第4讲 数量关系进阶——和差倍入门 专题讲义-苏教版数学三年级上册奥数培优

第4讲 数量关系进阶——和差倍入门 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 和差倍问题概述 已知两个数量的和、差、倍数三种关系中的两种，求这两个数量分别是多少的应用题，统称为和差倍问题。核心本质是通过对应关系，先求出 1 份的数量（1 倍量），再根据倍数或和差求出另一个数量。 2. 核心建模工具：线段图法 线段图是解决和差倍问题的通用方法，把抽象的文字转化为直观的长度关系，快速理清数量对应逻辑： 先画 1 倍量：“是”“比” 后面的量是标准量（1 倍量），先画一段线段表示； 再画多倍量：根据倍数关系，对应画出几段长度相同的线段； 标注条件：在图中标出两个量的 “和” 或者 “差” 对应的线段长度； 对应计算：总数量对应总份数，数量差对应份数差，先算出 1 份的长度（1 倍量）。 3. 三大基础题型 （1）和倍问题 定义：已知两个数的和，以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少。 核心公式： 总份数 = 倍数 + 1 1 倍量（小数）= 两数和 ÷ 总份数 多倍量（大数）= 1 倍量 × 倍数 或 两数和 - 小数 示例：甲乙两数和是 30，甲数是乙数的 2 倍。 总份数：2+1=3 乙数（1 倍量）： 甲数： （2）差倍问题 定义：已知两个数的差，以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少。 核心公式： 份数差 = 倍数 - 1 1 倍量（小数）= 两数差 ÷ 份数差 多倍量（大数）= 1 倍量 × 倍数 或 小数 + 两数差 示例：甲比乙多 20，甲数是乙数的 3 倍。 份数差：3-1=2 乙数（1 倍量）： 甲数： （3）和差问题 定义：已知两个数的和与差，求这两个数各是多少。 核心公式： 大数 =（两数和 + 两数差）÷ 2 小数 =（两数和 - 两数差）÷ 2 示例：甲乙两数和是 50，甲比乙多 10。 甲数（大数）： 乙数（小数）： 4. 解题通用步骤 ① 判题型：根据关键词判断是和倍、差倍还是和差问题； ② 画线段：先画 1 倍量，再画另一个量，标注和或差； ③ 求 1 倍：用对应数量除以对应份数，算出 1 倍量； ④ 求另量：根据倍数、和差关系算出第二个数； ⑤ 验结果：把答案代入原题，验证和、差、倍数是否全部符合。 5. 易错警示 1 倍量找错：“是”“比” 后面的量才是 1 倍标准量，比如 “甲是乙的 3 倍”，乙是 1 倍量，不能把甲当成 1 倍量； 和倍总份数漏加 1：倍数是几，总份数就是 “几 + 1”，不能直接用和除以倍数； 差倍份数差漏减 1：份数差 = 倍数 - 1，不能直接用差除以倍数； 隐藏差算错：“甲给乙 x 个后两人相等”，原来的差是，不是； 隐藏和漏算：长方形周长对应的和是 “长 + 宽”，需要先用周长 ÷2，不能直接用周长算。 例题讲解 【典型例题 1】和倍基础 果园里有苹果树和梨树一共 60 棵，苹果树的棵数是梨树的 2 倍。苹果树和梨树各有多少棵？ 【跟踪训练 1】 学校有足球和篮球一共 45 个，足球的个数是篮球的 4 倍。足球和篮球各有多少个？ 【典型例题 2】差倍基础 小明的邮票张数是小红的 3 倍，小明比小红多 24 张。两人各有多少张邮票？ 【跟踪训练 2】 果园里苹果树的棵数是梨树的 4 倍，梨树比苹果树少 60 棵。苹果树和梨树各有多少棵？ 【典型例题 3】和差基础 三（1）班一共有学生 48 人，男生比女生多 6 人。男生和女生各有多少人？ 【跟踪训练 3】 妈妈买了上衣和裤子一共花了 160 元，上衣比裤子贵 40 元。上衣和裤子各多少元？ 巩固练习 1. 养鸡场有公鸡和母鸡一共 56 只，母鸡的只数是公鸡的 7 倍。公鸡和母鸡各有多少只？ 2. 一个长方形的周长是 30 厘米，长是宽的 2 倍。长和宽各是多少厘米？ 3. 小明和小红一共有 54 支铅笔，小明的铅笔数是小红的 5 倍。小明比小红多多少支？ 4. 书店运来科技书和故事书一共 80 本，科技书的本数是故事书的 3 倍。科技书比故事书多多少本？ 5. 爸爸的年龄是儿子的 4 倍，爸爸比儿子大 27 岁。爸爸和儿子各多少岁？ 6. 甲筐苹果重量是乙筐的 3 倍，甲筐比乙筐重 30 千克。两筐苹果各重多少千克？ 7. 红花的朵数是黄花的 5 倍，黄花比红花少 32 朵。红花和黄花一共多少朵？ 8. 钢笔的价钱是圆珠笔的 5 倍，钢笔比圆珠笔贵 12 元。钢笔和圆珠笔各多少元？ 9. 两筐水果一共重 70 千克，第一筐比第二筐重 10 千克。两筐水果各重多少千克？ 10. 小明期中考试语文和数学的平均分是 95 分，数学比语文多 4 分。语文和数学各得多少分？ 11. 哥哥和弟弟一共有 80 元钱，如果哥哥给弟弟 10 元，两人的钱就同样多。哥哥和弟弟原来各有多少元？ 12. 甲乙两个书架一共有 120 本书，如果从甲书架拿 20 本给乙书架，两个书架的书就同样多。两个书架原来各有多少本书？ 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）果园里有桃树和梨树一共 120 棵，桃树的棵数是梨树的 3 倍。桃树和梨树各有多少棵？ 2.（希望杯三年级试题）小明的画片张数是小刚的 5 倍，小刚比小明少 32 张。小明有多少张画片？ 3.（小升初衔接低年级）三（2）班一共有 52 名学生，男生比女生多 8 人。男生有多少人？ 4.（华杯赛初赛低年级组）一个长方形的周长是 48 厘米，长是宽的 3 倍。这个长方形的长是多少厘米？ 5.（苏教版培优题）妈妈买了一套衣服一共花了 180 元，上衣的价钱是裤子的 2 倍。上衣比裤子贵多少元？ 6.（重点中学分班考）爸爸比小明大 30 岁，爸爸的年龄是小明的 4 倍。小明今年多少岁？ 7.（走美杯真题）语文和数学的总分是 188 分，数学比语文多 6 分。语文得了多少分？ 8.（三年级期末真题）商店运来苹果和香蕉一共 90 千克，苹果的重量是香蕉的 2 倍。苹果有多少千克？ 9.（希望杯模拟题）两根绳子一共长 60 米，第一根比第二根长 8 米。第一根绳子长多少米？ 10.（小升初真题）红花比黄花多 24 朵，红花的朵数是黄花的 4 倍。黄花有多少朵？ 11.（华杯赛模拟题）两筐鸡蛋一共有 100 个，如果从甲筐拿 10 个给乙筐，两筐就同样多。甲筐原来有多少个鸡蛋？ 12.（思维训练题）小明和小红一共有 48 支彩笔，小明的彩笔数是小红的 3 倍。小明给小红多少支后，两人就同样多？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 数量关系进阶——和差倍入门 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 和差倍问题概述 已知两个数量的和、差、倍数三种关系中的两种，求这两个数量分别是多少的应用题，统称为和差倍问题。核心本质是通过对应关系，先求出 1 份的数量（1 倍量），再根据倍数或和差求出另一个数量。 2. 核心建模工具：线段图法 线段图是解决和差倍问题的通用方法，把抽象的文字转化为直观的长度关系，快速理清数量对应逻辑： 先画 1 倍量：“是”“比” 后面的量是标准量（1 倍量），先画一段线段表示； 再画多倍量：根据倍数关系，对应画出几段长度相同的线段； 标注条件：在图中标出两个量的 “和” 或者 “差” 对应的线段长度； 对应计算：总数量对应总份数，数量差对应份数差，先算出 1 份的长度（1 倍量）。 3. 三大基础题型 （1）和倍问题 定义：已知两个数的和，以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少。 核心公式： 总份数 = 倍数 + 1 1 倍量（小数）= 两数和 ÷ 总份数 多倍量（大数）= 1 倍量 × 倍数 或 两数和 - 小数 示例：甲乙两数和是 30，甲数是乙数的 2 倍。 总份数：2+1=3 乙数（1 倍量）： 甲数： （2）差倍问题 定义：已知两个数的差，以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少。 核心公式： 份数差 = 倍数 - 1 1 倍量（小数）= 两数差 ÷ 份数差 多倍量（大数）= 1 倍量 × 倍数 或 小数 + 两数差 示例：甲比乙多 20，甲数是乙数的 3 倍。 份数差：3-1=2 乙数（1 倍量）： 甲数： （3）和差问题 定义：已知两个数的和与差，求这两个数各是多少。 核心公式： 大数 =（两数和 + 两数差）÷ 2 小数 =（两数和 - 两数差）÷ 2 示例：甲乙两数和是 50，甲比乙多 10。 甲数（大数）： 乙数（小数）： 4. 解题通用步骤 ① 判题型：根据关键词判断是和倍、差倍还是和差问题； ② 画线段：先画 1 倍量，再画另一个量，标注和或差； ③ 求 1 倍：用对应数量除以对应份数，算出 1 倍量； ④ 求另量：根据倍数、和差关系算出第二个数； ⑤ 验结果：把答案代入原题，验证和、差、倍数是否全部符合。 5. 易错警示 1 倍量找错：“是”“比” 后面的量才是 1 倍标准量，比如 “甲是乙的 3 倍”，乙是 1 倍量，不能把甲当成 1 倍量； 和倍总份数漏加 1：倍数是几，总份数就是 “几 + 1”，不能直接用和除以倍数； 差倍份数差漏减 1：份数差 = 倍数 - 1，不能直接用差除以倍数； 隐藏差算错：“甲给乙 x 个后两人相等”，原来的差是，不是； 隐藏和漏算：长方形周长对应的和是 “长 + 宽”，需要先用周长 ÷2，不能直接用周长算。 例题讲解 【典型例题 1】和倍基础 果园里有苹果树和梨树一共 60 棵，苹果树的棵数是梨树的 2 倍。苹果树和梨树各有多少棵？ 【分析】这是基础和倍问题。梨树是 1 倍量，苹果树是 2 倍量，总棵数 60 棵对应总份数份。先算出 1 份的梨树棵数，再乘 2 得到苹果树棵数。 【详解】 总份数： 梨树（1 倍量）：（棵） 苹果树：（棵） 验证：棵，倍，符合题意。 答：苹果树有 40 棵，梨树有 20 棵。 【答案】苹果树棵，梨树棵 【跟踪训练 1】 学校有足球和篮球一共 45 个，足球的个数是篮球的 4 倍。足球和篮球各有多少个？ 【分析】篮球是 1 倍量，足球是 4 倍量，总数 45 个对应总份数 5 份。 【详解】 总份数： 篮球：（个） 足球：（个） 答：足球有 36 个，篮球有 9 个。 【答案】足球个，篮球个 【典型例题 2】差倍基础 小明的邮票张数是小红的 3 倍，小明比小红多 24 张。两人各有多少张邮票？ 【分析】这是基础差倍问题。小红是 1 倍量，小明是 3 倍量，两人相差的 24 张对应份数差份。先算出 1 倍量小红的张数，再乘 3 得到小明的张数。 【详解】 份数差： 小红（1 倍量）：（张） 小明：（张） 验证：张，符合题意。 答：小明有 36 张邮票，小红有 12 张邮票。 【答案】小明张，小红张 【跟踪训练 2】 果园里苹果树的棵数是梨树的 4 倍，梨树比苹果树少 60 棵。苹果树和梨树各有多少棵？ 【分析】梨树是 1 倍量，苹果树是 4 倍量，相差的 60 棵对应 3 份。 【详解】 份数差： 梨树：（棵） 苹果树：（棵） 答：苹果树有 80 棵，梨树有 20 棵。 【答案】苹果树棵，梨树棵 【典型例题 3】和差基础 三（1）班一共有学生 48 人，男生比女生多 6 人。男生和女生各有多少人？ 【分析】这是基础和差问题。总人数 48 人是和，6 人是差。男生是大数，女生是小数，直接用和差公式计算。也可以用线段图理解：女生增加 6 人就和男生同样多，总人数就变成人，对应 2 倍的男生人数。 【详解】 方法一：公式法 男生（大数）：（人） 女生（小数）：（人） 方法二：线段图法 女生人数 + 6 = 男生人数 总人数 + 6 = 2 倍男生人数 男生：（人） 女生：（人） 验证：人，人，符合题意。 答：男生有 27 人，女生有 21 人。 【答案】男生人，女生人 【跟踪训练 3】 妈妈买了上衣和裤子一共花了 160 元，上衣比裤子贵 40 元。上衣和裤子各多少元？ 【分析】总价 160 元是和，40 元是差，上衣是大数，用和差公式计算。 【详解】 上衣：（元） 裤子：（元） 答：上衣 100 元，裤子 60 元。 【答案】上衣元，裤子元 巩固练习 1. 养鸡场有公鸡和母鸡一共 56 只，母鸡的只数是公鸡的 7 倍。公鸡和母鸡各有多少只？ 【分析】和倍问题，公鸡是 1 倍量，总份数 8 份。 【详解】 总份数： 公鸡：（只） 母鸡：（只） 答：公鸡有 7 只，母鸡有 49 只。 【答案】公鸡只，母鸡只 2. 一个长方形的周长是 30 厘米，长是宽的 2 倍。长和宽各是多少厘米？ 【分析】长方形周长 =（长 + 宽）×2，先算出长与宽的和，再按和倍问题计算。 【详解】 长 + 宽：（厘米） 总份数： 宽：（厘米） 长：（厘米） 答：长是 10 厘米，宽是 5 厘米。 【答案】长厘米，宽厘米 3. 小明和小红一共有 54 支铅笔，小明的铅笔数是小红的 5 倍。小明比小红多多少支？ 【分析】先按和倍问题求出两人各有多少支，再相减得到相差的数量。 【详解】 总份数： 小红：（支） 小明：（支） 相差：（支） 答：小明比小红多 36 支。 【答案】支 4. 书店运来科技书和故事书一共 80 本，科技书的本数是故事书的 3 倍。科技书比故事书多多少本？ 【分析】先和倍求各自数量，再算数量差。 【详解】 总份数： 故事书：（本） 科技书：（本） 多的本数：（本） 答：科技书比故事书多 40 本。 【答案】本 5. 爸爸的年龄是儿子的 4 倍，爸爸比儿子大 27 岁。爸爸和儿子各多少岁？ 【分析】差倍问题，儿子是 1 倍量，年龄差对应 3 份。 【详解】 份数差： 儿子：（岁） 爸爸：（岁） 答：爸爸 36 岁，儿子 9 岁。 【答案】爸爸岁，儿子岁 6. 甲筐苹果重量是乙筐的 3 倍，甲筐比乙筐重 30 千克。两筐苹果各重多少千克？ 【分析】差倍问题，乙筐是 1 倍量，重量差对应 2 份。 【详解】 份数差： 乙筐：（千克） 甲筐：（千克） 答：甲筐重 45 千克，乙筐重 15 千克。 【答案】甲筐千克，乙筐千克 7. 红花的朵数是黄花的 5 倍，黄花比红花少 32 朵。红花和黄花一共多少朵？ 【分析】先按差倍求出各自朵数，再相加得到总数。 【详解】 份数差： 黄花：（朵） 红花：（朵） 一共：（朵） 答：红花和黄花一共 48 朵。 【答案】朵 8. 钢笔的价钱是圆珠笔的 5 倍，钢笔比圆珠笔贵 12 元。钢笔和圆珠笔各多少元？ 【分析】差倍问题，圆珠笔是 1 倍量，差价对应 4 份。 【详解】 份数差： 圆珠笔：（元） 钢笔：（元） 答：钢笔 15 元，圆珠笔 3 元。 【答案】钢笔元，圆珠笔元 9. 两筐水果一共重 70 千克，第一筐比第二筐重 10 千克。两筐水果各重多少千克？ 【分析】和差问题，第一筐是大数，第二筐是小数。 【详解】 第一筐：（千克） 第二筐：（千克） 答：第一筐重 40 千克，第二筐重 30 千克。 【答案】第一筐千克，第二筐千克 10. 小明期中考试语文和数学的平均分是 95 分，数学比语文多 4 分。语文和数学各得多少分？ 【分析】先根据平均分算出总分，再按和差问题计算。 【详解】 总分：（分） 数学：（分） 语文：（分） 答：数学 97 分，语文 93 分。 【答案】数学分，语文分 11. 哥哥和弟弟一共有 80 元钱，如果哥哥给弟弟 10 元，两人的钱就同样多。哥哥和弟弟原来各有多少元？ 【分析】“哥哥给弟弟 10 元两人相等”，说明原来哥哥比弟弟多元，即差是 20 元，再按和差问题计算。 【详解】 原来的钱数差：（元） 哥哥：（元） 弟弟：（元） 答：哥哥原来有 50 元，弟弟原来有 30 元。 【答案】哥哥元，弟弟元 12. 甲乙两个书架一共有 120 本书，如果从甲书架拿 20 本给乙书架，两个书架的书就同样多。两个书架原来各有多少本书？ 【分析】先算原来的本数差，再按和差问题计算。 【详解】 原来的本数差：（本） 甲书架：（本） 乙书架：（本） 答：甲书架原来有 80 本，乙书架原来有 40 本。 【答案】甲书架本，乙书架本 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）果园里有桃树和梨树一共 120 棵，桃树的棵数是梨树的 3 倍。桃树和梨树各有多少棵？ 【分析】和倍问题，梨树是 1 倍量，总份数 4 份。 【详解】 总份数： 梨树：（棵） 桃树：（棵） 答：桃树有 90 棵，梨树有 30 棵。 【答案】桃树棵，梨树棵 2.（希望杯三年级试题）小明的画片张数是小刚的 5 倍，小刚比小明少 32 张。小明有多少张画片？ 【分析】差倍问题，先求 1 倍量小刚的张数，再乘 5 得小明的张数。 【详解】 份数差： 小刚：（张） 小明：（张） 答：小明有 40 张画片。 【答案】张 3.（小升初衔接低年级）三（2）班一共有 52 名学生，男生比女生多 8 人。男生有多少人？ 【分析】和差问题，求大数男生人数。 【详解】 男生：（人） 答：男生有 30 人。 【答案】人 4.（华杯赛初赛低年级组）一个长方形的周长是 48 厘米，长是宽的 3 倍。这个长方形的长是多少厘米？ 【分析】先算长与宽的和，再按和倍问题求长。 【详解】 长 + 宽：（厘米） 总份数： 宽：（厘米） 长：（厘米） 答：长是 18 厘米。 【答案】厘米 5.（苏教版培优题）妈妈买了一套衣服一共花了 180 元，上衣的价钱是裤子的 2 倍。上衣比裤子贵多少元？ 【分析】先和倍求各自价格，再算差价。 【详解】 总份数： 裤子：（元） 上衣：（元） 贵：（元） 答：上衣比裤子贵 60 元。 【答案】元 6.（重点中学分班考）爸爸比小明大 30 岁，爸爸的年龄是小明的 4 倍。小明今年多少岁？ 【分析】差倍问题，年龄差对应 3 份，求 1 倍量小明的年龄。 【详解】 份数差： 小明：（岁） 答：小明今年 10 岁。 【答案】岁 7.（走美杯真题）语文和数学的总分是 188 分，数学比语文多 6 分。语文得了多少分？ 【分析】和差问题，求小数语文分数。 【详解】 语文：（分） 答：语文得了 91 分。 【答案】分 8.（三年级期末真题）商店运来苹果和香蕉一共 90 千克，苹果的重量是香蕉的 2 倍。苹果有多少千克？ 【分析】和倍问题，求多倍量苹果的重量。 【详解】 总份数： 香蕉：（千克） 苹果：（千克） 答：苹果有 60 千克。 【答案】千克 9.（希望杯模拟题）两根绳子一共长 60 米，第一根比第二根长 8 米。第一根绳子长多少米？ 【分析】和差问题，求大数第一根的长度。 【详解】 第一根：（米） 答：第一根绳子长 34 米。 【答案】米 10.（小升初真题）红花比黄花多 24 朵，红花的朵数是黄花的 4 倍。黄花有多少朵？ 【分析】差倍问题，差 24 朵对应 3 份，求 1 倍量黄花。 【详解】 份数差： 黄花：（朵） 答：黄花有 8 朵。 【答案】朵 11.（华杯赛模拟题）两筐鸡蛋一共有 100 个，如果从甲筐拿 10 个给乙筐，两筐就同样多。甲筐原来有多少个鸡蛋？ 【分析】先算原来的数量差，再按和差求大数甲筐的数量。 【详解】 数量差：（个） 甲筐：（个） 答：甲筐原来有 60 个鸡蛋。 【答案】个 12.（思维训练题）小明和小红一共有 48 支彩笔，小明的彩笔数是小红的 3 倍。小明给小红多少支后，两人就同样多？ 【分析】先按和倍求出两人各有多少支，再算出同样多时的数量，求差就是小明要给的数量。 【详解】 总份数： 小红：（支） 小明：（支） 同样多时各有：（支） 小明给小红：（支） 答：小明给小红 12 支后两人同样多。 【答案】支 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $