3),(7、5、4),(7、5、3),共有 分类讨论如下： 5种情况。②当最长边是6cm时，所有的组合情况有 每个底角度数： (6、5、4),(6、5、3),(6、4、3),共有3种情况。③当最 顶角是30 (180°-30)÷2=75° 长边是5cm时，只有1种情况：(5、4、3)。一共有5+ 顶角度数： 3十1=9（种）情况，即能摆出9个不同的三角形。 底角是30° 180°-30°-30°=120° 子题2能摆出7个不同的三角形。 子题1(180°-110°)÷2=35 【解析】①当最长边是12cm时，所有的组合情况有 答：另外两个内角的度数是35°和35°。 (12、10、8),(12、10、6),(12、10、4),(12、8、6),共有 【解析】因为三角形的内角和是180°，110°+110°= 4种情况；②当最长边是10cm时，所有的组合情况有 220°，220°>180°，所以110°只能是顶角，另外两个角 (10、8、6),(10、8、4),共有2种情况；③当最长边是 都是底角，度数是(180°-110)÷2=35°。 子题2情况一：较大角是顶角 8cm时，只有1种情况：(8、6、4)。一共有4+2+1 底角：180°÷(1+1+4)=30° =7(种)情况，即能摆出7个不同的三角形。 顶角：180°-30°-30°=120° 子题3一共有3种选择。 情况二：较小角是顶角 【解析】在选择木料时，注意房子的三角架有两边是 顶角：180°÷(1+4+4)=20° 底角：(180°-20)÷2=80° 相等的，可以先确定两根相等的木料，再选择第三根 答：这个三角形的顶角是120°，底角是30°， 木料。 或顶角是20°，底角是80°。 木料的长度/m 判断方法 判断结果 三重难点3 6+3>6, 6、6、3 能摆成三角形 母题3、4、5、6、7 6+6>3 【解析】根据题意分析如下： 6+5>6, 6、6、5 能摆成三角形 如果第三根小棒 3+( )>5 6+6>5 不是最长的边 →( )>5-3 3、3、6 3+3=6 不能摆成三角形 第三边大于两边之差 3、3、5 3+5>3, 3+3>5 能摆成三角形 所以第三条边最短是3cm。 如果第三根小棒 3+5>( 所以一共有3种选择。 是最长的边 →( )<8 三重难点5 第三边小于两边之和 母题 当12cm是腰长时，另一条腰也长12cm。 所以第三条边最长是7cm。 第三条边长30-12-12=6(cm) 综上，第三根小棒的长度可能是3cm、4cm、5cm、6cm 当12cm是底边长时，两条腰一共长30-12 7cmo 子题14416 =18(cm),两条腰分别长18÷2=9(cm) 答：另外两条边分别是12cm和6cm或9cm 子题2A 和9cm。 之重难点4 【解析】假设12cm是腰长，则另一条腰也长12cm, 母题一共可以围成6个不同的三角形。 所以第三条边是30-12-12=6(cm),此时12+6> 【解析】有序列举分析如下： 12,符合三角形三边关系；假设12cm是底边长，两条 最长边为7cm,所有组合的情况有(7、6、5)，(7、6、3)， (7、6、2),(7、5、3),共有4种情况； 腰一共长30-12=18(cm),两条腰分别长18÷2= 最长边为6cm,所有组合的情况有(6、5、3)，(6、5、2)， 9(cm),此时9十9>12，符合三角形的三边关系，所以 共有2种情况； 另外两条边分别是12cm和6cm或9cm和9cm 培优100分数学五年级上册BS版 55 子题1 当50m是腰长时，另一条腰也长50m。 =180°÷2=90°，而且还是轴对称图形，所以这 第三条边长180-50一50=80(m) 个三角形是等腰直角三角形，所以本题选B。 当50m是底边长时，两条腰一共长180-50 6.B7.D8.A =130(m),两条腰分别长130÷2=65(m) 9.C【解析】三角形内角和是180°。已知一个 答：另外两条边分别是50m和80m或 底角十顶角=153°，可算出另一个底角为 180°-153°=27°。等腰三角形两个底角度数 65m和65m。 相等，所以这个三角形的顶角为180°一27° 子题27+15+15=37(cm) 27=126°。 答：这块等腰三角形纸板的周长是37cm。 10.A 【解析】当7cm是腰长时，三条边是7cm、7cm、 二、1.55° 45°80°锐角2.钝直锐 15cm,7+7<15,不满足三角形的三边关系，不能围 3.70【解析】三角形内角和为180°，这是一个 成三角形；当15cm是腰长时，三条边是7cm、15cm、 锐角三角形（三个角都小于90°），又是等腰三 15cm,7+15>15,满足三角形的三边关系，能围成 角形，分两种情况讨论：假设40°是顶角，两个 三角形，周长是7+15+15=37(cm)。 底角度数相等：(180°一40°)÷2=70°，三个角 子题3底边长度有3种可能。 为40°、70°、70°，全是锐角，符合条件；假设40 【解析】木条总长度是14dm,14÷2=7,所以最长边 是底角，顶角为180°一40°-40°=100°，100°是 要小于7dm。 钝角，和“锐角三角形”矛盾。所以它的一个底 假设底边是6dm,三角形的三边是6dm,4dm,4dm; 角是70°。 假设底边是4dm,三角形的三边是4dm,5dm,5dm; 4.60°5.60 6.线段大于7.105 假设底边是2dm,三角形的三边是2dm,6dm,6dm; 一共有3种可能。 8.40 【解析】如图 542 三重难点6 根据折叠的特征可知，∠1=∠3=20°，∠4=∠5 母题 DG=CG=CD =90°-20°=70°；又因为∠4+∠5+∠2=180°， 三角形CCD是等边三角形 所以∠2=180°-70°-70°=40°。 ∠1=60° 9.符合 答：∠1的度数是60°。 10.(1)6(2)67 【解析】通过观察可知，正方形的顶点A、B都与线 【解析】(1)第一次从刻度2处剪开，第一段 段EF上的点G重合，线段DG和CG是正方形折起 是2cm,剩下两段的总长度是10-2=8(cm); 后得到的边，与原正方形的边长长度相等，即DG= 剩余两条边有下面几种情况： CG=CD,由此可知，三角形CGD是等边三角形，所以 1cm和7cm:2+1<7,不符合题意； ∠1=60°。 2cm和6cm:2+2<6,不符合题意； 子题1DG=CG=CD 3cm和5cm:2+3=5,不符合题意； 三角形CGD是等边三角形 4cm和4cm:2+4>4,符合题意。 所以第二次剪开的位置是2十4=6(cm),即 (90°-60)÷2=15° 刻度6处。 180°-15°-90°=75 (2)第一次从刻度3处剪开，第一段是3cm, 答：∠2的度数是75°。 剩下两段的总长度是10-3=7(cm);剩余两 子题2∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90° 条边有下面几种情况： ∠1+∠2=360°-（∠A+∠B)=360°-90°= 1cm和6cm:3+1<6,不符合题意； 270 2cm和5cm:3+2=5,不符合题意； 答：图中∠1十∠2等于270°。 3cm和4cm:3+3>4,符合题意； 4cm和3cm:3+3>4,符合题意。 第二单元B卷培优验收综合卷 所以第二次剪开的位置是3十3=6(cm),即 -、1.D2.C3.C4.B 刻度6处或3十4=7(cm),即刻度7处。 5.B【解析】这个三角形的三个内角的关系是 三、1.方法一：180°-60°=120° ∠1+∠2=∠3，且∠1+∠2+∠3=180°，所以∠3 ∠2=180°-120°-52°=8° 56 培优100分数学 五年级上册BS版 方法二：∠1=180°-90°-60°=30 90°一60°=30°；∠2所在的三角形是等腰三角 ∠2=180°-90°-52°-30°=8° 形，∠2是顶角，∠3=(180°一30°)÷2=75°；∠4 2.能 a b =360°-75°×2-60°=150°。 2.∠4+∠5+∠6的和是360°。 思考过程如下： 3.三角形任意两边之和大于第三边。左边三角 因为∠1+∠6=180°，∠2+∠4=180°，∠3+∠5 形，10+13<25；右边三角形，30+42=72，均 =180°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 不符合三角形的三边关系，所以奇思的测量有 180°×3=540°，又因为∠1+∠2+∠3=180°，所 误。（答案合理即可） 以∠4+∠5+∠6=540°-180°=360°。 4.(1)3 综合实践小小设计师 (2) A卷母子题培优专项卷 之重难点1 B12 C 母题C【解析】密铺时，拼接点处不能有空隙， 180°×4=720° 选项C中的图形有空隙，所以它不是密铺。 答：剩下的图形的内角和是720°。 子题1C (示意图及计算方法不唯一)》 子题2 5.(1)聪聪 (2)先根据∠1与165°角合起来是平角，求出∠1 的度数，再根据三角形内角和，求出∠3的度数。 (本题答案不唯一) C (画法不唯一) 6.（1)不同意。理由：因为任意分割成三段，三段 ≈重难点2 长度不一定满足三角形的三边关系，如2dm、 母题能进行密铺。如下图： 3dm、5dm就不能围成三角形。（理由合理即可） (2)将1m长的木条分成3dm、3dm、4dm这样 的三段，因为3十3>4，所以这样分割得到的三 段能围成三角形。（答案合理即可） 四、1.(180°-120°)÷2=30° 入（画法不唯一） 答：它的底角是30°。 【解析】可以这样画：先画一个图2的图案（上方三角 2.方法 凸起、下方三角凹陷)；再在它的下方画一个相同的 图案，让下方图案的凸起嵌入上方图案的凹陷；再在 右边重复排列，就能铺满平面，没有空隙和重叠。 180°×6=1080% 子题1能进行密铺。如下图： 方法二： (画法不唯一) 子题2 180°×8-360°=1080° 答：正八边形的内角和是1080°。 (画法及计算方法不唯一)》 (画法不唯一) 3.(1)180°-58°-58°=64° 三重难点3 答：人字屋架的顶角是58°或64°。 母题 (360°-90)÷2=1359 (2)1.2+2.5+2.5=6.2(m) 180°-135°=45° 答：屋架的周长是6.2m。 答：等腰梯形的两个锐角都是45°，两个钝角 附加题 都是135°。 1.60°30°75°150°【解析】由图可知，∠1 【解析】根据密铺的性质，围绕一点拼在一起的多边 所在的三角形是等边三角形，∠1=60°；∠2= 形的内角加在一起恰好组成一个周角。如图：