指数与指数函数专项训练--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本专项以指数与指数函数为核心，构建“概念-性质-运算-应用”四层逻辑体系，通过方法总结与分层题型实现知识内化与能力迁移，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数运算|例1-9|根式性质应用、指数幂运算公式、平方差立方和差公式|从根式定义到指数幂分类性质，通过运算题型巩固数式变形能力| |指数函数|例10-56|底数分类讨论、图象特征分析、单调性定义证明、恒成立问题转化|从函数概念到图象性质，结合单调性、奇偶性及实际应用，构建函数应用体系|

一 指数 1、指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． （2）根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. （3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. （4）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （5）有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，．⑤ 注意：对于根式记号，要注意以下几点： ①，且； ②当是奇数，则；当是偶数，则； ③负数没有偶次方根； ④零的任何次方根都是零． （6）指数运算中的平方差、立方和差公式 ；； ；； ； 题型一：指数运算 例1.（1）=_____________. （2）（25-26高一上·江苏·期中） 【详解】. （3）（25-26高一上·浙江·期中）计算： . 【详解】由题意可得： . （4）（25-26高一上·湖北襄阳·月考） . 【详解】. （5）（25-26高一上·江苏常州·期中） ． 【详解】. （6）（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 例2.（1）（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【详解】，则，即， 故选：A． （2）（25-26高一上·湖南株洲·期中）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】因为，所以，因为，，所以，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为6，故选：C. （3）（24-25高一上·甘肃天水·开学考试）若是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，正实数，且满足， 可得，即，所以.故选：A. （4）（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【详解】由，则，即，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故选：C. 例3.（1）（25-26高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是 . 【详解】因为，所以，又，所以，故答案为：. （2）（25-26高一上·湖北荆州·期中）已知，计算： . 【详解】平方得，即， .故答案为：. （3）（24-25高一上·江西南昌·期中）（1） . （4）已知，那么等于 . 【详解】（3）原式. （4）由，因为，则，所以， 得到，故答案为：，. （5）（24-25高一上·江苏无锡·期中）若，则 ． 【详解】因为,所以，即，所以，所以，即，所以，故答案为：47. 例4.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【详解】因函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则，解得，即当时，， 当时，，则，而当时，，则当时，，即，变形得，解得，所以不等式的解集为. 例5.（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）设函数，求得的值为（   ） A．9 B．11 C． D． 【详解】， 故， 又，故.故选：B 例6.（1）（24-25高一上·山西·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【详解】（1）原式； （2）由，因为，所以，，所以.故. （2）（25-26高一上·河北张家口·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【详解】（1）原式； （2）由得且，，所以，，所以，，故. 例7.（24-25高一上·浙江·期中）（1）求值：. （2）设，且，求的值. 【详解】（1）     . （2）因为，且，所以 .. 例8.（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，为正实数，求的值； （3）已知，求的值. 【详解】（1）原式. （2）因为， ， 所以. （3）由可得，即，又，令，则，解得，即. 例9.（1）（24-25高一上·安徽阜阳·期中）求值： （1） （2）若，求①的值；②的值 【详解】（1） . （2），； ，，. （2）（25-26高一上·贵州贵阳·期中）根据条件求解下列式子的值： （1）计算； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值. 【详解】（1）. （2），，， . （3）. 二 指数函数 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在上是单调减函数 在上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 ⑦最值：无最值 【解题方法总结】 指数函数常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 题型二：指数函数的图像及性质 角度1：定义域和值域 例10.（1）（2025湖南长沙·）函数的定义域为 【解析】由题，即，即，因为为单调递增函数，所以，即故答案为： （2）（2025湖南）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． （3）已知函数的定义域为，则 ． 【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得， 当时，由，可得，解得，合乎题意.故答案为：. 例11.（1）（2025黑龙江绥化）当时，函数的值域为 . 因为，令，由于，则， 则原函数可化为，，当时，取最小值，当时，取最大值，故，即.故答案为： （2）（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则的值域为 ． 【解析】由题意可知时，，当且仅当时取得等号， 时，，当且仅当时取得等号，故.故答案为：. （3）已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为______． 【解析】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得， 则，，即，因为函数为增函数，且，所以，．易知在上为增函数，且，，则在上的值域为．故答案为：. （4）（2025·海南·一模）若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【详解】由指数函数的性质知必是单调函数，又，因为值域为，所以函数在上单调递增，故，即，解得，又，故.故选：B. 例12.（1）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 【解析】若，则，不满足题意；若，则，当，即时，的值域为，满足题意.故答案为：. （2）（2025·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，符合题意；当时，因为函数的值域为满足，由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零； 若时，依题意有的最小值，即，若时，不符合题意；综上：，故选：B. （3）（2025·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】①若，当时，在上单调递减，此时，当时，，当且仅当时，等号成立，又函数的值域D满足，则解得； ②若，当时，在上单调递增，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立，又函数的值域D满足，不合题意； ③当时，，若，有（当且仅当时取等号）符合题意，综上所述：.故选：D. 例13.（1）（2025湖北）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数，因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为，当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此， 而当时，，必有，解得，所以a的取值范围是.故选：C （2） （25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数若函数的最小值为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】当时，，任设，则，当时，，，所以，所以，当时，，，所以，所以，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，当时，，令，则，所以，开口向上，对称轴，又因为函数的最小值为，即时，取最小值， 所以，解得,故选：A. （3）已知的最小值为2，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【解析】当时，，又因为的最小值为2，所以需要当时， 恒成立，所以在恒成立，所以在恒成立，即在恒成立，令 ，则，原式转化为在恒成立，是二次函数，开口向下，对称轴为直线，所以在上 最大值为，所以 例14.（1）（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 【详解】令，解得，故函数的定义域是， 令，由于，故，则即为函数， 而，当时，取最大值， 即函数的最大值是0，故选：B （2）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】∵在上为增函数，在上为减函数，∴在为增函数，∴函数在区间上的值域为， ∴，整理得， ∴为方程的两根，即有两个不相等的正实数根， ∴，解得且，∴实数的取值范围是.故选：C. （3）（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，则，且，所以，若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，若，则在内单调递减，可得，不合题意；若，则在内单调递增，可得，则，解得；综上所述：实数a的取值范围是.故选：B. 角度2：函数图像 例15.（1）函数，的图象如图所示，则（       ） A． B． C． D． 【详解】由图像可知，当时，，则时，，则， 又由图像不关于原点中心对称可知，则则时，，即，则.故选：C （2）（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】由图象可知：，，又由函数为减函数，可得． （3）（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 例16.（1）（2025广东惠州·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．     B．   C．   D．   【解析】函数的定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D；又，当时，所以，，又，所以，所以，故排除B.故选：C （2）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【解析】，函数定义域为， ，函数为奇函数，排除BD； ，，故，排除A.故选：C （3）（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误，当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确.故选：D. （4）（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）函数的大致图像为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，函数的定义域为，因为，所以为奇函数，排除A，，排除B，，排除C，故D正确.故选：D 例17.（1）（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到，由图可知，解得．故选：D. （2）（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）若函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为__________． 【详解】由题意可知，当时，恒成立.当时，函数在上单调递减，且当时，，，即，解得或，又，则；当时，函数在上单调递增，则需当时，， ，即，解得或，又，所以. 综上，．故答案为： （3）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【详解】对于A，根据图象为单调递减的，可知，即A错误；对于B，由函数图象与轴交点在负半轴上，即可得，可得，因此B错误；对于C，根据已有分析可知，所以，即C错误；对于D，由可知函数的图象单调递增，且与轴交点在正半轴上，因此可知函数的图象不经过第四象限.故选：D 例18.（1）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为___________. 【解析】画出函数f（x）的图象，如图示： 方程有三个不同的实数根，即y＝f（x）和y＝a的图象有3个不同的交点，结合图象：0＜a＜1 （2）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为 . 【解析】由题意得，即或， 的图象如图所示， 关于的方程有5个不同的实数根，则或，解得，故答案为： 例19.（1）（2025广西柳州·期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数， 要使图象不经过第一象限，则，解得.故选：B. （2）（2025·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则 ． 【详解】依题意，，整理得，则， 而，因此，又，则，而，所以. 角度3：定点问题 例20.（1）（2025·高三·河北·期末）已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 . 【解析】对于函数，且，令，则，则函数且的图象恒过定点，则，且，故，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为，故答案为; （2）（2025·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 . 【解析】函数且的图象过定点，则，所以， 由，得，则 令，则，则，当且仅当，即，即时，取等号，所以的最小值是.故答案为：. 角度4：单调性和奇偶性 例21.（1）（2025湖南岳阳·期中）已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【解析】令在单调递增，单调递减，所以函数在单调递减，单调递增，故选:C. （2）（2025·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，，则在上单调递增.因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4. （3）（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D （4）（2025·辽宁·模拟预测）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，则，由复合函数的单调性可知当时，在区间上单调递增，所以只需，则，与矛盾；当时，在区间上单调递减，所以，即．故的取值范围是．故选：B 例22.（1）（2025内蒙古赤峰）若函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由函数在上为单调递减函数，则满足，解得，即实数的取值范围为.故选：A. （2）（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数，若为上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数为上的减函数，得，解得，所以的取值范围是.故选：A （3）（25-26高一上·浙江·期中）已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于上任意不相同的，都有，即对于上任意不相同的，都有，所以是上的增函数，且，所以，所以，故由题意可知，存在使得，所以，且最小值无限逼近，所以，故选：A. （4）（25-26高三上·江西·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由函数在上单调递增，得，解得，所以的取值范围是.故选：D 例23.（1）（2021新高考1卷）已知函数是偶函数，则_1____． （2）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为函数的定义域为，是偶函数，所以，即，因为是奇函数，所以，即，所以，所以.故选：. （3）（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【详解】因为函数是奇函数，定义域为，所以， 即，即，解得，此时，则，满足，所以.故选：C. （4）（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数为偶函数，则=（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以，即恒成立，所以，故选：D （5）（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 （6）（2025·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． （7）（25-26高一上·江西赣州·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 例24.（1）（24-25高一上·江西南昌·期中）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为， 故A错误；因为，又，当时，则，当时，则，所以函数的值域为，故B正确；又，故C正确；当时，当时，所以不会是减函数，故D错误.故选：BC （2）（2025·广东·二模）（多选题）设函数，则（    ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．函数在其定义域上为增函数 【详解】，令，此函数定义域为，，故此函数为奇函数，A正确； ；，B正确； ，令，则，因为所以由二次函数性质可知，由反比例函数性质可知所以，即，所以函数的值域为，C正确；，令， ，由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且由反比例函数单调性可知： 随的增大而减小，故当当时即时为减函数，故D错误.故选：ABC （3）（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（    ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 例25.（多选题）（25-26高一上·安徽合肥·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（   ） A．是奇函数 B．在R上是增函数 C．是偶函数 D．的值域是 【详解】由得，由定义域为得是奇函数，故A正确.， 因为在上是增函数，且，所以在上是减函数，故在上是增函数，B正确.由于，故，∴，∴， 当时，，当时，， ∴不是偶函数，的值域是，故C不正确，D正确．故选：ABD． 例26.（1）（多选题）（24-25高一上·福建厦门·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．的解集为 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有个交点，记为，则 【详解】对于A，函数，由于，则，则，即函数的值域为，A错误；对于B，设，则，其定义域为，有，则为奇函数，故的对称中心为，B正确； 对于C，的对称中心为，即，故可得，由于函数单调递增且恒为正，故在上单调递减，故，解得，故C正确，对于D，函数满足为奇函数，且的对称中心为，而的对称中心为，则与函数的图象的个交点也关于对称，则，， 则，D正确．故选：BCD． （2）（多选题）（25-26高一上·浙江宁波·期中）双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数的最小值是0 C．若对任意实数，不等式恒成立，则 D．，则 【详解】对于A，，所以，正确；对于B，，，当且仅当即时等号成立，则，因为在上单调递增，故时，有最小值为，即函数的最小值是0，正确；对于C，对任意的，，故函数的定义域为，，即函数为奇函数，任取、，且，则，所以，即，故函数为上的增函数，且为奇函数，不等式在上恒成立，则，函数为上的增函数，故在上恒成立，即在上恒成立，当时，即，不合题意；当时，由题意，解得，综上，错误；对于D，， 当时，由整理可得，即，故，正确.故选：ABD. 角度6：利用指数函数性质比较大小 例27.（1）设，，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】 ， 因为函数在定义域上为单调递增函数，所以．故选：D． （2）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为在定义域上单调递减且过点，定义域为，在定义域上单调递增且过点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下：所以与有且仅有一个交点，且交点的横坐标属于，又， 所以，又，所以，因为，所以，综上可得.故选：D （3）（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知那么a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【详解】因函数在R上单调递减，在R上单调增.则．所以． （4）（24-25高一上·北京·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】化简的值，. 对于指数函数，因为底数，所以函数单调递增.，所以，即.又因为，. 对于，，即.则.选：B. （5）（25-26高一上·福建厦门·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】，，故，由于，故 ，故，故选：D （6）（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】函数在上单调递增，则；函数在上单调递减，，所以.故选：B （7）（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】由得..故选：D. （8）（25-26高三上·广东·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则，则. 故选： 例28.已知函数，且，则（       ） A． B． C． D． 【详解】由题意知函数，令，则，∴的定义域为，，∴函数为奇函数．又，∴在上单调递增．由，得，即，∴，∴，即．故选：B． 角度7：利用性质解决不等式 例29.（2025·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数，因此函数是R上的增函数，由，得，解得，所以原不等式的解集是.故选：A 例30. （25-26高一上·河南南阳·期中）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【详解】当时，为增函数，又是定义在上的奇函数，当时，，故在上为增函数.故则，故，即，解得. 例31. （24-25高一上·福建莆田·期中）若定义在上的函数的最小值为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【详解】当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意；当时，（当且仅当时取等号），，解得：，，，即为定义在上的偶函数；当时，令，则，在上单调递增，由复合函数单调性知：在上单调递增，在上单调递增，由得：，即，解得：，不等式的解集为.故选：A. 例32. （1）（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，令，，则，所以为奇函数，则关于原点对称，所以关于对称，则，则在定义域上单调递增，在上单调递减，所以在定义域上单调递减，则在定义域上单调递减，则不等式，即，所以，则，解得，即实数的取值范围是.故选：B （2）（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，的定义域为关于原点对称，，所以是奇函数， ，所以在上单调递减，由得，即，，因为在上单调递减，所以，解得 （3）（2025·湖北荆门·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【详解】,设，的定义域为R，，所以为奇函数，则，又因为在R上均为减函数，所以在R上为减函数，由可得，即，所以，解得：或.故选：D. 例33.（1）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】，易知在单调递减，在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减，由，则，解得,故不等式的解集为.故选：A （2）（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为R，，函数是奇函数，而函数在R上都递增，则函数在R上递增，不等式，因此，解得，所以原不等式的解集为.故选：D 例34.（1）已知函数,则使得不等式成立的实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【详解】因，设，则在上为偶函数，并且为增函数，所以，因为为增函数，所以，，即，解得。 （2）（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以 ，所以，所以关于对称，又因为（对称轴为，开口向上）在上分别为单调递增函数，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，结合对称性可得，两边平方后化简可得，解得或，所以的取值范围是.故选：B. 题型三：指数函数中的恒成立问题 例35.（24-25高一下·江苏盐城·期末）设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【详解】若当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即，当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即，综上，，同理时，又，所以，，当且仅当时，取等号故选：C. 例36.（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【详解】因为，①得，又和分别为偶函数和奇函数，所以，②由①②相加得，又在上恒成立即在上恒成立，设，则只需，易知在上为增函数，，所以，故答案为：. 例37.（1）（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 令，则函数在上单调递增， ，即函数是奇函数，不等式，则，依题意，在上恒成立，而当时，，当且仅当时取等号，则，所以实数的取值范围是.故选：D （2）（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式成立，则实数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【详解】由已知是定义在上的奇函数， 则，解得，即，，满足奇函数，所以，且函数在上单调递增，所以不等式，即，可转化为，即在上恒成立，设，，由时，则，即，当且仅当即时，等号成立，即，所以有最大值为，故选：A. 例38.（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在上的奇函数是常数，存在实数使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为是上的奇函数，所以，所以.因为，所以，解得，所以，检验，此时为上的奇函数，因为函数为减函数，所以函数为增函数；因为能成立，所以能成立， 参变分离，即能成立.因为（当且仅当，即时取等号），故选：D. 例39.（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，当时恒成立，则的最小值为 . 【详解】设，，则，且在单调递增，当时，；当时，；因为当时恒成立，所以有一个零点为1，且当时，；当时，，所以.令，因为，所以有一个零点，且当时，；当时，，所以，且，所以.故答案为： 例40.已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】对任意的，，所以，函数的定义域为， 由，可，可知函数为奇函数，又由，当时，函数和单调递增，任取，则，，可得，即，所以，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，由于函数在上连续，则函数在上的增函数，由，有，有，可得，由题意可知，不等式对任意的恒成立，有，解得．故选：C. 题型四：指数型函数的实际应用 例41.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（       ）小时. A． B． C． D． 由题意可得，可得，设，可得，解得.因此，污染物消除至最初的还需要小时.故选：C. 例42.（1）（2025·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【解析】由题可知，，所以，经过天，数量变为原来的16倍，即， 则有，解得，故选:C. （2）（25-26高一上·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】由题意得，当时，①， 当时，②，②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得.故选：A. 题型五：指数函数综合应用 例43.（25-26高一上·广东梅州·期中）已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. （1）求函数在上的解析式; （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，任取，则,，又∵为定义在上的奇函数， ∴，又∵也符合上式，∴； （2）任取，且， ∵ ∴∴，又∵，∴∴在上单调递增； （3）由得，∴∴，即，∴对，都有恒成立，∴，当时，∴，解得，∴实数的取值范围为. 例44.（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知函数，其中是奇函数. （1）求a的值； （2）判断的单调性并用定义证明； （3）当时，恒成立，求实数t的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，因为函数是奇函数，所以， ，则，则，故. （2）在和上为减函数，证明见解析设上的任意，，且，由； ，，，则.故，在上为减函数.当时，，，则，在上也为减函数.综上有在和上为减函数. （3），由（2）可得在和上是严格减函数， 且当时，；当时，；由可得：，，当时，，当时，，所以，即，又，所以；当时，，则，而，，则满足题意；函数的定义域，则时不符，舍去.综上. 例45.（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）根据函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 【详解】（1）由题意得，即，即， 所以，解得； （2）由（1）得，任取，且，则， 因为，故，又，故，即，所以在上单调递增； （3）因为为定义在上的奇函数，所以， 因为在上单调递增，所以有两个不同的实根，设，故有两个不等正根，需满足，解得，故的取值为. 例46.（1）已知函数，． （1）若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围； （2）若，且的最小值为，求实数k的值． （1）由，得恒成立，所以对于任意的，恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数k的取值范围为 （2）， 令，当且仅当，即时取等号，则， 当时，为减函数，则无最小值，舍去， 当时，最小值不是，舍去，当时，为增函数，则，最小值为，解得，综上， （2）已知函数，. （1）若的最小值是，求的值. （2）是否存在，使得当的定义域为时，的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. .解析（Ⅰ）当时，，没有最小值，不符合题意 当时，设，则. ①当时，的图象开口向下，无最小值，则无最小值，不符合题意 ②当时，对称轴，因为的最小值是， 所以 化简得，解得（舍去）或，所以 （Ⅱ）当时，由（Ⅰ）可知，当时，的对称轴，所以当时为增函数，即为增函数所以的定义域为时，的值域为可转化为有两个不同的正根，.所以有两个大于1且不相等的根 所以解得，所以不存在满足题意的 例48.（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）是奇函数，，即，解得，又由知：，解得．此时，，且的定义域（全体实数）关于原点对称，所以是奇函数．故． （2）由（1）知，则由复合函数单调性可知在上为减函数，又是奇函数，由得：， ，即在上有解，当且仅当，即时等号成立，在上的最大值为，，即． 例49.已知函数且）为定义在R上的奇函数 （1）利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增； （2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围． 【解析】（1）证明：由函数为奇函数，有，解得， 当时，，，符合函数为奇函数，可知符合题意．设，有 ，由，有，有，故函数在上单调递增； （2）由 ． （1）当时，不等式为恒成立，符合题意； （2）当时，有，解得，由上知实数的取值范围为； （3）由，方程可化为， 若函数有且仅有两个零点，相当于方程有两个不相等的正根， 故有，即解得．故实数的取值范围为． 例50-.（25-26高一下·浙江·期中）已知函数（、为非零常数） （1）当时，为偶函数，求的值； （2）当时，求满足的的取值范围； （3）当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【详解】（1）当时，，因为是偶函数，所以对任意，都有，即，化简得，即对任意的恒成立，故，所以. （2）当时，，由得，化简得，因为，所以，可得，解得. （3）当，时，.设，，因为在上单调递增，在单调递增，所以在单调递增，所以的最大值为，从而依题意可得对任意恒成立，将变形得，可得，所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，函数在区间单调递增，有最大值，函数（当且仅当取等号）有最小值，所以，即实数的取值范围是. 例51.已知函数． （1）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围； （2）若的最大值为2，求实数m的值； （3）若对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数m的取值范围． （1）因为对任意的，恒成立，所以恒成立，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以. （2）因为，所以, 当时：，不符合题意,当时：，不符合题意, 当时：，即,所以. （3）由题意知：对任意的，，恒成立，当时，，且，所以；当时：，符合题意；当时：，且，所以综上所述：实数m的取值范围为 例52.（24-25高一上·安徽合肥·期中）定义在上的函数是单调函数，，且，. （1）求，判断函数的奇偶性并说明理由； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）存在使得成立，求参数的取值范围. 【详解】（1）在等式中，令可得，解得，因为函数的定义域为，令可得，所以，，因此，函数为奇函数. （2）函数为上的减函数，理由见解析：任取、，且，则，所以，，因为，所以，， 所以，函数在上为减函数. （3） 存在使得，可得，因为函数在上为减函数，则，令，其中，则，即函数为偶函数，任取、且，则 ，因为，则，，则，所以，，则，所以，函数在上单调递增，则当时，，即，所以，当时，，令，则，则，所以，，可得，令，其中，由题意可得，因为函数在上单调递减，则，则，因此，实数的取值范围是. 例53.（24-25高一上·山东·期中）已知函数，. （1）求函数的值域； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 【详解】（1）由复合函数的单调性，易知在R上单调递减，由指数函数性质知，，即，故； （2）由，即，故关于中心对称，得证； （3）由（2）及，知， 对于，以为主元且，则在上递减，所以，问题化为任意，都有，只需，则，则，又，所以，即参数n的最大值为. 例54.（25-26高一上·吉林·月考）已知函数，. （1）若函数是奇函数，求实数m的值； （2）当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； （3）当时，，求函数的最小值. 【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为，所以，即，所以，即，因为为奇函数，所以符合题意； （2）当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解，令，因为，所以，则有解，故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以，所以，故实数t的取值范围为； （3）由题，，令，显然在上单调递增，则，则，当，即时，在上单调递减，；当，即时，在上单调递增，；当，即时，. 综上：. 例55.（25-26高一上·湖南·期中）已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若，且，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总有，使得，求的取值范围. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下：任取且， 则，因为，则，所以，即，故在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递增，因为，且，，所以，由于在上单调递增，故，即，解得或. （3）对任意，总有，使得，则在上的值域是在上值域的子集，因为，所以在上单调递增， 故当时，所以的值域为，当时，在上单调递增，所以的值域为，由，可得，解得，故；当时，，满足题意；当时，由在时，，由对勾函数性质可知，只需且，解得，故，综上，，即的取值范围. 例56.（2025广东）已知（且）是上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）若关于的方程在区间内只有一个解，求的取值集合； （3）设，记，是否存在正整数，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由． 【解析】（1）解：因为函数（且）是上的奇函数，则，即，，可得，即，又因为，整理得， 因为且，解得，因此，. （2）解：因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，由可得，可得，即，则，即，所以，关于的方程在时只有一解.因为. 当时，则有，解得，合乎题意；当时，由，可得，.由题意可得或或，解得或或.综上所述，实数的取值范围是. （3）解：，所以，， 则， 所以，，由，即，当时，则不等式对任意的恒成立.当时，由可得，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因为，故，，解得.综上所述，符合条件的正整数的值为：或或. 课后练习题 1.（25-26高一上·江苏徐州·期中）若是方程的根，则（   ）. A． B． C．7 D． 【详解】设方程的另一根为，由韦达定理可得：，即，同时， 所以，故选：C 2.（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【详解】．故选：A 3.（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故.故选：D 4.（25-26高三下·湖北·开学考试）函数，则对任意实数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 【详解】的定义域为，而，则， 故是奇函数，由于，函数单调递增，故在上单调递增，故选：B 5.（25-26高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，知的图象关于直线对称， 设，则，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增．由，可得． ，整理得．解得或．故选：D． 6.（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．3 【详解】，设，定义域为R，则，所以，即，所以.因为，所以.故选：A 7.（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【详解】因为，所以，所以， 所以由可得，即，由，则，当且仅当，即时，等号成立.故选：D 8.（25-26高一上·河南郑州·期中）若函数，且当时，不等式恒成立，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【详解】由可得，则当时，不等式，当时，，此时， 当时，，此时，即，当时，，此时，即.综上，实数的取值集合是.故选：D. 9.（25-26高三上·河南·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【详解】要使得有意义，则，所以的定义域是关于原点对称， 因为图象关于原点对称，所以是奇函数，， ， 所以，所以.故选：A. 10.（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由奇函数的定义域为，则，所以，， 当时，，则，由函数为奇函数，则，则，，可得，根据指数函数的图象以及函数图象变换，可得： 由图象可得的值域为，由，令，由，则，则，由题意可得，则，解得.故选：A 11.（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由在上单调递减知；由在上单调递减知： 当，即满足题意；当，，所以，由在上单调递减，得，所以，综上，a的取值范围是. 12.（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若对于任意的，，且，都有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题可知，，. 代入，得. 化简，得.因为，，且，所以 .所以.因为恒成立，所以. 所以的取值范围是.故选：C. 13.（2025·安徽安庆·二模）.函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A．函数不具有奇偶性 B． C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间为 【详解】函数的定义域为，且，故函数为偶函数，A错误； 由函数的图象过原点，有，即，所以，由于的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故，且，故，于是B，C错误；由上面的分析得出函数，显然的单调递增区间为，故D正确； 14.（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】函数，令函数，即， ，故是奇函数，因为是上的增函数，所以是上的减函数，是上的减函数，因此是上的减函数，也是上的减函数，将代入不等式， 即，化简可得，因为是奇函数，所以，代入可得，因为是减函数，，所以，令，，故，，是对勾函数，在上单调递增，因此当时，，当时，，即，则，在上有解，即大于在上的下确界，因此实数的取值范围是. 15.（1）（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【详解】设，由题意可知，因为，令，则，即，所以，因为函数的定义域为，所以，即， 令，则，即，所以，又是定义在上的单调函数，所以，整理得，解得或（舍）.故选：B （2）（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 【详解】记，用y替换 中的x得，且，，因为函数在定义域上单调递减，所以，因为，所以 ， 或，又函数在定义域上单调递减所以有满足题设条件. 所以，，当即时，函数的最小值是故选：A 16.（24-25高一上·江苏镇江·期中）某机构研究某地区的流感暴发趋势，发现从确诊第一名患者开始累计时间(单位：天)与病情暴发系数之间满足函数关系为常数)，当时，标志着疫情将要大面积暴发，若不进行任何干预，第50天时，病情暴发系数为0.5.则从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为（    ）（参考数据：） A．37 B．40 C．43 D．46 【详解】因为，又第50天时，病情暴发系数为0.5.所 以，所以，所以，解得，所以，由，可得，所以，所以，，所以，所以，解得，所以从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为天.故选：B. 17.（24-25高一上·福建福州·期中）设函数，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为的定义域为，所以，所以为偶函数，所以当时，，因为在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，故选：D. 18.（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数的定义域为，其图象关于直线对称且，当时，，则下列说法不正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于直线对称 D． 【详解】对于A，因为函数的定义域为，其函数图象关于直线对称，所以，又，所以，所以，即，即该函数为偶函数，故A正确；对于B，因为，所以，即，所以函数是以为一个周期的函数，当时，，因为当时，， 易得此时函数在上单调递增，因是函数的一个周期，故函数在上也单调递增，故B正确；对于C，因为函数的图象关于直线对称，所以，又函数是偶函数，所以，则，而，故，即函数的图象关于直线对称，故C正确；对于D，，又时，，故，故D错误.故选：D. 19.（多选题）（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 【详解】根据题意，设    对于A，的定义域为，且，则为偶函数，A正确；对于B，，易得在上单调递增，在上单调递减，B正确；对于C，由于，则，不存在最小值，C错误；对于D，，则，则的值域为，D正确．故选：ABD 20.（多选题）（24-25高一上·辽宁大连·期中）下列命题中正确的是（   ） A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B．函数在上的值域为 C．若关于的方程的两根分别为，，且，则有 D．函数，则不等式的解集为 【详解】对于A，函数在区间上是增函数，由函数是R 上的减函数，有函数在上单调递减，时符合题意，A选项错误； 对于B，， 时，，有，得，所以函数在上的值域为，B选项正确；对于C，若关于的方程的两根分别为，，且，则有，，所以，C选项正确；对于D，设，，，，即，设，，由于，故，，故，则，故为奇函数，且在上单调递增，则，即，故，解得，D选项正确.故选：BCD. 21.（多选题）（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：， 验证：当时，，，即，所以A选项正确；B选项，由A选项解析得：，即，因为在上单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递增，所以B选项错误； C选项，令，则，，因为，所以，， ，则：，的值域为，所以C选项正确；D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以， 原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增， 所以需满足，解得：，所以D选项正确. 22.（多选题）（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 【详解】选项A：设幂函数，由于过点，代入可得，解得，则，故A错误；选项B：令，解得，此时， 所以图象必过定点，故B正确；选项C：令，为开口向下，对称轴为的抛物线，所以在上单调递增，在上单调递减，又，在R上单调递减，由复合函数单调性”同增异减”的原则，可得的单调增区间是，故C错误；选项D：由题意，则， 所以，即，故D正确. 23.（多选题）（24-25高一上·山西晋城·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，.下列表述正确的是（    ） A． B．函数在上单调递减 C．函数恒过定点 D．当时，函数在的值域为 【详解】因为函数为幂函数，所以，解得或， 当时，，图象不关于轴对称，故舍去，当时，，图象关于轴对称，所以符合题意，故A不正确，易知时在上单调递减，即B正确； 由指数函数性质可得函数，易知恒过定点，故C不正确；易知当时，函数在为减函数，所以其值域为，故D正确.故选：BD. 24.（多选题）（24-25高一上·湖北荆州·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的值域是 D．的值域是 【详解】对于A选项，函数的定义域为，且， 所以，，所以，函数为奇函数，A对； 对于B选项，因为，，所以，，，则，所以，函数不是偶函数，B错；对于C选项，设，可得，即，解得，所以，函数的值域是，C对；对于D选项，当时，，当时，，所以，函数的值域为，D对.故选：ABD. 25.（多选题）（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．的图象过定点 C．为偶函数 D．当时，函数的最大值是0 【详解】A：当时，在上单调递减，则在上单调递减，当时，在上单调递增，则在上单调递增，故在上的单调性与的取值有关，故A错误；B：，故的图象过定点，故B正确；C：，由，则，，故为偶函数，故C正确；D：当时，，令，则在上单调递减，故， 即当时，函数的最大值是，故D正确.故选：BCD 26.（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知，求的值______ 【详解】由，则，即， ，又，则，故， 故.故答案为： 27.（25-26高一上·辽宁抚顺·期中）已知函数，若，则 ． 【详解】若，则，解得，当时，则，解得，符合题意；当时，则，解得或（舍去）． 若，则，解得或（舍去）， 当时，则，不符合题意；若，则，方程无解． 综上所述，．故答案为：. 28.（24-25高三上·山西大同·期中）已知是奇函数，则的值为 ． 【详解】因为函数是奇函数，所以恒成立， 即，所以.故答案为：4 29.（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【详解】令，在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递增，所以在上单调递增，因为函数在上单调递增，所以，即，故实数的取值范围是.故答案为： 30.（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含，所以解得． 故实数a的取值范围是． 31.（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【详解】函数所过定点为，依题意，该定点在直线上，则，即，故 ，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为. 32.（24-25高一上·安徽六安·期中）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围 . 解：由题意可得，所以， 令，因为和均在上单调递增，所以在上单调递增， 因为等价于，所以，因为，为正实数，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为， 所以的范围.故答案为： 33.（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【详解】①当时，当时，在上递增，则， 当时，，∵时，； 时，，即，∴当时，， 因为的值域为，所以，得，所以． ②当时，当时，在上递增，则， 当时，，则，在上递增， 所以，因为的值域为，所以，得， 在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示， 由图可知，当时，，所以当时，不等式成立，综上，，即实数的取值范围.故答案为：． 34.（24-25高一上·河南郑州·期中）已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【详解】由题可得，又注意到在上单调递增，在上单调递增，，则在R上单调递增.则 得，由，则.则关于x的一次函数在上单调递增，要使恒成立，则，即，解得：.结合，可得.故答案为：. 35.（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数是奇函数． （1）求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； （2）若，求满足的实数a的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为且为奇函数，则，可得可得解得； ，又为增函数，在和上单调递减； （2）由于函数在和上单调递减，且该函数为奇函数当时，，，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数，当时，，则函数在上为减函数，由，可得出， 所以，解得或，因此，满足不等式的实数的取值范围是． 36.（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a、b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由于是上的奇函数，，即，所以，， 又，所以，解得，经检验符合题意. （2）在上单调递增，证明如下：由于，可得，设则，由于，故因此，故在上单调递增， （3）由于为奇函数，故由可得，又在上单调递增，因此对任意实数恒成立，故，由于对勾函数在单调递减，故当取最小值，因此，故 37.（24-25高一上·福建福州·期中）已知是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）解关于的方程； （3）若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）令，则方程化为，即，解得或，由（1）知，当时，，即，解得，；当时，，即，无解，所以原方程的解为. （3）由（1）知，函数在R上单调递增，则函数在R上单调递增，函数在上单调递增，依题意，，即， 令，因此是方程，即的两个不等的正根，于是，解得，所以的取值范围是. 38.（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数的图像经过点，. （1）求的解析式； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）求关于的不等式的解集. 【详解】（1）由题意可知，解得或，（舍去），所以. （2）证明：因为，所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形. （3）由（1）可知，，易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减.由（2）可知，， 由，得，即， 根据在上单调递减，得，整理得，，即.当时，解得；当时，无解；当时，解得. 综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 39.（25-26高一上·江苏南京·期中）苏超联赛总决赛11月1日在南京奥体中心落下帷幕，泰州队获得了最后的冠军，苏超联赛带动了江苏各个城市的旅游及周边消费，营造了足球气氛，提升了城市知名度。决赛当天南京共接待游客超百万.经市场调查，南京某景区在过去的9月份，第天（）接待游客人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足． （1）求该景区的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式； （2）求该景区旅游日收益的最小值． 【详解】（1）由题意得 ． （2）（i）时，，当且仅当时取等； （ii）时，，任取，则 ，因为，所以，因此，故在上单调递减，此时，故该景区旅游日收益最小值为2646万元． 40.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设定义在上的奇函数且， （1）求的值 （2）已知，函数，，求的值域； （3）若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）是定义域为上的奇函数，，得到，解得， 经检验，满足题意，即的值为. （2），，即，或舍去， ，令，由指数函数性质得在上为增函数，，， 由二次函数性质得当时，，而，，的值域是，故的值域是. （3）由于，，因为是奇函数，所以，故，且定义域关于原点对称，可得是偶函数，由指数函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 又，，对任意恒成立，即对任意恒成立，左右同时平方得对恒成立. ，解得，综上可得的取值范围是. 41.（25-26高三上·河南商丘·阶段练习）已知函数（，且，），且函数为奇函数． （1）求函数的解析式； （2）设，证明：曲线为中心对称图形，并求的值； （3）若函数在上有2个不同的零点，求实数m的取值范围． 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即，整理得，对于任意恒成立，因为，则不为0， 所以，则，解得，故． （2）由得，， 所以，故曲线关于点中心对称． ． （3）因为在上单调递减，所以， 在上有2个不同的零点等价于方程 在上有两个不同的解，令，则，则，设，则，则在上单调递减，在上单调递增，因为，，，要使直线与有两个不同的交点，则，所以，故实数m的取值范围为． 42.（24-25高一上·四川广安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数. （1）求的值，判断的单调性； （2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域； （3）若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 当时，，函数的定义域为关于原点对称，且，满足是奇函数，又由，任取且， 则，因为，可得且，所以，即，所以函数是上的单调递增函数. （2）解：由（1）得，可得， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，所以，因为，所以，所以，所以， 所以函数的值域为. （3）解：由在区间[1，2]上任意三个实数，都存在以为边长的三角形，等价于且恒成立， ①当时，即，符合.②当时，在上单调递减， 所以，由且，即且，解得，又因为，所以. ③当时，在上单调递增，所以， 由且，即且，解得，又因为，所以.综上所述，实数的取值范围为. 43.（25-26高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性，并求出值域； （3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即， 所以， 又，所以，解得.所以； （2）由（1）可知，设，则， 因为，所以，，， 所以.所以函数在上单调递增. 所以的最小值为，最大值为，所以函数在上的值域为； （3）由（2）可得，，所以要使得对任意的，对任意的，成立，只需要对任意的，即可，所以问题可转化为：当时，恒成立. ①若，则在上为增函数，由， 又因为，所以. ②若，则，此时在上恒成立； ③若，则在上为减函数，由. 又因为 ，所以，综上可知：，即实数k的取值范围是. 44.（25-26高三上·福建莆田·开学考试）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． （1）求函数、的解析式； （2）设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为①，所以， 是偶函数，是奇函数，故，故②， 故①+②得，则， （2）对于，都有，使得，则在R上的值域为在上的值域的子集，其中，因为，，，所以在R上的值域为， ， 令，显然在上单调递增，所以， 故，当时，取得最小值，最小值为，故在上的值域为，所以，故，解得. 45.（25-26高一上·江苏无锡·期中）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的每一个都成立，则称函数是“型函数”． （1）判断函数是否为“型函数”，并说明理由； （2）若函数是“型函数”，求的值； （3）已知函数是“型函数”，且时，．若对任意，都有，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：函数不是“型函数”.理由：由函数，可得，即，不存在实数对使得对于定义域内的任意都成立，所以函数不是“型函数”. （2）解：因为函数是“型函数”，可得，即对于定义域上的任意都成立，所以，则. （3）解：由函数是“型函数”，可得，令，可得，解得，满足，又由当时，，则时，可得，则，要使得对任意，都有，只需对任意，都有，令，因为，可得，且，因为的图象开口向上，且对称轴为，当时，即时，函数在单调递增，则满足，解得，所以当时，即时，函数在单调递减，在递增，则满足，解得，所以 当时，即时，函数在单调递减，则满足，解得，所以，综上可得，满足，即实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一 指数 1、指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． （2）根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. （3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. （4）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （5）有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，．⑤ 注意：对于根式记号，要注意以下几点： ①，且； ②当是奇数，则；当是偶数，则； ③负数没有偶次方根； ④零的任何次方根都是零． （6）指数运算中的平方差、立方和差公式 ；； ；； ； 题型一：指数运算 例1.（1）=_____________. （2）（25-26高一上·江苏·期中） （3）（25-26高一上·浙江·期中）计算： . （4）（25-26高一上·湖北襄阳·月考） . （5）（25-26高一上·江苏常州·期中） ． （6）（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 例2.（1）（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·湖南株洲·期中）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 （3）（24-25高一上·甘肃天水·开学考试）若是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． （4）（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 例3.（1）（25-26高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是 . （2）（25-26高一上·湖北荆州·期中）已知，计算： . （3）（24-25高一上·江西南昌·期中）（1） . （4）已知，那么等于 . （5）（24-25高一上·江苏无锡·期中）若，则 ． 例4.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 例5.（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）设函数，求得的值为（   ） A．9 B．11 C． D． 例6.（1）（24-25高一上·山西·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. （2）（25-26高一上·河北张家口·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 例7.（24-25高一上·浙江·期中）（1）求值：. （2）设，且，求的值. 例8.（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，为正实数，求的值； （3）已知，求的值. 例9.（1）（24-25高一上·安徽阜阳·期中）求值： （1） （2）若，求①的值；②的值 （2）（25-26高一上·贵州贵阳·期中）根据条件求解下列式子的值： （1）计算； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值. 二 指数函数 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在上是单调减函数 在上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 ⑦最值：无最值 【解题方法总结】 指数函数常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 题型二：指数函数的图像及性质 角度1：定义域和值域 例10.（1）（2025湖南长沙·）函数的定义域为 （2）（2025湖南）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． （3）已知函数的定义域为，则 ． 例11.（1）（2025黑龙江绥化）当时，函数的值域为 . （2）（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则的值域为 ． （3）已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为______． （4）（2025·海南·一模）若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 例12.（1）若函数的值域为，则a的取值范围是 . （2）（2025·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（2025·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例13.（1）（2025湖北）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2） （25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数若函数的最小值为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （3）已知的最小值为2，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例14.（1）（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 （2）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （3）（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度2：函数图像 例15.（1）函数，的图象如图所示，则（       ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， （3）（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 例16.（1）（2025.广东惠州·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．     B．   C．   D．   （2）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）函数的大致图像为（   ） A． B． C． D． 例17.（1）（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）若函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为__________． （3）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 例18.（1）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为___________. （2）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为 . 例19.（1）（2025广西柳州·期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（2025·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则 ． 角度3：定点问题 例20.（1）（2025·高三·河北·期末）已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 . （2）（2025·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 . 角度4：单调性和奇偶性 例21.（1）（2025湖南岳阳·期中）已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． （2）（2025·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）（2025·辽宁·模拟预测）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例22.（1）（2025内蒙古赤峰）若函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数，若为上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·浙江·期中）已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高三上·江西·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例23.（1）（2021新高考1卷）已知函数是偶函数，则____． （2）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（   ） A． B． C． D． （3）（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 （4）（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数为偶函数，则=（   ） A．2 B．1 C．0 D． （5）（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 （6）（2025·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． （7）（25-26高一上·江西赣州·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 例24.（1）（24-25高一上·江西南昌·期中）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 （2）（2025·广东·二模）（多选题）设函数，则（    ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．函数在其定义域上为增函数 （3）（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（    ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 例25.（多选题）（25-26高一上·安徽合肥·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（   ） A．是奇函数 B．在R上是增函数 C．是偶函数 D．的值域是 例26.（1）（多选题）（24-25高一上·福建厦门·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．的解集为 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有个交点，记为，则 （2）（多选题）（25-26高一上·浙江宁波·期中）双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数的最小值是0 C．若对任意实数，不等式恒成立，则 D．，则 角度6：利用指数函数性质比较大小 例27.（1）设，，，则（ ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． （3）（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知那么a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． （4）（24-25高一上·北京·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高一上·福建厦门·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． （6）（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． （7）（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， （8）（25-26高三上·广东·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例28.已知函数，且，则（       ） A． B． C． D． 角度7：利用性质解决不等式 例29.（2025·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例30. （25-26高一上·河南南阳·期中）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例31. （24-25高一上·福建莆田·期中）若定义在上的函数的最小值为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例32.（1） （2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（2025·湖北荆门·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 例33.（1）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例34.（1）已知函数,则使得不等式成立的实数的取值范围是( ) A. B. C. D. （2）（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：指数函数中的恒成立问题 例35.（24-25高一下·江苏盐城·期末）设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 例36.（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为 . 例37.（1）（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式成立，则实数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 例38.（24-25高一上·湖南·期中）已知定义在上的奇函数是常数，存在实数使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例39.（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，当时恒成立，则的最小值为 . 例40.已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 题型四：指数型函数的实际应用 例41.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（       ）小时. A． B． C． D． 例42.（1）（2025·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 （2）（25-26高一上·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型五：指数函数综合应用 例43.（25-26高一上·广东梅州·期中）已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. （1）求函数在上的解析式; （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 例44.（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知函数，其中是奇函数. （1）求a的值； （2）判断的单调性并用定义证明； （3）当时，恒成立，求实数t的取值范围. 例45.（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）根据函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 例46.（1）已知函数，． （1）若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围； （2）若，且的最小值为，求实数k的值． （2）已知函数，. （1）若的最小值是，求的值. （2）是否存在，使得当的定义域为时，的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 例48.（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 例49.已知函数且）为定义在R上的奇函数 （1）利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增； （2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围． 例50.（25-26高一下·浙江·期中）已知函数（、为非零常数） （1）当时，为偶函数，求的值； （2）当时，求满足的的取值范围； （3）当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 例51.已知函数． （1）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围； （2）若的最大值为2，求实数m的值； （3）若对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数m的取值范围． 例52.（24-25高一上·安徽合肥·期中）定义在上的函数是单调函数，，且，. （1）求，判断函数的奇偶性并说明理由； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）存在使得成立，求参数的取值范围. 例53.（24-25高一上·山东·期中）已知函数，. （1）求函数的值域； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 例54.（25-26高一上·吉林·月考）已知函数，. （1）若函数是奇函数，求实数m的值； （2）当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； （3）当时，，求函数的最小值. 例55.（25-26高一上·湖南·期中）已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若，且，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总有，使得，求的取值范围. 例56.（2025广东）已知（且）是上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）若关于的方程在区间内只有一个解，求的取值集合； （3）设，记，是否存在正整数，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由． 课后练习题 1.（25-26高一上·江苏徐州·期中）若是方程的根，则（   ）. A． B． C．7 D． 2.（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高三下·湖北·开学考试）函数，则对任意实数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 5.（25-26高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．3 7.（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 8.（25-26高一上·河南郑州·期中）若函数，且当时，不等式恒成立，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 9.（25-26高三上·河南·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 10.（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12.（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若对于任意的，，且，都有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13.（2025·安徽安庆·二模）.函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A．函数不具有奇偶性 B． C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间为 14.（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15.（1）（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 （2）（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 16.（24-25高一上·江苏镇江·期中）某机构研究某地区的流感暴发趋势，发现从确诊第一名患者开始累计时间(单位：天)与病情暴发系数之间满足函数关系为常数)，当时，标志着疫情将要大面积暴发，若不进行任何干预，第50天时，病情暴发系数为0.5.则从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为（    ）（参考数据：） A．37 B．40 C．43 D．46 17.（24-25高一上·福建福州·期中）设函数，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 18.（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数的定义域为，其图象关于直线对称且，当时，，则下列说法不正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于直线对称 D． 19.（多选题）（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 20.（多选题）（24-25高一上·辽宁大连·期中）下列命题中正确的是（   ） A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B．函数在上的值域为 C．若关于的方程的两根分别为，，且，则有 D．函数，则不等式的解集为 21.（多选题）（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 22.（多选题）（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 23.（多选题）（24-25高一上·山西晋城·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，.下列表述正确的是（    ） A． B．函数在上单调递减 C．函数恒过定点 D．当时，函数在的值域为 24.（多选题）（24-25高一上·湖北荆州·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的值域是 D．的值域是 25.（多选题）（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．的图象过定点 C．为偶函数 D．当时，函数的最大值是0 26.（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知，求的值______ 27.（25-26高一上·辽宁抚顺·期中）已知函数，若，则 ． 28.（24-25高三上·山西大同·期中）已知是奇函数，则的值为 ． 29.（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 30.（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 31.（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 32.（24-25高一上·安徽六安·期中）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围 .33.（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 34.（24-25高一上·河南郑州·期中）已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 35.（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数是奇函数． （1）求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； （2）若，求满足的实数a的取值范围． 36.（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a、b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 37.（24-25高一上·福建福州·期中）已知是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）解关于的方程； （3）若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 38.（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数的图像经过点，. （1）求的解析式； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）求关于的不等式的解集. 39.（25-26高一上·江苏南京·期中）苏超联赛总决赛11月1日在南京奥体中心落下帷幕，泰州队获得了最后的冠军，苏超联赛带动了江苏各个城市的旅游及周边消费，营造了足球气氛，提升了城市知名度。决赛当天南京共接待游客超百万.经市场调查，南京某景区在过去的9月份，第天（）接待游客人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足． （1）求该景区的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式； （2）求该景区旅游日收益的最小值． 40.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设定义在上的奇函数且， （1）求的值 （2）已知，函数，，求的值域； （3）若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 41.（25-26高三上·河南商丘·阶段练习）已知函数（，且，），且函数为奇函数． （1）求函数的解析式； （2）设，证明：曲线为中心对称图形，并求的值； （3）若函数在上有2个不同的零点，求实数m的取值范围． 42.（24-25高一上·四川广安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数. （1）求的值，判断的单调性； （2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域； （3）若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 43.（25-26高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性，并求出值域； （3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 44.（25-26高三上·福建莆田·开学考试）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． （1）求函数、的解析式； （2）设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围． 45.（25-26高一上·江苏无锡·期中）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的每一个都成立，则称函数是“型函数”． （1）判断函数是否为“型函数”，并说明理由； （2）若函数是“型函数”，求的值； （3）已知函数是“型函数”，且时，．若对任意，都有，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $