精品解析：江苏南京市中华中学2026-2027学年高一上学期9月学情摸底测试数学试卷

中华中学2026级高一年级学情摸底测试 数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】可知，则. 2. 若，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定求解即可. 【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题的否定为. 故选：. 3. 是2的倍数，是6的倍数，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】判断与之间的双向推出关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.  【详解】若满足，即是6的倍数，则必为2的倍数，即满足，因此，故是的必要条件； 若满足，即是2的倍数，如，此时不是6的倍数，不满足，因此，故不是的充分条件. 综上，是的必要不充分条件. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法判断A、C、D，应用作差法比较大小判断B. 【详解】A：取，，则，错； B：由，则，故，对； C：若，则，错； D：取，则，错. 故选：B 5. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作差法以及反向举例法逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，那么，所以A错误； 对于B，， 所以，所以B错误； 对于C，当时，，而，此时，所以C错误； 对于D，因为对任意的均成立，所以恒成立，D正确. 6. 若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到全称量词命题的否定，分和两种情况，得到答案 【详解】命题“，都有”为假命题， 故命题“，都有”为真命题， 当时，，解得，满足要求； 当时，需满足，解得且， 综上，实数的取值范围为. 7. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， ， 因为，所以，解得或1（舍去）. 故选：B. 8. 已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可. 【详解】“孤立元”为的集合为，，，， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为，，，， 综上：满足题意的集合有13个. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 下列说法中不正确的是（    ） A. 0与表示同一个集合； B. 集合与是两个相同的集合； C. 方程的所有解组成的集合可表示为； D. 集合可以用列举法表示． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 10. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则的最小值为4 C. 若，，，则 D. 若实数，满足，，，则的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合特例法、换元法逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然满足，但是不成立，所以本选项的命题是假命题； B：因为，，， 所以，即， 当且仅当时取等号，所以当时，的最小值为4，因此本选项的命题是真命题； C：因为，，， 所以，即， 当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，因此本选项的命题是真命题； D：设， 因为，，， 所以， 因此， 因为，当且仅当时取等号， 所以有，当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号，因此本选项命题是真命题， 故选：BCD 11. 已知实数，满足，，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. ，，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用整体换元，令，用表示出代数式，结合不等式的性质求解. 【详解】令. ,A不正确. ,B正确. ,C正确. ，考虑极端情况，假设，则.则令，找到了一组满足条件的 存在唯一一组对应的，使得，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知集合，如果，那么实数的取值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据列出等式，再根据元素的互异性验证的取值即可. 【详解】因为，则或，解得或， 当时，集合中有两个相同的元素2，不符合互异性，舍去； 当时，集合，满足集合元素的性质，符合要求. 因此，实数的取值为-1. 13. 关于的不等式组的整数解有且只有和，那么适合这个不等式组的整数对共有___________对． 【答案】 6 【解析】 【分析】解不等式组，根据不等式组的解确定整数，即可得解. 【详解】由有解可得， 又关于的不等式组的整数解有且只有和， 所以，解得且，又， 所以，， 所以适合这个不等式组的整数对共有对. 14. 已知对任意的，，不等式恒成立，则实数的最小值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求解的取值范围，对目标不等式做变形，转化为单变量函数问题，最后根据二次函数的性质求出结果即可. 【详解】因为对任意的，， 所以解得. 由于，所以将不等式两边同时除以得. 令，不等式可整理为，即. 要使原不等式对所有符合条件的恒成立， 等价于大于等于函数在的取值范围内的最大值. 因为，，所以，由不等式的基本性质可得，因此. 将二次函数整理为顶点式：，当时，取得最大值为. 所以要使得不等式恒成立，则，所以的最小值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）求的子集； （2）若，求的值. 【答案】（1），，， （2）或或 【解析】 【小问1详解】 的两个根为，，即.的子集为，，，. 【小问2详解】 得. 当时，方程无解，则,满足条件，故符合条件. 当时,解方程得，即，因为所以或，解得或. 综上，或或. 16. 已知，集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）时，结合一元二次不等式的解法化简集合A，B，由此能求出． （2）由可得，分类讨论与，列出不等式，求解即可. 【小问1详解】 （1）当时，， ， 故； 【小问2详解】 由知， 当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 17. 已知命题，命题：关于的不等式的解集为， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的单调性求值域，可得实数的取值范围. （2）先求出为真命题时的取值范围，再分情况讨论满足条件的实数的取值范围. 【小问1详解】 当命题为真命题时，，. 因为（当时取等号），所以. 所以命题为真命题，则实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题为真命题，则或，所以. 若真假，则；若真假，则. 所以命题有且仅有一个真命题时，. 18. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 【答案】（1）或 （2）①4；②8 【解析】 【分析】（1）由题意可得为方程的根，且，进而结合韦达定理得到，进而求解即可； （2）①根据一元二次不等式恒成立及题设求解即可； ②整理得到，再根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以为方程的根，且， 则，即， 所以不等式，即为， 则，即，解得或， 所以关于的不等式的解集为或. 【小问2详解】 ①当时，， 因为对于一切实数恒成立， 所以， 因为存在，使得成立， 所以，即， 而，所以有. ②因为，，，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为8. 19. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； （3）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】（1） 设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2），或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. 【小问3详解】 因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华中学2026级高一年级学情摸底测试 数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 若，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 是2的倍数，是6的倍数，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 8. 已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 下列说法中不正确的是（    ） A. 0与表示同一个集合； B. 集合与是两个相同的集合； C. 方程的所有解组成的集合可表示为； D. 集合可以用列举法表示． 10. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则的最小值为4 C. 若，，，则 D. 若实数，满足，，，则的最小值为2 11. 已知实数，满足，，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. ，，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知集合，如果，那么实数的取值为_______. 13. 关于的不等式组的整数解有且只有和，那么适合这个不等式组的整数对共有___________对． 14. 已知对任意的，，不等式恒成立，则实数的最小值是_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）求的子集； （2）若，求的值. 16. 已知，集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知命题，命题：关于的不等式的解集为， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 18. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 19. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； （3）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $