第8讲 倍的认识与差倍问题 专题讲义-苏教版数学三年级上册奥数培优

第8讲 倍的认识与差倍问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 倍的基础认知 倍是两个数量之间的比较关系，表示一个数里面包含几个另一个数，不是具体的单位。 题型 1：求一个数是另一个数的几倍 方法：用除法计算，大数 ÷ 小数 = 倍数 例：苹果有 15 个，梨有 5 个，苹果个数是梨的几倍？ 题型 2：求一个数的几倍是多少 方法：用乘法计算，1 倍量 × 倍数 = 多倍量 例：红花有 6 朵，黄花是红花的 4 倍，黄花有多少朵？朵 2. 差倍问题定义 已知两个数量的差，以及它们之间的倍数关系，求这两个数量分别是多少的应用题，叫做差倍问题。核心是通过数量差与倍数差的对应关系，先求出 1 倍的标准量。 3. 核心建模工具：线段图法 线段图是解决差倍问题的通用方法，步骤如下： 找 1 倍量：“是”“比” 后面的较小数是标准量，先画一段线段表示； 画多倍量：根据倍数关系，画出对应长度的几段相同线段； 标注差：在两条线段的长度差处，标出两个数的具体差值； 对应计算：数量差对应 “倍数 - 1” 段，先算出 1 段的长度（1 倍量）。 4. 差倍基本公式 份数差 = 倍数 - 1 1 倍量（小数）= 两数差 ÷ 份数差 多倍量（大数）= 1 倍量 × 倍数 或 小数 + 两数差 5. 进阶差倍类型 （1）隐藏差型 题目不直接给出数量差，需要通过题意推导： 典型场景：甲给乙个后两人同样多 → 原来甲比乙多 个； 典型场景：甲减少、乙增加后两人相等 → 原来甲比乙多 个。 （2）差不变型 两人同时增加或减少相同数量，差保持不变，转化为基础差倍问题。 6. 解题通用步骤 ① 定 1 倍：根据关键词确定标准量（1 倍量）； ② 画线段：画出线段图，标注差与倍数； ③ 求 1 倍：用数量差除以对应份数，算出 1 倍量； ④ 求多倍：根据倍数关系求出另一个数量； ⑤ 验结果：代入原题验证差和倍数是否全部符合。 7. 易错警示 1 倍量找错：“甲是乙的 3 倍” 中，乙是 1 倍量，不能把甲当成 1 倍量； 份数差算错：直接用差除以倍数，忘记减 1，比如差 20、3 倍，错算成； 隐藏差算错：甲给乙 5 个后相等，错算差为 5 个，实际差为个； 带单位错误：“几倍” 表示关系，结果后面不能加 “倍” 作单位。 例题讲解 【典型例题 1】倍的基础计算 （1）苹果有 24 个，梨有 6 个。苹果的个数是梨的几倍？ （2）红花有 8 朵，黄花的朵数是红花的 4 倍。黄花有多少朵？ 【跟踪训练 1】 （1）足球有 35 个，篮球有 7 个。足球的个数是篮球的几倍？ （2）杨树有 9 棵，柳树的棵数是杨树的 5 倍。柳树有多少棵？ 【典型例题 2】基础差倍问题 果园里苹果树的棵数是梨树的 3 倍，苹果树比梨树多 24 棵。苹果树和梨树各有多少棵？ 【跟踪训练 2】 小明的邮票张数是小红的 4 倍，小红比小明少 18 张。两人各有多少张邮票？ 【典型例题 3】隐藏差型差倍 哥哥和弟弟集卡片，哥哥的张数是弟弟的 3 倍，如果哥哥给弟弟 12 张，两人的卡片就同样多。哥哥和弟弟原来各有多少张？ 【跟踪训练 3】 甲筐苹果的重量是乙筐的 5 倍，如果从甲筐拿出 20 千克放入乙筐，两筐苹果就同样重。两筐苹果原来各重多少千克？ 巩固练习 1. 母鸡有 36 只，公鸡有 9 只。母鸡的只数是公鸡的几倍？ 2. 灰兔有 7 只，白兔的只数是灰兔的 6 倍。白兔有多少只？ 3. 爸爸的年龄是儿子的 5 倍，爸爸比儿子大 28 岁。爸爸和儿子各多少岁？ 4. 钢笔的价钱是圆珠笔的 3 倍，钢笔比圆珠笔贵 14 元。钢笔和圆珠笔各多少元？ 5. 书架上层书的本数是下层的 4 倍，上层比下层多 36 本。上下层各有多少本书？ 6. 有两根绳子，长绳的长度是短绳的 3 倍，长绳比短绳长 18 米。两根绳子一共长多少米？ 弟原来各有多少零花钱？ 8. 甲班人数是乙班的 3 倍，如果从甲班调 15 人到乙班，两班人数就相等。甲、乙两班原来各有多少人？ 9. 水果店运来的苹果重量是香蕉的 4 倍，香蕉比苹果少 120 千克。苹果和香蕉一共多少千克？ 10. 被减数比差大 36，减数是差的 4 倍。被减数是多少？ 11. 小明和小红做题，小明做的题数是小红的 5 倍，小明比小红多做 24 道。两人一共做了多少道？ 12. 有两桶油，大桶油的重量是小桶的 4 倍，如果大桶倒出 15 千克，小桶加入 3 千克，两桶油就同样重。原来两桶油各重多少千克？ 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）白兔有 28 只，黑兔有 7 只。白兔的只数是黑兔的几倍？ 2.（苏教版期末真题）杨树有 18 棵，松树的棵数是杨树的 3 倍。松树有多少棵？ 3.（希望杯三年级试题）妈妈的年龄是小丽的 4 倍，妈妈比小丽大 27 岁。小丽今年多少岁？ 4.（华杯赛低年级组）红花的朵数是黄花的 5 倍，黄花比红花少 32 朵。红花有多少朵？ 5.（苏教版培优题）有两根彩带，红彩带的长度是黄彩带的 3 倍，红彩带比黄彩带长 24 米。两根彩带一共长多少米？ 6.（重点中学分班考）甲筐橘子是乙筐的 5 倍，如果从甲筐拿 24 个放入乙筐，两筐就同样多。甲筐原来有多少个橘子？ 7.（走美杯真题）一个数除以另一个数，商是 5，差是 16。被除数是多少？ 8.（三年级期末真题）学校书法组的人数是美术组的 2 倍，书法组比美术组多 12 人。书法组有多少人？ 9.（希望杯模拟题）哥哥有 50 元，弟弟有 26 元，两人花掉同样多的钱后，哥哥剩下的钱是弟弟的 3 倍。弟弟剩下多少钱？ 10.（小升初衔接）两袋大米，大袋重量是小袋的 3 倍，大袋吃掉 14 千克，小袋加入 2 千克后，两袋同样重。原来小袋大米重多少千克？ 11.（华杯赛模拟题）小明的画片是小红的 3 倍，如果小明送给小红 15 张，小明还比小红多 6 张。原来两人各有多少张？ 12.（思维训练题）有两堆煤，第一堆的重量是第二堆的 4 倍，第一堆运走 30 吨，第二堆运走 6 吨后，剩下的重量相等。原来两堆煤各重多少吨？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 倍的认识与差倍问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 倍的基础认知 倍是两个数量之间的比较关系，表示一个数里面包含几个另一个数，不是具体的单位。 题型 1：求一个数是另一个数的几倍 方法：用除法计算，大数 ÷ 小数 = 倍数 例：苹果有 15 个，梨有 5 个，苹果个数是梨的几倍？ 题型 2：求一个数的几倍是多少 方法：用乘法计算，1 倍量 × 倍数 = 多倍量 例：红花有 6 朵，黄花是红花的 4 倍，黄花有多少朵？朵 2. 差倍问题定义 已知两个数量的差，以及它们之间的倍数关系，求这两个数量分别是多少的应用题，叫做差倍问题。核心是通过数量差与倍数差的对应关系，先求出 1 倍的标准量。 3. 核心建模工具：线段图法 线段图是解决差倍问题的通用方法，步骤如下： 找 1 倍量：“是”“比” 后面的较小数是标准量，先画一段线段表示； 画多倍量：根据倍数关系，画出对应长度的几段相同线段； 标注差：在两条线段的长度差处，标出两个数的具体差值； 对应计算：数量差对应 “倍数 - 1” 段，先算出 1 段的长度（1 倍量）。 4. 差倍基本公式 份数差 = 倍数 - 1 1 倍量（小数）= 两数差 ÷ 份数差 多倍量（大数）= 1 倍量 × 倍数 或 小数 + 两数差 5. 进阶差倍类型 （1）隐藏差型 题目不直接给出数量差，需要通过题意推导： 典型场景：甲给乙个后两人同样多 → 原来甲比乙多 个； 典型场景：甲减少、乙增加后两人相等 → 原来甲比乙多 个。 （2）差不变型 两人同时增加或减少相同数量，差保持不变，转化为基础差倍问题。 6. 解题通用步骤 ① 定 1 倍：根据关键词确定标准量（1 倍量）； ② 画线段：画出线段图，标注差与倍数； ③ 求 1 倍：用数量差除以对应份数，算出 1 倍量； ④ 求多倍：根据倍数关系求出另一个数量； ⑤ 验结果：代入原题验证差和倍数是否全部符合。 7. 易错警示 1 倍量找错：“甲是乙的 3 倍” 中，乙是 1 倍量，不能把甲当成 1 倍量； 份数差算错：直接用差除以倍数，忘记减 1，比如差 20、3 倍，错算成； 隐藏差算错：甲给乙 5 个后相等，错算差为 5 个，实际差为个； 带单位错误：“几倍” 表示关系，结果后面不能加 “倍” 作单位。 例题讲解 【典型例题 1】倍的基础计算 （1）苹果有 24 个，梨有 6 个。苹果的个数是梨的几倍？ （2）红花有 8 朵，黄花的朵数是红花的 4 倍。黄花有多少朵？ 【分析】（1）求一个数是另一个数的几倍，用除法，苹果个数除以梨的个数；（2）求一个数的几倍是多少，用乘法，红花朵数乘倍数。 【详解】 （1） 答：苹果的个数是梨的 4 倍。 （2）（朵） 答：黄花有 32 朵。 【答案】（1）倍；（2）朵 【跟踪训练 1】 （1）足球有 35 个，篮球有 7 个。足球的个数是篮球的几倍？ （2）杨树有 9 棵，柳树的棵数是杨树的 5 倍。柳树有多少棵？ 【分析】（1）求倍数用除法；（2）求几倍的数用乘法。 【详解】 （1） 答：足球的个数是篮球的 5 倍。 （2）（棵） 答：柳树有 45 棵。 【答案】（1）倍；（2）棵 【典型例题 2】基础差倍问题 果园里苹果树的棵数是梨树的 3 倍，苹果树比梨树多 24 棵。苹果树和梨树各有多少棵？ 【分析】这是基础差倍问题。梨树是 1 倍量，苹果树是 3 倍量，两者相差的 24 棵对应份。先求出 1 份的梨树棵数，再乘 3 得到苹果树棵数。 【详解】 份数差： 梨树（1 倍量）：（棵） 苹果树：（棵） 验证：棵，倍，符合题意。 答：苹果树有 36 棵，梨树有 12 棵。 【答案】苹果树棵，梨树棵 【跟踪训练 2】 小明的邮票张数是小红的 4 倍，小红比小明少 18 张。两人各有多少张邮票？ 【分析】小红是 1 倍量，小明是 4 倍量，差 18 张对应 3 份。 【详解】 份数差： 小红：（张） 小明：（张） 答：小明有 24 张，小红有 6 张。 【答案】小明张，小红张 【典型例题 3】隐藏差型差倍 哥哥和弟弟集卡片，哥哥的张数是弟弟的 3 倍，如果哥哥给弟弟 12 张，两人的卡片就同样多。哥哥和弟弟原来各有多少张？ 【分析】“哥哥给弟弟 12 张两人同样多”，说明原来哥哥比弟弟多 2 个 12 张，也就是差 24 张，这是隐藏的差。知道差和倍数后，转化为基础差倍问题求解。 【详解】 第一步：求两人卡片数量差 （张） 第二步：求 1 倍量弟弟的张数 份数差： 弟弟：（张） 第三步：求哥哥的张数 （张） 验证：，，两人数量相等，符合题意。 答：哥哥原来有 36 张，弟弟原来有 12 张。 【答案】哥哥张，弟弟张 【跟踪训练 3】 甲筐苹果的重量是乙筐的 5 倍，如果从甲筐拿出 20 千克放入乙筐，两筐苹果就同样重。两筐苹果原来各重多少千克？ 【分析】先求原来的重量差，甲给乙 20 千克相等，差是 2 个 20 千克，再按差倍公式计算。 【详解】 重量差：（千克） 份数差： 乙筐：（千克） 甲筐：（千克） 答：甲筐原来重 50 千克，乙筐原来重 10 千克。 【答案】甲筐千克，乙筐千克 巩固练习 1. 母鸡有 36 只，公鸡有 9 只。母鸡的只数是公鸡的几倍？ 【分析】求倍数，用母鸡只数除以公鸡只数。 【详解】 答：母鸡的只数是公鸡的 4 倍。 【答案】倍 2. 灰兔有 7 只，白兔的只数是灰兔的 6 倍。白兔有多少只？ 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法计算。 【详解】 （只） 答：白兔有 42 只。 【答案】只 3. 爸爸的年龄是儿子的 5 倍，爸爸比儿子大 28 岁。爸爸和儿子各多少岁？ 【分析】基础差倍问题，儿子是 1 倍量，年龄差 28 岁对应 4 份。 【详解】 份数差： 儿子：（岁） 爸爸：（岁） 答：爸爸 35 岁，儿子 7 岁。 【答案】爸爸岁，儿子岁 4. 钢笔的价钱是圆珠笔的 3 倍，钢笔比圆珠笔贵 14 元。钢笔和圆珠笔各多少元？ 【分析】差倍问题，圆珠笔是 1 倍量，差价 14 元对应 2 份。 【详解】 份数差： 圆珠笔：（元） 钢笔：（元） 答：钢笔 21 元，圆珠笔 7 元。 【答案】钢笔元，圆珠笔元 5. 书架上层书的本数是下层的 4 倍，上层比下层多 36 本。上下层各有多少本书？ 【分析】差倍问题，下层是 1 倍量，差 36 本对应 3 份。 【详解】 份数差： 下层：（本） 上层：（本） 答：上层 48 本，下层 12 本。 【答案】上层本，下层本 6. 有两根绳子，长绳的长度是短绳的 3 倍，长绳比短绳长 18 米。两根绳子一共长多少米？ 【分析】先按差倍求出两根绳子的长度，再相加求总长。 【详解】 份数差： 短绳：（米） 长绳：（米） 总长：（米） 答：两根绳子一共长 36 米。 【答案】米 7. 哥哥的零花钱是弟弟的 2 倍，如果哥哥给弟弟 8 元，两人的零花钱就同样多。哥哥和弟弟原来各有多少零花钱？ 【分析】先求原来的钱数差，哥哥给弟弟 8 元相等，差是元，再按差倍计算。 【详解】 钱数差：（元） 份数差： 弟弟：（元） 哥哥：（元） 答：哥哥原来有 32 元，弟弟原来有 16 元。 【答案】哥哥元，弟弟元 8. 甲班人数是乙班的 3 倍，如果从甲班调 15 人到乙班，两班人数就相等。甲、乙两班原来各有多少人？ 【分析】先求人数差，调 15 人相等，差是人，再差倍计算。 【详解】 人数差：（人） 份数差： 乙班：（人） 甲班：（人） 答：甲班原来 45 人，乙班原来 15 人。 【答案】甲班人，乙班人 9. 水果店运来的苹果重量是香蕉的 4 倍，香蕉比苹果少 120 千克。苹果和香蕉一共多少千克？ 【分析】先按差倍求出各自重量，再相加求总重量。 【详解】 份数差： 香蕉：（千克） 苹果：（千克） 一共：（千克） 答：一共 200 千克。 【答案】千克 10. 被减数比差大 36，减数是差的 4 倍。被减数是多少？ 【分析】在减法算式中，被减数 - 差 = 减数，因此被减数比差大的部分就是减数，即减数 = 36。再根据减数是差的 4 倍求出差，最后求被减数。 【详解】 减数 = 36 差： 被减数： 答：被减数是 45。 【答案】 11. 小明和小红做题，小明做的题数是小红的 5 倍，小明比小红多做 24 道。两人一共做了多少道？ 【分析】先差倍求出各自题数，再相加求总题数。 【详解】 份数差： 小红：（道） 小明：（道） 一共：（道） 答：两人一共做了 36 道。 【答案】道 12. 有两桶油，大桶油的重量是小桶的 4 倍，如果大桶倒出 15 千克，小桶加入 3 千克，两桶油就同样重。原来两桶油各重多少千克？ 【分析】先推导原来的重量差：大桶 - 15 = 小桶 + 3，因此原来大桶比小桶多千克，再按差倍计算。 【详解】 原来的重量差：（千克） 份数差： 小桶：（千克） 大桶：（千克） 验证：，，重量相等，符合题意。 答：原来大桶重 24 千克，小桶重 6 千克。 【答案】大桶千克，小桶千克 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）白兔有 28 只，黑兔有 7 只。白兔的只数是黑兔的几倍？ 【分析】求倍数，用除法计算。 【详解】 答：白兔的只数是黑兔的 4 倍。 【答案】倍 2.（苏教版期末真题）杨树有 18 棵，松树的棵数是杨树的 3 倍。松树有多少棵？ 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法。 【详解】 （棵） 答：松树有 54 棵。 【答案】棵 3.（希望杯三年级试题）妈妈的年龄是小丽的 4 倍，妈妈比小丽大 27 岁。小丽今年多少岁？ 【分析】差倍问题，求 1 倍量小丽的年龄。 【详解】 份数差： 小丽：（岁） 答：小丽今年 9 岁。 【答案】岁 4.（华杯赛低年级组）红花的朵数是黄花的 5 倍，黄花比红花少 32 朵。红花有多少朵？ 【分析】差倍问题，先求 1 倍量黄花，再求红花数量。 【详解】 份数差： 黄花：（朵） 红花：（朵） 答：红花有 40 朵。 【答案】朵 5.（苏教版培优题）有两根彩带，红彩带的长度是黄彩带的 3 倍，红彩带比黄彩带长 24 米。两根彩带一共长多少米？ 【分析】先差倍求长度，再相加求总长。 【详解】 份数差： 黄彩带：（米） 红彩带：（米） 一共：（米） 答：一共长 48 米。 【答案】米 6.（重点中学分班考）甲筐橘子是乙筐的 5 倍，如果从甲筐拿 24 个放入乙筐，两筐就同样多。甲筐原来有多少个橘子？ 【分析】先求数量差，再按差倍求甲筐数量。 【详解】 数量差：（个） 份数差： 乙筐：（个） 甲筐：（个） 答：甲筐原来有 60 个。 【答案】个 7.（走美杯真题）一个数除以另一个数，商是 5，差是 16。被除数是多少？ 【分析】商是 5 说明被除数是除数的 5 倍，差是 16，属于差倍问题。 【详解】 份数差： 除数： 被除数： 答：被除数是 20。 【答案】 8.（三年级期末真题）学校书法组的人数是美术组的 2 倍，书法组比美术组多 12 人。书法组有多少人？ 【分析】差倍问题，求多倍量书法组人数。 【详解】 份数差： 美术组：（人） 书法组：（人） 答：书法组有 24 人。 【答案】人 9.（希望杯模拟题）哥哥有 50 元，弟弟有 26 元，两人花掉同样多的钱后，哥哥剩下的钱是弟弟的 3 倍。弟弟剩下多少钱？ 【分析】两人花掉同样多的钱，钱数差保持不变，还是元，转化为差倍问题。 【详解】 钱数差：（元） 份数差： 弟弟剩下：（元） 答：弟弟剩下 12 元。 【答案】元 10.（小升初衔接）两袋大米，大袋重量是小袋的 3 倍，大袋吃掉 14 千克，小袋加入 2 千克后，两袋同样重。原来小袋大米重多少千克？ 【分析】先推导重量差：大袋 - 14 = 小袋 + 2，原来差千克，再按差倍计算。 【详解】 重量差：（千克） 份数差： 小袋：（千克） 答：原来小袋重 8 千克。 【答案】千克 11.（华杯赛模拟题）小明的画片是小红的 3 倍，如果小明送给小红 15 张，小明还比小红多 6 张。原来两人各有多少张？ 【分析】先求原来的数量差：小明给 15 张还多 6 张，说明原来差张。 【详解】 数量差：（张） 份数差： 小红：（张） 小明：（张） 验证：，，，符合题意。 答：原来小明有 54 张，小红有 18 张。 【答案】小明张，小红张 12.（思维训练题）有两堆煤，第一堆的重量是第二堆的 4 倍，第一堆运走 30 吨，第二堆运走 6 吨后，剩下的重量相等。原来两堆煤各重多少吨？ 【分析】剩下的重量相等，说明原来的重量差就是运走的重量差：吨。 【详解】 重量差：（吨） 份数差： 第二堆：（吨） 第一堆：（吨） 验证：，，剩下重量相等，符合题意。 答：原来第一堆 32 吨，第二堆 8 吨。 【答案】第一堆吨，第二堆吨 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $