14.选必2 第四章 数列-高中数学·2026年高考真题分类

**基本信息** 聚焦数列核心考点，通过高考真题系统整合定义辨析、基本量运算及综合应用，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4|定义辨析、充分必要条件验证、实际问题建模|从概念本质出发，链接等差等比数列定义与性质| |多选题|1|等比数列性质综合应用|整合公比与前n项和关系，强化逻辑推理| |填空题|5|基本量计算、前n项和最值条件、参数范围分析|以公式应用为核心，构建运算能力训练链条| |解答题|1|等差等比通项求解、集合元素个数综合|串联数列与集合知识，培养综合应用与数学表达能力|

2026年高考真题-按章分类 选择性必修 第二册 第四章 数列 4个单选题 + 1个多选题 + 5填空题 + 1个解答题 ---- 教 师 版 ---- 一、单选题 1.(2026高考·北京)已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1.A 由题意，，是无穷数列，验证充分性：当存在常数，使时，，，显然成立，验证必要性：当，时，此时满足,假设存在常数，使成立，当时，，，此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”，但不存在这样的固定常数，∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立，∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件。 2.(2026高考·天津)已知是数列的前n项的和，且，，则(  ) A.68 B.56 C.-3 D.-4 2.C 由，得，即；，即；因为，所以；，即，所以；，即，所以。 3.(2026高考·全国一卷)一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列.将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.B 由已知，，，，，设新数列为，，由已知数列为等差数列，设其公差为，，又的前项都为奇数，所有项都为偶数，由已知为正偶数，为正偶数，则，故， 若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，此时可取，，，，，，满足要求。 4.(2026高考·上海)下列数列中是等差数列也是等比数列的是(  ) A.1，-1，1，-1，1 B.1，2，3，4，5 C.5，5，5，5，5 D.1，2，3，5，7 4.C 设该数列为，则该数列满足，其中.则，因为常数，该式对任意正整数成立，则，从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意，C入选。 二、多选题 5.(2026高考·全国二卷)设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则(  ) A. B. C. D. 5.ACD 由等比数列的公比为，则，即.因为，所以，即.因为，所以，所以，即，所以A正确.因为，则，B错误。，，C正确。，当n为奇数时，；当n为偶数时，因为；所以，所以，即，D正确。 三、填空题 6.(2026高考·北京)已知公差为的等差数列的前项和为.若，则________，使得对所有都成立的一个的取值为________. 6.；(答案不唯一，满足即可) 等差数列的前项和公式为，通项公式为.∵ ，，∴ .由，得，消去等式两侧的，整理得，解得.∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立，∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ，代入通项公式得，解得，取即为符合条件的一个取值. 7.(2026高考·上海)已知为等比数列，，，则__________。 7.54 设数列的公比为，则，则。 8.(2026高考·上海)已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________。 8. 根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出，且，是单调递增的，所以必须满足，所以，所以. 9.(2026高考·全国二卷)记为等差数列的前项和.若，，则__________。 9.24 由等差数列通项公式，代入可得，解得.因为，所以，故。 10.(2026高考·全国一卷)设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列，则的最大值为__________。 10. 令，由题意得，因此每个三项块的和为.设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正，下面按除以3的余数讨论，若，这9项正好包含三个完整三项块，得，，，于是且，矛盾，故这种起点不存在.若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以.综上，所以，即的最大值为。 四、解答题 11.(2026高考·天津)已知等差数列与等比数列满足：，，，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数. (i)求； (ii)求。 11.【答案】(1) (2)(i)；(ii). 【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，即，解得或(公比不能为0，舍去)，所以 (2)(i)由(1)知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项，根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成，小于的正偶数有个，由得，，所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个，所以。 (ii)当时，中小于等于的项有个，又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个，所以，所以，从到共有项，又为奇数时，所以，所以令①，则②，①-②得，所以，所以。 3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考真题-按章分类 选择性必修 第二册 第四章 数列 4个单选题 + 1个多选题 + 5填空题 + 1个解答题 ---- 学 生 版 ---- 一、单选题 1.(2026高考·北京)已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2026高考·天津)已知是数列的前n项的和，且，，则(  ) A.68 B.56 C.-3 D.-4 3.(2026高考·全国一卷)一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列.将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.(2026高考·上海)下列数列中是等差数列也是等比数列的是(  ) A.1，-1，1，-1，1 B.1，2，3，4，5 C.5，5，5，5，5 D.1，2，3，5，7 二、多选题 5.(2026高考·全国二卷)设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则(  ) A. B. C. D. 三、填空题 6.(2026高考·北京)已知公差为的等差数列的前项和为.若，则________，使得对所有都成立的一个的取值为________. 7.(2026高考·上海)已知为等比数列，，，则__________。 8.(2026高考·上海)已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________。 9.(2026高考·全国二卷)记为等差数列的前项和.若，，则__________。 10.(2026高考·全国一卷)设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列，则的最大值为__________。 四、解答题 11.(2026高考·天津)已知等差数列与等比数列满足：，，，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数. (i)求； (ii)求。 选择性必修 第二册 第四章 数列 ---- 参考答案及解析 ---- 一、单选题 1.A 由题意，，是无穷数列，验证充分性：当存在常数，使时，，，显然成立，验证必要性：当，时，此时满足,假设存在常数，使成立，当时，，，此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”，但不存在这样的固定常数，∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立，∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件。 2.C 由，得，即；，即；因为，所以；，即，所以；，即，所以。 3.B 由已知，，，，，设新数列为，，由已知数列为等差数列，设其公差为，，又的前项都为奇数，所有项都为偶数，由已知为正偶数，为正偶数，则，故， 若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，此时可取，，，，，，满足要求。 4.C 设该数列为，则该数列满足，其中.则，因为常数，该式对任意正整数成立，则，从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意，C入选。 二、多选题 5.ACD 由等比数列的公比为，则，即.因为，所以，即.因为，所以，所以，即，所以A正确.因为，则，B错误。，，C正确。，当n为奇数时，；当n为偶数时，因为；所以，所以，即，D正确。 三、填空题 6.；(答案不唯一，满足即可) 等差数列的前项和公式为，通项公式为.∵ ，，∴ .由，得，消去等式两侧的，整理得，解得.∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立，∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ，代入通项公式得，解得，取即为符合条件的一个取值. 7.54 设数列的公比为，则，则。 8. 根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出，且，是单调递增的，所以必须满足，所以，所以. 9.24 由等差数列通项公式，代入可得，解得.因为，所以，故。 10. 令，由题意得，因此每个三项块的和为.设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正，下面按除以3的余数讨论，若，这9项正好包含三个完整三项块，得，，，于是且，矛盾，故这种起点不存在.若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以.综上，所以，即的最大值为。 四、解答题 11.【答案】(1) (2)(i)；(ii). 【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，即，解得或(公比不能为0，舍去)，所以 (2)(i)由(1)知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项，根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成，小于的正偶数有个，由得，，所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个，所以。 (ii)当时，中小于等于的项有个，又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个，所以，所以，从到共有项，又为奇数时，所以，所以令①，则②，①-②得，所以，所以。 3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $