专题01 一元二次方程的解法的五类综合题型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以五类解法为核心，系统构建一元二次方程求解方法体系，题型与方法对应明确，递进式覆盖基础到技巧，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|5题|通过平方逆运算求解，适用于(x+a)²=b形式|从特殊到一般，基础解法引入| |配方法|5题|通过配方转化为完全平方式，体现转化思想|承接开平方法，为公式法铺垫| |公式法|5题|通用求根公式，基于配方法推导，强调判别式应用|一般解法，体现推理严谨性| |因式分解法|5题|含十字相乘法，利用整式乘法逆运算降次|特殊技巧，培养代数变形能力| |换元法|5题|整体代换简化方程，体现模型意识|高阶技巧，提升复杂问题解决能力|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元二次方程的解法的五类综合题型 题型归纳 题型一直接开平方法解一元二次方程 题型二配方法解一元二次方程 题型三公式法解一元二次方程 题型四因式分解法解一元二次方程 题型五换元法解一元二次方程 题型专练 题型一：直接开平方法解一元二次方程 1.(26-27九年级上全国课后作业)用直接开平方法解方程：(y+2)}'=(3y-1)」 2.(26-27八年级·上海·暑假作业)利用直接开平方法解下列方程： (1)x2=6: (2)x2-900=0」 3.(26-27九年级上全国课后作业)解下列方程： (1)(2x+32-25=0: (2)3(x-12-12=0. 4.(26-27九年级上全国课后作业)解下列方程： (1)3(x-1)+1=16. (2(3x-1)}=4(2x+3)2」 5.(26-27九年级上全国课后作业)解下列方程： (1)(3x+2)}2=36: (2)2.5(x-0.3)2-1.6=0 115 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：配方法解一元二次方程 6.(26-27九年级上·全国课后作业)用配方法解下列方程： (1)x2+8x-9=0: (2)4x2=1+12x. 7.(26-27九年级上·全国课后作业)用配方法解一元二次方程： (1)x2-2x-2=0: (2)4x2+2=6x」 8.(26-27九年级上·全国课后作业)用配方法解方程： (1)x2-4x-3=0」 (2)x2-2x-5=0」 9.(26-27八年级·上海暑假作业)解方程： (1)x2-2x-1=0(用配方法) (2)(x+5)(x+)=12(用配方法) 10.(26-27九年级上·全国课后作业)用配方法解下列方程： (1)3x2-4x-2=0; (2)6x2-2x-1=0: (3)3x2-6=3x: (④)(x-1)(x+2)=-3. 题型三：公式法解一元二次方程 11.(26-27九年级上·全国课后作业)用公式法解下列方程. (1)2x2-7x=4. (2)x(x-2)=3x+1 12.(26-27九年级上·陕西西安开学考试)用公式法解下列方程： (1)-3x2+5x+2=0 (2)2x2-5x+1=0 13.(26-27九年级上·全国课后作业)用公式法解方程： (1)3x2-4x-8=0: 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)x2+2x-4=0 14.(26-27九年级上全国课后作业)用公式法解下列方程： (1)2x2-4x-1=0: (2)7x+1=x2: )0.2r2+5=3 15.(26-27九年级上·全国课后作业)用公式法解下列方程： (1)x2-8x-5=0: (2)x(x-4V2)+8=0: 3)(3x-5)(x-2）=1: (4)x(x+6)=2(x-8) 题型四：因式分解法解一元二次方程 16.(26-27九年级上浙江温州开学考试)解方程： (1)x2-2x=3 (2)x(x+2)=x+2 17.(26-27九年级上·陕西西安·开学考试)用因式分解法解下列方程： (1)(3x-2)2+(2-3x)=0 (2)3x+15=-2x2-10x 18. (26-27九年级上·河北张家口开学考试)嘉嘉解一元二次方程x2-6x+5=0的过程如图所示： 解方程x2-6x+5=0 解：(x-2x-3)=0…第一步 x-2=0或x-3=0…第二步 X=2,x2=3…第三步 (1)嘉嘉的解法从第」 步开始出现错误，她采用的方法为 一；（填写“公式法”、“配方法”、 “因式分解法”) (2)请用正确的方法解方程. 19.(26-27九年级上·全国课后作业)用因式分解法解下列方程： 315 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)(4x-105x+7)=0: (2)xx+2)=3x+6: (3)(2x+3)2=4(2x+3): (④2(x-3)2=x2-9 20.(26-27九年级上·全国课后作业)用整式乘法(x+a(x+b)=x+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分 解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b), 例如：分解因式x2+5x+6时，a+b=5,ab=6,即： x2+5x+6 这样我们就可以把x+5x+6分解为(x+2(x+3).试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)x2+3x+2=0: (2)x2-5x+6=0: (3)x2-5x-6=0: (④)2x2-14x-36=0. 题型五：换元法解一元二次方程 21。(2-23九年级下广东东莞自主招生)解关于的方程：子+ +2=2x+2 22.(25-26八年级下·安徽宣城期中)解下列方程： (1)3x2-2x-1=0: (2(x+x-5(x2+x+4=0. 23.(26-27九年级上全国课后作业)为解方程（x2-1-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个整 体，然后可设x2-1=y,则(x2-1=y,原方程可化为y2-5y+4=0,解得片=1，为=4. 当y=1时，x2-1=1,则x2=2,x=t2: 当y=4时，x2-1=4,则x2=5,x=±5； ∴原方程的根为：：=V2,为=-2，：=5，x,=-V5, 根据以上材料解方程：x-x2-6=0」 415 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(25-26八年级下山东济南期末)解方程(x-1)-5(x-1)+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体， 设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得片=1，=4.当y=1,即x-1=1,解得x=2;当 y=4,即x-1=4,解得x=5.所以原方程的解x=2,x2=5. (1)请你利用这种方法解方程：(2x-1)2-4(2x-1)+3=0: (②)已知A4BC三条边的长度分别为a,b,c,若满足(d+b2-3(a2+b2）-4=0,且c=2,请判断 △ABC的形状，并说明理由， 25.(25-26八年级下·安徽淮北阶段检测)阅读材料：我们在解方程(x-1-5(x-1)+4=0时，可以将 x-1看成一个整体，设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得片=1，乃=4.当y=1时， x-1=1,解得x=2;当y=4时，x-1=4,解得x=5,原方程的解为=2，x2=5. 根据上述材料，解下列方程： (1)(x+5-4(x+5)=0: (2(2y-3)4-18(2y-3)}2+81=0. 5/5可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元二次方程的解法的五类综合题型 题型归纳 题型一直接开平方法解一元二次方程 题型二配方法解一元二次方程 题型三公式法解一元二次方程 题型四因式分解法解一元二次方程 题型五换元法解一元二次方程 题型专练 题型一：直接开平方法解一元二次方程 1.=多4=4 【详解】解：(y+2)}2=(3y-1, y+2=±3y-1), y+2=3y-1或y+2=-(3y-1), 解得%子，⅓=子 2.(1)x=V6,为=-V6 (2)x=30.x2=-30 【详解】(1)解：x2=6, 直接开平方，得x=±√6， x=6,为=-V6: (2)解：x2-900=0 移项，得x2=900. 直接开平方，得x=±30， ∴.x=30,x2=-30」 1/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(1)x=1,x2=-4 (2)x=3,x2=-1 【详解】(1)解：(2x+3}-25=0, (2x+3)}=25, 2x+3=±5. 2x+3=5,2x+3=-5. =1,x2=-4: (2)解：3(x-1)2-12=0, 3(x-1)2=12. (x-1)2=4, x-1=+2, x-1=2,x-1=-2, x=3,x2=-1」 4.(1)x=1+5,为2=1-5 5 (②)x=-7,名=-7 【详解】(1)解：3(x-1)2+1=16, 3(x-12=15, (x-1}=5, x-1=±V5, 解得x=1+5,为2=1-5： (2)解：(3x-1)2=4(2x+3)}2, 3x-1=+2(2x+3). .3x-1=4x+6或3x-1=-4x-6, 5 解得x=-7,为=一7： 50x=景名手 4 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)=1.1,x2=0.5 【分析】(1)利用直接开平方法，把(3x+2)看作一个整体，等式两边同时开平方得到两个一元一次方程， 再分别解一元一次方程即可得到解； (2)先将常数项移到等式右侧，再两边同时除以2.5，直接对含未知数的平方项开平方，得到两个一元一 次方程，再分别解一元一次方程即可得到解： 【详解】(1)解：(3x+2)}=36. 3x+2=±6， 解得气=多与 (2)解：2.5(x-0.3)-1.6=0, 2.5(x-0.32=1.6. (r-0.3}=1.6 2.5 x-03旷- x-03=±4 x=1.1,x2=-0.5 题型二：配方法解一元二次方程 6.(1)x=1,x32=-9 (②x=V0+3 2,5=10+3 2 【分析】按照配方的方法步骤解方程即可. 【详解】(1)解：x2+8x-9=0, x2+8x=9, +8+=+图， (x+4)2=25」 3/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+4=±5. x=1,x2=-9 (2)解：4x2=1+12x, 4x2-12x=1, -3x= -+- 2 :=i0+3 2,5=0+3 2 7.(1)x=1+V3,x2=1-3 (②)x=1,=2 【详解】(1)解：x2-2x-2=0, x2-2x=2, x2-2x+1=2+1, (x-12=3. .x-1=t3, x=1+V5,为=1-V3: (2)解：4x2+2=6x, x2+13 +22x, 31 2、3 919 x+ 216216 -6 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :3 4 4 1 “x=1,6=2 8.(①)x=2+7,x=2-7； (②x=V6+1,x2=-V6+1. 【详解】(1)解：x2-4x-3=0 移项，得x2-4x=3. 配方，得x2-4x+22=3+22, (x-2)2=7 由此可得x-2=±√7， x=2+V7,x2=2-√7： (2)解：x2-2x-5=0 移项，得x2-2x=5 配方，得x2-2x+1=5+1, (x-1)2=6 由此可得x-1=±V6, x=V6+1,x2=-6+1. 9.(1)x=1+V2,x2=1-V2 (2)x=-7,x2=1 【分析】(1)将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全 平方式，再开方求解即可： (2)先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求 解即可. 【详解】(1)解：原方程化为x2-2x=1, x2-2x+1=2, (x-02=2,即x-1=±√2， x=1+2,x=1-2: (2)解：原方程化为x2+6x+5=12, 5/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+6x=7, x2+6x+9=16. (x+3)2=16,即x+3=±4， x=-7,x2=1; 10.0x-2+而-2 3 ②，-1+5 1-√7 65 6 (3)x=2,x2=-1 (4)原方程无实数根 【详解】(1)解：3x2-4x-2=0, 移项得：3x2-4x=2, 方程两边同除以3得：2-4x=2 x= 3-3 昆方-号+号号 -9 开平方得：x- 3 解得：，=2+10x=2-V0 3, 3 (2)解：6x2-2x-1=0, 移项得：6x2-2x=1, 方程两边同除以6得：x?x1 6 配方得：2-x+111 一x+ 336636 开平方得：x-=士 6 6 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：=1+万x=1-V5 65 6； (3)解：3x2-6=3x, 移项得：3x2-3x=6, 方程两边同除以3得：x2-x=2, 军方得：-+好2+行 1,3 开平方得：x一2 2 解得：=2，=1； (4)解：(x-1(x+2)=-3, 变为一般形式得：x2+x+1=0, 移项得：x2+x=-1, 1 配方得：x2+x+ 1+1 4 4 3 40, .原方程无解. 题型三：公式法解一元二次方程 11.(0①)x=4,×=2 ☒x=5+29x=5-V29 23 2 【详解】(1)解：2x2-7x=4, 2x2-7x-4=0, .a=2,b=-7,c=-4, 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△=b2-4ac=(-7）2-4×2×(-4)=81>0, :x=7±v817t9 2×24, 1 解得：名=4名=一2： (2)解：x(x-2)=3x+1 x2-5x-1=0, .a=1,b=-5,c=-1. .△=b2-4ac=(-5)}2-4×1×(-1)=29>0, x=5t29 2 解得：七=5+29=5-V29 2,2 2 1 12.()x=-3’x=2 ②，=5+7 _5-17 4,53 4 【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可： (2)用公式法解一元二次方程即可， 【详解】(1)解：-3x2+5x+2=0即3x2-5x-2=0, :.b2-4ac=(-5)}2-4×3×(-2)=49>0, x=5t495t7 2×3 6 1 1x=-3,x=2 (2)解：2x2-5x+1=0, b2-4ac=(-5)}-4×2×1=17>0, x=5t75士7 2×24 :5=5+7 ._5-7 4，3= 4 8/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(①)x=2+27 2-2√7 3 (2)x=-1+V5,x2=-1-V5 【分析】(1)先找出a=3,b=4,c=-8并判断b2-4ac的正负，再代入公式求解即可： (2)先找出a=1,b=2,c=4并判断b2-4ac的正负，再代入公式求解即可. 【详解】(1)解：a=3,b=-4,c=-8,且b-4ac=(-4)2-4×3×(-8)=112>0, .247,24527 2×3 3 (2)解：a=1,b=2,c=-4,且b2-4ac=22-4×1×(-4)=20>0, x=2生20-1±5，即5=-1+5：与=-1-5 2×1 14.①5=2+6k=2-6 2 2 ②5=7+5=7-53 23 2 (3)方程无实数根 【分析】(1)根据一元二次方程的一般形式，分别找出二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式 的值2-4c=24>0判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法x=b士B-4ac 求解即可； 2a (2)先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项， 根据判别式的值公-4c=53>0判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法x= b±B-4ac求 2a 解即可； (3)先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项， 根据判别式的值b2-4ac=-175<0判断出该方程无实数根. 【详解】(1)解：2x2-4x-1=0, 由方程可得：a=2,b=-4,c=-1, b2-4ac=(-4)}2-4×2×(-1)=24>0, x=b±vB-4ae-(4)±242±6 2a 2×2 2 9/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即七2+V6 .2-6 2, 2: (2)解：7x+1=x2, 将原方程化为一般形式，得x2-7x-1=0, 由方程一般形式可得：a=1,b=-7,c=-1, b2-4ac=(-7)2-4×1×(-1)=53>0, x=-b±BF-4ae.-(7)±537±53 2a 2×1 2 ,与2- 即=+v53 2 (3)解，02r2+5=3x. 2 将原方程化为一般形式，得2x2-15x+50=0, 由方程一般形式可得：a=2,b=-15,c=50, .b2-4ac=(-15)2-4×2×50=-175<0, .该方程无实数根 15.(1)x=4+V21,x2=4-V21 (2)x=x2=2V2 项，专-缩 )x=1+g 6 (4)方程无实数根 【详解】(1)解：x2-8x-5=0 a=1,b=-8,c=-5 △=b2-4ac=(-8)2-4×1×(-5)=84 x=884_8±22i-4t2i 2×1 2 解得x=4+V21,x32=4-V21: (2)解：x(x-4v2)+8=0 整理得，x2-4V2x+8=0 a=1,b=-4v2,c=8 10/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △=b2-4ac=（-4V2-4x1x8=0 -（-4v2)±0 .x= 25 2×1 解得x=x2=2√2； (3)解：(3x-5)(x-2)=1 整理得，3x2-11x+9=0 a=3,b=-11,c=9 △=b2-4ac=（-11)2-4×3×9=13 x=-It311±5 2×3 6 解得；=1+v3 11-13 6,七3= 6 (4)解：x(x+6)=2(x-8) 整理得，x2+4x+16=0 a=1,b=4,c=16 △=b2-4ac=42-4×1×16=-48<0 .方程无实数根. 题型四：因式分解法解一元二次方程 16.(1)x=3,x2=-1 (2)x1=-2,x2=1 【详解】(1)解：x2-2x=3, x2-2x-3=0, (x-3)(x+1)=0. x-3=0或x+1=0, 解得x1=3x2=-1: (2)解：x(x+2)=x+2, x(x+2)-(x+2)=0, 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x+2)(x-1)=0. x+2=0或x-1=0, x=-2,x2=1 2 17.0x=3,x2=1 3 2)x=2,为2=-5 【详解】(1)解：原方程可变形为(3x-2)2-(3x-2)=0, 提取公因式得(3x-2)(3x-2-1)=0, 即(3x-2)(3x-3)=0 因此3x-2=0或3x-3=0, 2 解得=3，为2=1： (2)解：移项整理原方程得2x2+13x+15=0, 因式分解得(2x+3)x+5)=0. 因此2x+3=0或x+5=0 3 解得5=一2，x=5 18.(1)一；因式分解法 (2)解：x2-6x+5=0, x2-6x+6-1=0, .(x2--6(x-)=0,即(x-10x+1)-6(x-)=0, :.(x-1[(x+1)-6=0,即(x-1)(x-5)=0, ∴.x-1=0或x-5=0, 解得：x=1,x2=5 【分析】(1)对照第一步展开后的二次三项式与原方程左边不一致，即可判断出错误发生在第一步；根 据“化为两个一次因式乘积等于零”的形式即可确定所用方法为因式分解法： (2)将原方程转化为x2-6x+6-1=0,然后利用因式分解法解一元二次方程即可. 【详解】(1)解：：(x-2x-3)=x2-3x-2x+6=x-5x+6,与原方程左边不相等， ∴嘉嘉的解法从第一步开始出现错误： 12/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，嘉嘉将原方程转化为“两个一次因式的乘积等于零”的形式， ∴嘉嘉所用方法为因式分解法： (2)略. 19.0x=45=号 7 (2)x=-2,x2=3 ③x=多方 (④x=3,x2=9 【详解】(1)解：(4x-15x+7)=0 ∴4x-1=0或5x+7=0, 解得4=子七=写： 7 (2)解：x(x+2)=3x+6 x(x+2)=3(x+2) x(x+2)-3(x+2)=0 (x+2)(x-3)=0 x+2=0或x-3=0 解得=-2，为=3： (3)解：(2x+3)2=4(2x+3) (2x+3)2-4(2x+3)=0 (2x+3)(2x+3-4)=0 (2x+3)(2x-1)=0 则2x+3=0或2x-1=0, 解得气=子与 1 (4)解：2(x-3)2=x2-9 2(x-32=(x+3)(x-3) 2(x-32-（x+3)(x-3)=0 13118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 整理得，(x-3)(x-9)=0 x-3=0或x-9=0 解得x=3,为=9； 20.(1①)x=-1,x2=-2 (2)x=2,x2=3 (3)x=6,x2=-1 (4)x=-2,x2=9 【详解】(1)解：x2+3x+2=0 (x+1)(x+2)=0 x+1=0或x+2=0 解得x1=-1,x2=-2. (2)解：x2-5x+6=0 (x-2)(x-3)=0 x-2=0或x-3=0 解得=2,2=3： (3)解：x2-5x-6=0 (x-6)(x+1)=0 x-6=0或x+1=0 解得x=6,为=1： (4)解：2x2-14x-36=0 x2-7x-18=0 （x+2)(x-9)=0 x+2=0或x-9=0 解得x=-2,x2=9 题型五：换元法解一元二次方程 21.x=1 14118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】利用完全平方公式对原方程变形，再采用换元法将原方程转化为整式方程求解，最后对分式方程 的根进行检验 【详解】解：原方程变形， 得+-2+ 移项， +-2+-0 设y=x+x,则原方程化为：y-2y=0 因式分解，得y(y-2)=0 解得4=0，=2， 当，=0时，+士0，方程丙边同乘x〈x0),整理得：一1此时方程无实数根。 当)=2时，x+士2，方程两边洞乘，〈X0,整理得2-21-0 因式分解得(x-1)2=0」 解得x=1, 检验：将x=1代入原方程分母，得x2=1≠0， 因此x=1是原方程的解. 1 22.(①x=-36=1 @=g5专 2,+厉 2 【分析】(1)用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可； (2)设y=x+x,用换元法求解即可. 【详解】(1)解：.3x2-2x-1=0, .(3x+1)(x-1)=0. .3x+1=0或x-1=0, 1 解得=3名=1： (2)解：设y=x2+x,则原方程化为y-5y+4=0, .（y-10(y-4)=0, 15118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y-1=0或y-4=0, 解得=1,2=4， 当y=1时，则x2+x=1,即x2+x-1=0, A=1P-4x1×(-1)=5>0, :x=-±5 2: 当y=4时，则x2+x=4,即x2+x-4=0, :A=12-4×1x(-4)=17>0, x=-l±7 2 等上m,限方的为=5515，与4亚，名1亚 2 23.x=5,为=-5」 【分析】设x2=a≥0，则原方程可化为a2-a-6=0,然后求出a的值，再代入解方程即可. 【详解】解：设x2=a≥0，则原方程可化为a2-a-6=0, :.(a-3)(a+2)=0,解得a=3或a=-2, .a≥0 .a=-2舍去， .a=3, x2=3, “x=5,为=-3 24.(1)x=1,x2=2 (2)△ABC是直角三角形；理由如下： :ab、c是△ABC的三边， ∴.a2>0,b2>0」 .a2+b2>0. 设a2+b2=y（y>0), 则原方程可化为y2-3y-4=0, 解得：八=4，=-1（舍去）， 16118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得a2+b2=4. 又c=2, c2=4 .a2+b2=c2 ,△ABC是直角三角形 【分析】(1)根据题中方法，设2x-1=y,将原方程可化为y-4y+3=0,解方程求出=1，=3； 分别代入求出x的值即可： (2)根据题中方法，设+b2=y,求出y,结合c=2,根据勾股定理的逆定理即可求解。 【详解】(1)解：设2x-1=y, 则原方程可变为：y2-4y+3=0」 解得：=1,2=3」 当=1即2x-1=1时，解得：x=1； 当y2=3即2x-1=3时，解得：x=2: 原方程的解为：=1，x2=2: (2)略 25.0)x=-1,为=-5 (2)y=3,y2=0 【分析】(1)设x+5=m,则原方程可化为m2-4m=0,解方程，即可求解； (2)设(2y-3)=n,则原方程可化为n2-18n+81=0,解方程，即可求解. 【详解】(1)解：设x+5=m,则原方程可化为m2-4m=0, 解得m=4,m2=0。 当m=4时，x+5=4,解得x=-1: 当m=0时，x+5=0,解得x=-5. ∴原方程的解为=-1，x2=-5 (2)解：设(2y-3=n,则原方程可化为n-18n+81=0, 解得n=n2=9 (2y-3)}2=9, 即2y-3=3或2y-3=-3」 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得=3，y2=0 18/18 专题01 一元二次方程的解法的五类综合题型 题型一 直接开平方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 换元法解一元二次方程 题型一：直接开平方法解一元二次方程 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， 或， 解得，． 2．（26-27八年级·上海·暑假作业）利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ， ，， ，． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法，把看作一个整体，等式两边同时开平方得到两个一元一次方程，再分别解一元一次方程即可得到解； （2）先将常数项移到等式右侧，再两边同时除以，直接对含未知数的平方项开平方，得到两个一元一次方程，再分别解一元一次方程即可得到解； 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， ，． 题型二：配方法解一元二次方程 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】按照配方的方法步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，． （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ∴， ∴，． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 9．（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)原方程无实数根 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 方程两边同除以6得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （3）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （4）解：， 变为一般形式得：， 移项得：， 配方得：， 即， ∵， ∴原方程无解． 题型三：公式法解一元二次方程 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 12．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用公式法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：即， ∴， ， ∴，. （2）解：， ∴， ， ∴，． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)方程无实数根 【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式，分别找出二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （2）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （3）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程无实数根． 【详解】（1）解：， 由方程可得：，，， ∵， ∴， 即，； （2）解： ， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴， 即，； （3）解：， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴该方程无实数根． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)方程无实数根 【详解】（1）解： ，， ∴ 解得，； （2）解： 整理得， ，， ∴ 解得； （3）解： 整理得， ，， ∴ 解得，； （4）解： 整理得， ，， ∴方程无实数根． 题型四：因式分解法解一元二次方程 16．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得； （2）解：， ， ， 或， ． 17．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用因式分解法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：原方程可变形为， 提取公因式得， 即， 因此或， 解得，； （2）解：移项整理原方程得， 因式分解得， 因此或， 解得，． 18．（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解：  ……………第一步 或  ……………第二步 ，  …………………第三步 (1)嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） (2)请用正确的方法解方程． 【答案】(1)一；因式分解法 (2)解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴或， 解得：，． 【分析】（1）对照第一步展开后的二次三项式与原方程左边不一致，即可判断出错误发生在第一步；根据 “化为两个一次因式乘积等于零” 的形式即可确定所用方法为因式分解法； （2）将原方程转化为，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，与原方程左边不相等， ∴嘉嘉的解法从第一步开始出现错误； 又∵嘉嘉将原方程转化为“两个一次因式的乘积等于零” 的形式， ∴嘉嘉所用方法为因式分解法； （2）略． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ∴或， 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 则或， 解得，； （4）解： 整理得， 或， 解得，； 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． 题型五：换元法解一元二次方程 21．（22-23九年级下·广东东莞·自主招生）解关于的方程：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对原方程变形，再采用换元法将原方程转化为整式方程求解，最后对分式方程的根进行检验． 【详解】解：原方程变形，得， 移项，得 ， 设，则原方程化为： 因式分解，得 解得，， 当时，，方程两边同乘（），整理得，此时方程无实数根， 当时，，方程两边同乘（），整理得 因式分解得， 解得， 检验：将代入原方程分母，得 ， 因此是原方程的解． 22．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可； （2）设，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得，， 当时，则，即， ∵， ∴； 当时，则，即0， ∵， ∴； 综上所述，原方程的解为，． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 【答案】，． 【分析】设，则原方程可化为，然后求出的值，再代入解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴，解得或， ∵， ∴舍去， ∴， ∴， ∴，． 24．（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 25．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $