2026-2027学年人教B版高三数学9月模拟练习二

**基本信息** 聚焦高考高频考点，通过分层设问与真实情境（如技能考试成绩分析）考查数学抽象、逻辑推理及数据应用能力，适配高三一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、直线与圆、正态分布等|基础概念与运算结合，如第3题正态分布等级划分| |多选题|3/18|立体几何、三角函数等|综合性强，如第9题正方体中异面直线成角与线面角| |填空题|3/15|等比数列、导数切线等|注重细节，如第13题切线与函数相切分类讨论| |解答题|5/77|解三角形、概率统计、导数等|分层设问，如第16题结合考试情境考正态分布与概率，体现数据意识；第19题立体几何分证明与计算，考查空间观念|

2026-2027学年度高三数学9月模拟练习二 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（本题5分）已知直线与圆相交于M、N两点，则的最大值为（   ）． A． B． C．4 D． 3．（本题5分）在某项测验中，假设测验数据服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A，B，C，D四个等级，则等级为A的测验数据的最小值可能是（附：若，则，）（    ） A．94 B．86 C．82 D．78 4．（本题5分）二项式的二项式系数和为256，将其展开式中所有项重新排成一列，有理项不相邻的排法种数为（      ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知函数和，其中，的最大值为3，若与的图象在区间上恰有一个交点，则k的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 6．（本题5分）已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（    ） A． B． C． D．1 7．（本题5分）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，且，则当取得最小值时，（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 8．（本题5分）已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）如图，在正方体中，点在平面内，设直线与直线所成的角分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．是与的等差中项 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．若，则 10．（本题6分）函数的最小正周期为，若，为的极大值点，则（   ） A． B．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 C．在内有4个极值点 D．函数在有1个零点 11．（本题6分）已知、，点为曲线上动点，则下列结论正确的是（    ） A．若为抛物线，则 B．若为椭圆，则 C．若为双曲线，则 D．若为圆，则 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知正项等比数列满足，且，则公比为______________. 13．（本题5分）函数，（其中），的图象在点处的切线与的图象相切，则______. 14．（本题5分）设双曲线：的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则C的离心率为______. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 16．（本题15分）某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示. (1)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数； (2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为，后两题每题能答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大? 附：若随机变量X服从正态分布，则：，. 17．（本题15分）已知函数． (1)当时，求的极值点个数 (2)当时，恒成立，求实数的最小值． 18．（本题17分）已知是等差数列，，，数列的前项和为且满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，求的最大值． 19．（本题17分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且． (1)求证：平面平面； (2)若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半． （i）求点到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年度高三数学9月模拟练习二》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C B B B A ABD ACD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】先求出所求复数，再判断其对应点所在象限即可. 【详解】由题意得，则 ， 则该复数对应的点位于第三象限，故C正确. 故选：C 2．B 【分析】先求出直线所过的定点， 方法一：取中点B，易得，进而可得出答案. 方法二：设、夹角为，将平方，结合数量积的运算律及余弦定理化简即可得解. 【详解】由，得， 令，解得， 所以直线过定点， 由得圆心，半径 方法一：如图，取中点B， ， 当且仅当两点重合时取等号， 所以的最大值为. 方法二：（平方法）设、夹角为， ， 当与垂直时，最小，并且最小值为， 此时，即． 故选：B. 3．C 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解． 【详解】测验数据服从正态分布， 则，， 故， 故等级的分数线应该是． 故选：C 4．C 【分析】先由二项式系数的和为解出，再利用二项式定理判断其展开式中有理式的项数，再利用插空法进行排列即可. 【详解】因为二项式系数的和为，解得：， 据题意，得， 因为且， 当时，，即为有理式； 当时，，即为有理式； 当时，，即为有理式； 当时，，即为无理式； 所以展开式一共有9个项，有3个有理式， 6个无理式， 先对6个无理式进行排列，共有种方法； 再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有种方法； 利用分步乘法计数原理可得，一共有种方法. 故选：C. 5．B 【分析】由的最大值为3可得，由与的图象在区间上恰有一个交点，可知在区间上恰有一个根，令，，由函数性质分析即可求. 【详解】由的最大值为3，得，即． 因为与的图象在区间上恰有一个交点， 所以在区间上恰有一个根． 令，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为， 所以当，单调递减，当，单调递增， 当时，， 令，则， 要使与图象只有一个交点， 则的最小值点与最大值点重合， 即， 所以，． 所以符合题意． 故选：B 6．B 【解析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m的范围，通过判断a，b，c，d的范围，得到满足条件的概率值即可． 【详解】f′（x）＝x2+2mx+1， 若函数f（x）有极值点， 则f′（x）有2个不相等的实数根， 故△＝4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1， 而a＝log0.55＜﹣2，0＜b＝log32＜1、c＝20.3＞1，0＜d＝（）2＜1， 满足条件的有2个，分别是a，c， 故满足条件的概率p， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，是一道中档题． 7．B 【分析】根据的关系，作差可得是等比数列，即可根据是递增数列，结合，即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 两式相减得，而，解得， 因此数列是等比数列，， 数列是递增的正项数列，，， 因此， 所以当取得最小值时，． 故选：B 8．A 【分析】根据已知条件，将原问题转化为，再利用导数研究函数、的极值、最值，即可求解. 【详解】，则， 令，解得或；令， 解得， ， 故在单调递减，在单调递增，在单调递减， 且， 故， 任意的，都有成立，则， 因为，则， 当时，在单调递增， 所以， 故，即(舍去)； 当时， 令，解得；令， 解得， 故在上单调递减， 在上单调递增， 所以， 所以，即， 解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 【点睛】不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图象在 上方即可)； ③分类讨论参数. 9．ABD 【分析】应用平行线计算得出异面直线所成角判断A，建系空间向量法计算向量垂直判断B，应用线面角公式计算C，应用点在平面内计算求参判断D. 【详解】 因为，所以直线与直线所成的角，A正确． 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 直线与直线所成的角， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系． 设，则， 则，得， 所以，则，所以是与的等差中项，B正确． ， 设平面的法向量为，得 取，设直线与平面所成的角为， 则，C错误． 由，得， 因为点在平面内，所以，解得，D正确． 故选：ABD. 10．ACD 【分析】先由周期公式结合求出，再由极值点求出求出函数解析式，由周期公式计算即可求解判断A；由平移变换结合诱导公式即可求解判断B；分析在内极值个数即可判断C；分析方程在内解的个数即可判断D. 【详解】由题得，所以， 所以，或， 因为，所以， 又因为是的极大值点， 所以， 又，所以， 所以，，故A正确； 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故B错误； 时， 则仅当即时在内取得极值， 所以在内有4个极值点，故C正确； 时， 则仅当即时在上， 所以在上有1个零点，故D正确. 故选：ACD 11．BCD 【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用椭圆的定义以及数形结合可判断B选项；利用双曲线的定义以及数形结合可判断C选项；利用圆的方程以及数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示：    抛物线的焦点为，准线方程为， 设点在直线上的射影点为，由抛物线的定义可得， 所以，， 由图可知，当、、三点共线时，取最小值， 且其最小值为点到直线的距离，即，A错； 对于B选项，如下图所示：    对于椭圆，，，则， 则点为椭圆的右焦点，取为该椭圆的左焦点， 由椭圆的定义可得， 所以，， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，取最小值，B对； 对于C选项，对于双曲线，，，则， 所以，点为双曲线的右焦点， 取为双曲线的右焦点，如下图所示：    当点在双曲线的右支时，由双曲线的定义可得，则， 所以，， 当且仅当为线段与双曲线右支的交点时，等号成立； 当点在双曲线的左支时，由双曲线定义可得， 则，所以，， 当且仅当为线段与双曲线左支的交点时，等号成立. 综上所述，，C对； 对于D选项，记点，对于点，易知，， ， 如下图所示：    所以，， 当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立， 即，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用二次曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法： （1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题； （2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解； （3）在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 12．/ 【分析】设数列公比为q，然后由等比数列通项公式结合题意可得答案. 【详解】设数列公比为q，因，则. 又，则. 故答案为： 13．－1或3 【分析】先求出的图象在点处的切线方程为，再分当在上与当不在上时两种情况，进行求解. 【详解】，故在的图象上， ，则， 故的图象在点处的切线方程为， 当在上时，，解得：， 故， 则，则， 则在处的切线方程为，满足要求， 当不在上时，设切点为， ，则， 由于在处的切线方程为， 所以， 解得：，，经检验符合要求， 故答案为：-1或3 14． 【分析】求出因为，再由可得答案. 【详解】因为，，所以， 双曲线：的两条渐近线方程分别为， 若，则的倾斜角为，的倾斜角为， 即，解得， 则C的离心率为. 故答案为：. 15．(1) (2)9 【分析】（1）由正弦定理可以变形为：，再由余弦定理进行求解； （2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，求出．由余弦定理得，，即可求解． 【详解】（1）由正弦定理及，得， ， ， ． （2）设的外接圆半径为， 由及正弦定理， 得， ． 由余弦定理得，， ，当且仅当时取等号，， 周长的最大值为9． 16．(1)182人； (2). 【分析】（1）先根据频率分布直方图平均数估算公式求出样本平均数，然后根据正态分布的性质求得概率，即可求解； （2）根据题意确定的取值，并求出对应的概率，利用互斥事件加法概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，样本平均数的估计值为 ， 因为学生初试成绩服从正态分布，其中则， 所以， 所以估计初试成绩不低于85分的人数为人. （2）记该考生的复试成绩为，则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分， ， ， ， 所以该考生进入面试的概率为. 17．(1)极值点个数为 (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得解； （2）参变分离可得在上恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）当时，，定义域为， ． 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 所以在上单调递减， 故的极值点个数为． （2）当时，，不等式可化为在上恒成立， 令，则， 由（1）可知，，即（当且仅当时取等号），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故实数的最小值为． 18．(1)， (2) 【分析】（1）讨论是否为后根据裂项相消化简，求出公差的值，再求等差数列的通项公式即可；对于数列，利用其前项和为，可写，两式作差即可得到 是等比数列并求出其公比，根据当时，，得及公比即可求出等比数列通项. （2）写出的通项，再判断的正负，即可得到哪一项最大，即可求出的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 当时，则，与矛盾，不合题意； 当时， ， 解，所以，即． 当时，，得. 当时，①，②， ①－②得，即，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．即. （2）由（1）知：，则， 当时，；时，. 所以. 所以当时，有最大值． 19．(1) 在中，，得， 则，即， 因为四边形为正方形，则， 又因平面平面， 则平面，又因平面， 则平面平面. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用余弦定理可得，再利用正方形性质根据线面垂直判定定理证明可得平面平面； （2）（i）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量数量积定义以及坐标运算可求得，利用体积关系可得，求出平面的法向量，即可计算得出点到平面的距离； （ii）求出平面与平面的法向量，根据平面夹角的向量求法计算可求得结果. 【详解】（1）略 （2）（i）以点为坐标原点，分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则，解得； 所以， 因为， ，且， 则，因，则，即， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 则点到平面的距离为. （ii）， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $