第13讲 测量中的间隔问题 专题讲义-苏教版数学三年级上册奥数培优

第13讲 测量中的间隔问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 间隔问题核心概念 在测量长度、排列物体时，物体的个数（点数）和相邻两个物体之间的间隔数存在固定的数量关系，这类问题统称为间隔问题。 基础公式： 间隔数 = 总长度 ÷ 每个间隔的长度 总长度 = 间隔数 × 每个间隔的长度 每个间隔长度 = 总长度 ÷ 间隔数 解题前提：计算前必须统一长度单位，确保总长度与间隔长度单位一致。 2. 四大基础模型 （1）直线型・两端都有物体 场景：马路两旁种树、排队、插彩旗、立电线杆（两端都有） 核心关系：物体个数 = 间隔数 + 1 推导：2 个物体有 1 个间隔，3 个物体有 2 个间隔，物体数总比间隔数多 1。 （2）直线型・两端都没有物体 场景：两栋楼之间种树、两座桥之间放花盆（两端有建筑物不能放） 核心关系：物体个数 = 间隔数 - 1 推导：两端空出 1 个间隔，物体数比间隔数少 1。 （3）直线型・一端有、一端没有 场景：一端靠墙放花盆、终点不种树的道路 核心关系：物体个数 = 间隔数 （4）封闭型（圆形、正方形、长方形等） 场景：池塘周围种树、花坛周围摆花、环形跑道插旗 核心关系：物体个数 = 间隔数 推导：首尾相连，起点和终点重合，物体数与间隔数相等。 3. 三大经典变形题型 （1）锯木头问题 本质：两端都不栽的间隔模型，锯的次数相当于物体个数，段数相当于间隔数。 核心公式：锯的次数 = 段数 - 1 总时间 = 每次锯的时间 × 锯的次数 （2）爬楼梯问题 本质：两端都栽的间隔模型，楼层数相当于物体个数，楼梯层数相当于间隔数。 核心公式：走的楼梯层数 = 终点楼层 - 起点楼层 总时间 = 走每层的时间 × 楼梯层数 （3）敲钟问题 本质：两端都栽的间隔模型，敲的次数相当于物体个数，两次敲钟的时间相当于间隔。 核心公式：时间间隔数 = 敲钟次数 - 1 总时间 = 每个间隔的时间 × 间隔数 4. 解题通用步骤 ① 判类型：根据场景判断是直线型（两端是否有物）还是封闭型； ② 算间隔：用总长度除以间隔长度，求出间隔数； ③ 求数量：根据模型公式，算出物体个数、时间或长度； ④ 验结果：反向推导总长度，验证是否符合题意。 5. 易错警示 模型混淆：两端都栽忘加 1，两端不栽忘减 1，封闭图形多算 1 个； 段数与次数搞反：锯成 5 段，错以为锯 5 次，实际只需 4 次； 楼层差算错：从 1 楼到 5 楼，错算成 5 层楼梯，实际是 4 层； 单位不统一：总长度用米，间隔用分米，直接计算导致结果错误； 两旁 / 四周漏乘：题目说 “两旁种树”“四周插旗”，只算了一边的数量。 例题讲解 【典型例题 1】直线型・两端都栽 一条林荫道长 80 米，在道路一旁每隔 8 米栽一棵梧桐树，两端都栽。一共要栽多少棵梧桐树？ 【分析】这是两端都栽的间隔问题，棵数 = 间隔数 + 1。先根据总长度和间隔长度算出间隔数，再加 1 得到总棵数。 【详解】 第一步：计算间隔数 （个） 第二步：计算总棵数 （棵） 答：一共要栽 11 棵梧桐树。 【答案】棵 【跟踪训练 1】 学校在大门前的直路上插彩旗，每隔 6 米插一面，两端都插，一共插了 16 面。这条路长多少米？ 【分析】已知棵数求总长，先根据 “两端都栽” 算出间隔数 = 棵数 - 1，再用间隔数乘间隔长度得到总长度。 【详解】 间隔数：（个） 总长度：（米） 答：这条路长 90 米。 【答案】米 【典型例题 2】变形・锯木头问题 一根木头长 2 米，把它锯成 4 分米长的小段，每锯一次需要 3 分钟。全部锯完一共需要多少分钟？ 【分析】锯木头问题，次数 = 段数 - 1。先统一单位，计算出能锯成多少段，再求出锯的次数，最后乘每次的时间得到总时间。 【详解】 第一步：统一单位 2 米 = 20 分米 第二步：计算段数 （段） 第三步：计算锯的次数 （次） 第四步：计算总时间 （分钟） 答：全部锯完一共需要 12 分钟。 【答案】分钟 【跟踪训练 2】 小明爬楼梯，从 1 楼走到 3 楼用了 24 秒。照这样的速度，从 1 楼走到 6 楼需要多少秒？ 【分析】爬楼梯问题，走的层数 = 终点楼层 - 起点楼层。先算走 1 层楼梯的时间，再算从 1 楼到 6 楼的总层数，相乘得到总时间。 【详解】 1 楼到 3 楼的层数：（层） 走每层时间：（秒） 1 楼到 6 楼的层数：（层） 总时间：（秒） 答：从 1 楼走到 6 楼需要 60 秒。 【答案】秒 【典型例题 3】封闭型间隔问题 一个圆形池塘的周长是 45 米，沿着池塘边缘每隔 5 米种一棵柳树。一共要种多少棵柳树？ 【分析】封闭图形的间隔问题，棵数 = 间隔数。用周长除以间隔长度得到间隔数，就是柳树的总棵数。 【详解】 间隔数：（个） 封闭图形棵数 = 间隔数，所以一共种 9 棵。 答：一共要种 9 棵柳树。 【答案】棵 【跟踪训练 3】 两栋教学楼之间相距 42 米，每隔 7 米摆一盆鲜花，两端都不摆。一共要摆多少盆鲜花？ 【分析】两端都不摆的直线型间隔问题，盆数 = 间隔数 - 1。先算间隔数，再减 1 得到花盆数。 【详解】 间隔数：（个） 花盆数：（盆） 答：一共要摆 5 盆鲜花。 【答案】盆 巩固练习 1. 一条人行道长 60 米，在人行道一旁每隔 5 米栽一棵冬青树，两端都栽。一共要栽多少棵？ 【分析】两端都栽，棵数 = 间隔数 + 1，先算间隔数。 【详解】 间隔数：（个） 总棵数：（棵） 答：一共要栽 13 棵。 【答案】棵 2. 公路一旁立电线杆，每隔 50 米立一根，两端都立，一共立了 21 根。这条公路长多少米？ 【分析】已知棵数求总长，间隔数 = 根数 - 1，再乘间隔长度。 【详解】 间隔数：（个） 公路长：（米） 答：这条公路长 1000 米。 【答案】米 3. 两座楼房之间相距 36 米，每隔 4 米放一盆绿萝，两端都不放。一共要放多少盆？ 【分析】两端都不栽，盆数 = 间隔数 - 1。 【详解】 间隔数：（个） 花盆数：（盆） 答：一共要放 8 盆。 【答案】盆 4. 一个圆形花坛周长是 36 米，沿着花坛边每隔 4 米放一盆月季花。一共要放多少盆？ 【分析】封闭图形，盆数 = 间隔数。 【详解】 间隔数：（个） 花盆数 = 间隔数 = 9 盆 答：一共要放 9 盆。 【答案】盆 5. 一根钢管长 3 米，锯成 6 分米长的小段，每锯一次需要 2 分钟。全部锯完要多少分钟？ 【分析】先统一单位，算段数，次数 = 段数 - 1，再算总时间。 【详解】 3 米 = 30 分米 段数：（段） 锯的次数：（次） 总时间：（分钟） 答：全部锯完要 8 分钟。 【答案】分钟 6. 小红从 1 楼走到 4 楼用了 36 秒。照这样的速度，她从 1 楼走到 7 楼需要多少秒？ 【分析】先算走一层的时间，再算 1 到 7 楼的总层数。 【详解】 1 到 4 楼层数：（层） 每层时间：（秒） 1 到 7 楼层数：（层） 总时间：（秒） 答：需要 72 秒。 【答案】秒 7. 时钟 3 点敲 3 下，6 秒钟敲完。5 点敲 5 下，多少秒钟敲完？ 【分析】敲钟问题，间隔数 = 次数 - 1，先算每个间隔的时间，再算 5 下的总时间。 【详解】 3 下的间隔数：（个） 每个间隔时间：（秒） 5 下的间隔数：（个） 总时间：（秒） 答：12 秒钟敲完。 【答案】秒 8. 一条路长 50 米，在路的一旁从头到尾种了 11 棵树。相邻两棵树之间的距离是多少米？ 【分析】两端都栽，间隔数 = 棵数 - 1，总长度除以间隔数得到间隔长度。 【详解】 间隔数：（个） 间隔长度：（米） 答：相邻两棵树间隔 5 米。 【答案】米 9. 一条公路长 1 千米，每隔 100 米装一个路灯，两端都装。公路一旁一共要装多少个路灯？ 【分析】先统一单位，再按两端都栽计算。 【详解】 1 千米 = 1000 米 间隔数：（个） 路灯数：（个） 答：一共要装 11 个路灯。 【答案】个 10. 把一根木头锯成 4 段需要 12 分钟。照这样计算，锯成 8 段需要多少分钟？ 【分析】先算锯一次的时间，再算锯 8 段的次数和总时间。 【详解】 锯 4 段次数：（次） 每次时间：（分钟） 锯 8 段次数：（次） 总时间：（分钟） 答：需要 28 分钟。 【答案】分钟 11. 同学们排队做操，队伍长 24 米，每相邻两个同学之间相隔 2 米。这列队伍一共有多少人？ 【分析】排队相当于两端都栽，人数 = 间隔数 + 1。 【详解】 间隔数：（个） 总人数：（人） 答：一共有 13 人。 【答案】人 12. 一条公路长 200 米，在公路两旁每隔 5 米栽一棵树，两端都栽。一共要栽多少棵树？ 【分析】先算一旁的棵数，再乘 2 得到两旁的总棵数。 【详解】 一旁间隔数：（个） 一旁棵数：（棵） 两旁总棵数：（棵） 答：一共要栽 82 棵树。 【答案】棵 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）学校走廊长 40 米，每隔 5 米放一盆绿植，两端都放。走廊一旁一共放多少盆绿植？ 【分析】两端都放，盆数 = 间隔数 + 1。 【详解】 间隔数：（个） 总盆数：（盆） 答：一共放 9 盆绿植。 【答案】盆 2.（苏教版期末真题）一根木头锯成 3 段需要 6 分钟。照这样，锯成 6 段需要多少分钟？ 【分析】先算锯一次的时间，再算锯 6 段的总时间。 【详解】 锯 3 段次数：（次） 每次时间：（分钟） 锯 6 段次数：（次） 总时间：（分钟） 答：需要 15 分钟。 【答案】分钟 3.（希望杯三年级试题）一个圆形水池周长 42 米，沿着池边每隔 6 米种一棵树。一共要种多少棵树？ 【分析】封闭图形，棵数 = 间隔数。 【详解】 间隔数：（个） 总棵数 = 7 棵 答：一共要种 7 棵树。 【答案】棵 4.（华杯赛低年级组）小明从 1 楼走到 5 楼用了 40 秒。照这样的速度，他从 5 楼走到 8 楼还要多少秒？ 【分析】先算走一层的时间，再算 5 到 8 楼的层数和时间。 【详解】 1 到 5 楼层数：（层） 每层时间：（秒） 5 到 8 楼层数：（层） 还要时间：（秒） 答：还要 30 秒。 【答案】秒 5.（苏教版培优题）公路一旁有 20 根电线杆，相邻两根之间的距离是 50 米。从第一根到最后一根相距多少米？ 【分析】两端都有电线杆，间隔数 = 根数 - 1，再乘间隔长度。 【详解】 间隔数：（个） 总距离：（米） 答：相距 950 米。 【答案】米 6.（重点中学分班考）两栋楼房之间摆了 8 盆花，每隔 3 米摆一盆，两端都不摆。两栋楼房之间相距多少米？ 【分析】两端不摆，间隔数 = 盆数 + 1，再乘间隔长度。 【详解】 间隔数：（个） 总距离：（米） 答：两楼相距 27 米。 【答案】米 7.（走美杯真题）时钟 4 点敲 4 下，9 秒钟敲完。8 点敲 8 下，多少秒钟敲完？ 【分析】先算每个间隔的时间，再算 8 下的总时间。 【详解】 4 下间隔数：（个） 每个间隔：（秒） 8 下间隔数：（个） 总时间：（秒） 答：21 秒钟敲完。 【答案】秒 8.（三年级期末真题）一条路长 48 米，在路的一边每隔 6 米栽一棵树，两端都栽。一共要栽多少棵树？ 【分析】两端都栽，棵数 = 间隔数 + 1。 【详解】 间隔数：（个） 总棵数：（棵） 答：一共要栽 9 棵树。 【答案】棵 9.（希望杯模拟题）把一根绳子剪了 4 次，每段长都是 5 米。这根绳子原来长多少米？ 【分析】剪 4 次得到 5 段，段数 × 每段长度 = 总长。 【详解】 段数：（段） 总长：（米） 答：原来长 25 米。 【答案】米 10.（小升初衔接题）一个正方形操场边长 40 米，在四周每隔 8 米插一面彩旗，四个角都插。一共要插多少面彩旗？ 【分析】正方形是封闭图形，先算周长，再算间隔数 = 彩旗数。 【详解】 周长：（米） 间隔数：（个） 彩旗数 = 间隔数 = 20 面 答：一共要插 20 面彩旗。 【答案】面 11.（华杯赛模拟题）小明从 2 楼走到 5 楼用了 30 秒。照这样的速度，从 1 楼走到 10 楼需要多少秒？ 【分析】先算走一层的时间，再算 1 到 10 楼的总层数。 【详解】 2 到 5 楼层数：（层） 每层时间：（秒） 1 到 10 楼层数：（层） 总时间：（秒） 答：需要 90 秒。 【答案】秒 12.（思维训练题）一根木条长 1 米 5 厘米，锯成 5 厘米长的小木块，每锯一次要 10 秒。全部锯完一共需要多少秒？ 【分析】先统一单位，算段数，次数 = 段数 - 1，再算总时间。 【详解】 1 米 5 厘米 = 105 厘米 段数：（段） 锯的次数：（次） 总时间：（秒） 答：一共需要 200 秒。 【答案】秒 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 测量中的间隔问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 间隔问题核心概念 在测量长度、排列物体时，物体的个数（点数）和相邻两个物体之间的间隔数存在固定的数量关系，这类问题统称为间隔问题。 基础公式： 间隔数 = 总长度 ÷ 每个间隔的长度 总长度 = 间隔数 × 每个间隔的长度 每个间隔长度 = 总长度 ÷ 间隔数 解题前提：计算前必须统一长度单位，确保总长度与间隔长度单位一致。 2. 四大基础模型 （1）直线型・两端都有物体 场景：马路两旁种树、排队、插彩旗、立电线杆（两端都有） 核心关系：物体个数 = 间隔数 + 1 推导：2 个物体有 1 个间隔，3 个物体有 2 个间隔，物体数总比间隔数多 1。 （2）直线型・两端都没有物体 场景：两栋楼之间种树、两座桥之间放花盆（两端有建筑物不能放） 核心关系：物体个数 = 间隔数 - 1 推导：两端空出 1 个间隔，物体数比间隔数少 1。 （3）直线型・一端有、一端没有 场景：一端靠墙放花盆、终点不种树的道路 核心关系：物体个数 = 间隔数 （4）封闭型（圆形、正方形、长方形等） 场景：池塘周围种树、花坛周围摆花、环形跑道插旗 核心关系：物体个数 = 间隔数 推导：首尾相连，起点和终点重合，物体数与间隔数相等。 3. 三大经典变形题型 （1）锯木头问题 本质：两端都不栽的间隔模型，锯的次数相当于物体个数，段数相当于间隔数。 核心公式：锯的次数 = 段数 - 1 总时间 = 每次锯的时间 × 锯的次数 （2）爬楼梯问题 本质：两端都栽的间隔模型，楼层数相当于物体个数，楼梯层数相当于间隔数。 核心公式：走的楼梯层数 = 终点楼层 - 起点楼层 总时间 = 走每层的时间 × 楼梯层数 （3）敲钟问题 本质：两端都栽的间隔模型，敲的次数相当于物体个数，两次敲钟的时间相当于间隔。 核心公式：时间间隔数 = 敲钟次数 - 1 总时间 = 每个间隔的时间 × 间隔数 4. 解题通用步骤 ① 判类型：根据场景判断是直线型（两端是否有物）还是封闭型； ② 算间隔：用总长度除以间隔长度，求出间隔数； ③ 求数量：根据模型公式，算出物体个数、时间或长度； ④ 验结果：反向推导总长度，验证是否符合题意。 5. 易错警示 模型混淆：两端都栽忘加 1，两端不栽忘减 1，封闭图形多算 1 个； 段数与次数搞反：锯成 5 段，错以为锯 5 次，实际只需 4 次； 楼层差算错：从 1 楼到 5 楼，错算成 5 层楼梯，实际是 4 层； 单位不统一：总长度用米，间隔用分米，直接计算导致结果错误； 两旁 / 四周漏乘：题目说 “两旁种树”“四周插旗”，只算了一边的数量。 例题讲解 【典型例题 1】直线型・两端都栽 一条林荫道长 80 米，在道路一旁每隔 8 米栽一棵梧桐树，两端都栽。一共要栽多少棵梧桐树？ 【跟踪训练 1】 学校在大门前的直路上插彩旗，每隔 6 米插一面，两端都插，一共插了 16 面。这条路长多少米？ 【典型例题 2】变形・锯木头问题 一根木头长 2 米，把它锯成 4 分米长的小段，每锯一次需要 3 分钟。全部锯完一共需要多少分钟？ 【跟踪训练 2】 小明爬楼梯，从 1 楼走到 3 楼用了 24 秒。照这样的速度，从 1 楼走到 6 楼需要多少秒？ 【典型例题 3】封闭型间隔问题 一个圆形池塘的周长是 45 米，沿着池塘边缘每隔 5 米种一棵柳树。一共要种多少棵柳树？ 【跟踪训练 3】 两栋教学楼之间相距 42 米，每隔 7 米摆一盆鲜花，两端都不摆。一共要摆多少盆鲜花？ 巩固练习 1. 一条人行道长 60 米，在人行道一旁每隔 5 米栽一棵冬青树，两端都栽。一共要栽多少棵？ 2. 公路一旁立电线杆，每隔 50 米立一根，两端都立，一共立了 21 根。这条公路长多少米？ 3. 两座楼房之间相距 36 米，每隔 4 米放一盆绿萝，两端都不放。一共要放多少盆？ 4. 一个圆形花坛周长是 36 米，沿着花坛边每隔 4 米放一盆月季花。一共要放多少盆？ 5. 一根钢管长 3 米，锯成 6 分米长的小段，每锯一次需要 2 分钟。全部锯完要多少分钟？ 6. 小红从 1 楼走到 4 楼用了 36 秒。照这样的速度，她从 1 楼走到 7 楼需要多少秒？ 7. 时钟 3 点敲 3 下，6 秒钟敲完。5 点敲 5 下，多少秒钟敲完？ 8. 一条路长 50 米，在路的一旁从头到尾种了 11 棵树。相邻两棵树之间的距离是多少米？ 9. 一条公路长 1 千米，每隔 100 米装一个路灯，两端都装。公路一旁一共要装多少个路灯？ 10. 把一根木头锯成 4 段需要 12 分钟。照这样计算，锯成 8 段需要多少分钟？ 11. 同学们排队做操，队伍长 24 米，每相邻两个同学之间相隔 2 米。这列队伍一共有多少人？ 12. 一条公路长 200 米，在公路两旁每隔 5 米栽一棵树，两端都栽。一共要栽多少棵树？ 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）学校走廊长 40 米，每隔 5 米放一盆绿植，两端都放。走廊一旁一共放多少盆绿植？ 2.（苏教版期末真题）一根木头锯成 3 段需要 6 分钟。照这样，锯成 6 段需要多少分钟？ 3.（希望杯三年级试题）一个圆形水池周长 42 米，沿着池边每隔 6 米种一棵树。一共要种多少棵树？ 4.（华杯赛低年级组）小明从 1 楼走到 5 楼用了 40 秒。照这样的速度，他从 5 楼走到 8 楼还要多少秒？ 5.（苏教版培优题）公路一旁有 20 根电线杆，相邻两根之间的距离是 50 米。从第一根到最后一根相距多少米？ 6.（重点中学分班考）两栋楼房之间摆了 8 盆花，每隔 3 米摆一盆，两端都不摆。两栋楼房之间相距多少米？ 7.（走美杯真题）时钟 4 点敲 4 下，9 秒钟敲完。8 点敲 8 下，多少秒钟敲完？ 8.（三年级期末真题）一条路长 48 米，在路的一边每隔 6 米栽一棵树，两端都栽。一共要栽多少棵树？ 9.（希望杯模拟题）把一根绳子剪了 4 次，每段长都是 5 米。这根绳子原来长多少米？ 10.（小升初衔接题）一个正方形操场边长 40 米，在四周每隔 8 米插一面彩旗，四个角都插。一共要插多少面彩旗？ 11.（华杯赛模拟题）小明从 2 楼走到 5 楼用了 30 秒。照这样的速度，从 1 楼走到 10 楼需要多少秒？ 12.（思维训练题）一根木条长 1 米 5 厘米，锯成 5 厘米长的小木块，每锯一次要 10 秒。全部锯完一共需要多少秒？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $