第17讲 间隔排列规律拓展与模型延伸 专题讲义-苏教版数学三年级上册奥数培优

第17讲 间隔排列规律拓展与模型延伸 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 间隔排列核心定义 两种物体一个隔一个依次排列，叫做一一间隔排列。核心是两种物体交替出现，相邻两个物体种类不同。 2. 三大基础模型与数量关系 （1）直线型・两端物体相同 特征：排列的首尾两个物体是同一种类。 核心规律：两端物体的数量 = 中间物体的数量 + 1 示例：△○△○△，两端都是△，△有 3 个，○有 2 个，△的数量比○多 1。 生活场景：马路两端都种树、队伍首尾都是男生、串珠首尾颜色相同等。 （2）直线型・两端物体不同 特征：排列的首尾两个物体是不同种类。 核心规律：两种物体的数量相等 示例：△○△○，两端分别是△和○，△有 2 个，○有 2 个，数量相同。 生活场景：封闭图形展开后首尾相接、交替排列且首尾不同的队列等。 （3）封闭型・间隔排列 特征：物体沿圆形、正方形、长方形等封闭图形边缘一一间隔排列，首尾相连。 核心规律：两种物体的数量相等 推导：封闭图形中，首尾两个物体刚好衔接，相当于直线型两端不同的情况，因此数量相等。 生活场景：池塘周围种树、花坛周边摆花、环形跑道插旗等。 3. 拓展模型：多量间隔排列 当每两个同类物体之间不止 1 个另一类物体，而是多个时，属于多量间隔排列，本质是 “间隔数 × 每个间隔的数量 = 另一类物体总数”。 基础公式： 两端都是 A 物体时：间隔数 = A 物体数量 - 1 B 物体总数 = 间隔数 × 每个间隔中 B 的数量 示例：每两个男生之间站 2 个女生，男生 10 人（两端都是男），间隔数 = 10-1=9，女生数 = 9×2=18 人。 4. 跨场景模型延伸 间隔排列规律本质是 “点数与间隔数的关系”，可以延伸到更多生活场景： 锯木头：段数是两端物体，锯的次数是间隔数，次数 = 段数 - 1 爬楼梯：楼层数是两端物体，楼梯层数是间隔数，楼梯层数 = 终点楼层 - 起点楼层 敲钟：敲的次数是点数，时间间隔数 = 敲的次数 - 1 5. 解题通用步骤 ① 辨类型：判断是直线型还是封闭型，直线型再看两端是否相同； ② 定多少：根据模型确定两种物体谁多谁少，或是数量相等； ③ 算间隔：多量间隔或延伸场景，先算出间隔数； ④ 验结果：代入排列场景，验证数量关系是否成立。 6. 易错警示 数量关系搞反：两端相同的排列，误以为中间物体多 1，实际两端物体比中间物体多 1； 封闭图形错加 1：封闭间隔排列两种物体数量相等，容易错误地多算 1 个； 多量间隔错乘：每两个 A 之间有 n 个 B，错用 A 的总数直接乘 n，应该用间隔数乘 n； 忽略首尾判断：不看排列的首尾物体，直接套用公式，导致结果完全相反； 延伸场景混淆：锯木头、爬楼梯问题，错把段数 / 楼层数当间隔数。 例题讲解 【典型例题 1】基础直线型・两端相同 同学们排队做操，按 “男生、女生、男生、女生……” 的顺序一一间隔排列，队伍两端都是男生。已知男生有 24 人，女生有多少人？ 【跟踪训练 1】 一串节日彩灯按 “红灯、黄灯、红灯、黄灯……” 的顺序排列，两端都是红灯。已知黄灯有 18 盏，红灯有多少盏？ 【典型例题 2】封闭型间隔排列 一个圆形人工湖的湖边，沿着湖岸栽柳树和桃树，一一间隔排列。柳树有 28 棵，桃树有多少棵？ 【跟踪训练 2】 正方形操场的四周插彩旗，红旗和黄旗一一间隔排列，四个角都插红旗。红旗有 20 面，黄旗有多少面？ 【典型例题 3】拓展・多量间隔排列 学校走廊摆花盆，两端都摆绿萝，每相邻两盆绿萝之间摆 2 盆仙客来。一共摆了 12 盆绿萝，仙客来有多少盆？ 【跟踪训练 3】 马路一边装路灯，两端都装，每相邻两盏路灯之间挂 3 个宣传牌。一共装了 9 盏路灯，宣传牌有多少个？ 巩固练习 1. 有一串图形按 “△○△○……” 排列，两端都是△，△有 30 个。○有多少个？ 2. 把一根木头锯成 8 段，需要锯多少次？ 3. 圆形花坛的边缘摆月季花和菊花，一一间隔排列，月季花有 22 盆。菊花有多少盆？ 4. 同学们排队，按 “男、女、男、女……” 排列，队伍两端分别是男生和女生。男生有 26 人，女生有多少人？ 5. 小明从 1 楼走到 4 楼，要走几层楼梯？ 6. 公园的小路一边摆石凳，两端都摆，每相邻两个石凳之间放 4 盆绿植。石凳有 10 个，绿植有多少盆？ 7. 一串珠子按黑白两色一一间隔排列，两端都是白珠，白珠有 35 颗。黑珠有多少颗？ 8. 长方形泳池的四周放救生圈和警示牌，一一间隔排列，救生圈有 16 个。警示牌有多少个？ 9. 一排间隔排列的图形，□和☆一一间隔，□有 20 个。☆最少有多少个？最多有多少个？ 10. 一根钢管锯成若干段，一共锯了 9 次，每段长 5 米。这根钢管原来长多少米？ 11. 三年级同学排成方阵做体操，最外层每边站 12 人，四个角都站人。最外层一共有多少人？ 12. 马路一边种杨树和柳树，一一间隔排列，两端都是杨树，杨树比柳树多多少棵？如果一共有 37 棵树，杨树和柳树各有多少棵？ 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）△○△○……△，一共排列了 25 个△，○有多少个？ 2.（苏教版期末真题）圆形池塘周围栽树，柳树和桃树一一间隔排列，柳树有 30 棵，桃树有多少棵？ 3.（希望杯三年级试题）男生女生排队一一间隔，两端都是女生，女生有 22 人，男生有多少人？ 4.（华杯赛低年级组）把一根木条锯成 5 段，每锯一次要 2 分钟，一共要多少分钟？ 5.（苏教版培优题）走廊两端都摆花盆，每两盆红花之间摆 3 盆黄花，红花有 10 盆，黄花有多少盆？ 6.（重点中学分班考）小明从 1 楼爬到 6 楼用了 50 秒，照这样的速度，他从 1 楼爬到 3 楼要多少秒？ 7.（走美杯真题）正方形花坛每边摆 8 盆花，四个角都摆，一共要摆多少盆花？ 8.（三年级期末真题）时钟 3 点敲 3 下，6 秒敲完。5 点敲 5 下，多少秒敲完？ 9.（希望杯模拟题）□和○一一间隔排列，两端都是□，两种图形一共有 31 个。□和○各有多少个？ 10.（小升初衔接题）一个圆形跑道长 200 米，沿跑道每隔 10 米插一面红旗，每两面红旗之间插 2 面黄旗。一共插了多少面黄旗？ 11.（华杯赛模拟题）一根木头长 24 米，要锯成 4 米长的小段，每锯一次要 3 分钟，全部锯完要多少分钟？ 12.（思维训练题）同学们排队，15 个男生排成一队，每两个男生之间站 2 个女生，这队一共有多少人？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 间隔排列规律拓展与模型延伸 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 间隔排列核心定义 两种物体一个隔一个依次排列，叫做一一间隔排列。核心是两种物体交替出现，相邻两个物体种类不同。 2. 三大基础模型与数量关系 （1）直线型・两端物体相同 特征：排列的首尾两个物体是同一种类。 核心规律：两端物体的数量 = 中间物体的数量 + 1 示例：△○△○△，两端都是△，△有 3 个，○有 2 个，△的数量比○多 1。 生活场景：马路两端都种树、队伍首尾都是男生、串珠首尾颜色相同等。 （2）直线型・两端物体不同 特征：排列的首尾两个物体是不同种类。 核心规律：两种物体的数量相等 示例：△○△○，两端分别是△和○，△有 2 个，○有 2 个，数量相同。 生活场景：封闭图形展开后首尾相接、交替排列且首尾不同的队列等。 （3）封闭型・间隔排列 特征：物体沿圆形、正方形、长方形等封闭图形边缘一一间隔排列，首尾相连。 核心规律：两种物体的数量相等 推导：封闭图形中，首尾两个物体刚好衔接，相当于直线型两端不同的情况，因此数量相等。 生活场景：池塘周围种树、花坛周边摆花、环形跑道插旗等。 3. 拓展模型：多量间隔排列 当每两个同类物体之间不止 1 个另一类物体，而是多个时，属于多量间隔排列，本质是 “间隔数 × 每个间隔的数量 = 另一类物体总数”。 基础公式： 两端都是 A 物体时：间隔数 = A 物体数量 - 1 B 物体总数 = 间隔数 × 每个间隔中 B 的数量 示例：每两个男生之间站 2 个女生，男生 10 人（两端都是男），间隔数 = 10-1=9，女生数 = 9×2=18 人。 4. 跨场景模型延伸 间隔排列规律本质是 “点数与间隔数的关系”，可以延伸到更多生活场景： 锯木头：段数是两端物体，锯的次数是间隔数，次数 = 段数 - 1 爬楼梯：楼层数是两端物体，楼梯层数是间隔数，楼梯层数 = 终点楼层 - 起点楼层 敲钟：敲的次数是点数，时间间隔数 = 敲的次数 - 1 5. 解题通用步骤 ① 辨类型：判断是直线型还是封闭型，直线型再看两端是否相同； ② 定多少：根据模型确定两种物体谁多谁少，或是数量相等； ③ 算间隔：多量间隔或延伸场景，先算出间隔数； ④ 验结果：代入排列场景，验证数量关系是否成立。 6. 易错警示 数量关系搞反：两端相同的排列，误以为中间物体多 1，实际两端物体比中间物体多 1； 封闭图形错加 1：封闭间隔排列两种物体数量相等，容易错误地多算 1 个； 多量间隔错乘：每两个 A 之间有 n 个 B，错用 A 的总数直接乘 n，应该用间隔数乘 n； 忽略首尾判断：不看排列的首尾物体，直接套用公式，导致结果完全相反； 延伸场景混淆：锯木头、爬楼梯问题，错把段数 / 楼层数当间隔数。 例题讲解 【典型例题 1】基础直线型・两端相同 同学们排队做操，按 “男生、女生、男生、女生……” 的顺序一一间隔排列，队伍两端都是男生。已知男生有 24 人，女生有多少人？ 【分析】这是直线型两端相同的间隔排列，男生是两端物体，女生是中间物体，女生人数比男生少 1，用男生人数减 1 即可。 【详解】 女生人数：（人） 答：女生有 23 人。 【答案】人 【跟踪训练 1】 一串节日彩灯按 “红灯、黄灯、红灯、黄灯……” 的顺序排列，两端都是红灯。已知黄灯有 18 盏，红灯有多少盏？ 【分析】两端都是红灯，红灯是两端物体，数量比黄灯多 1，用黄灯数量加 1。 【详解】 红灯数量：（盏） 答：红灯有 19 盏。 【答案】盏 【典型例题 2】封闭型间隔排列 一个圆形人工湖的湖边，沿着湖岸栽柳树和桃树，一一间隔排列。柳树有 28 棵，桃树有多少棵？ 【分析】圆形是封闭图形，一一间隔排列时，两种树的数量相等。 【详解】 封闭间隔排列，两种物体数量相等，所以桃树有 28 棵。 答：桃树有 28 棵。 【答案】棵 【跟踪训练 2】 正方形操场的四周插彩旗，红旗和黄旗一一间隔排列，四个角都插红旗。红旗有 20 面，黄旗有多少面？ 【分析】正方形是封闭图形，虽然四个角是红旗，但一一间隔排列时，两种彩旗的总数仍然相等。 【详解】 封闭图形间隔排列，两种彩旗数量相等，黄旗有 20 面。 答：黄旗有 20 面。 【答案】面 【典型例题 3】拓展・多量间隔排列 学校走廊摆花盆，两端都摆绿萝，每相邻两盆绿萝之间摆 2 盆仙客来。一共摆了 12 盆绿萝，仙客来有多少盆？ 【分析】两端都是绿萝，先算出绿萝之间的间隔数 = 绿萝盆数 - 1，每个间隔有 2 盆仙客来，用间隔数乘 2 得到仙客来总数。 【详解】 间隔数：（个） 仙客来数量：（盆） 答：仙客来有 22 盆。 【答案】盆 【跟踪训练 3】 马路一边装路灯，两端都装，每相邻两盏路灯之间挂 3 个宣传牌。一共装了 9 盏路灯，宣传牌有多少个？ 【分析】两端都有路灯，间隔数 = 路灯数 - 1，每个间隔 3 个宣传牌，相乘得总数。 【详解】 间隔数：（个） 宣传牌数量：（个） 答：宣传牌有 24 个。 【答案】个 巩固练习 1. 有一串图形按 “△○△○……” 排列，两端都是△，△有 30 个。○有多少个？ 【分析】直线型两端相同，○是中间物体，数量比△少 1。 【详解】 （个） 答：○有 29 个。 【答案】个 2. 把一根木头锯成 8 段，需要锯多少次？ 【分析】锯木头问题，段数是两端物体，锯的次数是间隔数，次数 = 段数 - 1。 【详解】 （次） 答：需要锯 7 次。 【答案】次 3. 圆形花坛的边缘摆月季花和菊花，一一间隔排列，月季花有 22 盆。菊花有多少盆？ 【分析】封闭图形间隔排列，两种花数量相等。 【详解】 封闭排列数量相等，菊花有 22 盆。 答：菊花有 22 盆。 【答案】盆 4. 同学们排队，按 “男、女、男、女……” 排列，队伍两端分别是男生和女生。男生有 26 人，女生有多少人？ 【分析】直线型两端不同，两种物体数量相等。 【详解】 两端不同，人数相等，女生有 26 人。 答：女生有 26 人。 【答案】人 5. 小明从 1 楼走到 4 楼，要走几层楼梯？ 【分析】爬楼梯问题，楼层数是两端物体，楼梯层数是间隔数，楼梯层数 = 终点楼层 - 起点楼层。 【详解】 （层） 答：要走 3 层楼梯。 【答案】层 6. 公园的小路一边摆石凳，两端都摆，每相邻两个石凳之间放 4 盆绿植。石凳有 10 个，绿植有多少盆？ 【分析】两端都有石凳，间隔数 = 石凳数 - 1，每个间隔 4 盆绿植。 【详解】 间隔数：（个） 绿植：（盆） 答：绿植有 36 盆。 【答案】盆 7. 一串珠子按黑白两色一一间隔排列，两端都是白珠，白珠有 35 颗。黑珠有多少颗？ 【分析】两端都是白珠，黑珠是中间物体，数量比白珠少 1。 【详解】 （颗） 答：黑珠有 34 颗。 【答案】颗 8. 长方形泳池的四周放救生圈和警示牌，一一间隔排列，救生圈有 16 个。警示牌有多少个？ 【分析】长方形是封闭图形，间隔排列两种物体数量相等。 【详解】 封闭排列数量相等，警示牌有 16 个。 答：警示牌有 16 个。 【答案】个 9. 一排间隔排列的图形，□和☆一一间隔，□有 20 个。☆最少有多少个？最多有多少个？ 【分析】分两种情况：两端都是□时，☆最少，比□少 1；两端都是☆时，☆最多，比□多 1；两端不同时数量相等。 【详解】 最少：两端都是□，（个） 最多：两端都是☆，（个） 答：☆最少 19 个，最多 21 个。 【答案】最少个，最多个 10. 一根钢管锯成若干段，一共锯了 9 次，每段长 5 米。这根钢管原来长多少米？ 【分析】先算段数，段数 = 次数 + 1，再乘每段长度得总长。 【详解】 段数：（段） 总长：（米） 答：原来长 50 米。 【答案】米 11. 三年级同学排成方阵做体操，最外层每边站 12 人，四个角都站人。最外层一共有多少人？ 【分析】封闭图形的间隔排列，每边人数相当于每边的点数，最外层总数 =（每边人数 - 1）×4，本质是封闭间隔，每边间隔数 11 个，四边共 44 个间隔，对应 44 人。 【详解】 每边间隔数：（个） 最外层总人数：（人） 答：最外层一共有 44 人。 【答案】人 12. 马路一边种杨树和柳树，一一间隔排列，两端都是杨树，杨树比柳树多多少棵？如果一共有 37 棵树，杨树和柳树各有多少棵？ 【分析】两端杨树，杨树比柳树多 1 棵；总数减去多的 1 棵，剩下的杨树柳树各一半。 【详解】 杨树比柳树多 1 棵。 柳树：（棵） 杨树：（棵） 答：杨树比柳树多 1 棵；杨树 19 棵，柳树 18 棵。 【答案】多棵；杨树棵，柳树棵 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）△○△○……△，一共排列了 25 个△，○有多少个？ 【分析】两端都是△，○的数量比△少 1。 【详解】 （个） 答：○有 24 个。 【答案】个 2.（苏教版期末真题）圆形池塘周围栽树，柳树和桃树一一间隔排列，柳树有 30 棵，桃树有多少棵？ 【分析】封闭图形间隔排列，两种树数量相等。 【详解】 桃树和柳树数量相等，有 30 棵。 答：桃树有 30 棵。 【答案】棵 3.（希望杯三年级试题）男生女生排队一一间隔，两端都是女生，女生有 22 人，男生有多少人？ 【分析】两端都是女生，男生比女生少 1 人。 【详解】 （人） 答：男生有 21 人。 【答案】人 4.（华杯赛低年级组）把一根木条锯成 5 段，每锯一次要 2 分钟，一共要多少分钟？ 【分析】先算锯的次数，次数 = 段数 - 1，再乘每次时间。 【详解】 次数：（次） 总时间：（分钟） 答：一共要 8 分钟。 【答案】分钟 5.（苏教版培优题）走廊两端都摆花盆，每两盆红花之间摆 3 盆黄花，红花有 10 盆，黄花有多少盆？ 【分析】两端红花，间隔数 = 红花数 - 1，每个间隔 3 盆黄花。 【详解】 间隔数：（个） 黄花：（盆） 答：黄花有 27 盆。 【答案】盆 6.（重点中学分班考）小明从 1 楼爬到 6 楼用了 50 秒，照这样的速度，他从 1 楼爬到 3 楼要多少秒？ 【分析】先算爬一层的时间，1 到 6 楼爬 5 层，1 到 3 楼爬 2 层。 【详解】 1 到 6 楼层数：（层） 每层时间：（秒） 1 到 3 楼层数：（层） 总时间：（秒） 答：要 20 秒。 【答案】秒 7.（走美杯真题）正方形花坛每边摆 8 盆花，四个角都摆，一共要摆多少盆花？ 【分析】封闭图形，每边 8 盆，总数 =(每边数 - 1)×4。 【详解】 每边间隔数：（个） 总盆数：（盆） 答：一共要摆 28 盆。 【答案】盆 8.（三年级期末真题）时钟 3 点敲 3 下，6 秒敲完。5 点敲 5 下，多少秒敲完？ 【分析】敲钟问题，间隔数 = 次数 - 1，先算每个间隔的时间，再算 5 下的总时间。 【详解】 3 下间隔数：（个） 每个间隔：（秒） 5 下间隔数：（个） 总时间：（秒） 答：12 秒敲完。 【答案】秒 9.（希望杯模拟题）□和○一一间隔排列，两端都是□，两种图形一共有 31 个。□和○各有多少个？ 【分析】两端都是□，□比○多 1 个，总数减去 1 个，剩下的各一半。 【详解】 ○：（个） □：（个） 答：□有 16 个，○有 15 个。 【答案】□16 个，○15 个 10.（小升初衔接题）一个圆形跑道长 200 米，沿跑道每隔 10 米插一面红旗，每两面红旗之间插 2 面黄旗。一共插了多少面黄旗？ 【分析】封闭跑道，红旗数 = 间隔数 = 200÷10=20 个，每个间隔 2 面黄旗，黄旗 = 20×2=40 面。 【详解】 红旗间隔数：（个） 黄旗数量：（面） 答：一共插了 40 面黄旗。 【答案】面 11.（华杯赛模拟题）一根木头长 24 米，要锯成 4 米长的小段，每锯一次要 3 分钟，全部锯完要多少分钟？ 【分析】先算段数，再算次数，次数 = 段数 - 1，乘每次时间。 【详解】 段数：（段） 次数：（次） 总时间：（分钟） 答：全部锯完要 15 分钟。 【答案】分钟 12.（思维训练题）同学们排队，15 个男生排成一队，每两个男生之间站 2 个女生，这队一共有多少人？ 【分析】先算女生人数，间隔数 = 男生数 - 1，女生 = 间隔数 ×2，再加男生人数得总人数。 【详解】 间隔数：（个） 女生：（人） 总人数：（人） 答：这队一共有 43 人。 【答案】人 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $