专题06 一元二次方程的应用的五种培优题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题06 一元二次方程的应用的五种培优题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、营销问题 题型二、与图形有关的问题 题型三、动态几何问题 题型四、工程问题 题型五、数字类问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程的应用是初中数学一元二次方程核心考点，所有题型均围绕营销问题、几何问题、工程问题及数字类问题展开，解题贯穿基本底线原则：基本运算能力。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、营销问题 典例1 甲公司销售成本价为40元的产品，如图所示，该产品的月销量（单位：kg）与售价（单位：元／kg）之间的函数关系图象： (1)求月销量与售价之间的函数关系式，并求出当售价为50元时，该产品的月销量与总利润； (2)若商家要求进货成本控制在15000元以内，则当售价为多少时，总利润为8000元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为，当售价为50元/kg时，总利润为5000元． (2)当售价为80元时，总利润为8000元 【分析】（1）根据图象求出一次函数的解析式即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，则 解得 ． 当时，． 利润为（元）． 故与之间的函数关系式为，当售价为50元／kg时，该产品的月销量为500kg，总利润为5000元． （2）解：依题意，得， 整理，得， 解得． 当时，，此时成本为，不合题意，舍去； 当时，，此时成本为． 综上所述，当售价为80元时，总利润为8000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，正确的运算是解题的关键． 题型模版 1.特征：营销问题. 2.方法：根据题意，得到数量与单价的等量关系式，列出关于一元二次方程，解方程即可得到答案. 变式1-1 某零食店销售牛轧糖、雪花酥2种糖果，如果用800元可购买5千克牛轧糖和4千克雪花酥，用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥． (1)求牛轧糖、雪花酥每千克的价格分别为多少元？ (2)已知该零食店在12月共售出牛轧糖50千克、雪花酥30千克．春节将近，1月份超市将牛轧糖每千克的售价提升元，雪花酥的价格不变，结果与12月相比牛轧糖销量下降了千克，雪花酥销量上升千克，但牛轧糖的销量仍高于雪花酥，销售总额比12月多出250元，求的值． 【答案】(1)每千克牛轧糖的价格为80元，每千克雪花酥的价格为100元；(2)10． 【分析】（1）根据题意，设每千克牛轧糖为x元，每千克雪花酥为y元，然后列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意，由销售总额比12月多出250元，列出关于m的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，设每千克牛轧糖为x元，每千克雪花酥为y元，则 ，解得：， ∴每千克牛轧糖的价格为80元，每千克雪花酥的价格为100元； （2）解：根据题意， 12月的销售总额为：（元）， ∴， 解得：或； ∵， 解得：， ∴； ∴的值为10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题． 变式1-2某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） (1)请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； (2)若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； (3)若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 元或元 (3) 【分析】（1）根据表中所示规律求出售价为元时的日销量即为的值； （2）设该日此种商品每件的售价是元，列一元二次方程求解即可； （3）分别列出表示日销量是件和件时的日利润，根据日利润相等可得等式为整理得到、的关系即可． 【详解】（1）解：由规律可知销售价格每增加元，日销量减少件， ； （2）解：设该日此种商品每件的售价是元，则每日的销售量为件， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 答：每件商品售价是元或元时，该种商品的总利润为元； （3）解：商品每件的售价是元，由每日的销售量为件， 当销量为件时，可得：， 该商品的售价是元/件， 同理可得：当销量为件时，该商品的售价是元/件， 根据题意可得：， 整理得：， ， ， 即， 答：当时，销售该商品的日利润相同． 变式1-3某商店销售一种销售成本为元/千克的水产品，若按元/千克销售，一个月可售出，销售价每涨价1元，月销售量就减少． (1)写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； (2)当销售单价定为元时，计算月销售量和销售利润； (3)商店想在月销售成本不超过元的情况下，使月销售利润达到元，销售单价应定为多少？ (4)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】(1)y与x之间的函数关系式为：（）； (2)销售单价定为元时，月销售量为千克，销售利润为元； (3)销售单价应定为元； (4)当售价定为元时会获得最大利润，最大利润为元； 【分析】（1）根据利润（售价进价）数量即可得到答案； （2）将代入解析式即可得到答案； （3）根据利润达到元列方程求解即可得到答案； （4）将函数配方，根据函数的性质直接判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， ， 其中，，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：（）； （2）解：由（1）得， 当时，月销售量为：千克； 销售利润为：， 答：销售单价定为元时，月销售量为千克，销售利润为元； （3）解：由题意可得， ， 解得：，． 当时，销售成本为：元元．舍去； 当时，销售成本为：元元． 答：销售单价应定为80元； （4）解：∵， ∴， ∴，y有最大值， ∴当时，元； 【点睛】本题考查二次函数解决销售利润问题及一元二次方程解决销售利润问题，解题的关键是根据题意得到数量与单价的等量关系式． 题型二、与图形有关的问题 典例2 某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 【答案】(1) (2)①米；②米；③， 【分析】（1）设平均每年降低的百分率为，根据“游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万”列方程求解即可； （2）①由题意可知垂直于墙的边总长为，上有两个宽1米的门，根据总篱笆长列方程求解即可； ②根据花圃面积列方程求出x的值，根据墙的最大可用长度取合适的值即可； ③先求出x的取值范围，根据花圃面积求出花圃面积，根据平方的非负性作答即可． 【详解】（1）解：设平均每年降低的百分率为， 根据题意可知， 整理得， 即， 解得：（负值舍去）； （2）解：①垂直于墙的边共3段，总长为米，上有两个宽1米的门，门不用篱笆， ∵总篱笆长为34米， ∴， 解得：米； ②由①知米，米， ∵所围成花圃面积为105平方米， ∴， 解得，． 根据墙的最大可用长度可知：， 解得， 即； ③由题意可知， 解得：， 花圃面积平方米， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值108平方米． 题型模版 1.特征：与图形有关的问题. 2.方法：根据题意设未知数，列出边长与面积之间的关系即可. 变式2-1有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________． 【答案】(1)截去的小正方形的边长； (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据长方形的面积公式列一元二次方程求出边长． 设正方形的边长为，根据长方体盒子的底面积为，列一元二次方程求解，要把不符合题意的解舍去； 设左侧阴影正方形的边长为，根据盒子的底面积为为，列一元二次方程求出阴影正方形的边长，再求出盒子底面的长和宽，从而可以求出右侧阴影长方形的长，根据长方形的面积公式求出边角料的面积． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， 答：裁去的正方形的边长为； （2）解：设左侧阴影正方形的边长为， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， 盒子的底面宽为，长为， 右侧阴影长方形的长为， 裁剪下来的边角料面积为， 故答案为：． 变式2-2综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． (1)【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． (2)【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． 【答案】(1)1(2)30米 【分析】（1）设每条小路的宽度是米，根据除小路后菜地面积为2262平方米列方程，解方程即得答案； （2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米，根据花圃的面积刚好为1800平方米列方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：设每条小路的宽度是米， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴每条小路的宽度是1米； （2）解：设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米， ∵水池长70米， ∴，解得， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：的长为30米． 题型三、动态几何问题 典例3如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 题型模版 1.特征：动态几何问题. 2.方法：考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键 变式3-1在矩形中， ，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t的值为时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于10cm (3)存在t的值，使得五边形的面积等于，此时t的值为1 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得，，则，再根据垂直平分线的性质可得进行求解即可； （2）由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 当时，点B在的垂直平分线上， ∴， 解得， ∴当t的值为时，点B在的垂直平分线上； （2）解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 解得：（不合题意，舍去）， ∴当时，的长度等于； （3）解：存在t的值，使得五边形的面积等于，理由如下： 由题意得：， ， ∴五边形的面积， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴存在t的值，使得五边形的面积等于，此时t的值为1． 变式3-2如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 变式3-3如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 【答案】(1)， (2) (3)的值为7 (4)2秒 【分析】本题主要考查动点线段长，面积问题，熟悉一次及二次函数是解题的关键． （1）根据题意写出线段长即可； （2）先求矩形的面积，再利用得出面积表达式，再代入求解，注意取舍； （3）分点在线段上和点在线段上，结合图形得到面积求解； （4）分，，，，，结合图形判断即可； 【详解】（1）当点在边上运动时， ， 则， ； （2）矩形的面积为， ， 则， 又五边形的面积为25， 所以，即，解得或， 又时，点不在边上， 所以的值为1； （3）点沿的路线运动到点的过程中， ①当点在线段上时，，， 此时是的高， ，解得， 当时，， 故点不在线段上，不符合题意； ②当点在线段上时， ，，， ， 解得或， 时，，符合题意； 时，，不符合题意， ， 综上，当的面积为1时，求的值为7． （4）当时，在线段上，如图，易得点在外部， 当时，在线段上，如图，此时， 当时，过点， 所以此时点在外部， 当时，在中点，在中点，如图，此时在上， 当时， ，如图， 当时，过点， 所以此时点在内部， 当时，此时在线段上， 此时点在外部， 综上，时，此时点在内部，共2秒． 题型四、工程问题 典例4某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ，整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 题型模版 1.特征：工程问题. 2.方法：根据题意列出关系式，寻找等量关系即可 变式4-1为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每为种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 【答案】（1）A社区至多种植3天；（2）a的值为40 【分析】（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树，根据B社区种植天数至少是A社区种植天数的倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出的取值范围，取其中的最大值即可得出结论； （2）根据投入的总费用=种植每棵树所需费用×植树棵树，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树， 依题意得：， 解得：x≤18， ∴≤3． 答：A社区至多种植3天； （2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1-a%）×5[1+（a+30）%]=67500， 整理得：2.25-90a=0， 解得：=0（不合题意，舍去），=40． 答：a的值为40． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 变式4-2为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【答案】(1)300(2)5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 题型五、数字问题 典例5月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 题型模版 1.特征：数字问题. 2.方法：注意掌数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键 变式5-1已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1) 解： 21与48是“幸福数对”． 理由： ，． ． 与48是“幸福数对”． (2)42和36 【分析】本题考查新定义的判断，运用方程解决问题，理解题意是解题的关键； （1）根据“幸福数对”的定义计算即可； （2）根据“幸福数对”的定义计算得，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，各数位上的数字均为0到9的整数，且十位数字不为0， 这两个两位数，分别为，． 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数为，． 这两个数为“幸福数对”， ． 化简，得． 解得 ，． 经检验，符合题意， ∴这两个两位数分别为42和36． 变式5-2阅读材料，解决问题． 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数． 则第n个三角数可以用（且为整数）来表示． (1)若三角数是55，则______； (2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和； (3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3) 不能，理由如下： 假设能为120，则，即 解得：， ∵n为正整数， ∴前n行的点数和不能为120． 【分析】（1）直接根据题意建立方程进行求解即可； （2）根据题意得到前n行所有点数的和为，然后提取公因数2即可得到答案； （3）根据题意建立方程，求出n不是正整数即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，即， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：10； （2）解：由题意得：前n行所有点数的和为 ； （3）略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； (2)当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 【答案】(1) (2)该矩形停车区的占地面积不能达到 【分析】（1）当时，利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件，再根据面积为列方程求解． （2）令矩形面积等于，再判断一元二次方程是否有解，从而判断能否达到该面积． 【详解】（1）解：由题意可知，垂直于外墙的边长． 金属护栏总长为 ，且平行于外墙的一侧预留两个 宽的门． 所以平行于墙的边长为 当 时，可得， 解得， 由该电动车停放区的占地面积为， 可得，整理得 解得 因为 必须满足 ，所以 不符合题意，舍去． 所以， 所以，当时，若该电动车停放区的占地面积为， 的值为 ． （2）解：当外墙长度 足够大时，平行于墙的边长 为 ， 可得，解得， 又因为边长必须为正数， 所以 当矩形停放区的占地面积为时， 可得，整理得， 因为， 所以方程无实数解， 即该矩形停车区的占地面积不能达到 ． 2．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． 3．广阳岛经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 【答案】(1)9月试营业期间轮渡票价格为50元/张，摆渡车票价格为20元/张 (2)a的值为30 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张，利用数量总价单价，结合预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值，再将其代入，中，即可求出结论； （2）利用销售总额销售单价销售数量，结合十月份轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ，． 答：9月试营业期间轮渡票价格为50元张，摆渡车票价格为20元张； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：的值为30． 4．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)5 (3)t为或 (4)或2或或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确的列方程； （1）当运动时间为时，根据点和点的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （4）分，，三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， 故答案为：；． （2）依题意得：，解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，如图所示． 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得， 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． （4）解：当时，过P作， 四边形是矩形， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过Q作于E， 同理可证：四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得：或， 当时， 在中，， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或2或或． 5．【观察思考】 【规律发现】 （1）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，，图中小正方形个数记作，则______，______；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）结合上述规律，试说明是否存在正整数，使得等于的4倍？ 【答案】（1），； （2）存在，理由如下： 根据题意：， 整理得：， 即， ∴，（舍去） 故时，使得等于的4倍． 【分析】本题主要考查了图形规律探索以及一元二次方程的应用． （1）根据图形规律总结出规律并表示出来即可，并计算出结果． （2）根据题意列出关于n的一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）图1中小正方形的数量是：（个） 图2中小正方形的数量是：（个） 图3中小正方形的数量是：（个） … 图n中小正方形的数量是：个， ， 故答案为：， （2）略 6．【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， ∴第个图案中“”的个数是个， 故答案为：； （）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数是个， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中“○”的个数是， ∴第个图案中“○”的个数是， 故答案为：，； 由题意可得，， 整理得，， 解得：（舍去）或． 7．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 8．每年的月日是我国的植树节．今年植树节期间清江、东风两个社区计划共植树棵，清江社区每天种植棵树，东风社区每天种植棵树． （1）如果植树计划恰好完成，要求东风社区植树天数不超过清江社区植树天数的，那么清江社区至少植树多少天？东风社区至多植树多少天？ （2）清江、东风两个社区种植一棵树的所需费用分别为元和元．在实际植树过程中，社区决定加大投入种更多的树，总费用共投入元；清江社区每天种植棵数减少了，而植树的天数比（1）问中清江社区最少植树天数增加了，增加的百分数是每天种植棵数减少百分数的一半还多个百分点；东风社区每天种植棵数不变，而植树天数比（1）问中东风社区最多植树天数也增加了，增加的百分数正好是清江社区每天种植棵数减少百分数的倍．求这两个社区实际植树棵树分别为多少？ 【答案】（1）清江社区至少植树天，东风社区至多植树天；（2）两个社区实际植树棵树分别为棵，棵 【分析】（1）设清江社区植树天，东风社区植树天，根据题中共植树390棵及东风社区植树天数不超过清江社区植树天数的，列出二元一次方程及不等式，求解即可； （2）设清江社区每天植树棵数减少的百分数为，根据题意中总费用为67500，然后分别计算清江社区和东风社区的费用，求和即为总费用，进行求解一元二次方程，然后代入实际植树的代数式中即可得出答案． 【详解】（1）设清江社区植树天，东风社区植树天， 由题意得 解得，， 答：清江社区至少植树天，东风社区至多植树天． （2）设清江社区每天植树棵数减少的百分数为， 则 整理得： 解得：（舍）或 清江社区实际植树：棵， 清江社区实际植树：棵． 答：两个社区实际植树棵树分别为棵，棵． 【点睛】题目主要考查二元一次方程、不等式、一元二次方程的应用，理解题意列出相应的方程是解题关键． 9．如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)当时， 的面积为 (3)存在，或 【分析】（1）根据题意得出时，，当时，，当时，，当时，，即可求解； （2）分两种情况分析：当P在线段 上时，当P在延长线上时，作出相应图形，然后利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况分析：当平分时，当平分的外角时，利用角平分线的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理解三角形求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：∵， 动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是， ∴， ∴时，， 当时，， ∴ ∵P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发， ∴当时，， 当时，， ∴； （2）根据题意得：点 P在线段上时，;当点P在延长线上时，， 的面积 ， ①当P在线段 上时： ， 整理得： ， ， ∴方程无实数根； ②当P在延长线上时： ， 整理得：， 解得： ∵此时P在延长线上， ∴,即 舍去，符合题意； 答：当时， 的面积为； （3）存在， 当平分时，过点P作 于点D，如图所示： ∵平分 ， 在 中，， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 当平分的外角时，过点P作 于点D，如图所示： 同理得， ，， ， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：或． 10．阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；； (2)此方程的正根为1 (3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，求出的值，求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，（舍去负值）， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次方程的应用的五种培优题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、营销问题 题型二、与图形有关的问题 题型三、动态几何问题 题型四、工程问题 题型五、数字类问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程的应用是初中数学一元二次方程核心考点，所有题型均围绕营销问题、几何问题、工程问题及数字类问题展开，解题贯穿基本底线原则：基本运算能力。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、营销问题 典例1 甲公司销售成本价为40元的产品，如图所示，该产品的月销量（单位：kg）与售价（单位：元／kg）之间的函数关系图象： (1)求月销量与售价之间的函数关系式，并求出当售价为50元时，该产品的月销量与总利润； (2)若商家要求进货成本控制在15000元以内，则当售价为多少时，总利润为8000元？ 题型模版 1.特征：营销问题. 2.方法：根据题意，得到数量与单价的等量关系式，列出关于一元二次方程，解方程即可得到答案. 变式1-1 某零食店销售牛轧糖、雪花酥2种糖果，如果用800元可购买5千克牛轧糖和4千克雪花酥，用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥． (1)求牛轧糖、雪花酥每千克的价格分别为多少元？ (2)已知该零食店在12月共售出牛轧糖50千克、雪花酥30千克．春节将近，1月份超市将牛轧糖每千克的售价提升元，雪花酥的价格不变，结果与12月相比牛轧糖销量下降了千克，雪花酥销量上升千克，但牛轧糖的销量仍高于雪花酥，销售总额比12月多出250元，求的值． 变式1-2某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） (1)请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； (2)若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； (3)若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 变式1-3某商店销售一种销售成本为元/千克的水产品，若按元/千克销售，一个月可售出，销售价每涨价1元，月销售量就减少． (1)写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； (2)当销售单价定为元时，计算月销售量和销售利润； (3)商店想在月销售成本不超过元的情况下，使月销售利润达到元，销售单价应定为多少？ (4)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 题型二、与图形有关的问题 典例2 某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 题型模版 1.特征：与图形有关的问题. 2.方法：根据题意设未知数，列出边长与面积之间的关系即可. 变式2-1有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________． 变式2-2综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． (1)【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． (2)【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． 题型三、动态几何问题 典例3如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 题型模版 1.特征：动态几何问题. 2.方法：考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键 变式3-1在矩形中， ，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 变式3-2如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 变式3-3如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 题型四、工程问题 典例4某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 题型模版 1.特征：工程问题. 2.方法：根据题意列出关系式，寻找等量关系即可 变式4-1为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每为种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 变式4-2为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 题型五、数字问题 典例5月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 题型模版 1.特征：数字问题. 2.方法：注意掌数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键 变式5-1已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 变式5-2阅读材料，解决问题． 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数． 则第n个三角数可以用（且为整数）来表示． (1)若三角数是55，则______； (2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和； (3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； (2)当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 2．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 3．广阳岛经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 4．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 5．【观察思考】 【规律发现】 （1）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，，图中小正方形个数记作，则______，______；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）结合上述规律，试说明是否存在正整数，使得等于的4倍？ 6．【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 7．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 8．每年的月日是我国的植树节．今年植树节期间清江、东风两个社区计划共植树棵，清江社区每天种植棵树，东风社区每天种植棵树． （1）如果植树计划恰好完成，要求东风社区植树天数不超过清江社区植树天数的，那么清江社区至少植树多少天？东风社区至多植树多少天？ （2）清江、东风两个社区种植一棵树的所需费用分别为元和元．在实际植树过程中，社区决定加大投入种更多的树，总费用共投入元；清江社区每天种植棵数减少了，而植树的天数比（1）问中清江社区最少植树天数增加了，增加的百分数是每天种植棵数减少百分数的一半还多个百分点；东风社区每天种植棵数不变，而植树天数比（1）问中东风社区最多植树天数也增加了，增加的百分数正好是清江社区每天种植棵数减少百分数的倍．求这两个社区实际植树棵树分别为多少？ 9．如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 10．阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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