暑假预习：角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的尺规作图问题专项训练-2026年七升八暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦角平分线性质、判定及尺规作图，通过分层例题与变式题构建从概念理解到应用操作的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线的性质|4例+4变式|距离计算与面积应用|性质奠基，通过垂线段距离转化实现量化计算| |角平分线的判定|3例+3变式|角平分线证明与关系探究|判定深化，利用距离相等逆推角平分线，强化逻辑推理| |角平分线的尺规作图|3例+3变式|作图操作与推理结合|作图应用，基于性质与判定原理实现规范作图，体现数学应用意识|

暑假预习：角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的尺规作图问题专项训练 暑假预习：角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的尺规作图问题专项训练 考点目录 角平分线的性质 角平分线的判定 角平分线的尺规作图问题 考点一 角平分线的性质 例1．（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∵的面积为， ∴ 即， 解得：． 例2．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为． ∵，，平分， ∴． ∴，即， ∴． 例3．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 【答案】/ 【分析】如图：过D作于G，利用角平分线的性质定理可得，再证明、可得、，再结合图形利用面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：过D作于G， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 例4．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为___________． 【答案】 【分析】根据作图可知，平分，根据角平分线的性质，得到点到的距离相等，均为的长，再根据分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴点到的距离相等，均为的长， ∴． 变式1．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，是的平分线，于点D，且，则点C到的距离是（     ） A．5 B．3 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】过点C作于E，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于E， 是的平分线，，， ， 即点C到边的距离为3． 变式2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】先过点作，利用三角形面积公式求出的长度，再依据角平分线的性质得到到的最短距离，结合垂线段最短确定的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴点到的垂线段长度等于， ∵垂线段最短， ∴， ∴的长可能为、、，的长不可能为． 变式3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 【答案】20 【分析】根据有最小值可得，由此可得，结合角平分线的性质求解即可． 【详解】解：当有最小值时，则有， ∵， ∴， ∵， ∴为的角平分线， ∵ ∴． 变式4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】如图，过作于点，首先根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵，平分， ∴， ∴的面积是． 考点二 角平分线的判定 例1．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，平分，平分，求证：平分． 【答案】过点O作 ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分． 【详解】解：略 例2．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先运用证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先运用证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． （2）解：，理由如下： 在与中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，根据角平分线的判定定理，即可解答； （2）证明，即可解答； 【详解】（1）证明：，． ． 在与中，，，． ． ，． 平分． （2）解：在和中，，， ． ． ． 变式1．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H．求证： (1)； (2)； (3)连接，求证平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证明即可； （2）设的交点为，证明，结合，，可得； （3）作于于J．证明，，可得，结合角平分线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵两个等腰直角三角形与， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，设的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：作于于J，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 变式2．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 变式3．（24-25八年级下·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 考点三 角平分线的尺规作图问题 例1．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，在四边形中，，． (1)请利用尺规在边上作一点，使得；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (2)若，求证：． 【答案】(1)如图，点为所求作的点． (2)证明：由（1）可知，， ， ， 即， ， ， ， ． 【分析】（1）已知、公共边，只需作的角平分线，角平分线与的交点即为点，作图保留角平分线弧痕即可． （2）由全等得平分，将替换为代入已知等式化简，结合直角三角形两锐角互余推出，依据同位角相等，两直线平行即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知点C是的边上的一点，请用尺规作图法求作一点P，使点P到，的距离相等且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】根据到角两边距离相等的点在角平分线上可知：点在的角平分线上，故先作出的角平分线，再在角平分线上取点，使即可解题． 【详解】略 例3．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，是的高． (1)利用尺规作图法作出的平分线，交边于点D（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)解：如图，即为所求. (2) 【分析】（1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可； （2）先求解，，再结合三角形的高与直角三角形的两锐角互余可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：，，， ． 是的平分线， ． ， ．     ， ． ． 变式1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，． (1)求作：的角平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）由角平分线求出，再利用三角形内角和算出． 【详解】（1）略 （2）解：，平分， ， ， ． 变式2．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在满足（1）的条件下，与平行吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：与平行，理由如下： 是边上的高， ， 又∵， ， ，     ， 平分， ， 在中，， 平分， ， ． ． 【分析】（1）以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交射线、于两点；分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过点和这个交点作射线，交于点，则即为所求的角平分线； （2）由、，得，结合，算得．由平分得；由三角形内角和得，平分得．由，内错角相等，故． 【详解】（1）略 （2）略 变式3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图：在四边形中，平分，交于点． (1)尺规作图：求作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)如图所示，点为所求； (2) 【分析】（1）尺规作的角平分线即可； （2）由平分平分，则，设，则，根据四边形内角和可得，解得，再根据四边形内角和为可得，解得，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分平分， ， 设， 则， ∵四边形内角和为， ， ∴， ， ， 根据四边形内角和为可得， 解得， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的尺规作图问题专项训练 暑假预习：角平分线的性质、角平分线的判定、角平分线的尺规作图问题专项训练 考点目录 角平分线的性质 角平分线的判定 角平分线的尺规作图问题 考点一 角平分线的性质 例1．（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 例4．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于．若，则面积为___________． 变式1．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，是的平分线，于点D，且，则点C到的距离是（     ） A．5 B．3 C．2 D．无法确定 变式2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 变式3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 变式4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 考点二 角平分线的判定 例1．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，平分，平分，求证：平分． 例2．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 例3．（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 变式1．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H．求证： (1)； (2)； (3)连接，求证平分． 变式2．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 变式3．（24-25八年级下·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 考点三 角平分线的尺规作图问题 例1．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，在四边形中，，． (1)请利用尺规在边上作一点，使得；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (2)若，求证：． 例2．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知点C是的边上的一点，请用尺规作图法求作一点P，使点P到，的距离相等且．（保留作图痕迹，不写作法） 例3．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，是的高． (1)利用尺规作图法作出的平分线，交边于点D（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 变式1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，． (1)求作：的角平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 变式2．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在满足（1）的条件下，与平行吗？为什么？ 变式3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图：在四边形中，平分，交于点． (1)尺规作图：求作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $