2026-2027学年沪教版（五四制）九年级第一学期数学期中模拟卷3（上海专用）

2026-2027学年九年级第一学期数学期中模拟卷3 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 1、 选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球的成绩（即的长度）是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…按此规律继续下去，则矩形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 6．已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为_______． 7．若，且2a+b+c＝33，则a﹣b+c＝___． 8．若函数（是常数）是关于的二次函数，则的取值范围是_____． 9．如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系的第二象限内，两个“”字是位似图形，位似中心为点，①号“”与②号“”的相似比为，点与为一组对应点，若点坐标为，则点的坐标为_____________． 10．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连结AD，将△ACD沿AD翻折，得到△AED，AE交BD于点F．若BD＝2DC，AB＝AD，AF＝2EF，CD＝2，△DFE的面积为1，则点D到AE的距离为 _____． 11．在中，M，N分别是BC，AC边上一点，连接AM，BN交于点P，若，，则_________． 12．已知抛物线y＝经过点（﹣4，），（1，），则___（填“＞”，“＝”，或“＜”）． 13．在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程的实数根的近似解，观察函数的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点在x轴上方）．因为抛物线是一条连续不断的曲线，所以抛物线在这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为_____ 14．抛物线与y轴的交点坐标为 ___________． 15．如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，顶点D的坐标为，．以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点E，再分别以点B，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交的延长线于点G，则点G的纵坐标为__________． 17．如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 三、填空题（本大题共7题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 18．抛物线的对称轴是直线，且它的最低点在直线上，求： (1)函数解析式； (2)若抛物线与轴交点为、与轴交点为，求面积． 19．如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD＝2，BC＝4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形． （2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ＝60°保持不变．设PC＝x，MQ＝y，求y与x的函数关系式． 20．已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小． 21．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ 22．如图，等腰直角三角形的直角边与正方形的边都在直线上（点与点重合），且它们都在直线同侧，，现等腰直角三角形以每秒1个单位的速度从左到右沿直线运动，当点运动到与点重合时运动结束．设运动时间为，与正方形重叠部分的面积为． (1)请直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围． (2)当时，求的值． 23．【问题背景】气温变化会直接影响冷饮的市场需求．某饮品店为优化备货策略，计划通过建立数学模型，刻画当日最高气温与冷饮销量之间的关联，为经营决策提供数据支撑． 【数据收集】该饮品店统计了5天的经营数据，记录了当天最高气温与对应冷饮销量，并用散点趋势图直观呈现两个变量的关系（如图）． 【建立模型】 由散点分布可知，所有散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，因此可以用直线模型刻画销量和最高气温的关系．设解析式为：．小明选取能代表整体趋势的两个点和确定直线，目的是让这条直线经过尽可能多的点． (1)任务1：请你根据小明的方法，求出这条直线的解析式； 【模型优化】小朱同学提出：以残差的平方和作为总误差，总误差最小时的直线即为最优拟合直线（残差实际观测销量模型函数值）．若将代入解析式，可得：，因此初步模型为：． (2)任务2：①求这组数据的总误差（用含的式子表示）； ②当________时，这组数据的总误差取得最小值； 【模型应用】 (3)任务3：饮品店每日的备货量由模型预测销量确定，每售出1杯冷饮可获利6元，未售出的每杯亏损3元．若某日当地最高气温为，实际当日冷饮需求量为173杯，请你通过计算判断：这两种模型中，哪种模型能让饮品店当日获得更高利润． 24．综合与探究 问题情境： 如图1，在边长为4的正方形中，点在对角线上一点，连接，将绕着点顺时针方向旋转得到，过点作交射线于点，连接，． 数学猜想： （1）猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）求证：四边形是正方形； （3）如图2，连接交于点，若．请直接写出的长． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级第一学期数学期中模拟卷3 （上海专用）（解析版） 1．C 【难度】0.85 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】令y=0，则求解即可得点A坐标，从而得出答案． 【详解】解：令y=0，则， 解得：x=2(舍去）或x=8， ∴A(8，0)， ∴OA=8m， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出抛物线与x轴的交点坐标． 2．C 【难度】0.85 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义判断解答即可． 【详解】∵中x的指数是1， ∴是一次函数， ∴A选项不符合题意； ∵中x的指数是-1， ∴是反比例函数， ∴B选项不符合题意； ∵中x的指数是2，且是整式， ∴是二次函数， ∴C选项符合题意； ∵不是二次函数， ∴D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义，从指数，表达式的整式性两个角度思考是解题的关键． 3．C 【难度】0.65 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据对应边的比相等列出比例式，计算即可，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键． 【详解】解：矩形相似于矩形， ， ，为，中点， ， ， 故选：C． 4．C 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、矩形性质理解、相似多边形的性质 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第n个矩形的周长． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥DC， ∴， ∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C， ∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为 ∴矩形AB1C1C的周长和矩形ABCD的周长的比， ∵矩形ABCD的周长=（2+1）×2=6， ∴矩形AB1C1C的周长=， 依此类推，矩形AB2C2C1的周长和矩形AB1C1C的周长的比 ∴矩形AB2C2C1的周长= ∴矩形AB3C3C2的周长= …… 按此规律矩形的周长为： 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 5．A 【难度】0.4 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、二次函数图象与各项系数符号、反比例函数、二次函数图象综合判断、已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】先根据一次函数的图象经过的象限可以判断的符号，再根据图象与y轴交点位置判断的符号，进而得到的符号；然后根据反比例函数的图象所在象限，判断的符号， 再结合、、的符号，先判断二次函数的开口方向，再用对称轴公式判断对称轴位置，最后根据时的函数值判断与y轴的交点位置，逐一匹配选项即可． 【详解】解：观察函数图象可知：，，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线，与轴的交点在轴正半轴． ∴二次函数的图象可能是 ． 6． 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越近，函数值越小， 而， ∴， 故答案为：． 7．9 【难度】0.85 【知识点】比例的性质 【分析】设a=2k，b=3k，c=4k，代入，求出k值，进而求得a、b、c，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：由可设a=2k，b=3k，c=4k， 代入得：， 解得：k=3， ∴a=6，b=9，c=12， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了比例的性质、代数式求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解答的关键． 8． 【难度】0.94 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键； 根据二次函数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴ ，解得， 故答案为：． 9． 【难度】0.85 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵两个“”字是位似图形，位似中心点，①号“”与②号“”的相似比为：，点坐标为， ∴点的坐标为，即． 10． 【难度】0.65 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为点G，过点D作DH⊥AE，垂足为点H，根据AF＝2EF，可得S△ADF＝2S△DFE＝2，从而得到S△ADC＝S△ADE＝3，进而得到S△ABD＝2S△ADC＝6，可得到AG＝3，再由等腰三角形的性质可得BG＝DG＝DB＝2，从而得到CG＝CD+DG＝2+2＝4，再由勾股定理可得AC=5，再根据△DHE∽△AGC，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AG⊥BC，垂足为点G，过点D作DH⊥AE，垂足为点H， ∵AF＝2EF，S△DFE＝1， ∴S△ADF＝2S△DFE＝2， ∵△AED由△ACD沿AD翻折得到， ∴DE＝DC＝2，∠E＝∠C，S△ADC＝S△ADE＝S△ADF+S△DEF＝1+2＝3， ∵BD＝2DC＝4， ∴S△ABD＝2S△ADC＝2×3＝6， ∴BD•AG＝6，即×4×AG＝6， ∴AG＝3， ∵AB＝AD，AG⊥BC， ∴BG＝DG＝DB＝2， ∴CG＝CD+DG＝2+2＝4， ∴AC＝＝＝5， 又∠DHE＝∠AGC＝90°， ∴△DHE∽△AGC， ∴＝，即＝， 解得DH＝， ∴点D到AE的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等腰三角形的性质，以及折叠问题等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 11． 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】过点M作，交于点Q，根据平行线分线段成比例可得，设，求出，即可求解． 【详解】解：过点M作，交于点Q， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是正确作出辅助线，根据题意，找出线段之间的比例关系． 12．＞ 【难度】0.65 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】先确定抛物线的对称轴，后利用二次函数的性质和点离对称轴的远近进行判断． 【详解】解：抛物线y＝的对称轴为直线x＝0， ∴点（﹣4，），（1，）到直线x＝0的距离分别为4和1， ∵4＞1， ∴＞． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握离对称轴远的函数值较大是解题的关键． 13．（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】仿照题干给定的方法，利用图象法进行求解即可. 【详解】解：观察函数的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0（点在x轴下方），当自变量为时，函数值大于0（点在x轴上方）． ∵抛物线是一条连续不断的曲线， ∴抛物线在这一段经过x轴， 即当x取、0之间的某个值时，函数值为0，即方程在、0之间有根． 我们取和0的平均数，计算可知，对应的数值为，与自变量为的函数值异号， ∴这个根在与之间； 再取与的平均数，计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量的函数值异号， ∴这个根在与之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于． ∴方程的小于0的近似解可以为. 14． 【难度】0.65 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可． 【详解】把代入得， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 15． 【难度】0.4 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据中位线的性质，可知，进而可知，根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，进而可转化出答案． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 则． 16． 【难度】0.4 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、坐标与图形综合 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由尺规作图可知，平分，结合平行线的性质可得是等腰三角形，由此可求出线段的长度，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，可证，根据相似三角形的性质可求出的长度，即可得点的纵坐标． 【详解】解：由尺规作图可知，平分， ， ， ， ， ， ， 分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，， 则， ，， ， ， ， ∴点G的纵坐标为， 故答案为：． 17． 【难度】0.4 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】根据位似三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由位似可知：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴的面积是． 18．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）先根据对称轴公式求出的值，再利用直线求出抛物线的顶点坐标，代入二次函数解析式即可求出的值，从而完整的求出了函数解析式． （2）先由（1）中所求的解析式求出抛物线分别与，轴的交点坐标，确定、、的位置再根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线 解得或 又图象有最低点，即开口向上 ，即 ， 即 把代入直线得 ， 即抛物线的顶点坐标是， 代入函数得 ， 函数解析式为； （2）当时，，即点的坐标是， 当时，，解得或， 即点、的坐标分别是，、， 则， ． 19．（1）见解析；（2） 【难度】0.65 【知识点】列二次函数关系式、全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用平行线的性质和等边三角形的性质证明即可得到答案； （2）先证明，得到，再由，得到，，即，由此求解即可． 【详解】解：（1）∵是等边三角形 ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴梯形是等腰梯形． （2）在等边中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题． 20．(1) (2)当时，；当时， 【难度】0.85 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可． （2）将已知点代入解析式求a，求出函数的解析式，然后令求t值，再对进行变形化简，得出T关于t的表达式，最后分情况比较T与​​的大小． 【详解】（1）解：抛物线为， 对称轴为直线． 即抛物线的对称轴为直线． （2）解：图象经过点，把代入，则 解得：， 故抛物线解析式， 是抛物线与轴交点的横坐标， ， 解得：， ， ， ，故． 当时，，此时； 当时，，此时． 【点睛】本题考查二次函数的对称轴、待定系数法求解析式，抛物线与轴的交点以及代数式化简和大小比较．关键在于熟练运用公式及对进行合理变形 ． 21．(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ， ∵或1， ∴当时，该函数有最小值． 22．(1) (2)当时，求的值为10或． 【难度】0.65 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）当点由点运动到点时，与正方形重叠部分的面积是一个以为长的等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行计算即可得出答案；当点由点运动到点时，与正方形重叠部分的面积为梯形，根据梯形的面积公式进行计算即可； （2）把分别代入（1）中的式子进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当点由点运动到点时，与正方形重叠部分的面积是一个以为长的等腰直角三角形，   ， 则， 即当，， 当点由点运动到点时，与正方形重叠部分的面积为梯形，   ， 则，，， 即当，， ∴综上所述：； （2）解：当，时，， 解得； 当，时，， 解得； 综上，当时，求的值为10或． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解决问题的关键． 23．(1)； (2)①这组数据的总误差为；②当时，这组数据的总误差取得最小值； (3)最优拟合模型利润更高． 【难度】0.52 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、求离差平方和 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先提取5组散点坐标：，，，，根据题意列式计算即可求解； ②利用二次函数的性质求解即可； （3）分小明模型和最优拟合模型两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将和代入，得： ，解得， ∴这条直线的解析式为； （2）解：①先提取5组散点坐标：，，，， ∵， ∴ ； ②∵， ∴开口向上， ∴最小值在时，取得最小值； （3）解：小明模型：，时， 预测备货量（杯）， 实际需求173杯， 备货170杯全部售出，利润（元）， 最优拟合模型：，， 代入， 得 ， 备货取整数176杯，实际需求173杯， 未售出（杯）， 则（元）， ， ∴最优拟合模型利润更高． 24． （1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）证明：如图，过点E作的平行线分别交，于点P，Q， 则四边形均为矩形， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形； （3）或 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）导角易证，进而可得，即可得解； （2）过点E作的平行线分别交，于点P，Q，先证可得，再证，即可得到四边形是平行四边形，从而得证； （3）由点F在射线上可以分类讨论，点F在线段上，或者延长线上，先求的长度，进而利用勾股定理求出的长度，再构造8字相似求出的值，进而得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①当点F在线段上时， 如图，过点E作的平行线分别交，于点P，Q， 由（2）知， ∴设， ， ， ，解得， ，则， ， ， 由（1）知，， ， 在中，， 过G作于点K，则， ， ∴， ， ∴； ②当点F在线段延长线上时， 如图，过点E作的平行线分别交，于点P，Q， 同理可得， ， 在中，， 过G作于点K，则， ∵， ∴， ， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $