辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年高三上学期一轮复习数列部分（中秋国庆）训练题（一）

中秋国庆数列部分训练题（一） 答案 一、单选题 1．，则数列的前项和为（    ） A．112 B．48 C．80 D．64 2．已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（     ） A． B．0 C． D． 3．已知为正项等比数列的前项和，，则的最小值为（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 4．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有个球， ， 设各层球数构成一个数列：，，，，，则的值为（   ）    A． B．2 C． D． 5．已知数列1，，，，4，则是该数列成等比数列的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 6．已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 8．在（）的展开式中，含项的系数为，记数列的前项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前99项和为99 D．若数列满足，则的前50项和为2132 10．已知数列的前项和，则（    ） A． B． C．令，为数列的前项和，则 D． 三、填空题 11．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则值是________． 12．已知数列满足，（），则__________． 四、解答题 13．已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)设数列的前项和为，求数列的前项和． (3)若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 试卷第2页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 《中秋国庆数列部分训练题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C B A A C ABD BCD 1．C 【分析】先根据求出,根据数列判断出正负情况，进而求得答案 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 2．A 【详解】设等差数列的公差为． 由，得①， 由得，得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 则，所以 ． 3．C 【分析】设正项等比数列公比为，将所求表达式用表示后利用基本不等式求最小值. 【详解】设正项等比数列的公比为，由正项等比数列性质可知，. 由，可得，， 则，，， 所以 ，当且仅当即（舍去，满足）时等号成立. 因此，即最小值为36. 4．C 【详解】观察数列，，，，可知第层的球数是前个正整数之和， 则， ， ． 5．B 【分析】分别判断充分性、必要性是否成立，结合等比数列的定义与性质推导结论. 【详解】首先判断必要性：若数列1，，，，4为等比数列，设公比为，根据等比数列通项公式，第3项，由于，故，必要性成立； 再判断充分性： 若，取特殊值，此时数列是，相邻项的比值不恒定，不满足等比数列的定义，充分性不成立； 综上，是该数列成等比数列的必要不充分条件. 6．A 【详解】因为，不妨设，，其中， 所以 7．A 【详解】因为，即，即， 则， 又因为，所以， 所以， 所以，即. 8．C 【分析】先由排列组合的知识求含项的系数为，再由裂项相消法求数列的前项和为，再由不等式恒成立求解. 【详解】先取一个，有种取法，再取一个，有种取法，再取，有种取法，剩下的全是1， 所以，前项和， 由裂项相消求和：， 随着的增加而增加，且当趋于正无穷时，趋于， 由不等式恒成立得： 的最小值为. 9．ABD 【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出可判断选项A；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故选项AB正确； 选项C，数列的前项和 ，故C项错误； 选项D，， 则前项和为， 故D项正确. 10．BCD 【分析】A：因为，所以直接将代入的表达式计算即可. B：如果，那么利用推导，再验证时是否满足所得通项，确定最终的表达式. C：先根据写出的表达式，因为是等差乘等比型数列，所以用错位相减法计算前项和. D：先写出的表达式，利用放缩法将放缩为可裂项相消的形式，再通过裂项相消求和后与不等式右侧比较. 【详解】因为，所以当时，； 当时，，对也成立， 所以，所以选项A错误，选项B正确； 对C，，则① 则②， ①②得：， 即，所以选项C正确； 对D，， 所以，所以选项D正确. 11．/ 【分析】利用等差中项以及等比中项的性质进行化简求值即可. 【详解】因为是等比数列，所以，所以，解得. 又因为是等差数列，所以，所以，解得， 所以 12．100 【详解】由可得， 两式相减得， 则对于奇数项数列，首项为，公差， 得， 令. 13．(1) (2) (3)1． 【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式以及等差数列的定义和通项公式即可求解； （2）根据等差数列的前n项和公式以及裂项相消法即可求解； （3）通过分析数列的单调性即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为． 因此，即， 而，故． 所以，，则，， 故，所以， 即． （2），因此， . （3）由题意得，即对任意恒成立， 设，则， 当时，；当时，；当时，． 故的最大值为，因此，即的最小值为1． 答案第6页（共6页） 答案第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 中秋国庆数列部分训练题（一） 一、单选题 1．，则数列的前项和为（    ） A．112 B．48 C．80 D．64 2．已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（     ） A． B．0 C． D． 3．已知为正项等比数列的前项和，，则的最小值为（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 4．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有个球， ， 设各层球数构成一个数列：，，，，，则的值为（   ）    A． B．2 C． D． 5．已知数列1，，，，4，则是该数列成等比数列的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 6．已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 8．在（）的展开式中，含项的系数为，记数列的前项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前99项和为99 D．若数列满足，则的前50项和为2132 10．已知数列的前项和，则（    ） A． B． C．令，为数列的前项和，则 D． 三、填空题 11．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则值是________． 12．已知数列满足，（），则__________． 四、解答题 13．已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)设数列的前项和为，求数列的前项和． (3)若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 试卷第2页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $