第3讲 两步应用题建模 专题讲义-苏教版数学三年级上册奥数培优

第3讲 两步应用题建模 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 两步应用题定义 需要通过两次连续计算才能解决的实际问题，通常包含三个及以上已知条件和一个核心问题。解题的关键是先求出一个隐藏的中间量，再用中间量结合剩余条件求出最终答案。 2. 核心建模方法 （1）线段图建模 用线段直观表示数量的多少、总数与部分的关系、相差关系，把抽象文字转化为直观图形，快速理清数量逻辑。 总数与部分：画一条长线段表示总数，分段标注各部分数量； 相差关系：先画标准量（1 倍量），再对应画出多 / 少的一段，标注相差的数量； 倍数关系：先画 1 份长度的线段，再对应画出几份的长度。 （2）数量关系式建模 提炼题目中的核心数量公式，明确每一步的计算目标： 剩余类：总数量 - 用去的数量 = 剩下的数量 合计类：部分数量 1 + 部分数量 2 = 总数量 归一类：总数量 ÷ 份数 = 每份数量 归总类：每份数量 × 份数 = 总数量 （3）分步拆解法 把复杂的两步问题拆成 2 个一步应用题，逐层解决： ① 第一步：根据已知条件，求出中间量； ② 第二步：用中间量和剩余条件，求出最终问题。 3. 常见两步应用题类型 乘加 / 乘减型：先算乘法求总数量，再算加法或减法； 除加 / 除减型：先算除法求每份数，再算加法或减法； 比多比少两步型：先根据相差关系求出一个量，再求总数或另一个量； 带括号两步型：需要先算加减后算乘除，用小括号改变运算顺序。 4. 解题通用步骤 ① 审题意：圈出已知条件和所求问题，分清数量类型； ② 建模型：画线段图或写数量关系式，梳理逻辑关系； ③ 定步骤：明确第一步求什么、第二步求什么； ④ 列算式：分步计算或列综合算式，注意小括号的正确使用； ⑤ 验结果：把答案代入原题，验证所有条件是否成立。 5. 易错警示 第一步找错中间量，比如求剩余时误先算剩下的分法，忽略总数计算； 列综合算式时运算顺序错误，该加小括号的地方漏加，导致结果出错； 数量关系对应错误，比如单价与数量不匹配，总数计算偏差； 比多比少问题混淆 “谁比谁多”，搞反两个量的大小关系。 例题讲解 【典型例题 1】乘减两步（剩余类建模） 商店运来 4 箱钢笔，每箱 15 盒，卖出了 28 盒，还剩多少盒？ 【分析】这是乘减两步应用题，核心是先求钢笔总盒数（中间量），再用总盒数减去卖出的数量得到剩余数量。线段图建模：先画 4 段等长线段表示 4 箱钢笔，标注每箱 15 盒，总长度对应总数；再从总数线段里划掉一段表示卖出的 28 盒，剩余部分即为所求。 【详解】 第一步：求钢笔总盒数 （盒） 第二步：求剩余盒数 （盒） 综合算式：（盒） 答：还剩 32 盒。 【答案】盒 【跟踪训练 1】 工厂生产一批零件，每天生产 25 个，生产了 3 天，还差 45 个没完成。这批零件一共有多少个？ 【分析】先算已经生产的零件数（中间量），再加上未完成的数量得到零件总个数。 【详解】 第一步：已生产个数：（个） 第二步：总个数：（个） 综合算式：（个） 答：这批零件一共有 120 个。 【答案】个 【典型例题 2】除减两步（平均分建模） 一本故事书有 80 页，小明已经看了 56 页，剩下的要 3 天看完，平均每天看多少页？ 【分析】这是除减两步应用题，先算剩下的页数（中间量），再把剩下的页数平均分到 3 天，求每天看的页数。线段图建模：画长线段表示总页数 80 页，分成已看的 56 页和剩余的一段；把剩余线段平均分成 3 份，每份长度对应每天看的页数。 【详解】 第一步：求剩下的页数 （页） 第二步：求平均每天看的页数 （页） 综合算式：（页） 注意：要先算减法，必须添加小括号改变运算顺序。 答：平均每天看 8 页。 【答案】页 【跟踪训练 2】 妈妈买了 3 千克苹果，付了 50 元，找回 26 元。平均每千克苹果多少元？ 【分析】先算买苹果实际花的总钱数（中间量），再除以重量得到苹果单价。 【详解】 第一步：花的钱数：（元） 第二步：单价：（元） 综合算式：（元） 答：平均每千克苹果 8 元。 【答案】元 【典型例题 3】比多比少两步型（合计建模） 三年级一班有男生 28 人，女生比男生少 6 人。全班一共有多少人？ 【分析】这是合计类两步题，先根据相差关系求出女生人数（中间量），再把男生和女生人数相加得到全班总人数。线段图建模：先画男生线段，再画比男生短一段的女生线段，标注 “少 6 人”，两条线段总长度对应全班人数。 【详解】 第一步：求女生人数 （人） 第二步：求全班总人数 （人） 综合算式：（人） 答：全班一共有 50 人。 【答案】人 【跟踪训练 3】 果园里有苹果树 3 行，每行 12 棵，梨树比苹果树多 15 棵。梨树有多少棵？ 【分析】先算苹果树总棵数（中间量），再根据 “梨树比苹果树多 15 棵” 的相差关系，求出梨树棵数。 【详解】 第一步：苹果树棵数：（棵） 第二步：梨树棵数：（棵） 综合算式：（棵） 答：梨树有 51 棵。 【答案】棵 巩固练习 1. 超市运来 5 箱牛奶，每箱 24 瓶，卖掉了 65 瓶，还剩多少瓶？ 【分析】先算牛奶总瓶数，再减去卖掉的数量得到剩余瓶数。 【详解】 第一步：总瓶数：（瓶） 第二步：剩余瓶数：（瓶） 答：还剩 55 瓶。 【答案】瓶 2. 手工组做纸花，每人做 8 朵，12 个同学做，还剩 25 朵没做。一共要做多少朵？ 【分析】先算已经做的朵数，再加上没做的数量得到总朵数。 【详解】 第一步：已做朵数：（朵） 第二步：总朵数：（朵） 答：一共要做 121 朵。 【答案】朵 3. 一根绳子长 100 米，剪去了 4 段，每段 12 米。还剩多少米？ 【分析】先算剪去的总长度，再用总长减去剪去的长度得到剩余长度。 【详解】 第一步：剪去长度：（米） 第二步：剩余长度：（米） 答：还剩 52 米。 【答案】米 4. 学校买了 6 副羽毛球拍，付了 200 元，找回 20 元。每副羽毛球拍多少元？ 【分析】先算买球拍实际花的总钱数，再除以数量得到单价。 【详解】 第一步：花的钱数：（元） 第二步：单价：（元） 答：每副羽毛球拍 30 元。 【答案】元 5. 一本书 96 页，小华第一天看了 28 页，第二天看了 32 页，剩下的 3 天看完，平均每天看多少页？ 【分析】先算两天一共看的页数，再算剩下的页数，最后除以 3 得到每天看的页数。 【详解】 第一步：已看页数：（页） 第二步：剩余页数：（页） 第三步：每天看：（页） 综合算式：（页） 答：平均每天看 12 页。 【答案】页 6. 二（1）班有女生 24 人，男生比女生多 5 人。全班一共有多少人？ 【分析】先求男生人数，再加女生人数得到全班总人数。 【详解】 第一步：男生人数：（人） 第二步：全班人数：（人） 答：全班一共有 53 人。 【答案】人 7. 修路队修一条路，每天修 50 米，修了 4 天，还剩 180 米没修。这条路全长多少米？ 【分析】先算已修的长度，再加剩下的长度得到公路全长。 【详解】 第一步：已修长度：（米） 第二步：全长：（米） 答：这条路全长 380 米。 【答案】米 8. 妈妈买了 4 千克苹果，每千克 12 元，又买了 15 元的橘子。妈妈一共花了多少钱？ 【分析】先算苹果的总价，再加橘子的钱数得到总花费。 【详解】 第一步：苹果总价：（元） 第二步：总花费：（元） 答：妈妈一共花了 63 元。 【答案】元 9. 有 72 个乒乓球，每 8 个装一盒，卖掉了 5 盒，还剩多少个？ 【分析】先算卖掉的乒乓球个数，再用总数减去卖掉的数量得到剩余个数。 【详解】 第一步：卖掉个数：（个） 第二步：剩余个数：（个） 答：还剩 32 个。 【答案】个 10. 爸爸今年 35 岁，儿子今年 5 岁。爸爸的年龄是儿子的几倍？明年爸爸的年龄是儿子的几倍？ 【分析】第一问直接用除法计算倍数；第二问先算明年两人的年龄，再计算倍数。 【详解】 第一步：今年倍数： 第二步：明年爸爸：（岁） 明年儿子：（岁） 明年倍数： 答：今年爸爸年龄是儿子的 7 倍，明年是 6 倍。 【答案】今年倍，明年倍 11. 三（1）班同学做操，站成 4 排，每排 12 人。如果站成 6 排，每排多少人？ 【分析】先算班级总人数，再平均分到 6 排，求每排人数。 【详解】 第一步：总人数：（人） 第二步：每排人数：（人） 答：每排 8 人。 【答案】人 12. 商店里一支钢笔 12 元，一支圆珠笔 4 元。买 3 支钢笔的钱可以买多少支圆珠笔？ 【分析】先算 3 支钢笔的总钱数，再除以圆珠笔单价得到可购买的数量。 【详解】 第一步：钢笔总价：（元） 第二步：圆珠笔数量：（支） 答：可以买 9 支圆珠笔。 【答案】支 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）超市运来 4 筐白菜，每筐 25 千克，卖出了 68 千克，还剩多少千克？ 【分析】先算白菜总重量，再减去卖出的重量得到剩余重量。 【详解】 第一步：总重量：（千克） 第二步：剩余重量：（千克） 答：还剩 32 千克。 【答案】千克 2.（希望杯三年级试题）一本书有 78 页，小明看了 3 天，每天看 16 页。还剩多少页没看？ 【分析】先算 3 天看的总页数，再用总页数减去已看页数。 【详解】 第一步：已看页数：（页） 第二步：剩余页数：（页） 答：还剩 30 页没看。 【答案】页 3.（小升初衔接题）学校买了 8 个足球，付了 300 元，找回 60 元。每个足球多少元？ 【分析】先算买足球实际花的总钱数，再除以数量得到单价。 【详解】 第一步：花的钱数：（元） 第二步：单价：（元） 答：每个足球 30 元。 【答案】元 4.（华杯赛初赛低年级组）三年级有男生 120 人，女生比男生少 25 人。三年级一共有多少人？ 【分析】先求女生人数，再加男生人数得到年级总人数。 【详解】 第一步：女生人数：（人） 第二步：总人数：（人） 答：三年级一共有 215 人。 【答案】人 5.（苏教版培优题）工厂加工一批零件，每天加工 45 个，加工了 5 天，还差 75 个完成任务。这批零件一共有多少个？ 【分析】先算已加工的零件数，再加未加工的数量得到零件总数。 【详解】 第一步：已加工：（个） 第二步：总数：（个） 答：这批零件一共有 300 个。 【答案】个 6.（重点中学分班考）一根绳子长 120 米，第一次用去 35 米，第二次用去 45 米。剩下的每 5 米剪一段，可以剪多少段？ 【分析】先算剩下的绳子长度，再除以 5 得到可以剪的段数。 【详解】 第一步：剩下长度：（米） 第二步：段数：（段） 答：可以剪 8 段。 【答案】段 7.（走美杯真题）妈妈买了 3 千克葡萄，每千克 15 元，又买了 28 元的草莓。妈妈一共花了多少钱？ 【分析】先算葡萄的总价，再加草莓的钱数得到总花费。 【详解】 第一步：葡萄总价：（元） 第二步：总花费：（元） 答：妈妈一共花了 73 元。 【答案】元 8.（三年级期末真题）学校组织春游，租了 5 辆车，每辆车坐 24 人，还有 18 个空位。一共有多少人去春游？ 【分析】先算 5 辆车的总座位数，再减去空位数量得到春游总人数。 【详解】 第一步：总座位数：（个） 第二步：人数：（人） 答：一共有 102 人去春游。 【答案】人 9.（希望杯模拟题）有 4 盒乒乓球，每盒 12 个，平均分给 6 个班，每个班分多少个？ 【分析】先算乒乓球总个数，再平均分到 6 个班。 【详解】 第一步：总个数：（个） 第二步：每班分：（个） 答：每个班分 8 个。 【答案】个 10.（小升初真题）小明买了 4 本笔记本，每本 9 元，用这些钱买 6 元一支的钢笔，可以买多少支？ 【分析】先算笔记本的总钱数，再除以钢笔单价得到可购买的数量。 【详解】 第一步：总钱数：（元） 第二步：钢笔数量：（支） 答：可以买 6 支。 【答案】支 11.（华杯赛模拟题）水果店运来苹果 25 筐，每筐 20 千克，运来的梨比苹果少 120 千克。运来梨多少千克？ 【分析】先算苹果总重量，再减去 120 千克得到梨的重量。 【详解】 第一步：苹果总重：（千克） 第二步：梨的重量：（千克） 答：运来梨 380 千克。 【答案】千克 12.（思维训练题）三（1）班同学做红花，第一组做了 28 朵，第二组做了 26 朵。每 6 朵扎成一束，可以扎多少束？ 【分析】先算一共做的红花朵数，再除以 6 得到可以扎的束数。 【详解】 第一步：总朵数：（朵） 第二步：束数：（束） 答：可以扎 9 束。 【答案】束 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 两步应用题建模 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 两步应用题定义 需要通过两次连续计算才能解决的实际问题，通常包含三个及以上已知条件和一个核心问题。解题的关键是先求出一个隐藏的中间量，再用中间量结合剩余条件求出最终答案。 2. 核心建模方法 （1）线段图建模 用线段直观表示数量的多少、总数与部分的关系、相差关系，把抽象文字转化为直观图形，快速理清数量逻辑。 总数与部分：画一条长线段表示总数，分段标注各部分数量； 相差关系：先画标准量（1 倍量），再对应画出多 / 少的一段，标注相差的数量； 倍数关系：先画 1 份长度的线段，再对应画出几份的长度。 （2）数量关系式建模 提炼题目中的核心数量公式，明确每一步的计算目标： 剩余类：总数量 - 用去的数量 = 剩下的数量 合计类：部分数量 1 + 部分数量 2 = 总数量 归一类：总数量 ÷ 份数 = 每份数量 归总类：每份数量 × 份数 = 总数量 （3）分步拆解法 把复杂的两步问题拆成 2 个一步应用题，逐层解决： ① 第一步：根据已知条件，求出中间量； ② 第二步：用中间量和剩余条件，求出最终问题。 3. 常见两步应用题类型 乘加 / 乘减型：先算乘法求总数量，再算加法或减法； 除加 / 除减型：先算除法求每份数，再算加法或减法； 比多比少两步型：先根据相差关系求出一个量，再求总数或另一个量； 带括号两步型：需要先算加减后算乘除，用小括号改变运算顺序。 4. 解题通用步骤 ① 审题意：圈出已知条件和所求问题，分清数量类型； ② 建模型：画线段图或写数量关系式，梳理逻辑关系； ③ 定步骤：明确第一步求什么、第二步求什么； ④ 列算式：分步计算或列综合算式，注意小括号的正确使用； ⑤ 验结果：把答案代入原题，验证所有条件是否成立。 5. 易错警示 第一步找错中间量，比如求剩余时误先算剩下的分法，忽略总数计算； 列综合算式时运算顺序错误，该加小括号的地方漏加，导致结果出错； 数量关系对应错误，比如单价与数量不匹配，总数计算偏差； 比多比少问题混淆 “谁比谁多”，搞反两个量的大小关系。 例题讲解 【典型例题 1】乘减两步（剩余类建模） 商店运来 4 箱钢笔，每箱 15 盒，卖出了 28 盒，还剩多少盒？ 【跟踪训练 1】 工厂生产一批零件，每天生产 25 个，生产了 3 天，还差 45 个没完成。这批零件一共有多少个？ 【典型例题 2】除减两步（平均分建模） 一本故事书有 80 页，小明已经看了 56 页，剩下的要 3 天看完，平均每天看多少页？ 【跟踪训练 2】 妈妈买了 3 千克苹果，付了 50 元，找回 26 元。平均每千克苹果多少元？ 【典型例题 3】比多比少两步型（合计建模） 三年级一班有男生 28 人，女生比男生少 6 人。全班一共有多少人？ 【跟踪训练 3】 果园里有苹果树 3 行，每行 12 棵，梨树比苹果树多 15 棵。梨树有多少棵？ 巩固练习 1. 超市运来 5 箱牛奶，每箱 24 瓶，卖掉了 65 瓶，还剩多少瓶？ 2. 手工组做纸花，每人做 8 朵，12 个同学做，还剩 25 朵没做。一共要做多少朵？ 3. 一根绳子长 100 米，剪去了 4 段，每段 12 米。还剩多少米？ 4. 学校买了 6 副羽毛球拍，付了 200 元，找回 20 元。每副羽毛球拍多少元？ 5. 一本书 96 页，小华第一天看了 28 页，第二天看了 32 页，剩下的 3 天看完，平均每天看多少页？ 6. 二（1）班有女生 24 人，男生比女生多 5 人。全班一共有多少人？ 7. 修路队修一条路，每天修 50 米，修了 4 天，还剩 180 米没修。这条路全长多少米？ 8. 妈妈买了 4 千克苹果，每千克 12 元，又买了 15 元的橘子。妈妈一共花了多少钱？ 9. 有 72 个乒乓球，每 8 个装一盒，卖掉了 5 盒，还剩多少个？ 10. 爸爸今年 35 岁，儿子今年 5 岁。爸爸的年龄是儿子的几倍？明年爸爸的年龄是儿子的几倍？ 11. 三（1）班同学做操，站成 4 排，每排 12 人。如果站成 6 排，每排多少人？ 12. 商店里一支钢笔 12 元，一支圆珠笔 4 元。买 3 支钢笔的钱可以买多少支圆珠笔？ 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）超市运来 4 筐白菜，每筐 25 千克，卖出了 68 千克，还剩多少千克？ 2.（希望杯三年级试题）一本书有 78 页，小明看了 3 天，每天看 16 页。还剩多少页没看？ 3.（小升初衔接题）学校买了 8 个足球，付了 300 元，找回 60 元。每个足球多少元？ 4.（华杯赛初赛低年级组）三年级有男生 120 人，女生比男生少 25 人。三年级一共有多少人？ 5.（苏教版培优题）工厂加工一批零件，每天加工 45 个，加工了 5 天，还差 75 个完成任务。这批零件一共有多少个？ 6.（重点中学分班考）一根绳子长 120 米，第一次用去 35 米，第二次用去 45 米。剩下的每 5 米剪一段，可以剪多少段？ 7.（走美杯真题）妈妈买了 3 千克葡萄，每千克 15 元，又买了 28 元的草莓。妈妈一共花了多少钱？ 8.（三年级期末真题）学校组织春游，租了 5 辆车，每辆车坐 24 人，还有 18 个空位。一共有多少人去春游？ 9.（希望杯模拟题）有 4 盒乒乓球，每盒 12 个，平均分给 6 个班，每个班分多少个？ 10.（小升初真题）小明买了 4 本笔记本，每本 9 元，用这些钱买 6 元一支的钢笔，可以买多少支？ 11.（华杯赛模拟题）水果店运来苹果 25 筐，每筐 20 千克，运来的梨比苹果少 120 千克。运来梨多少千克？ 12.（思维训练题）三（1）班同学做红花，第一组做了 28 朵，第二组做了 26 朵。每 6 朵扎成一束，可以扎多少束？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $