2026—2027学年苏科版数学九年级上册第一次学情调研

苏科版2026—2027学年九年级数学上学期第一次学情调研 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：第一章、第二章 考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．方程化成一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项的值分别是（     ） A． B． C． D． 3．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 5．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 6．某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均月增长率为，则由题意得方程为（     ） A． B． C． D． 7．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（   ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．若是反比例函数，则的值为_________． 10．已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 12．若是方程的一个根，则___________． 13．已知方程的两根分别为，，则的值是______． 14．已知反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大，则的取值范围是__________． 15．小明的爸爸想用篱笆圈出一块如图所示的矩形区域用以饲养土鸡．已知面积为的鸡舍一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的边上有一扇宽的门，则鸡舍垂直于墙的一边为_______m． 16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 17．如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______________． 18．如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 三、解答题（本大题共10小题，共计96分，其中19、20、21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27、28每题12分，解答题要有必要的文字说明） 19．解方程： (1)； (2)． 20．已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 21．如图，有一块长为、宽为的长方形硬纸片，在四角各剪去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为的无盖长方体盒子，求剪去的小正方形的边长． 22．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： (1)降价后商场日销售量是________件，每件商品盈利________元（用含的代数式表示）； (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ 23．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、两点，连接、． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 24．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 25．【综合与实践】 给出几张学习卡片： 【卡片】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数． 【卡片】根与系数的关系（韦达定理）：设关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，则，． 【卡片】“消元”与“降次”是解决方程（组）问题的基本思想方法． 完成下列任务： (1)任意写出一组勾股数：________； (2)已知，都是方程的根，则的值是________；的值是________； (3)在关于的一元二次方程中，，，均为正整数． 有理数满足：是该方程的两根之和，是该方程的两根之积． 求证：，，一定是一组勾股数． 26．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 27．如图，矩形的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形，我们约定这个矩形为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，，求点F的坐标． 28．如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． (1)若点，，则______． (2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A A A B D C 1．B 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2．B 【详解】解：将方程移项，化为一般形式为，则，，. 3．A 【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式， 解得． 4．A 【分析】根据反比例函数的性质可得当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点； A、当时，，该项正确； B、由于，图象仅位于第四象限，不涉及第一、三象限，该项错误； C、当时，随增大而增大，该项错误； D、反比例函数图象不与轴相交，该项错误． 5．A 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 6．B 【详解】解：二月份营业额为万元，三月份营业额在二月份基础上增长，为万元， 一月、二月、三月营业额共万元， 列方程为． 7．D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 8．C 【分析】将点代入解答①；将代入关系式判断②； 再观察图像可知在第一象限内函数的增减性解答③；然后将，代入关系式解答④ 即可． 【详解】解：设反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴函数关系式为，则①正确； 当时，，则②不正确； 观察图像可知在第一象限，I随着R的增大而减小，则③正确； 当时，； 当时，， ∴，则④正确． 所以正确的有①③④，一共3个． 9．-2 【分析】根据反比例函数的定义，得到的指数为，且系数不为，据此列条件求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数，反比例函数的一般形式为， ∴满足两个条件：且， 解方程，得，即或， ∵，得， ∴. 10．/ 【分析】分别把点和点的坐标代入反比例函数的解析式，求出和的值，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ． 11．且 【分析】需要同时满足两个条件：一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根要求根的判别式大于0，分别解不等式取交集即可得到结果． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 12． 【分析】根据方程根的定义得到满足的等式，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， ∴． 13． 【分析】由一元二次方程根与系数关系，方程的两个实数根和系数有如下关系：，代入题中方程的对应系数得，．将所求代数式展开，整体代入计算即可． 【详解】解：方程的两根分别为， ，， ． 14． 【分析】根据反比例函数的增减性，可得反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得． 15． 【分析】设为，则，依据题意列一元二次方程，解一元二次方程，同时还需要满足小于等于墙长，确定最终值即可． 【详解】解：设为，则， 依据题意得： 去括号得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 墙长， ， 即：， 解得， 综上所述，长为． 16．或 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 17． 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，利用列关于的方程求解． 【详解】解：如图，与轴交于点， 点在的图象上，轴， ， 点在的图象上， ， 的面积为， ，即， ， 的图象在第二象限， ． 18． 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 19．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，． 20．(1)证明：∵， ∴， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1）运用根的判别式“，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，无实数根；”即可求解； （2）将代入方程，得到，再代入方程，运用因式分解法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程，得 ， 解得， 将代入方程，得 ， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 21． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为，依题意，得 ， 整理，得， 解得，， 不合题意，应舍去， 答：剪去的小正方形的边长是． 22．(1)； (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 【分析】（1）根据每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，即可求解； （2）根据题意，列出一元二次方程，求解，再根据题意取合适的值即可． 【详解】（1）解：由题可得降价后商场日销售量是件，每件商品盈利元； （2）解：根据题意，可列方程， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 则每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 23．(1)反比例函数的表达式为； (2) 【分析】（1）将代入一次函数表达式即可求出点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数表达式求解；联立一次函数和反比例函数的表达式即可确定点的坐标； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出点坐标，再根据计算求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ，解得， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 联立， 整理得，即， 解得，， ∴当时，， ； （2）解：如图，设一次函数与轴相交于点， AI 对于，令，则， ， ， 又，， ． 24．(1)反比例函数的表达式为 (2) 或 (3) 【分析】（1）先把点代入，求出m的值，再用待定系数法求出k的值即可； （2）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图像求解即可； （3）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，利用得到等量关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立和得： ， 整理得， 解得或， 当时，， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图像可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． （3）解：对于，当时，， 解得， 当时，， ∴，， ∴，， 过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴点P的坐标为． 25．(1)，，（答案不唯一） (2)， (3)证明：根据韦达定理，方程的两根之和为，两根之积为， 则，， 即①，②， ①②，得③，②①，得④， ③×④，得， 化简，整理，得， ∵，，均为正整数， ∴，，是一组勾股数． 【分析】（1）由勾股数的含义求解即可． （2）由方程的解及根与系数的关系可得，，，再进一步整体代入计算即可． （3）由根与系数的关系可得，，再消去即可得到结论． 【详解】（1）解：一组勾股数可以为：，，（答案不唯一）． （2）解：∵，都是方程的根， ∴，，， ∴， ∴ ； ． （3）略 26．(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 27． 【分析】由矩形可得到，，则有相同的纵坐标，有相同的横坐标，然后求出反比例函数表达式，即可求解点F的坐标． 【详解】解：由题意知， ∴有相同的纵坐标，有相同的横坐标 ∴ 将代入中， 则 ∴反比例函数解析式为 ∵点C的坐标为 ∴将代入中得 ∴． 28．(1)5 (2) (3)当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是 【分析】（1）根据轴，结合点坐标，可设，再根据的长列出方程，解出即可得的坐标，再把的坐标代入，即可解得的值． （2）把点的横坐标代入，即可得点的坐标，再根据轴，轴，轴，即可得点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等，点与点的纵坐标相等，进一步表示出点、、的坐标，即可求出、、，最后根据得，代入数据计算即可得的值． （3）设点的坐标为，根据平行线的坐标特点，即可求出点、、的坐标，进一步求出、、，可得，根据梯形面积公式求出，根据题目得，根据平行线性质得，，可证明，根据相似三角形性质得，再根据，即可得，代入数据解出即可得的面积为定值，定值是． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴设 ， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵在的图象上， ∴，解得：， ∴的值为5． （2）解：点的横坐标为2，且点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为2， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， , ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图1， 设点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， ∴，， 根据题目条件得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $