专题05 一元二次方程韦达定理的四种培优题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题05 一元二次方程韦达定理的四种培优题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接利用韦达定理化简求值 题型二、利用降幂思想结合韦达定理化简求值 题型三、构造一元二次方程结合韦达定理化简求值 题型四、利用韦达定理求参数问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程韦达定理是初中数学一元二次方程核心考点，所有题型均围绕和化简求值、参数问题展开，解题贯穿基本底线原则：基本运算能力。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接利用韦达定理化简求值 典例1 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，利用根与系数的关系得到，将所求代数式拆分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得， ∴． 题型模版 1.特征：直接利用韦达定理化简求值. 2.方法：利用一元二次方程根的定义对所求式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可. 变式1-1 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】15 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ，可得， 根据根与系数的关系可得， 展开所求代数式：， 将代入得：， 将代入得：． 变式1-2已知关于的方程的两个不相等的实数根分别是，那么的值是___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到关于、的等式，结合两个根不相等的条件排除不符合的解，即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两个不相等的实数根分别是，， ∴， 由得， ∴或， 当时，代入得，此时原方程为，两根相等，不符合题意，舍去； 当时，代入，得，解得，此时原方程的判别式，符合有两个不相等实数根的条件， ∴． 变式1-3已知：m，n是方程的两根，则________． 【答案】 【分析】首先利用方程根的定义，将两个根代入到方程中，整理后将所求式子变形为包含以及的式子，然后结合根与系数的关系（两根之和等于，两根之积等于）计算结果即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两根，将两个根代入得， 整理得，∴，， ∴． 由根与系数的关系可得，，， ∴原式． 题型二、利用降幂思想结合韦达定理化简求值 典例2 古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式________． 【答案】4 【分析】利用方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：是方程的根， ，即， ，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得， 原式． 题型模版 1.特征：利用降幂思想结合韦达定理化简求值. 2.方法：注意整体思想的应用 变式2-1已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系计算求值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ，， ． 变式2-2已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【分析】根据，是方程的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，且， 整理得，， 则 ． 变式2-3已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 题型三、构造一元二次方程结合韦达定理化简求值 典例3已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 题型模版 1.特征：构造一元二次方程结合韦达定理化简求值. 2.方法：灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键 变式3-1已知实数、满足，且，则_____． 【答案】 【分析】由已知条件可得，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形后代入计算即可求解． 【详解】解：实数，满足，，且． ，可看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得：，． ． ． 同理可得：． ∴． 变式3-2若实数、，满足，，且，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式及其变式，灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键． 由已知和是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式的变式即可解决问题． 【详解】解：若实数、，满足， 和是一元二次方程，即的两根， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 变式3-3已知，且，那么的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、换元法解一元二次方程，把方程两边同时除以，可得：，可知和是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可以求出的值． 【详解】解：， 由方程可知， 把方程两边同时除以， 可得：， 可知和是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：． 题型四、利用韦达定理求参数问题 典例4若关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据方程的根的判别式，计算即可． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，解得． 故a的取值范围是． （2）解：设是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴舍去，故． 题型模版 1.特征：利用韦达定理求参数问题. 2.方法：注意掌握方程思想与分类讨论思想的应用 变式4-1已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 变式4-2已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式、解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式列方程，然后解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴， 解得， 故m的取值范围． （2）解：设是方程的两个实数根， 则，，且， 解得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， 故． 变式4-3已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）计算，根据题意得到，即，得到； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，根据得到，整体代入得到，即可求出． 【详解】（1）解：， ∴， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， ∴； （2）解：设方程的两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 2．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 3．若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 4．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 5．已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 6．已知实数满足，则代数式的值为（） A．7 B．8 C．10 D．13 【答案】A 【分析】本题考查提公因式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 由已知条件得，将所求代数式变形为含的形式，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选A． 7．若方程的根也是方程的根，则的值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．设m是方程的一个根．根据方程解的意义知，m既满足方程，也满足方程，将m代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可． 【详解】解：设m是方程的一个根，则， ∴． 由题意得：m也是方程的根， ∴， 把，代入得， 整理得：． ∴方程的两根也是方程的根， ∴可设， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 8．已知方程的两根分别为，，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，将所求式子通过平方差公式变形，代入求解即可． 【详解】解∶∵方程的两根分别为，， ∴， ∴． 9．已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为____． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴ ， ， ． 10．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 11．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 12．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 【答案】2021 【详解】解：设a、b是方程的两根，且， ∴，ab＝， ∴，， ＝， ＝2021． 13．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 14．已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为_____； 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键；利用根与系数的关系得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵两实数根，， ∴，， 由 ， 代入得 ， 即 ， 化简得 ， 即， 解得 ，， 又判别式 ， 即 ， 故 不符合，舍去， 符合， 故答案为：． 15．已知，且，则的值为_______． 【答案】/1.5 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数以换元思想的应用，令，结合，则z是的根，那么，x和z为方程的两根，利用根与系数的关系即可求得． 【详解】解：令， ∵， ∴， 则， 那么，x和z为方程的两根， ∴， 则， 故答案为：． 16．已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对进行降次处理，再结合根与系数的关系（韦达定理）对式子进行变形，最后代入化简求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 17．若一元二次方程的两根为，，则的值为__________． 【答案】2026 【分析】首先，根据一元二次方程根的定义，将代入方程，得到关于的等式，再对所求式子进行变形，然后利用根与系数的关系求出的值，最后代入计算即可. 【详解】∵是方程的根， ∴将代入方程可得： ， 移项得： ， 变形得： ， 对于一元二次方程， 由根与系数的关系可得： ， 将 代入 ，得： ∴ 三、解答题 18．已知实数满足，． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】(1) ∵满足，． ∴是一元二次方程的两个根， ∴； (2) 不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数， ①当都为奇数时，则必为偶数， 又， ， 为奇数， 必为偶数，这与为奇数矛盾； ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数， 又， ， 为奇数， 必为偶数，这与为奇数矛盾； 综上所述，不可能都为整数． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，数的奇偶性，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，，所以是一元二次方程的两个根，利用一元二次方程根的判别式为非负数即可证明； （2）假设都为整数，因为均为奇数，故可能有两种情况，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，分别推出矛盾，说明这两种情况都不可能成立，所以不可能都为整数． 【详解】（1）略 （2）略 19．已知是一元二次方程的两个根．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了根与系数关系定理，根的定义，熟练掌握定理，灵活运用的根的定义变形计算是解题的关键． （1）根据题意，得，代入进行计算即可； （2）根据题意，得，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，． ． （2）解：根据题意，得， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程韦达定理的四种培优题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接利用韦达定理化简求值 题型二、利用降幂思想结合韦达定理化简求值 题型三、构造一元二次方程结合韦达定理化简求值 题型四、利用韦达定理求参数问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程韦达定理是初中数学一元二次方程核心考点，所有题型均围绕和化简求值、参数问题展开，解题贯穿基本底线原则：基本运算能力。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接利用韦达定理化简求值 典例1 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 题型模版 1.特征：直接利用韦达定理化简求值. 2.方法：利用一元二次方程根的定义对所求式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可. 变式1-1 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则______． 变式1-2已知关于的方程的两个不相等的实数根分别是，那么的值是___________． 变式1-3已知：m，n是方程的两根，则________． 题型二、利用降幂思想结合韦达定理化简求值 典例2 古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式________． 题型模版 1.特征：利用降幂思想结合韦达定理化简求值. 2.方法：注意整体思想的应用 变式2-1已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 变式2-2已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 变式2-3已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 题型三、构造一元二次方程结合韦达定理化简求值 典例3已知，且，，则__________． 题型模版 1.特征：构造一元二次方程结合韦达定理化简求值. 2.方法：灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键 变式3-1已知实数、满足，且，则_____． 变式3-2若实数、，满足，，且，则的值为_______． 变式3-3已知，且，那么的值为___________． 题型四、利用韦达定理求参数问题 典例4若关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若两个实数根分别为，，且，求的值． 题型模版 1.特征：利用韦达定理求参数问题. 2.方法：注意掌握方程思想与分类讨论思想的应用 变式4-1已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 变式4-2已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求的值． 变式4-3已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 2．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 3．若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 4．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 5．已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知实数满足，则代数式的值为（） A．7 B．8 C．10 D．13 7．若方程的根也是方程的根，则的值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 二、填空题 8．已知方程的两根分别为，，则的值为___________． 9．已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为____． 10．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 11．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 12．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 13．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 14．已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为_____； 15．已知，且，则的值为_______． 16．已知方程的两根分别为，，则的值为______． 17．若一元二次方程的两根为，，则的值为__________． 三、解答题 18．已知实数满足，． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 19．已知是一元二次方程的两个根．求： (1)的值； (2)的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $