4.1～4.2 指数与指数函数 综合课后同步练习（提升版）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 练习围绕指数与指数函数，分层设计从概念辨析到综合应用，梯度衔接自然，题量配比合理，既巩固基础又发展数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|指数函数概念、基本性质（单调性、奇偶性）、图像识别|单选为主，如1题条件判断（概念辨析）、2题图像识别（几何直观），夯实基础| |综合应用层|性质综合、大小比较、不等式求解|多选与填空结合，如9题多选项性质判断（推理能力）、12题最值计算（运算能力），强化综合运用| |拓展探究层|函数解析式、值域、含参问题|解答题为主，如15题奇函数解析式与值域（模型观念）、16题单调性证明（逻辑推理），提升探究能力|

4.1~4.2指数与指数函数综合课后同步练习（提升版） 1．（25-26高一上·四川雅安·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）幂函数在上单调递减，则的图象过定点（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北张家口·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·青海海南·期末）已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·海南三亚·一模）已知正实数，满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 8．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广东江门·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域是 B． C．当时， D．存在实数，使得为奇函数 11．（25-26高一上·浙江温州·期中）（多选）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．的值域为 D．在单调递减 12．（25-26高二下·天津·期中）已知，，且则的最小值为____________． 13．（25-26高一上·北京昌平·期末）已知函数，则_____；若有最小值，则实数的取值范围是_______. 14．（25-26高三下·贵州贵阳·阶段检测）函数，若对任意，都有，则的取值范围是__________ 15．（25-26高一上·四川成都·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 16．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数（，且）. (1)讨论的奇偶性； (2)若，，判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； (3)在（2）的基础上，解不等式，求的取值范围. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1~4.2指数与指数函数综合课后同步练习（提升版） 1．（25-26高一上·四川雅安·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得，则， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 2．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数中，，解得，函数的定义域为， 由，得函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除BC； 当时，，排除选项D，选项A符合要求，故选A. 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）幂函数在上单调递减，则的图象过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质列出条件求得的值，再根据指数函数所过定点求解即可. 【详解】由题可得，解得， 则， 则其过定点， 故选：D. 4．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义对定义域内所有x恒成立，求出参数a的值，再代入计算即可. 【详解】由得， 所以函数的定义域关于原点对称， 又函数为偶函数，则对任意，恒成立， 即， 整理得，该式对所有恒成立，故， ， 所以. 5．（25-26高一上·河北张家口·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性比较，的大小，利用幂函数的单调性比较，的大小，由此可得结论. 【详解】因为函数为上的减函数， 又，所以，故， 因为函数在上单调递增，又， 所以，故， 综上. 故选：D. 6．（25-26高一上·青海海南·期末）已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性结合已知函数值域列式计算求解. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，的最大值为，又因为，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，当时，，，当时，的最大值为， 只需的最大值大于等于2， 所以，解得. 7．（2026·海南三亚·一模）已知正实数，满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先根据函数的单调性判断 ，再根据基本不等式求解. 【详解】设为增函数减函数增函数，函数的定义域为， 且满足，所以函数是奇函数， 所以，则，得 ， 即，，得，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 8．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先研究函数的奇偶性与单调性，再将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，解不等式即可. 【详解】易知的定义域为，定义域关于原点对称， 且满足，故是偶函数. 当时，，易知在上单调递增， 且在上单调递减，则在上单调递增， 因此当时，在上单调递增， 又因为是偶函数，故在上单调递减，在上单调递增. 因此，由，可得， 两边平方后，整理得， 解得或，即不等式的解集为， 故选：B. 9．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂的运算结合完全平方公式，立方和公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，由，得，化简得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A，，所以，所以，故C错误； 对于D，由， 由B，，，故D正确. 故选：BD. 10．（25-26高一上·广东江门·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域是 B． C．当时， D．存在实数，使得为奇函数 【答案】ABD 【分析】根据具体函数解析式的定义域、函数的单调性以及奇函数的性质逐项求解判断即可. 【详解】因为函数，， 所以该函数的定义域为，A正确； 因为，B正确； 因为是单调递增函数，所以为单调递减函数， 所以当时，有，化简得， 解得，C错误； 令，若它为奇函数，则满足， 所以，所以. 由B知，所以，所以. 所以存在实数，使得为奇函数，D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·浙江温州·期中）（多选）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．的值域为 D．在单调递减 【答案】AC 【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性以及单调性的相关知识逐一进行分析即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得，的定义域是，正确. 函数的定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数，错误. 令，，则，， 令，，则在定义域上单调递增， 当时，；当时，， 的值域为，正确. 令，，在单调递增，在单调递减， 令，，则在定义域上单调递增， 根据复合函数的单调性的原则，可得在单调递增，在单调递减，错误. 故选：. 12．（25-26高二下·天津·期中）已知，，且则的最小值为____________． 【答案】 【分析】先化简已知指数等式得到，再通过换元将目标式转化为可利用基本不等式求最值的形式计算最小值. 【详解】已知，，且， 则，故， 令，则，代入得，解得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值为. 13．（25-26高一上·北京昌平·期末）已知函数，则_____；若有最小值，则实数的取值范围是_______. 【答案】 2 或 【分析】根据分段函数求值方法即可求出；判断出时函数的单调性并求出该段的最小值，当时对分情况讨论，结合二次函数单调性求出该段的最小值，进而得出不等式求解即可. 【详解】. 当时，函数在上单调递减， 所以，即该段函数的值域为. 当时， ，为开口向上的二次函数，对称轴为. 当时，二次函数在上单调递增，最小值为. 若使有最小值，只需，即，解得. 故该情况下. 当时，二次函数在上单调递减，在上单调递增， 最小值为. 若使有最小值，只需，即， 整理得，解得或. 故该情况下. 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：2；或. 14．（25-26高三下·贵州贵阳·阶段检测）函数，若对任意，都有，则的取值范围是__________ 【答案】 【分析】先推得的单调性和，进而将目标转化为在上恒成立，求一元二次函数的最大值即得. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又因， 所以等价于， 则在上恒成立，也即在上恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以，则， 故a的取值范围是. 15．（25-26高一上·四川成都·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据是定义在上的奇函数，则时，，当时，，表示出，结合求解析式即可； （2）根据不等式的性质可得，结合奇函数的性质得到值域即可． 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，， 当时，，则， 则． 故； （2）当时，，则，， 即当时，． 因为是定义在上的奇函数，所以当时，． 又，所以的值域为． 16．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数（，且）. (1)讨论的奇偶性； (2)若，，判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； (3)在（2）的基础上，解不等式，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义分情况讨论，推导求出的值或范围，检验后即得结论； （2）先由条件求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义证明即可； （3）利用（1）和（2）已经证明的单调性与奇偶性将题设不等式化简为，利用对数函数的单调性求解即得. 【详解】（1）函数（，且）的定义域为，且， ① 当时，，即恒成立， 所以，即， 此时，定义域为，，所以是上的奇函数； ② 当时，，即恒成立， 所以，即， 此时，定义域为，，所以是上的偶函数； ③ 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是上的偶函数； 当时，是上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数. （2）函数中，由，，得，而，， 所以，，则. 判断：函数是上的增函数， 证明：任取， . ，在上单调递增，，又， ，，是上的增函数. （3）由（1）(2)知是上的奇函数， 则不等式， 即， 由（2）知是上的增函数， ，则. 由，解得或； 由，可得，解得， 于是， 所以的取值范围是. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $