专题06 相似三角形中的动点问题（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形动点问题，通过5类常考题型与综合题组，系统覆盖多解、最值、函数图象及几何探究，强化动态几何中的推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|5题型（含21道例题）|多解计算（时间/线段长）、最值探究、函数图象结合、几何动态探究|从相似判定基础到动态几何综合，构建“概念-计算-探究”递进链条| |综合攻坚·知能拔高|15道综合题|折叠、旋转、动点综合，融合分类讨论与逻辑推理|深化相似与函数、图形变换的综合应用，培养几何直观与创新意识|

专题06 相似三角形中的动点问题 常考题型·精准突破 题型1 相似三角形动点中求时间多解问题 题型2 相似三角形动点中求线段长多解问题 题型3 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 题型4 相似三角形中的动点问题与函数图象问题 题型5 相似三角形中的动点与几何图形探究问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 相似三角形动点中求时间多解问题 1．3或 2．4或 3． 4．2或 5．或秒 ◆题型2 相似三角形动点中求线段长多解问题 6．C 7．C 8．或 9．2或4 ◆题型3相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 10． / 11．B ◆题型4相似三角形中的动点问题与函数图象问题 12．(1)秒或秒 (2)3秒 (3)秒或秒 13．(1)或 (2) 解：不能，理由如下， 作轴于，轴于， ，， ， ， ， 当的面积为6个平方单位时，即． 整理得：， ， 此方程无实数根， 的面积不能为6个平方单位． 14．(1) (2) (3)存在，M(-8，0)， (2，0)， (3，0)， (，0) 15．(1) (2)或 (3)（0，1）或（0，-1）或（0，-5） 16．(1) (2) ◆题型5相似三角形中的动点与几何图形探究问题 17．(1)或 (2) (3)存在， 18．或 19．(1) (2)或或 20．(1)； (2)． 21．(1)当t的值为时，△EFD∽△ABD (2)当t的值为或时△EFD为等腰三角形 (3)不存在，理由见解析 综合攻坚·知能拔高 1． 2． 3．（1）t=或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；（2）t=时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 4．(1) (2)能，当或时，与相似 5．（1）；（2）；（3）与相似时，此时直线的解析式为或 6．（1）线段的长为；（2）；（3）当时，；当时，；（4） 7．（1）1，；（2）；（3）能，或 8．（1）；（2） ；（3）存在， 9．（1）HF=4，EH=8；（2）不变． 理由见解析；（3）不存在，理由见解析过程． 10．（1）3；（2）；（3）7 11．（1）；（2）；（3）；（4）或t = 或t =． 12．（1）；（2）；（3）；（4）或． 13．（1） ；（2） ；（3）；（4） 时，AQ＝PQ 14．（1）①；②；（2）的长为或；（3）或． 15．（1）12；（2）时，，时，；（3）；（4），, 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形中的动点问题 常考题型·精准突破 题型1 相似三角形动点中求时间多解问题 题型2 相似三角形动点中求线段长多解问题 题型3 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 题型4 相似三角形中的动点问题与函数图象问题 题型5 相似三角形中的动点与几何图形探究问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 相似三角形动点中求时间多解问题 1．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【分析】设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 2．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 3．如图，在中，，，，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当的平分线恰好经过的中点时，t的值为_______ 【答案】 【分析】如图，过点C作交的延长线于点F，记的中点为过点M作于点连接，可证明， ，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点F，记的中点为过点M作于点连接， ， ， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ， ， ， ∴当的平分线恰好经过的中点时，． 4．如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 【答案】2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间． 【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为， 则，，， ∵， 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 故答案为：或． 5．如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 【答案】或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 综上所述，运动或秒后，与相似． ◆题型2 相似三角形动点中求线段长多解问题 6．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 7．如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据对应点进行分类讨论是解题关键． 设，则，以P，C，D为顶点的三角形与相似，有两种可能性，分别为和，可得或，分别代入求出x即可． 【详解】解：设，则， 当时， 则， 代入得，， 解得，； 当时， 则， 代入得，， 解得，或， 故选：C． 8．如图，正方形的边长为，是的中点，点在射线上，过点作，垂足为．当点在射线上运动时，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为______． 【答案】或 【分析】点在射线上运动，分在线段AD上和线段AD的延长线上两种情况讨论，由相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：是的中点， ， 如图，若∽， 则 ． ． ∴四边形为矩形． ∴PA=EB=2， 如图，若∽，则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点为的中点． ∵， ∴， ∵， 即， ∴PE=5 ∴PA=PE=5 综上所述：的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，由点在射线上进行分类讨论是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______． 【答案】2或4 【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标． 【详解】如图， ∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ∴ ，，， ； ∴是直角三角形 ∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0）， ∽ ∴ ∴=1 ∴ 当时，CM=2；当时CM=4， 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． ◆题型3相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以点B为圆心，BD长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC，作FC⊥CE，垂足为C，点F在直线BC的上方，且满足，连结BF．当点E与点D重合时，BF的值为______．点E在上运动过程中，BF存在最大值为______． 【答案】 / 【分析】根据题意可知当点E与点D重合时，点F在AC上，且可求出的长，从而可求出CF的长，即在中，利用勾股定理求出BF的长即可；连接AF、BE，由题意即可求出．再根据，，可得出，即证明，得出．从而可求出AF的长，即说明点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动．则可知当点F在BA的延长线上时BF最大，最大值为．在中，利用勾股定理求出AB的值，即得出答案． 【详解】根据题意可知，当点E与点D重合时，点F在AC上，如图， ∵， ∴． ∴在中，； 如图，连接AF、BE ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即AF的长为定值． ∴点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动． ∴当点F在BA的延长线上时BF最大，且值为． 在中，， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．在解决第二个空时，证明出点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动是关键． 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（    ） A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对 【答案】B 【详解】思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可． 答案详解：如图所示：当PE∥AB． 在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， 由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°． ∵PE∥AB， ∴∠PDB＝90°． 由垂线段最短可知此时FD有最小值． 又∵FP为定值， ∴PD有最小值． 又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF， ∴△AFD∽△ABC． ∴，即，解得：DF＝3.2． ∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2． 故选：B． ◆题型4相似三角形中的动点问题与函数图象问题 12．如图所示，在平面直角坐标系中直线为分别与坐标轴交于A、C两点，点P从点A开始向终点B以速度移动，点Q从B点向终点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【答案】(1)秒或秒 (2)3秒 (3)秒或秒 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，；当时，， ∴， 设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 在中，， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴秒或秒后，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 13．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) 解：不能，理由如下， 作轴于，轴于， ，， ， ， ， 当的面积为6个平方单位时，即． 整理得：， ， 此方程无实数根， 的面积不能为6个平方单位． 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可． （2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解． 【详解】（1）解：、， ，， ， ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）略 14．如图，已知点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，，点在线段上，从点出发以每秒5个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒，过点作轴于点． (1)当时，线段的长为________； (2)当时，求的值； (3)在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M(-8，0)， (2，0)， (3，0)， (，0) 【分析】（1）由已知可得线段PQ为三角形的中位线，根据三角形中位线定理可以得到解答； （2）由已知可得△BPQ∽△BAQ，，把上面等式用含t的代数式表示出来，然后解方程即可； （3）分MA=MB，AM=AB，BM=BA三种情况讨论． 【详解】（1）解：由题意可得：当时，PA=PB，且PQ∥AO， ∴，BQ=QO， ∴PQ为三角形ABO的中位线， ∴PQ=AO=, 故答案为； （2）解：由题可知，PA=PQ=5t， ∴ PB=AB-PA=5-5t ∵PQ∥AO    ∴∠BPQ=∠BAO 又∵BQP=∠BOA=90° ∴△BPQ∽△BAO ∴        解得：t= （3）：由题意可设满足条件的M为（x，0），则可分三种情况： 如图，MA=MB， 则MA2=MB2， ∴（x+3）2=OM2+OB2=x2+AB2-AO2=x2+16， 解之可得：x=， ∴M为（，0）； 如图，AM=AB， 则有|x+3|=5， 解之可得：x=2或x=-8， ∴M为（2，0）或（-8，0）； 如图，BM=BA， 则BM2=BA2， ∴x2+16=25， 解之可得：x=3或x=-3（舍去）， ∴M为（3，0）； ∴满足条件的M为：（-8，0)或 (2，0)或 (3，0)或 (，0)． 【点睛】本题考查三角形的动点问题，熟练掌握三角形中位线的定义和性质、三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质、方程思想与勾股定理的应用是解题关键 ． 15．如图，点A、B在x轴上，点C在y轴上，且，，，直线MN过AB的中点且与y轴平行，与直线BC交于点M，与x轴交于点N． (1)求点M的坐标： (2)若点P是直线MN上的一个动点，以P、C、M为顶点的三角形与相似，求出点P的坐标； (3)点Q是y轴上的一点，点R在x轴上，直接写出使为等腰直角三角形的的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)（0，1）或（0，-1）或（0，-5） 【分析】（1）先求出直线BC的解析式，即可求解； （2）根据以P、C、M为顶点的三角形与相似，且∠BMN=∠CMP，分两种情况：当时，当时，，即可求解； （3）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴点， ∵点N为AB的中点， ∴点， ∵直线MN过AB的中点且与y轴平行， ∴点M的横坐标为1， 设直线BC的解析式为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为， 当时，， ∴点； （2）解：∵点P是直线MN上的一个动点， ∴点P的横坐标为1， ∵以P、C、M为顶点的三角形与相似，且∠BMN=∠CMP， 当时，如图， ∴， ∵MN∥y轴， ∴， ∴点； 当时，则， ∵，， ， ，，， ∴，解得：， ∴， ∴点； 综上所述，以P、C、M为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或； （3）解：如图，当Q为直角顶点时，若点R在x轴的正半轴时，过点M作MG⊥y轴，则QM=QR，∠MQR=90°， ∵MG⊥y轴，∠QOR=90°， ∴∠MGQ=∠QOR=90°， ∵QM=QR，∠MQR=90°， ∵∠GQM+∠MQR+∠OQR=180°，∠GQM+∠MGQ+∠GMQ=180°， ∴∠OQR=∠GMQ， ∴△GMQ≌△OQR（AAS）， ∴GM=OQ， ∵点， ∴GM=1， ∴OQ=1， ∴Q（0，1）， 如图，当点R在x轴的负半轴时， 同理△GMQ≌△OQR， ∴GM=OQ=1，此时Q（0，-1）； 如图，当R为直角顶点时，过点R作EH⊥x轴，过点M、Q分别作ME⊥EH，QH⊥EH，垂足分别为E、H，则MR=QR，∠MRQ=90°，ER=MN=6，NR=ME，OR=QH， 同理△MER≌△RHQ， ∴RH=ME，QH=ER=6， ∵ER=MN=6，NR=ME， ∴OR=6， ∵， ∴ON=1， ∴NR=ME=OR-ON=5， ∴RH=ME=5， ∴点， 综上所述，使为等腰直角三角形的的坐标为（0，1）或（0，-1）或（0，-5）． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 16．如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是，点P是CB边上一动点（不与点C，B重合），连接OP，AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且，令，． (1)当x为何值时，？ (2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）点B的坐标是，四边形OABC是矩形, ，，， 解得 经检验都是方程的解 当时 , 则与线段交于点，如图，与题图不符，故舍去 （2） 当时，， 此时若，则点与重合，则，即 点P是CB边上一动点（不与点C，B重合）， 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，函数解析式，坐标与图形，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． ◆题型5相似三角形中的动点与几何图形探究问题 17．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 18．如图，在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，若点以的速度从点出发向点运动，点以的速度从点出发向点运动，且两点同时出发，则出发时间为___________秒时与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与矩形的性质，分两种情况进行分析，分别是或，利用相似三角形的性质得出比例线段并建立方程即可． 【详解】解：设经秒后，与相似． 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上，经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 19．如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 ． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据运动情况得到，，再根据求解，即可解题； （2）分两种情况：①当时，②当时，结合相似三角形性质列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∵点是的中点，， ∴． ∴ ． （2）解：当运动时间为时，，． ①当时， 则， 即． 解得：． ②当时， 则时， 即． 解得：，． 综上所述，或或． 20．如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． (1)若与的周长比为，求的长． (2)点从点出发沿边以每秒个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒．请通过计算说明：当为何值时，？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是矩形，，，则，又与的周长比为，则，然后代入即可求解； （）先证明，所以，则，解得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵与的周长比为， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即当时，． 21．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0<t<3.6），请回答下列问题： (1)求当t为何值时，△EFD∽△ABD? (2)求当t为何值时，△EFD为等腰三角形； (3)将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t的值为时，△EFD∽△ABD (2)当t的值为或时△EFD为等腰三角形 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）当△EFD∽△ABD时，得到相似比，解得即可； （2）根据题意，等腰三角形分三种情况：EF＝DE时；EF＝DF时；DE＝DF时；作出相应图形，结合条件求解即可； （3）假设存在这样的菱形，当时，过点E作EQ⊥BC于点Q，利用勾股定理求出两条线段长，根据相等关系列方程求解即可确定结论存在与否． 【详解】（1）解：如图所示： 在矩形ABCD中，AD＝BC＝8cm，∠A＝∠ABC＝90°， 在Rt△ABD中由勾股定理得（cm）， 由题意得：DE＝2tcm，BF＝tcm， ∴cm， ∵△EFD∽△ABD， ∴， ∴，解得 ∴当t的值为时，△EFD∽△ABD； （2）解：△EFD为等腰三角形有三种情况： ①EF＝DE时，点E在DF的垂直平分线上，过点E作EG⊥DF于点G，如图所示： 则cm， 在Rt△DEG中，， ∴5DG＝4DE， ∴，解得：； ②EF＝DF时，点F在DE的垂直平分线上，过点F作FH⊥AD于点H，如图所示： 则cm，在Rt△DHF中，， ∴5DH＝4DF， ∴，解得， ∵， ∴不合题意舍去； ③DE＝DF时，则2t＝10－t，解得：； 综上：当t的值为或时，△EFD为等腰三角形； （3）解：不存在． 假设△EMN沿直线MN翻折后点E落在点处，由折叠得：，，当翻折后的四边形为菱形时，， ∴EM＝EN， ∴， 过点E作EQ⊥BC于点Q，如图所示： 则四边形EQCD为矩形， ∴EQ＝CD＝6cm，CQ＝DE＝2tcm， ∴， ∴， ∵cm，cm， ∴， ∴，此方程无解， ∴不存在这样的菱形． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，化动为静，熟练掌握相似三角形的基本模型是解题的关键． 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），若，则折叠后重叠部分的面积为_____． 【答案】 【分析】设BN=NF=x，则NC=（4-x），根据，AB=CD=3，确定DF=1，FC=2，在直角三角形NCF中，实施勾股定理确定x，利用△NCF∽△FDQ，计算DQ，FQ，得证△MEQ≌△FDQ，求得AM=ME，根据重叠面积等四边形ABNM的面积与△MEQ面积的差计算即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°， ∵， ∴DF=1，FC=2， ∵沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处， ∴设BN=NF=x，则NC=（4-x）， ∴在直角三角形NCF中， ∴ 解得x=，4-x=， ∵∠EFN=∠ABC=∠C=∠D=90°，∠NFC+∠FNC=90°， ∴∠NFC+∠DFQ=90°， ∴∠FNC=∠DFQ， ∴△NCF∽△FDQ， ∴FD：NC= FQ：NF= DQ：CF=1：， 解得DQ=，FQ=， ∴EQ=EF-FQ=AB-FQ=3-=， ∴EQ=DQ， ∵∠E=∠D=90°，∠EQM=∠DQF， ∴△MEQ≌△FDQ， ∴ME=FD=1， ∴AM=ME=1， ∴重叠面积=四边形ABNM的面积-△MEQ面积 = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质，会证三角形的全等，三角形相似，会用勾股定理是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B在第一象限内，，点E是线段上的一个动点，连接，将射线绕点E顺时针旋转交于点F，当最短时点F的坐标是____________． 【答案】 【分析】由已知易得△BEF∽△BAE，则对应边成比例，可得，从而当BE最小时，BF最小，而当BE⊥x轴时，BE最小即垂线段最短，此时可得EF⊥AB，过点F作FD⊥x轴于点D，利用30゜角的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得F点的坐标． 【详解】∵∠BEF=∠BAO=60゜，∠B=∠B ∴△BEF∽△BAE ∴ ∴ ∴当BE最小时，BF也最小 而当BE⊥x轴时，垂线段最短，故BE最小，因而BF也最小 ∴∠FEA=90゜−∠BEF=30゜ ∴∠EFA=180゜−∠FEA−∠BAO=90゜ 即EF⊥AB 过点F作FD⊥x轴于点D，如图 在Rt△BEA中，∠ABE=90゜-∠BAO=30゜ ∴AE= ∵在Rt△FEA中，∠FEA=30゜ ∴ 在Rt△FDA中，∠AFD=90゜-∠BAO=30゜ ∴ 由勾股定理得： ∵OD= ∴D点坐标为 【点睛】本题考查了垂线段最短，相似三角形的判定与性质，30゜角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是根据相似三角形的性质，把BF最短转化为线段BE最短． 二、解答题 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒． （1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q点的三角形与相似？ （2）如图2，Q在CB上，否存着某时刻，使得以点B、P、Q顶点的三角形与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t=或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；（2）t=时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【分析】（1）如图1，当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出t值，如图2，当∠APQ=90°时，就有△APQ∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出其t值； （2）如图3，当△BPQ∽△BAC时，当△BQP∽△BAC时，根据相似三角形的性质可以求出t的值． 【详解】解：（1）如图1，当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB， ∴． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB==10（cm）． ∵BP=t，AQ=t， ∴PA=10-t， ∴， ∴t=； 如图2，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB， ∴， ∴， t=． 综上所述，t=或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似； （2）如图3，当△BPQ∽△BAC时， ∴． ∵BQ=14-t，BP=t， ∴， ∴t=， 当△BQP∽△BAC时， ∴， ∴， ∴t=， ∵Q在CB上， ∴t>8， ∴t=舍去， ∴t=时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答本题时证明三角形相似是关键． 4．如图所示，在中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿以的速度向点A运动，设运动时间为x秒． (1)当x为何值时，； (2)以A、P、Q为顶点的三角形能否与以C、Q、B为顶点的三角形相似？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，当或时，与相似 【分析】（1）根据题意表示出与，由列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值； （2）以A、P、Q为顶点的三角形能与以C、Q、B为顶点的三角形相似，分两种情况考虑：①当时；②当时，由相似得比例求出x的值即可． 【详解】（1）解：依题意可得：，，则， 当时，， ∴， 答：当时，； （2）解：∵在中，， ∴， 以A、P、Q为顶点的三角形能与以C、Q、B为顶点的三角形相似，分两种情况： ①当时，有，即， 解得：； ②当时，有，即， 解得：或（舍去）， 综上，当或时，与相似． 5．如图，，，轴，与直线交于点，轴于点，是折线上一动点．设过点，的直线为． （1）点的坐标为________； （2）若直线所在的函数随的增大而减少，则的取值范围是__________； （3）若动点在上运动，与相似时，求此时直线的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3）与相似时，此时直线的解析式为或 【分析】（1）将代入中可求出点的坐标，； （2）由直线所在的函数随的增大而减少，点在线段上，且纵坐标小于2，结合图象写出结果即可； （3）分类讨论当和，利用相似三角形的性质分别求出的坐标，利用待定系数法求即可求出的解析式． 【详解】（1）∵轴， ∴ ∴把代入可得： ∴ （2）∵直线所在的函数随的增大而减少， ∴点在线段上，且纵坐标小于2 ∴； （3）由题意得，，， 当时，有，即 ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴解得 ∴直线的解析式为 当时，有，即 ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴解得 ∴直线的解析式为 综上所述，与相似时，此时直线的解析式为或 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判断和性质，熟悉掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 6．如图，在中，．点是线段上不与点重合的动点，过点作交边于点．将绕点顺时针旋转得到，设线段的长为． （1）直接用含的代数式表示线段的长． （2）当点落在线段上时，求t的值． （3）设与重叠部分的面积为，当重叠部分为四边形时，求与的函数关系式． （4）若点是边的中点，是的中点，当直线与一直角边所在直线夹角恰好等于时，直接写出的值． 【答案】（1）线段的长为；（2）；（3）当时，；当时，；（4） 【分析】由已知可得，证明，由相似三角形的性质即可求解； 根据相似三角形的判定和性质即可求解； 分三种情况画出图形，用含的式子表示出三角形的直角边，根据三角形面积的关系即可求解； 根据线段中点的定义及相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解： ， ， 的长为 ， 线段的长为 如图1， 由题意得：， ， ， ， ， ，即 解得：， 的值是； 当点与点重合时，如图2， ，即， 解得：， 当时，如图5， ， ， ， 当时，如图3，重叠部分不是四边形； 当时，如图4， ， ， 与的函数关系式为：当时，；当时，； 当在上时，与的夹角为，如图6， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，图形的运动求重叠部分的面积，分类讨论思想，属于常考题型，灵活运用相似三角形的判定，相似三角形的性质是解决本题的基础，学会分类讨论是解决本题的重难点． 7．已知如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BC－CP于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当t＝2时，AP＝ ，点Q到AC的距离是 ； （2）在运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （3）在点E运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； 【答案】（1）1，；（2）；（3）能，或 【分析】（1）先求出，，则，作QF⊥AC于点F，证明△AQF∽△ABC，得到 ，由勾股定理求出BC=4，由此求解即可； （2）同（1）证明△AQF∽△ABC得到 ，由AQ＝CP＝ t，得到，从而得到，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分当DE∥QB时．DE⊥PQ，PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形和当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴， 作QF⊥AC于点F， ∴∠C=∠QFA=90°， ∴ 又∵∠A=∠A， ∴△AQF∽△ABC ∴ ∴， 故答案为：1，； （2）如图1，作QF⊥AC于点F 同（1）证明△AQF∽△ABC ∴ 又 ∵AQ＝CP＝ t， ∴． ∴     ∴     ∴ 即 ； （3）能． ①如图2，当DE∥QB时． ∵DE⊥PQ ∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形 此时∠AQP＝90° 由△APQ ∽△ABC， 得 ∴ 解得 ； ②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ ＝90°． 由△AQP∽△ABC， 得 ， 即．   解得． 综上，当或 时，四边形QBED能成为直角梯形． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积，解题的关键在于能熟练掌握相关知识进行求解． 8．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC，垂足为D，F为AD中点．点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为1cm/s；点E为点P关于AD的对称点．连接PQ、FQ、EF、AE．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题： （1）当PQ∥AE时，求t的值； （2）设四边形AEPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠AFQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） ；（3）存在， 【分析】（1）证明，根据动点运动的路程，代入计算即可得； （2）过点作于点，证明，求得，进而求得，再求得，根据四边形即可求得y与t的函数关系式； （3）当时，三点共线，过点作，证明可得，根据，根据现实世界相对性质即可求得． 【详解】解：（1）当时，， ， ，， ， ， 点E与点P关于AD对称， ， ， ， ， ， 即， 解得： ， 舍去，故， （2）过点作于点，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 由（1）可知， ， 四边形 ， ， ， （3）存在，理由如下： 当时，三点共线，过点作，如图， ， ， ， ， 即， 解得， ， F为AD中点， ， ， ，， ， ，即， 解得（舍去，）． 当时，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9．如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=4，点F为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N． （1）若AF=4，当BG=4时，求线段HF和EH的长； （2）若AF=a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由． （3）在（2）的条件下，是否存在点C和点G是线段BN的三等分点的情况？若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）HF=4，EH=8；（2）不变． 理由见解析；（3）不存在，理由见解析过程． 【分析】（1）由“ASA”可证△BDG≌△FDH，可得BG=HF=4，通过证明四边形HDEF为平行四边形，可求FP=PD，即可求解； （2）通过相似三角形的判定和性质可求GB=MN，分别求出GN，GN边上的高，即可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求a=0，即可求解． 【详解】解：（1）连接，设和相交于点， 为边长为12的等边三角形， ，， 直线， ， ，， ， 又， ， ， ，， 为等边三角形， ，， ，， 四边形为平行四边形， 和互相平分， ， 此时点与点重合，即点在延长线上， ， ； （2）点在运动过程中，的面积保持不变． ， ， ，即， ， ， ，，， ， ， ①当和时， ， ②当时， ， ， 即， ③当时， ， ， 即， 直线和之间的距离， 的面积； （3）不存在．理由如下： ①当点在线段上时，如图1， 若点和点是线段的三等分点，则， ， ， ，即， ， ， ， ， 又，， ， ， 不满足条件， ②当点在的延长线上时，如图2， 若点和点是线段的三等分点，则， ， ， ， 方法同①可求出不满足条件， 在（2）的条件下，不存在点和点是线段的三等分点的情况． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 10．如图，在中，，，，点、分别在、上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持． （1）求点在上运动时，点与点的最短距离； （2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长； （3）求整个运动过程点运动的路径长． 【答案】（1）3；（2）；（3）7 【分析】（1）点P在BN上运动时，当AP⊥BC时，点P与点A有最短距离，由锐角三角函数可求解； （2）由勾股定理可求AB=5，通过证明，可得，可求AP的长，即可求解； （3）分点P在BM上，点P在BC上讨论，利用特殊位置求出CQ的长，即可求解． 【详解】解：（1）当于点时，最短 ∵，， ∴ ∴在中， ∴ （2）如图1，AP=3，BP=4， ∴ 如下图，点在上， ∴ ∵将的面积分成上下4：5两部分时 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）∵点在上， ∴ ∴ ∴ ∴点从点出发运动到点时， 当点从点出发运动到点时，点从点出发沿方向运动（如图）    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴ 当时有最大值是 ∵当时 ∴点从点出发运动到点时，点运动的路程是 ∴整个运动过程点运动的路径长为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想和特殊位置求运动长度是本题的关键． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．动点D从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，过点D作AB的垂线交射线AC于点E，过点E在DE右侧作EF⊥DE，且使∠EDF＝∠A．设点D运动的时间为t秒． （1）用含t的代数式表示EF的长； （2）当点F落在BC上时，求t的值； （3）在点D运动的过程中，求△DEF与△ABC重叠部分图形的周长（长度单位）与运动时间t（秒）之间的函数关系式（y＞0）； （4）在点D运动的过程中，当△DEF的边被BC平分时，直接写出t的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或t = 或t =． 【分析】（1）由勾股定理解得AB的长，继而证明，，根据相似三角形的对应边成比例解题； （2）由平行线的判定定理得到，继而证明，得到，继而解题； （3）分三种情况讨论，再由周长公式解题； （4）分情况讨论，①当DF被BC平分时，设交于点，则是的中点，可得： 再列方程解方程可得答案；②当EF被BC平分时，证明，再根据边的关系求出，③当DE被BC平分时，证明，求出，再根据边的关系求出． 【详解】解：（1）由题意知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）当时， 重合部分， ； 如图3-1所示，当与重合时， ∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADC， ∴△ACB∽△ADC， ∴即 ∴， 如图3-2所示，当时， 由（1）得：， 则， ∵， ∴△CEI∽△CAB， ∴， ∴，, ∴， ，，∠A+∠B=90°， ∴∠EDF+∠QDB=90°， ， ∴DQ=BQ， ∴ 如图3-3所示，当 时， 同理可证QD=QB， ∴， ∵DE⊥AB， ∴∠MDB=∠ACB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△MDB∽△ACB， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴        ∴综上所述， （4）①当DF被BC平分时，设交于点，则是的中点，如下图所示， 同理可得： ， ， ②当EF被BC平分时，设EF交于点I，EI= ，过点I做AB 的垂线交AB于点H，如下图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴HB=， ∴， ∵， ∴， ∴， ③当DE被BC平分时，设DE交BC 于点M，EM= =，如下图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的综合题，涉及直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 12．如图，在中，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点C匀速运动．同时，动点Q从点C出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动．当点P不与点重合时，连结．以直线为对称轴作的轴对称图形．连结．设点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长度为________； （2）当直线与垂直时，求t的值； （3）当是钝角三角形时，求t的取值范围； （4）当的一边与垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或． 【分析】（1）根据直接求得CQ即可； （2）由，得到PQ∥AB，列得，代入数值求解即可； （3）当EP⊥AC时，由，，PC=PE证得四边形是正方形，可得PC=CQ，列得6-3t=4t，求解；由点P运动到点C时，列得，求出t的值，即可得到取值范围； （4）分两种情况：①当QE⊥AB时，则PE∥AB，延长QE交AB于点H，延长PE交BC于点N；②当PE⊥AB时，则EQ∥AB，延长QE交AC于点M，延长PE交AB于点G，分别利用相似三角形的判定及性质解答即可． 【详解】（1）EQ=CQ=； （2）由题意可得， ， ， ， ． （3）当EP⊥AC时，， 又， 四边形是矩形． 又， ∴矩形是正方形． ， ， ． 当点P运动到点C时，， ． 的取值范围是． （4）在△ABC中，， ∵， ∴△ABC是直角三角形，， 分两种情况： ①当QE⊥AB时，则PE∥AB，延长QE交AB于点H，延长PE交BC于点N，如图， ∵NE∥AB，QE⊥NE， ∴∠QEN=∠C，∠QNE=∠B， ∴△QEN∽△ACB， ∴， ∴， 解得：， ∵PN∥AB， ∴， ∴， 解得； ②当PE⊥AB时，则EQ∥AB，延长QE交AC于点M，延长PE交AB于点G，如图， ∵ME∥AB，PE⊥ME， ∴∠PEM=∠C，∠PME=∠A， ∴△PME∽△BAC， ∴， ∴， 解得：， ∵MQ∥AB， ∴， ∴， 解得； 综上，当的一边与垂直时，或． 【点睛】此题考查三角形与动点问题，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定及性质，正方形的判定及性质，解题的关键是抓住动点，化动为静，确定线段、图形间的数量关系，建立所求的关系式解答问题． 13．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3，对角线AC、BD相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿C→O→B运动．到点B停止，点Q沿A→D→C运动，到点C停止．连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为x（s）．   （1）填空：BO＝________cm；     （2）当PQ//CD时，求x的值；     （3）当 时，求y与x之间的函数关系式；     （4）直接写出在整运动过程中，使AQ＝PQ的所有x的值． 【答案】（1） ；（2） ；（3）；（4） 时，AQ＝PQ 【分析】（1）利用勾股定理，可求出AC的长，利用矩形的对角线互相平分，可得BO= BD，从而求出BO的长. （2）根据平行线可证△APQ∽△ACD， 利用相似三角形的对应边成比例，可得   ， 即得  ，求出x值即可. （3）运动过程分三个阶段，①如图2，当     时  ， 过点P作PE⊥AD，垂足为点E；②如图3，当4＜x≤5时，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，延长FP交CD于点G， 可得PF∥AD；③如图4，当5＜x≤7时，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，则QH＝AD＝4.分别根据相似三角形的判定与性质进行解答即可； （4）分三种情况讨论，①当点P在OC上时，如图5 ，②当Q与D重合时，如图6， ③ 当点P停止运动，Q运动到CD的中点时，如图7， 分别求解即可. 【详解】（1）解：∵在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3， ∴AC＝ ， ∴BO＝ ， 故答案为： （2）解：如图1：   ∵PQ//CD， ∴△APQ∽△ACD， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：如图2，当 时，过点P作PE⊥AD，垂足为点E，    ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠PED＝90°， ∴PE∥AB， ∴△DPE∽△DBA， ∴ ， ∴ ， ∴PE＝ ， ∴ ， 如图3，当4＜x≤5时，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，延长FP交CD于点G， 则PF∥AD， ∵△BPF∽△BDA， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴S四边形PQCB＝S△BCD﹣S△PQD＝ ， ∴ ； ∴S△APQ＝S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ﹣S四边形PQCB = ＝ ， ∴ ； 如图4，当5＜x≤7时，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，则QH＝AD＝4， ∴S＝6， 综上所述 ， （4）AQ＝PQ，   当点P在OC上时，如图5，作QH⊥AC于H， 则AH＝HP，△AHQ∽△ADC， ∴ ， ∵AQ＝CP＝x， ∴AH＝ x， ∴ x+ x+x＝5， 解得，x＝ ； 当Q与D重合时，如图6，AQ＝4，QP＝4， ∴x＝4时，AQ＝PQ； 当点P停止运动，Q运动到CD的中点时，如图7， AQ＝PQ，则△ADQ≌△BCQ， ∴DQ＝QC， ∴AQ＝ ， 此时，x＝ ， ∴ 时，AQ＝PQ. 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是熟练运用以上性质定理，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面． 14．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段的中点，点H在下方，，，设点P运动的时间为t（秒）． （1）当点P在边上运动时， ①线段的长为_______．用含t的代数式表示） ②若与重叠部分为轴对称图形，求t的值． （2）当点H落在边上时，求的长． （3）取边的中点E，边的中点F，连结，当时，直接写出t的值． 【答案】（1）①；②；（2）的长为或；（3）或． 【分析】（1）①表示出CP的长，即可得到线段PQ的长； ②若与重叠部分为轴对称图形，则△PQD△EQD，求得QE=AQ，根据PQ=QE，列方程求解即可； （2）分点P在边AC上和在边BC上两种情况讨论，利用三角函数以及相似三角形的判定和性质求解即可； （3）分点P在边AC上和在边BC上两种情况讨论，同理求解即可． 【详解】（1）①由题意得：AP=2t， ∴CP=AC- AP=4-2t， ∴PQ=CP=， 故答案为：； ②如图，设PH与AB相交于D，QH与AB相交于E， ∵∠HQP=∠ABC，∠ACB=∠HPQ=90°， ∴∠A=∠H， ∵∠ADP =∠HDE， ∴∠A+∠ADP =∠H+∠HDE， ∴∠HED=∠APD=90°，即∠QED=90°， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4， BC=3， ∴AB=， ∴， 在Rt△AQE中，AQ=AP+PQ， ∴， ∴QE=AQ， 若与重叠部分为轴对称图形，则△PQD△EQD， ∴PQ=QE， ∴， 解得：； （2）由（1）知∠ACB=90°，AC=4， BC=3，AB=， ∴，， 当点P在边AC上，即时，若点H落在边上，如图： 在Rt△PQH中，∠HQP=∠ABC，PQ， ， ∴QH=， 在Rt△AQH中，AQ=AP+PQ， ∴， ∴QH=AQ， ∴， 解得：， ∴AH=， ∴BH=5- AH=； 当点P在边BC上，即时，若点H落在边上，如图： ∵∠HQP=∠ABC，∠HPQ=90°， ∴PQ=PB， 同理，PQ==PB，而PB=AC+AB-2t， ∴， 解得：， ∴PB， ∵∠HPQ=90°，∠ACB=90°， ∴HP∥AC， ∴，即， ∴BH=； 综上，的长为或； （3）当点P在边AC上时，延长QH交AB于N，过F作FM⊥AB于M，如图： ∵EF∥AB，且FM⊥AB，由（1）知QN⊥AB， ∴四边形EFMN是矩形， ∴EN=FM， ∵E是边QH的中点，F是边BC的中点， ∴， 同理求得：QN=AQ，QH=，， ∴QE=QH=， ∴EN=QN-QE=， ∴， 解得：； 当点P在边BC上时， ∵EF∥AB， ∴∠QFE=∠ABC， ∵∠HQP=∠ABC， ∴∠HQP=∠QFE， ∴EF=EQ=EH， ∵∠HPQ=90°， ∴点P与点F重合，如图： ∴， 解得：； 综上，t的值为或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是明确题意，画出图形，找出所求问题需要的条件． 15．如图，在中，．动点P从点A出发，沿方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，过点P作交或于点Q（点Q与点A、B、C不重合），以为斜边作，其中，且点R与点C始终在直线的同侧．设点P运动的时间为t秒． （1）的长是________． （2）用含t的代数式表示线段的长． （3）当点R落在的平分线上时，求t的值． （4）M为边的中点，点R关于直线的对称点为N，当直线与的边平行时，直接写出此时t的值． 【答案】（1）12；（2）时，，时，；（3）；（4），, 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）分两种情形：当点Q在AC上时，由△APQ∽△ACB可得PQ，然后可求得AQ，再由△PQR∽△ABC，可求得PR，再根据Q点在AC上，则，可得t的取值范围；同理，当点Q在BC上时，可求得PR，及BQ，再根据0<BQ<16，求得t的取值范围． （3）设角平分线交AC于点M，分别过R、M作AB的垂线，垂足分别为D、N，利用角平分线的性质及勾股定理可求得MC的长，易得△MBC∽△RBD；分两种情形：根据上问的有关结论，利用相似三角形对应边成比例可分别求得t的值； （4）分四种情形：点Q在AC上两种，点Q在BC上两种，MN与△ABC的边平行有两种情况： MN∥AC及MN∥BC，利用（2）中的结论及相等的角的三角函数值相等，得到方程，解方程即可解决． 【详解】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得： （2）当Q在上时， ∵PQ⊥AB，∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB   ∴△APQ∽△ACB ∴ ∴，由勾股定理得： ∵∠RQP=∠B，∠R=∠ACB=90° ∴△PQR∽△ABC ∴ ∴ 当点Q在线段AC上时，则 即 ∴ 即当时， 当Q在边上时，，此时，如图 ∵△QBP∽△ABC ∴， ∴， ∴ ∵0<BQ<16 即 解得： 即当时， 综上所述，当时，；当时， （3）当Q在上时，作，设∠ABC的角平分线交AC于点M，过点M作MN⊥AB于点N，如图 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴△RPD∽△ABC ∴ ∴， 由角平分线性质得：MC=MN，且BN=BC=16 ∴AN=AB-BN=4 设MC=MN=x，则AM=12-x 在直角△MAN中，由勾股定理得： 解得： 即 ∴BC=3MC ∵∠MBC=∠MBA ∴Rt△MBC∽Rt △RBD ∴ ∴ ∴， 当Q在上时，作于点E，如图 此时同理， ∵ 同理可得：，，且 ∵ ∴ ∴（舍） ∴当时，点R落在∠ABC的平分线上 （4）当Q在边上时，当与平行时，如图所示 设交于点F，直线MN交BC于点G 此时，， ∵ ∴ ∵ ∴，即3NF=4MF ∴ 故得： 当与平行时，如图所示 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，即3MF=4NF ∴ 故得： 此时P点与M点重合，点Q在BC边上，R与C在直线PQ的异侧，不合题意，舍去   当Q在边上时，当时，如图所示 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，即3MF=4NF ∴ 当Q在边上，且时，如图所示 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即3NF=4MF ∴ 解得： 综上所述，满足条件的t值为1或或 【点睛】本题考查了动点问题、解直角三角形、相似三角形的判定和性质，属于三角形综合问题，关键是分类讨论，分类时要注意不重不漏． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06相似三角形中的动点问题 内容概览 目常考题型精推突破 题型1相似三角形动点中求时间多解问题 题型2相似三角形动点中求线段长多解问题 题型3相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 题型4相似三角形中的动点问题与函数图象问题 题型5相似三角形中的动点与儿何图形探究问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1相似三角形动点中求时间多解问题 1.如图所示，在三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点B 停止，点E从点C出发以2Cms的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A,D,E为顶 点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s. B E←二C 2.如图，△ABC中，AB=8cm,AC=16cm,点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从 C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动.其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动.那么， 当以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是， P 3.如图，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，AO=8,OC=6,点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度 向终点A运动，同时点Q从点A出发以好个长度单位砂的速度向终点C运威，运对时间为？砂，当 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠OPQ的平分线恰好经过OC的中点时，t的值为 4.如图，在△ABC中，AB=4cm,AC=8cm,点P从B点出发沿BA方向向终点A以1cm/s的速度移 动；同时，点Q从A出发沿AC方向向终点C以2cm/s的速度移动.设运动时间为ts,当t=时， △ABC与△APQ相似. B 5.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm.点P从点A出发沿AB边向点B以1cms的 速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，两点同时出发.问运动几秒后，△PBQ 与△ABC相似？ C o ■ AP→B ◆题型2相似三角形动点中求线段长多解问题 6.如图，直角梯形ABCD中，AD‖BC,∠B=90°，AD=3,BC=6,点E在高AB上滑动，若 △DAE与△EBC相似，则当AE=2时，EB=() B A.4 B.6 C.4或9 D.4或6 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AB=3,CD=2,BD=7.点P在BD上移动，当以P,C,D为顶点 的三角形与△ABP相似时，则PB的长为(). A.6或1或3.5 B.1或3.5或4.2 C.4.2或1或6 D.6或4.2或3.5 8.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE,垂足为F. 当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为· y P B E 9.如图，△ABC在平面直角坐标系中，AB与y轴交于点D,已知点A1,4,C3,0,D0,3,M是线段 BC上一点，连接DM,若△ODM与△CAD相似，则CM的长为· y D C ◆题型3相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=6,BD=2,以点B为圆心，BD长为半径作圆，点 B为OB上的动点，连结BC,作FCLCE,垂足为C,点r在直线BC的上方，且满足CP=号CE,连结 BF.当点E与点D重合时，BF的值为·点E在⊙B上运动过程中，BF存在最大值为 3/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,点E为边BC上的 动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是() B A.1.5 B.1.2 C.2.4 D.以上都不对 ◆题型4相似三角形中的动点问题与函数图象问题 12.如图所示，在平面直角坐标系中直线AC为y=3X+8分别与坐标轴交于A、C两点，点P从点A开始 向终点B以1Cm/s速度移动，点Q从B点向终点C以2Cm/s的速度移动，P,Q分别从A,B两点同时出 发，设运动时间为t秒. A P B (1)几秒后，PQ的长度等于4V2cm？? (2)线段PQ能否将△ABC分成面积3：5的两部分？若能，求出运动时间：若不能说明理由. (3)若△ABC与△BPQ相似，求t的值， 13.如图，在平面直角坐标系内，已知点A0,6、点B8,0,动点P从点A开始在线段A0上以每秒1个单 位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设 点P、Q移动的时间为t秒. 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B (1)当t为何值时，以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似？ (2)△APQ的面积能否为6个平方单位？若能，求出t的值；若不能，请说明理由. 14.如图，已知点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，AO=3,AB=5,点P在线段AB上，从 点A出发以每秒5个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t(O<t<1)秒，过点P作PQ⊥y轴于点Q. B A 0当t= 2时， 线段PQ的长为 (2)当PQ=PA时，求t的值： (3)在x轴上是否存在点M,使△ABM为等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理 由. 15.如图，点A、B在x轴上，点C在y轴上，且OA=2,OB=4,OC=8,直线MN过AB的中点且与y 轴平行，与直线BC交于点M,与x轴交于点N. C M B 备用图 (1)求点M的坐标： (2)若点P是直线MN上的一个动点，以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，求出点P的坐标： 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)点Q是y轴上的一点，点R在x轴上，直接写出使△MQR为等腰直角三角形的Q的坐标. 16.如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是5,2， 点P是CB边上一动点（不与点C,B重合），连接OP,AP,过点O作射线OE交AP的延长线于点E,交 CB边于点M且∠AOP=∠COM,令CP=X,MP=y. E M B (1)当x为何值时，OP⊥AP? (2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 ◆题型5相似三角形中的动点与几何图形探究问题 17.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=3cm,点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，两点同时出发，速度均为1cm/s,设运动时间为ts(0<t<4). B (1)当以B,P,Q为顶点的三角形与△DCQ相似时，求t的值： .21 (②当t取何值时，四边形PBCQ的面积等于号cm? 3)是否存在某一时刻t,使CQ⊥PQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由： l8.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,点P、Q分别是AB、BC边上的动点，若点P以 Icms的速度从点A出发向点B运动，点Q以2cm/s的速度从点B出发向点C运动，且两点同时出发，则出 发时间为 秒时△BCD与△PBQ相似. 6/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B Q l9.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=4cm,点F是BC的中点.点E,G分别从点A,C两点同 时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动.点E,G的速度均为1Cm/s,当点E到达点B时，两个点随之停止 移动.设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为Scm. A E G (1)当t=1秒时，S的值是多少？ (2)当t为何值时，以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似？请说明理由， 20.如图，矩形ABCD中，AB=16,BC=8,点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q. C B (1)若△APQ与△CDQ的周长比为1：3，求AP的长， (2)点P从点A出发沿边AB以每秒2个单位长度的速度向点B移动，移动时间为t秒.请通过计算说明：当t 为何值时，DP⊥AC? 21.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB=6cm,BC=8cm点E从点D出发，沿DA方向匀速运动， 速度是2cm/s;点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s,MN是过点F的直线，分别交AB、 BC于点M、N,且在运动过程中始终保持MN⊥BD.连接EMEN、EF,两点同时出发，设运动时间为t (s)(0<K3.6),请回答下列问题： 7/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E←刀 (I)求当t为何值时，△EFD~△ABD? (2)求当t为何值时，△EFD为等腰三角形； (3)将△EMN沿直线N进行翻折，形成的四边形能否是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理 由. 综合攻坚知能拔高 一、填空题 1.如图，已知矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点M,N分别在边AD,BC上，沿着N折叠矩形 ABCD,使点A,B分别落在B,F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），若DF=号DC,则折叠 后重叠部分的面积为 D 0 B W 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4,0)，点B在第一象限内，AB=4,∠BAO=60°，点E是 线段OA上的一个动点，连接BE,将射线EB绕点E顺时针旋转6O°交AB于点F,当BF最短时点F的坐标 是 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 二、解答题 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cL,BC=6Cm.现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点 A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC一CB向终点运动.如果点P的速度是1cs,点Q的速度是 1cs.它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为t秒， (1)如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q点的三角形与△ABC相似？ (2)如图2，Q在CB上，否存着某时刻，使得以点B、P、Q顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由 C O B A B P A 图1 图2 4.如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向 点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以3c/s的速度向点A运动，设运动时间为x秒. (1)当x为何值时，BP=CQ: (2)以A、P、Q为顶点的三角形能否与以C、Q、B为顶点的三角形相似？若能，求出x的值；若不能，请 说明理由. 5.如网.A0,4.BO2.AC∥x轴，与直线y-号x交于点C,CD上轴于点D,P呢折线AC-CD上 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一动点.设过点B,P的直线为l (1)点C的坐标为 (2)若直线I所在的函数随x的增大而减少，则PD的取值范围是 (3)若动点P在AC上运动，△ABP与△AOC相似时，求此时直线l的解析式. B ■ D宝 6.如图，在△ABC中，AC=4,BC=3,∠ACB=90°.点P是线段AC上不与点A重合的动点，过点P作 PQ⊥AC交AB边于点Q.将△APQ绕点P顺时针旋转90得到△A'PQ',设线段AP的长为4t. B A (1)直接用含t的代数式表示线段PQ的长. (2)当点B落在线段A'Q'上时，求t的值. (3)设△A'PQ'与△ABC重叠部分的面积为S,当重叠部分为四边形时，求S与t的函数关系式. (4)若点M是AB边的中点，N是A'Q'的中点，当直线MN与△ABC一直角边所在直线夹角恰好等于 ∠A时，直接写出t的值， 7.已知如图，在t△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向 点A匀速运动：点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点P、Q同时出发，当点 P到达点A时停止运动，点Q也随之停止.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D, 交折线QB一BC-CP于点E.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0), 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-D (1)当t仁2时，AP=_,点Q到AC的距离是_： (2)在运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） (3)在点E运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由： 8.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5cm,BC=8cm,AD⊥BC,垂足为D,F为AD中点.点P从点 B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lc/s同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为 1c/s:点E为点P关于AD的对称点，连接PQ、FQ、EF、AE,设运动时间为t(s)(0<t<4),解答 下列问题： (1)当PQ儿AE时，求t的值； (2)设四边形AEPQ的面积为y(cm),试确定y与t的函数关系式： (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使∠DFE=∠AFQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明 理由 9.如图，等边△ABC的边长为12，点D,E分别在边AB,AC上，且AD=AE-4,点F为BA延长线上一点， 过点F作直线‖BC,G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线I于点H,连接FE并延长交BC于点 M,连接HE并延长交射线BC于点N. (1)若AF-4,当BG4时，求线段HF和EH的长； (2)若AF=a(a>0),点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变.若不变，求出其值（用含a 的代数式表示)：若改变，请说明理由. (3)在(2)的条件下，是否存在点C和点G是线段BN的三等分点的情况？若存在，求出此时α的值： 若不存在，请说明理由. 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H F A D GMCN I0.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=B,tanC=子，点M、N分别在AB、BC上，且AM=CN=2 点P从点M出发沿折线MB-BN匀速移动，到达点N时停止；而点在AC边上随P移动，且始终保持 ∠APQ=∠B M M Q N 备用图 (I)求点P在BN上运动时，点P与点A的最短距离： (2)若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长： (3)求整个运动过程点Q运动的路径长， 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4.动点D从点A出发，以每秒3个单位长度的速度 向终点B运动，过点D作AB的垂线交射线AC于点E,过点E在DE右侧作EF⊥DE,且使∠EDF=∠A. 设点D运动的时间为t秒. (1)用含t的代数式表示EF的长： (2)当点F落在BC上时，求t的值； (3)在点D运动的过程中，求△DEF与△ABC重叠部分图形的周长y(长度单位)与运动时间t(秒)之 间的函数关系式(y>0): (4)在点D运动的过程中，当△DEF的边被BC平分时，直接写出t的值. B 12.如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,动点P从点A出发，沿AC以每秒3个单位长度的速度 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 向终点C匀速运动.同时，动点Q从点C出发，沿CB以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动.当 点P不与点A,C重合时，连结PQ.以直线PQ为对称轴作△PCQ的轴对称图形△PEQ.连结CE.设点P 的运动时间为t秒. B (1)用含t的代数式表示线段EQ的长度为 (2)当直线CE与AB垂直时，求t的值： (3)当△PCE是钝角三角形时，求t的取值范围； (4)当△PEQ的一边与AB垂直时，直接写出t的值， 13.如图，在矩形ABCD中，AD=4,DC=3,对角线AC、BD相交于点O,动点P、Q分别从点C、A同 时出发，运动速度均为1cs,点P沿C→O→B运动.到点B停止，点Q沿A→D→C运动，到点C停止. 连接AP、AQ、PQ,设△APQ的面积为y(cm2)(这里规定：线段是面积为0的几何图形)，点Q的运动 时间为x（s). Q D 备用图 (1)填空：BO= CHL; (2)当PO/CD时，求x的值： 3)当号x≤7时，求y与x之间的函数关系式 (4)直接写出在整运动过程中，使AQ=PQ的所有x的值. 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点P从点A出发，沿折线AC-CB以每秒2 个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段CP的中点，点H在PQ下方，∠HPQ=90°， ∠HQP=∠ABC,设点P运动的时间为t(秒). 13/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q A B H (1)当点P在边AC上运动时， ①线段PQ的长为 .用含t的代数式表示) ②若△PQH与△ABC重叠部分为轴对称图形，求t的值. (2)当点H落在边AB上时，求HB的长. (3)取边QH的中点E,边BC的中点F,连结EF,当EF∥AB时，直接写出t的值. 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=20,BC=16.动点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个 单位长度的速度向终点B运动，过点P作PQ⊥AB交AC或BC于点Q(点Q与点A、B、C不重合)，以 PQ为斜边作Rt△PQR,其中∠RQP=∠B,且点R与点C始终在直线PQ的同侧.设点P运动的时间为 t秒 B (1)AC的长是 (2)用含t的代数式表示线段PR的长， (3)当点R落在∠ABC的平分线上时，求t的值， (4)M为边AB的中点，点R关于直线AB的对称点为N,当直线MN与△ABC的边平行时，直接写出此 时t的值， 14/14