第15讲 有余数的除法与周期问题 专题讲义-苏教版数学三年级上册奥数培优

第15讲 有余数的除法与周期问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 有余数的除法核心知识 （1）意义 把一些物体平均分后，还有剩余，且剩余的部分不够再分一份，这样的除法就是有余数的除法，剩余的数叫做余数。 书写格式： 例： （2）核心关系式 被除数 = 除数 × 商 + 余数（最核心，知三求一） 推导公式： 除数 =（被除数 - 余数）÷ 商 商 =（被除数 - 余数）÷ 除数 （3）关键性质：余数与除数的关系 余数必须小于除数（余数 ＜ 除数），这是有余数除法的根本规则。 最大余数 = 除数 - 1 最小除数 = 余数 + 1 （4）验算方法 用 “商 × 除数 + 余数” 计算，结果等于被除数则计算正确。 2. 周期问题进阶 （1）周期的概念 事物按照一定的规律不断重复出现，这样的现象叫做周期现象。重复出现的一组事物就是一个周期，一组包含的个数叫做周期长度。 例：△○□△○□△○□……，周期是△○□，周期长度为 3。 （2）基本解题公式 没有余数：所求事物是周期的最后一个； 有余数：余数是几，所求事物就是周期的第几个。 （3）常见周期题型 图形 / 排列周期：彩旗、图形、队伍等按规律排列，求第几个是什么； 数字周期：数列按规律重复，求第几个数或前若干个数的和； 日期周期：星期几的循环，周期长度为 7，计算经过天数后推算星期几； 周期计数：求某一类事物在总数中一共有多少个。 （4）周期求和步骤 ① 找出周期，计算一组数的和； ② 算出总共有多少组完整周期，以及余下几个数； ③ 总和 = 每组和 × 完整组数 + 余下数的和。 3. 解题通用步骤 有余数除法题：确定除数 → 根据余数＜除数确定余数范围 → 代入核心公式计算 → 验算 周期问题：找周期 → 算除法 → 看余数 → 定结果 4. 易错警示 余数大于等于除数：比如除数是 6，余数写 6，违反余数＜除数的规则，最大余数只能是 5； 周期找错：把 “△△○△△○” 的周期错看成 2 个，实际是 3 个一组重复； 日期天数算错：计算从周一到周五的天数，错算成 5 天间隔，实际经过 4 天； 周期求和漏加余下的数：只算完整周期的和，忘记加上余下几个数的和； 有余数除法验算错误：只验算商 × 除数，忘记加上余数。 例题讲解 【典型例题 1】有余数除法的核心性质 一个除法算式，除数是 8，商是 12。余数最大是多少？这时被除数是多少？ 【跟踪训练 1】 一个除法算式，余数是 5，商是 9。除数最小是多少？这时被除数是多少？ 【典型例题 2】基础图形周期 一串彩灯按 “红、黄、蓝、绿、红、黄、蓝、绿……” 的顺序排列，第 33 盏灯是什么颜色？ 【跟踪训练 2】 同学们排队做操，按 “3 男 2 女” 的顺序依次排列，第 28 个同学是男生还是女生？ 【典型例题 3】周期求和 有一列数：3，1，2，3，1，2，3，1，2…… （1）第 22 个数是多少？ （2）这 22 个数的和是多少？ 【跟踪训练 3】 有一串图形按 “△○□△○□……” 排列，前 35 个图形中一共有多少个○？ 巩固练习 1. 除数是 7，商是 15，余数最大是多少？这时被除数是多少？ 2. 一个除法算式，余数是 4，商是 12。除数最小是多少？这时被除数是多少？ 3. 有一面彩旗，按 “红、橙、黄、绿、青、蓝、紫” 的顺序循环排列，第 40 面旗是什么颜色？ 4. 有一列数：2，4，6，2，4，6，2，4，6……，第 29 个数是多少？ 5. 上题中，前 29 个数的和是多少？ 6. 2025 年 10 月 1 日是星期三，10 月 28 日是星期几？ 7. 被除数是 47，商是 6，余数是 5。除数是多少？ 8. 同学们按 “2 个男生、3 个女生” 的顺序排队，第 36 个同学是男生还是女生？其中男生一共有多少人？ 9. 一个两位数除以 6，商和余数相同。这个两位数最大是多少？ 10. 把一堆苹果分给 8 个小朋友，每人分 5 个，还剩一些。这堆苹果最多有多少个？最少有多少个？ 11. 有一串珠子按 “2 白 3 黑” 的顺序排列，前 42 颗珠子里有多少颗黑珠子？ 12. 小明在计算有余数的除法时，把被除数 23 错写成了 32，结果商比原来多了 3，余数不变。正确的商和余数分别是多少？ 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）填空：，△最大是（ ），这时□是（ ）。 2.（苏教版期末真题）彩灯按 “红、黄、蓝” 的顺序排列，第 20 盏灯是什么颜色？ 3.（希望杯三年级试题），除数最小是（ ），这时被除数是（ ）。 4.（华杯赛低年级组）2025 年 3 月 1 日是星期六，3 月 31 日是星期几？ 5.（苏教版培优题）一个数除以 9，商是 13，余数最大是多少？被除数最大是多少？ 6.（重点中学分班考）有一列数：1，3，5，1，3，5……，前 24 个数的和是多少？ 7.（走美杯真题）同学们排队，按 “1、2、3、1、2、3……” 报数，第 32 个同学报几？ 8.（三年级期末真题）把 37 支铅笔平均分给 5 个小朋友，每人分几支？还剩几支？ 9.（希望杯模拟题）一串图形按 “△□○☆△□○☆……” 排列，第 30 个图形是什么？其中有多少个△？ 10.（小升初衔接题）有一堆糖果，分给 7 个小朋友，每人分 6 块，还剩一些。这堆糖果最少有多少块？ 11.（华杯赛模拟题）一根绳子绕柱子 3 圈还多 2 分米，绕柱子 4 圈还差 2 分米。柱子一圈长多少分米？绳子长多少分米？ 12.（思维训练题）在一道有余数的除法算式里，被除数、除数、商、余数的和是 31，已知商是 4，余数是 1。被除数和除数分别是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 有余数的除法与周期问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 有余数的除法核心知识 （1）意义 把一些物体平均分后，还有剩余，且剩余的部分不够再分一份，这样的除法就是有余数的除法，剩余的数叫做余数。 书写格式： 例： （2）核心关系式 被除数 = 除数 × 商 + 余数（最核心，知三求一） 推导公式： 除数 =（被除数 - 余数）÷ 商 商 =（被除数 - 余数）÷ 除数 （3）关键性质：余数与除数的关系 余数必须小于除数（余数 ＜ 除数），这是有余数除法的根本规则。 最大余数 = 除数 - 1 最小除数 = 余数 + 1 （4）验算方法 用 “商 × 除数 + 余数” 计算，结果等于被除数则计算正确。 2. 周期问题进阶 （1）周期的概念 事物按照一定的规律不断重复出现，这样的现象叫做周期现象。重复出现的一组事物就是一个周期，一组包含的个数叫做周期长度。 例：△○□△○□△○□……，周期是△○□，周期长度为 3。 （2）基本解题公式 没有余数：所求事物是周期的最后一个； 有余数：余数是几，所求事物就是周期的第几个。 （3）常见周期题型 图形 / 排列周期：彩旗、图形、队伍等按规律排列，求第几个是什么； 数字周期：数列按规律重复，求第几个数或前若干个数的和； 日期周期：星期几的循环，周期长度为 7，计算经过天数后推算星期几； 周期计数：求某一类事物在总数中一共有多少个。 （4）周期求和步骤 ① 找出周期，计算一组数的和； ② 算出总共有多少组完整周期，以及余下几个数； ③ 总和 = 每组和 × 完整组数 + 余下数的和。 3. 解题通用步骤 有余数除法题：确定除数 → 根据余数＜除数确定余数范围 → 代入核心公式计算 → 验算 周期问题：找周期 → 算除法 → 看余数 → 定结果 4. 易错警示 余数大于等于除数：比如除数是 6，余数写 6，违反余数＜除数的规则，最大余数只能是 5； 周期找错：把 “△△○△△○” 的周期错看成 2 个，实际是 3 个一组重复； 日期天数算错：计算从周一到周五的天数，错算成 5 天间隔，实际经过 4 天； 周期求和漏加余下的数：只算完整周期的和，忘记加上余下几个数的和； 有余数除法验算错误：只验算商 × 除数，忘记加上余数。 例题讲解 【典型例题 1】有余数除法的核心性质 一个除法算式，除数是 8，商是 12。余数最大是多少？这时被除数是多少？ 【分析】根据余数必须小于除数的性质，除数是 8，余数最大是。再根据 “被除数 = 除数 × 商 + 余数” 计算被除数。 【详解】 余数最大： 被除数： 答：余数最大是 7，这时被除数是 103。 【答案】余数最大，被除数 【跟踪训练 1】 一个除法算式，余数是 5，商是 9。除数最小是多少？这时被除数是多少？ 【分析】根据余数小于除数，除数最小是余数 + 1，即。再代入公式求被除数。 【详解】 除数最小： 被除数： 答：除数最小是 6，这时被除数是 59。 【答案】除数最小，被除数 【典型例题 2】基础图形周期 一串彩灯按 “红、黄、蓝、绿、红、黄、蓝、绿……” 的顺序排列，第 33 盏灯是什么颜色？ 【分析】彩灯按红、黄、蓝、绿 4 个为一组重复，周期长度是 4。用 33 除以 4，看余数是几，对应周期里的第几个颜色。 【详解】 周期长度：4 （组）……（个） 余数是 1，对应周期的第 1 个，是红色。 答：第 33 盏灯是红色。 【答案】 【跟踪训练 2】 同学们排队做操，按 “3 男 2 女” 的顺序依次排列，第 28 个同学是男生还是女生？ 【分析】3 男 2 女共 5 人一组，周期长度是 5。28 除以 5 看余数，判断性别。 【详解】 周期长度： （组）……（个） 余数是 3，对应周期的第 3 个，是男生。 答：第 28 个同学是男生。 【答案】 【典型例题 3】周期求和 有一列数：3，1，2，3，1，2，3，1，2…… （1）第 22 个数是多少？ （2）这 22 个数的和是多少？ 【分析】数列按 3、1、2 三个数为一个周期重复。先算 22 里有几个完整周期，余几个数，再求第 22 个数；求和时先算一组的和，乘组数再加余下的数。 【详解】 （1）周期长度：3 （组）……（个） 余数是 1，对应周期第 1 个数，是 3。 （2）每组数的和： 7 组的和： 余下的 1 个数是 3 总和： 答：第 22 个数是 3，这 22 个数的和是 45。 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练 3】 有一串图形按 “△○□△○□……” 排列，前 35 个图形中一共有多少个○？ 【分析】周期长度 3，先算有多少组完整周期，余几个图形，每组有 1 个○，算出完整组里○的个数，再加余下图形里○的个数。 【详解】 周期长度：3 （组）……（个） 11 组里○的个数：（个） 余下 2 个图形是△、○，有 1 个○ 总个数：（个） 答：一共有 12 个○。 【答案】个 巩固练习 1. 除数是 7，商是 15，余数最大是多少？这时被除数是多少？ 【分析】余数最大 = 除数 - 1，再用被除数公式计算。 【详解】 余数最大： 被除数： 答：余数最大是 6，被除数是 111。 【答案】余数最大，被除数 2. 一个除法算式，余数是 4，商是 12。除数最小是多少？这时被除数是多少？ 【分析】除数最小 = 余数 + 1，再求被除数。 【详解】 除数最小： 被除数： 答：除数最小是 5，被除数是 64。 【答案】除数最小，被除数 3. 有一面彩旗，按 “红、橙、黄、绿、青、蓝、紫” 的顺序循环排列，第 40 面旗是什么颜色？ 【分析】7 种颜色一个周期，40 除以 7 看余数。 【详解】 周期长度：7 （组）……（个） 余数是 5，对应第 5 个颜色青色。 答：第 40 面旗是青色。 【答案】 4. 有一列数：2，4，6，2，4，6，2，4，6……，第 29 个数是多少？ 【分析】3 个数一个周期，29 除以 3 看余数。 【详解】 周期长度：3 （组）……（个） 余数是 2，对应第 2 个数 4。 答：第 29 个数是 4。 【答案】 5. 上题中，前 29 个数的和是多少？ 【分析】先算每组和，乘组数，再加余下的数。 【详解】 每组和： 9 组的和： 余下 2 个数：2、4，和为 总和： 答：前 29 个数的和是 114。 【答案】 6. 2025 年 10 月 1 日是星期三，10 月 28 日是星期几？ 【分析】先算经过的天数，周期是 7 天，用经过天数除以 7 看余数，推算星期几。 【详解】 经过天数：（天） （周）……（天） 星期三往后数 6 天：星期四、五、六、日、一、二，是星期二。 答：10 月 28 日是星期二。 【答案】 7. 被除数是 47，商是 6，余数是 5。除数是多少？ 【分析】根据除数 =(被除数 - 余数)÷ 商计算。 【详解】 答：除数是 7。 【答案】 8. 同学们按 “2 个男生、3 个女生” 的顺序排队，第 36 个同学是男生还是女生？其中男生一共有多少人？ 【分析】5 人一个周期，先算第 36 个的性别；再算男生总数，每组 2 个男生，乘组数加余下的男生数。 【详解】 周期长度： （组）……（个） 余数是 1，对应第 1 个，是男生。 男生总数：（人） 答：第 36 个是男生，男生一共有 15 人。 【答案】，共人 9. 一个两位数除以 6，商和余数相同。这个两位数最大是多少？ 【分析】在有余数的除法里，余数必须小于除数，除数是 6，所以余数最大是 5。因为商和余数相同，所以商最大也是 5，根据被除数公式计算出最大的两位数。 【详解】 余数最大是 5，商最大也是 5 被除数： 验证：，商和余数相同，是两位数。 答：这个两位数最大是 35。 【答案】 10. 把一堆苹果分给 8 个小朋友，每人分 5 个，还剩一些。这堆苹果最多有多少个？最少有多少个？ 【分析】每人分 5 个，8 个小朋友分了 40 个。余数大于 0 小于 8，最多剩 7 个，最少剩 1 个。 【详解】 分掉的苹果：（个） 最多：（个） 最少：（个） 答：最多 47 个，最少 41 个。 【答案】最多个，最少个 11. 有一串珠子按 “2 白 3 黑” 的顺序排列，前 42 颗珠子里有多少颗黑珠子？ 【分析】5 颗一个周期，每组 3 颗黑珠，先算组数和余下的颗数，再算黑珠总数。 【详解】 周期长度： （组）……（颗） 余下 2 颗是白珠，没有黑珠 黑珠总数：（颗） 答：有 24 颗黑珠子。 【答案】颗 12. 小明在计算有余数的除法时，把被除数 23 错写成了 32，结果商比原来多了 3，余数不变。正确的商和余数分别是多少？ 【分析】余数不变，被除数增加了，商多了 3，说明除数是。再用正确的被除数计算。 【详解】 被除数增加： 除数： 正确算式： 答：正确的商是 7，余数是 2。 【答案】商，余数 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）填空：，△最大是（ ），这时□是（ ）。 【分析】余数小于 5，最大 4，再求被除数。 【详解】 △最大： □： 【答案】4；44 2.（苏教版期末真题）彩灯按 “红、黄、蓝” 的顺序排列，第 20 盏灯是什么颜色？ 【分析】3 个一周期，20 除以 3 看余数。 【详解】 （组）……（个） 余数是 2，对应黄色。 答：第 20 盏是黄色。 【答案】 3.（希望杯三年级试题），除数最小是（ ），这时被除数是（ ）。 【分析】除数最小 = 余数 + 1，再求被除数。 【详解】 除数最小： 被除数： 【答案】6；47 4.（华杯赛低年级组）2025 年 3 月 1 日是星期六，3 月 31 日是星期几？ 【分析】算经过天数，除以 7 看余数。 【详解】 经过天数：（天） （周）……（天） 星期六往后数 2 天是星期一。 答：3 月 31 日是星期一。 【答案】 5.（苏教版培优题）一个数除以 9，商是 13，余数最大是多少？被除数最大是多少？ 【分析】余数最大 8，求被除数。 【详解】 余数最大： 被除数： 答：余数最大 8，被除数最大 125。 【答案】余数最大，被除数最大 6.（重点中学分班考）有一列数：1，3，5，1，3，5……，前 24 个数的和是多少？ 【分析】3 个数一周期，先算组数，再算总和。 【详解】 周期长度：3 （组） 每组和： 总和： 答：和是 72。 【答案】 7.（走美杯真题）同学们排队，按 “1、2、3、1、2、3……” 报数，第 32 个同学报几？ 【分析】3 个一周期，32 除以 3 看余数。 【详解】 （组）……（个） 余数是 2，报 2。 答：第 32 个同学报 2。 【答案】 8.（三年级期末真题）把 37 支铅笔平均分给 5 个小朋友，每人分几支？还剩几支？ 【分析】有余数除法计算。 【详解】 （支）……（支） 答：每人分 7 支，还剩 2 支。 【答案】每人支，剩支 9.（希望杯模拟题）一串图形按 “△□○☆△□○☆……” 排列，第 30 个图形是什么？其中有多少个△？ 【分析】4 个一周期，30 除以 4 看余数；算△的个数，每组 1 个。 【详解】 周期长度：4 （组）……（个） 第 30 个是□。 △的个数：（个） 答：第 30 个是□，有 8 个△。 【答案】，个△ 10.（小升初衔接题）有一堆糖果，分给 7 个小朋友，每人分 6 块，还剩一些。这堆糖果最少有多少块？ 【分析】余数最小是 1，总数 = 分掉的 + 余数。 【详解】 分掉的：（块） 最少：（块） 答：最少有 43 块。 【答案】块 11.（华杯赛模拟题）一根绳子绕柱子 3 圈还多 2 分米，绕柱子 4 圈还差 2 分米。柱子一圈长多少分米？绳子长多少分米？ 【分析】多 2 分米，差 2 分米，一圈就是分米。再算绳长。 【详解】 柱子一圈：（分米） 绳子长：（分米） 验证：，符合题意。 答：柱子一圈 4 分米，绳子长 14 分米。 【答案】柱子一圈分米，绳长分米 12.（思维训练题）在一道有余数的除法算式里，被除数、除数、商、余数的和是 31，已知商是 4，余数是 1。被除数和除数分别是多少？ 【分析】先从总和里减去商和余数，得到被除数与除数的和；被除数 = 除数 × 商 + 余数，代入后求出除数。 【详解】 被除数 + 除数： 因为被除数 = 除数 ×4 + 1 所以 除数 ×4 + 1 + 除数 = 26 除数 ×5 = 25 除数： 被除数： 验证：，符合题意。 答：被除数是 21，除数是 5。 【答案】被除数，除数 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $