周周练15 5.1-5.2二元一次方程组及其解法（数学新教材北师大版八年级上册）

2026-2027学年八年级上学期数学周周测15 5.1-5.2二元一次方程组及其解法 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 2．已知方程，用含x的代数式表示y，得（     ） A． B． C． D． 3．“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 4．小华在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去y，则a，b的值可能是（     ） A．2，3 B．2， C．3，2 D．3， 5．关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 7．数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．在解关于，的二元一次方程组时，如果可直接消去未知数，则和满足的条件是（     ） A． B． C． D． 9．若，则的算术平方根是（     ） A． B．3 C． D．9 10．已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中正确的个数是（     ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，． ②方程组的解也是关于x，y的方程的解． ③无论a取什么实数，的值始终等于． ④若用x表示y，则 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 12．若是二元一次方程的一组解，则的值为____________． 13．用5张大小，形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，若点的坐标为，则可列方程组为_____． 14．定义运算“*”，规定，其中a、b为常数，且，，则________． 15．关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 16．已知方程组的解是，则方程组的解是______． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解下列方程组 (1)用代入法解方程组： (2)用加减法解方程组： 18．小马、小虎两人同时解方程组,小马由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，小虎看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求的值； (2)求出原方程组的正确解． 售额是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测15 5.1-5.2二元一次方程组及其解法 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 2．已知方程，用含x的代数式表示y，得（     ） A． B． C． D． 3．“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 4．小华在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去y，则a，b的值可能是（     ） A．2，3 B．2， C．3，2 D．3， 5．关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 7．数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．在解关于，的二元一次方程组时，如果可直接消去未知数，则和满足的条件是（     ） A． B． C． D． 9．若，则的算术平方根是（     ） A． B．3 C． D．9 10．已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中正确的个数是（     ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，． ②方程组的解也是关于x，y的方程的解． ③无论a取什么实数，的值始终等于． ④若用x表示y，则 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 12．若是二元一次方程的一组解，则的值为____________． 13．用5张大小，形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，若点的坐标为，则可列方程组为_____． 14．定义运算“*”，规定，其中a、b为常数，且，，则________． 15．关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 16．已知方程组的解是，则方程组的解是______． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．下面是小北解方程组的部分运算过程． 解：由①，得③，第一步 将③代入②，得，第二步 去括号，得，第三步 解得．第四步 (1)这道题的解法用的是______（选择你认为正确的序号填入）： ①加减消元法；②代入消元法 (2)上面的运算过程从第______步开始出现了错误； (3)请写出解该方程组的正确过程． 18．解下列方程组 (1)用代入法解方程组： (2)用加减法解方程组： 19．小马、小虎两人同时解方程组,小马由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，小虎看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求的值； (2)求出原方程组的正确解． 20．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 21．若关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________． (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，直接求_____． 22．问题背景 若a，b都是实数，且满足，则称点为“十美点”． 探究1 (1)若点是“十美点”，则t的值为________． 探究2 (2)在点，，中，是“十美点”的有________个． 探究3 (3)已知关于x，y的方程组的解对应的点是“十美点”，求m的值． 23．阅读下列材料，解答提出的问题． 我们知道，二元一次方程（，为未知数，为常数）有无数个解．我们把它的每一个解用有序数对表示，就可以在平面直角坐标系上标出这些以方程的解为坐标的点．过这些点中的任意两点作直线，发现其他点也都在这条直线上，我们把这条直线叫作二元一次方程的图象．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． (1)如图，直线是方程的图象，请你写出该方程的一个解____________，并在图中描出你所写的解对应的点； (2)请在图中所示的平面直角坐标系中画出方程的图象，观察图象写出二元一次方程组的解：____________； (3)在探究过程中小明发现方程组无解，于是他猜想若通过以上方式在平面直角坐标系中画出这个方程组中两个方程所对应的直线，则这两条直线的位置关系是__________． 24．综合与实践． 【问题背景】荣昌夏布和荣昌折扇（如图1）均是“荣昌四宝”非遗产品．荣昌折扇由扇骨、扇面、扇钉等部分构成（如图2），荣昌夏布常常用来制作荣昌折扇扇面，某数学学习小组到扇面制作加工点进行综合与实践探究扇面制作中的数学问题． 【数据测量】测得A，B两种型号折扇收拢时的数据（左侧为扇面部分），如图3所示． 【数学思考】将折扇全部打开是一个半圆面，显然，扇面是由一个特殊的矩形裁剪而来的，如图4所示．根据该学习小组所测量的数据结合图4，完成填空： (1)如图5，要裁剪A种型号折扇的扇面需要的矩形（称为A型矩形）长是____________，宽是____________；要裁剪B种型号折扇的扇面需要的矩形（称为B型矩形）长是____________，宽是____________． (2)【问题解决】该扇面加工点有一块长为，宽为的夏布，如图6，用这块夏布来裁剪出A型矩形和B型矩形，可以有两种分割方式裁剪：一种是横向分割成上下两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形，另一种是纵向分割成左右两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形（两种都要有）． 请计算横向分割和纵向分割，在最少浪费布料的情况下，分别能裁剪出A型矩形和B型矩形各多少块？ (3)【拓展应用】一块A型扇面销售价为80元，一块B型扇面销售价为60元． 在（2）的条件下，哪种裁剪方式获得的销售额最大？最大销售额是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测15 5.1-5.2二元一次方程组及其解法 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】从二元一次方程“二元”“一次”的核心特征入手，列关于的关系式求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， 由得， 解得或， 由，得， ∴． 2．已知方程，用含x的代数式表示y，得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过移项、系数化为1，将方程整理为用含的代数式表示的形式，即可得到答案． 【详解】解：原方程为，移项得，两边同时除以，则． 3．“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意及图形列方程组即可． 【详解】解：设每张桌子的宽为，中桌的长为， 列方程组为． 4．小华在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去y，则a，b的值可能是（     ） A．2，3 B．2， C．3，2 D．3， 【答案】A 【详解】解：观察方程组中的系数之间的关系可知，①②可以消去， 则，的值可能是2，3． 5．关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程组，用含的代数式表示出，，根据方程组的解满足，得出关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】解： ①+②得，，即， ①②得，，即， ∵关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得：． 6．如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中给出的完整数据，选取两组x和对应整式的值列出方程组，求解即可得到a和b的值． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ， 得， 将代入， 得，解得， 即． 7．数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】先根据去分母时，两边都要乘以2判断，再根据代入法求出方程组的解． 【详解】解：丙同学出现错误，去分母时，18应该乘以2，正确的过程如下： ， 解：由①，得， 将③代入②，得， 去分母，得，即， 解得， 将代入③，得． 8．在解关于，的二元一次方程组时，如果可直接消去未知数，则和满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若两式相加可直接消去未知数，则相加后的系数和为，据此推导和的关系即可． 【详解】解：， 得， 可直接消去未知数， 的系数为，即． 9．若，则的算术平方根是（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题利用非负数的性质求解，算术平方根与绝对值都是非负数，若几个非负数的和为，则每个非负数都为，先求出，的值，再计算，最后求出其算术平方根即可； 【详解】解：∵，，且， ∴ 解得，， 故， ∴的算术平方根是； 10．已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中正确的个数是（     ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，． ②方程组的解也是关于x，y的方程的解． ③无论a取什么实数，的值始终等于． ④若用x表示y，则 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】利用消元法解出方程组，再逐个验证每个结论即可． 【详解】解：原方程组为， 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴当互为相反数时，，，，解得，故①正确； 得，两边同除以得，因此方程组的解一定是该方程的解，故②正确； ，故无论取何值，恒成立，③正确； 由①得，代入②得，整理得，与题目给出的表达式不符，故④错误； 综上，正确的结论共个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 12．若是二元一次方程的一组解，则的值为____________． 【答案】 【分析】将代入二元一次方程，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， 将代入方程得， ． 13．用5张大小，形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，若点的坐标为，则可列方程组为_____． 【答案】 【详解】解：点的坐标为， 长方形的长为，宽为， 可列方程组为． 14．定义运算“*”，规定，其中a、b为常数，且，，则________． 【答案】1 【分析】根据定义得出，整理并用代入法解二元一次方程组，得出a和b的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：根据定义可知：， 整理得：， 解得：， ∴． 15．关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 【答案】3 【分析】根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y的值，再建立关于a，b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a，b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵关于的方程组和方程组有相同的解， ∴其解也是的解， 解得：， 则变成， 解得：， ∴． 16．已知方程组的解是，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组解的定义，将待求解方程组变形为与已知解的原方程组结构相同的形式，通过对应关系得到关于x，y的方程，求解即可得到结果； 【详解】解：∵方程组的解是， 将方程组的两边同时除以4，变形得， 对比原方程组可得， 解得， 因此方程组的解为． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．下面是小北解方程组的部分运算过程． 解：由①，得③，第一步 将③代入②，得，第二步 去括号，得，第三步 解得．第四步 (1)这道题的解法用的是______（选择你认为正确的序号填入）： ①加减消元法；②代入消元法 (2)上面的运算过程从第______步开始出现了错误； (3)请写出解该方程组的正确过程． 【答案】(1)② (2)三 (3)解：， 由①得③， 将③代入②，得， 去括号，得，解得， 将代入①得，解得， 所以该方程组的解为． 【分析】（1）根据题意即可得到答案； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； （2）由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为； （3）略． 18．解下列方程组 (1)用代入法解方程组： (2)用加减法解方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】针对（1）的代入法求解：因为方程①中t的系数为，便于用含s的式子表示t，所以首先对①式变形，得到t关于s的表达式．把得到的t的表达式代入方程②，可消去t，得到只含s的一元一次方程，求解该方程得到s的值．将求得的s的值代回t的表达式，计算得到t的值． 针对（2）的加减法求解：因为方程①中x的系数是2，方程②中x的系数是4，存在倍数关系，所以先将方程①两边同乘合适的系数，使两个方程中x的系数相等．用变形后的方程与方程②相减，消去x，得到只含y的一元一次方程，求解该方程得到y的值．将求得的y的值代入任意一个原方程，计算得到x的值． 【详解】（1）解：由方程①变形得： ③， 把③代入②得： ， 展开计算：， 解得 ， 把代入③得：， 方程组的解为 ． （2）解：给方程①两边同乘2得： ③， 用②③消去得： ， 计算得：， 解得 ， 把代入①得：， 解得 ， 方程组的解为 ． 19．小马、小虎两人同时解方程组,小马由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，小虎看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用看错系数的解仍满足未看错的方程，代入计算即可求出和的值； 把的值代入原方程组，再利用加减法解答即可． 【详解】（1）解： 小马看错方程①中的，得到的解满足方程②， 将代入②，得 ， 解得， 小虎看错方程②中的，得到的解满足方程①， 将代入①，得 ， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得 ， ①②，得 ， ∴， 把代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的正确解为． 20．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得， ∴， 得， 得，解得， 把代入⑦得，解得， ∴原方程组的解为． 21．若关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________． (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，直接求_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 22．问题背景 若a，b都是实数，且满足，则称点为“十美点”． 探究1 (1)若点是“十美点”，则t的值为________． 探究2 (2)在点，，中，是“十美点”的有________个． 探究3 (3)已知关于x，y的方程组的解对应的点是“十美点”，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意列出方程求出，，进而求出t的值； （2）根据“十美点”的定义列出方程组求解，然后进行验证； （3）解方程组得，根据“十美点”的定义得出，然后根据平方根求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∵， ∴， ∴； （2）解：验证得， ， 解得， ∵ ∴点不是“十美点”； 验证得， ， 解得， ∵ ∴点不是“十美点”； 验证得， ， 解得， ∵ ∴点是“十美点”； （3）解：解方程组，得， 根据题意得， 解得， ∴， 解得或． 23．阅读下列材料，解答提出的问题． 我们知道，二元一次方程（，为未知数，为常数）有无数个解．我们把它的每一个解用有序数对表示，就可以在平面直角坐标系上标出这些以方程的解为坐标的点．过这些点中的任意两点作直线，发现其他点也都在这条直线上，我们把这条直线叫作二元一次方程的图象．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． (1)如图，直线是方程的图象，请你写出该方程的一个解____________，并在图中描出你所写的解对应的点； (2)请在图中所示的平面直角坐标系中画出方程的图象，观察图象写出二元一次方程组的解：____________； (3)在探究过程中小明发现方程组无解，于是他猜想若通过以上方式在平面直角坐标系中画出这个方程组中两个方程所对应的直线，则这两条直线的位置关系是__________． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3)平行 【分析】（1）任取一个x的值代入求出y的值即可； （2）找出的两个解，进而画出方程的图象，同理画出的图象，根据图象作答即可； （3）根据同一平面内两直线的位置关系作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，解得，即方程的一个解为； 作图略； （2）解：将代入得，解得，即方程的一个解为， 将代入得，解得，即方程的一个解为， 作图略； 将代入得，解得，即方程的一个解为， 作图如下： 由图象可知与的公共解为， 即二元一次方程组的解为； （3）解：∵方程组无解， ∴与不相交， 即与平行． 24．综合与实践． 【问题背景】荣昌夏布和荣昌折扇（如图1）均是“荣昌四宝”非遗产品．荣昌折扇由扇骨、扇面、扇钉等部分构成（如图2），荣昌夏布常常用来制作荣昌折扇扇面，某数学学习小组到扇面制作加工点进行综合与实践探究扇面制作中的数学问题． 【数据测量】测得A，B两种型号折扇收拢时的数据（左侧为扇面部分），如图3所示． 【数学思考】将折扇全部打开是一个半圆面，显然，扇面是由一个特殊的矩形裁剪而来的，如图4所示．根据该学习小组所测量的数据结合图4，完成填空： (1)如图5，要裁剪A种型号折扇的扇面需要的矩形（称为A型矩形）长是____________，宽是____________；要裁剪B种型号折扇的扇面需要的矩形（称为B型矩形）长是____________，宽是____________． (2)【问题解决】该扇面加工点有一块长为，宽为的夏布，如图6，用这块夏布来裁剪出A型矩形和B型矩形，可以有两种分割方式裁剪：一种是横向分割成上下两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形，另一种是纵向分割成左右两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形（两种都要有）． 请计算横向分割和纵向分割，在最少浪费布料的情况下，分别能裁剪出A型矩形和B型矩形各多少块？ (3)【拓展应用】一块A型扇面销售价为80元，一块B型扇面销售价为60元． 在（2）的条件下，哪种裁剪方式获得的销售额最大？最大销售额是多少？ 【答案】(1)，，， (2)横向分割：A型矩形70块，B型矩形16块；纵向分割： A型矩形24块，B型矩形84块或A型矩形60块，B型矩形35块． (3)纵向分割获得的销售额最大，最大销售额是6960元． 【分析】（1）根据图4计算即可； （2）根据要求对夏布进行分割，最少浪费布料，即两种矩形的长或宽恰好与夏布的长或宽相等，或最接近，列二元一次方程可求解； （3）根据（2）的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：A型矩形长为，宽为， B型矩形长为，宽为 （2）解：横向分割时， 由于两种矩形的长和宽是2倍关系，故只需讨论它们的宽与夏布的宽之间的关系即可， 假设A型矩形x行，B型矩形y行， 则 解得该二元一次方程没有正整数解， 当时，与最接近，即浪费布料最少， 此时A型矩形5行，B型矩形1行， ， ， 即A型矩形70块，B型矩形16块； 纵向分割时，只需讨论它们的长与夏布的长之间的关系即可， 假设A型矩形a列，B型矩形b列， 则 解得或 ， 或， 即A型矩形24块，B型矩形84块或A型矩形60块，B型矩形35块． （3）解：横向分割时：（元） 纵向分割时：（元） 或（元） 答：纵向分割时获得的销售额最大，最大销售额是元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测15 5.1-5.2二元一次方程组及其解法 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】从二元一次方程“二元”“一次”的核心特征入手，列关于的关系式求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， 由得， 解得或， 由，得， ∴． 2．已知方程，用含x的代数式表示y，得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过移项、系数化为1，将方程整理为用含的代数式表示的形式，即可得到答案． 【详解】解：原方程为，移项得，两边同时除以，则． 3．“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意及图形列方程组即可． 【详解】解：设每张桌子的宽为，中桌的长为， 列方程组为． 4．小华在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去y，则a，b的值可能是（     ） A．2，3 B．2， C．3，2 D．3， 【答案】A 【详解】解：观察方程组中的系数之间的关系可知，①②可以消去， 则，的值可能是2，3． 5．关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程组，用含的代数式表示出，，根据方程组的解满足，得出关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】解： ①+②得，，即， ①②得，，即， ∵关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得：． 6．如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中给出的完整数据，选取两组x和对应整式的值列出方程组，求解即可得到a和b的值． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ， 得， 将代入， 得，解得， 即． 7．数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】先根据去分母时，两边都要乘以2判断，再根据代入法求出方程组的解． 【详解】解：丙同学出现错误，去分母时，18应该乘以2，正确的过程如下： ， 解：由①，得， 将③代入②，得， 去分母，得，即， 解得， 将代入③，得． 8．在解关于，的二元一次方程组时，如果可直接消去未知数，则和满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若两式相加可直接消去未知数，则相加后的系数和为，据此推导和的关系即可． 【详解】解：， 得， 可直接消去未知数， 的系数为，即． 9．若，则的算术平方根是（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题利用非负数的性质求解，算术平方根与绝对值都是非负数，若几个非负数的和为，则每个非负数都为，先求出，的值，再计算，最后求出其算术平方根即可； 【详解】解：∵，，且， ∴ 解得，， 故， ∴的算术平方根是； 10．已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中正确的个数是（     ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，． ②方程组的解也是关于x，y的方程的解． ③无论a取什么实数，的值始终等于． ④若用x表示y，则 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】利用消元法解出方程组，再逐个验证每个结论即可． 【详解】解：原方程组为， 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴当互为相反数时，，，，解得，故①正确； 得，两边同除以得，因此方程组的解一定是该方程的解，故②正确； ，故无论取何值，恒成立，③正确； 由①得，代入②得，整理得，与题目给出的表达式不符，故④错误； 综上，正确的结论共个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 12．若是二元一次方程的一组解，则的值为____________． 【答案】 【分析】将代入二元一次方程，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， 将代入方程得， ． 13．用5张大小，形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，若点的坐标为，则可列方程组为_____． 【答案】 【详解】解：点的坐标为， 长方形的长为，宽为， 可列方程组为． 14．定义运算“*”，规定，其中a、b为常数，且，，则________． 【答案】1 【分析】根据定义得出，整理并用代入法解二元一次方程组，得出a和b的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：根据定义可知：， 整理得：， 解得：， ∴． 15．关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 【答案】3 【分析】根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y的值，再建立关于a，b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a，b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵关于的方程组和方程组有相同的解， ∴其解也是的解， 解得：， 则变成， 解得：， ∴． 16．已知方程组的解是，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组解的定义，将待求解方程组变形为与已知解的原方程组结构相同的形式，通过对应关系得到关于x，y的方程，求解即可得到结果； 【详解】解：∵方程组的解是， 将方程组的两边同时除以4，变形得， 对比原方程组可得， 解得， 因此方程组的解为． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解下列方程组 (1)用代入法解方程组： (2)用加减法解方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】针对（1）的代入法求解：因为方程①中t的系数为，便于用含s的式子表示t，所以首先对①式变形，得到t关于s的表达式．把得到的t的表达式代入方程②，可消去t，得到只含s的一元一次方程，求解该方程得到s的值．将求得的s的值代回t的表达式，计算得到t的值． 针对（2）的加减法求解：因为方程①中x的系数是2，方程②中x的系数是4，存在倍数关系，所以先将方程①两边同乘合适的系数，使两个方程中x的系数相等．用变形后的方程与方程②相减，消去x，得到只含y的一元一次方程，求解该方程得到y的值．将求得的y的值代入任意一个原方程，计算得到x的值． 【详解】（1）解：由方程①变形得： ③， 把③代入②得： ， 展开计算：， 解得 ， 把代入③得：， 方程组的解为 ． （2）解：给方程①两边同乘2得： ③， 用②③消去得： ， 计算得：， 解得 ， 把代入①得：， 解得 ， 方程组的解为 ． 18．小马、小虎两人同时解方程组,小马由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，小虎看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用看错系数的解仍满足未看错的方程，代入计算即可求出和的值； 把的值代入原方程组，再利用加减法解答即可． 【详解】（1）解： 小马看错方程①中的，得到的解满足方程②， 将代入②，得 ， 解得， 小虎看错方程②中的，得到的解满足方程①， 将代入①，得 ， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得 ， ①②，得 ， ∴， 把代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的正确解为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $