第19讲 还原问题与逆向思维 专题讲义-苏教版数学三年级上册奥数培优

第19讲 还原问题与逆向思维 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 还原问题核心概念 已知一个数量经过一次或多次增减、乘除变化后，得到了最终的结果，反过来求这个数量原来是多少，这类问题叫做还原问题，也叫逆推问题。 核心思想：由果索因，从结果倒推起点。 解题本质：把变化的过程反过来算一遍。 2. 逆推核心法则 逆推计算时，每一步的运算都要和原来的运算相反： 原来加的，逆推时变减；原来减的，逆推时变加； 原来乘的，逆推时变除；原来除的，逆推时变乘。 顺序原则：从最后一步变化开始，从后往前一步步倒推，最后发生的最先还原。 3. 常见基础题型 （1）一步还原问题 只经过一次运算变化，直接通过一次逆运算就能求出原数。 例：一个数加 5 得 12，求原数，用 12-5 即可。 （2）多步还原问题 经过两次及以上的加减、乘除变化，需要从结果开始，从后往前逐步逆推还原。 例：一个数加 3 再减 5 得 10，求原数，先算 10+5，再减 3。 （3）一半还原问题 已知数量用掉一半后剩下多少，求原来的总数，是还原问题的经典题型。 基础公式：原来的总数 = 剩下的数量 × 2 连续一半：多次用掉一半时，从最后剩下的数量开始，连续乘 2 还原。 （4）错中求解初步 计算时看错数字、算错结果，求正确的答案，本质也是还原问题，从错误的结果倒推纠正错误。 4. 解题通用步骤 ① 画过程：用箭头图或流程图表示出数量的变化过程，标注每一步的运算； ② 逆推导：从最终结果开始，按照相反的顺序，进行逆运算； ③ 算原数：逐步计算出最初的数量； ④ 验结果：把算出的原数代入原题，正向计算验证结果是否一致。 5. 易错警示 运算符号搞反：逆推时加减、乘除互换错误，比如原来加的逆推还用加； 逆推顺序错误：从前往后倒推，应该从最后一步开始往前推； 一半问题漏乘 2：误以为剩下的是一半，直接用剩下的加一半，正确是乘 2； 多步还原跳步：跳过中间步骤直接计算，容易因顺序混乱出错； 错中求解方向错：看多算的部分不知道该加还是该减，要结合题意判断。 例题讲解 【典型例题 1】两步加减还原 小明有一些邮票，送给同学 15 张，又收集了 8 张，现在有 32 张。小明原来有多少张邮票？ 【分析】这是两步加减变化的还原问题。从现在的 32 张倒推：“又收集了 8 张” 是增加了 8 张，倒推就要减去 8 张，得到送完邮票后的数量；“送给同学 15 张” 是减少了 15 张，倒推就要加回 15 张，得到原来的数量。 【详解】 第一步：还原 “收集 8 张”，求送完后的数量 （张） 第二步：还原 “送出 15 张”，求原来的数量 （张） 验证：原来 39 张，送出 15 张剩 24 张，收集 8 张后 32 张，符合题意。 答：小明原来有 39 张邮票。 【答案】张 【跟踪训练 1】 一个数加上 18，再减去 25，结果是 37。这个数原来是多少？ 【分析】从结果 37 倒推，减去 25 逆推是加 25，加上 18 逆推是减 18。 【详解】 第一步：还原 “减 25” 第二步：还原 “加 18” 验证：44+18=62，62-25=37，正确。 答：这个数原来是 44。 【答案】 【典型例题 2】基础一半还原 一根铁丝，剪去一半后还剩 18 米。这根铁丝原来长多少米？ 【分析】这是基础一半还原问题。剪去一半，说明剩下的长度和剪去的长度相等，都是全长的一半。原来的总长度是剩下长度的 2 倍。 【详解】 （米） 验证：36 米剪去一半是 18 米，符合题意。 答：这根铁丝原来长 36 米。 【答案】米 【跟踪训练 2】 一筐橘子，卖掉一半后还剩 24 千克。这筐橘子原来重多少千克？ 【分析】卖掉一半，剩下的也是一半，总重量是剩下的 2 倍。 【详解】 （千克） 答：这筐橘子原来重 48 千克。 【答案】千克 【典型例题 3】连续一半还原 小明读一本故事书，第一天读了全书的一半，第二天读了余下的一半，还剩 12 页。这本书一共有多少页？ 【分析】这是连续两次一半的还原问题。从最后剩下的 12 页倒推：第二天读了余下的一半，剩下 12 页，说明第二天读之前的页数是 12 的 2 倍；第一天读了全书的一半，剩下的就是第二天读之前的页数，全书页数是它的 2 倍。 【详解】 第一步：还原第二天，求第一天读完剩下的页数 （页） 第二步：还原第一天，求全书总页数 （页） 验证：全书 48 页，第一天读一半剩 24 页，第二天读一半剩 12 页，正确。 答：这本书一共有 48 页。 【答案】页 【跟踪训练 3】 有一袋大米，第一次吃了一半，第二次吃了剩下的一半，最后剩下 5 千克。这袋大米原来重多少千克？ 【分析】从最后剩下的 5 千克连续乘 2，依次还原第二次、第一次之前的重量。 【详解】 第二次吃之前：（千克） 原来总重：（千克） 答：这袋大米原来重 20 千克。 【答案】千克 巩固练习 1. 一个数减去 9 等于 17，这个数原来是多少？ 【分析】一步还原问题，减去 9 得 17，逆推用 17 加 9。 【详解】 答：这个数原来是 26。 【答案】 2. 一根绳子，剪去 15 米后还剩 23 米，这根绳子原来长多少米？ 【分析】剪去 15 米是减少的量，求原来的长度，用剩下的加上剪去的。 【详解】 （米） 答：这根绳子原来长 38 米。 【答案】米 3. 一个数乘 4 得 36，这个数原来是多少？ 【分析】一步乘除还原，乘 4 得 36，逆推用 36 除以 4。 【详解】 答：这个数原来是 9。 【答案】 4. 小明有一些贴纸，送给好朋友 18 张，又买了 12 张，现在有 25 张。小明原来有多少张贴纸？ 【分析】两步加减还原，从现在的数量倒推，减去买的，加回送出去的。 【详解】 （张） （张） 答：小明原来有 31 张贴纸。 【答案】张 5. 一个数加上 16，再除以 3，结果是 8。这个数原来是多少？ 【分析】两步还原，先还原除以 3，再还原加上 16。 【详解】 答：这个数原来是 8。 【答案】 6. 超市运来一批牛奶，卖出一半后还剩 35 箱。这批牛奶原来有多少箱？ 【分析】一半还原问题，总箱数是剩下的 2 倍。 【详解】 （箱） 答：这批牛奶原来有 70 箱。 【答案】箱 7. 一根铁丝，第一次用去一半，第二次用去剩下的一半，这时还剩 11 米。这根铁丝原来长多少米？ 【分析】连续两次一半还原，从剩下的 11 米连续乘 2。 【详解】 第二次用之前：（米） 原来总长：（米） 答：这根铁丝原来长 44 米。 【答案】米 8. 爸爸发了一些奖金，买生活用品花了 500 元，还剩 700 元。爸爸发了多少元奖金？ 【分析】一步还原，花掉的加剩下的就是总奖金。 【详解】 （元） 答：爸爸发了 1200 元奖金。 【答案】元 9. 小明做加法题时，把一个加数 23 看成了 32，算出来的和是 58。正确的和是多少？ 【分析】错中求解，把加数 23 看成 32，多加了 32-23=9，正确的和要减去多算的 9。 【详解】 多加的数： 正确的和： 验证：正确加数 23，另一个加数 58-32=26，26+23=49，正确。 答：正确的和是 49。 【答案】 10. 一根绳子，第一次剪去一半多 2 米，还剩 10 米。这根绳子原来长多少米？ 【分析】稍复杂的一半问题。如果第一次只剪去一半，剩下的应该是 10+2=12 米，也就是全长的一半是 12 米，再乘 2 得全长。 【详解】 全长的一半：（米） 原来总长：（米） 验证：24 米的一半是 12 米，多剪 2 米剩 10 米，正确。 答：这根绳子原来长 24 米。 【答案】米 11. 书架上有一些书，借走一半少 2 本，还剩 10 本。书架上原来有多少本书？ 【分析】借走一半少 2 本，说明剩下的比一半多 2 本。先算出一半是 10-2=8 本，再乘 2 得总数。 【详解】 总数的一半：（本） 原来总数：（本） 验证：16 本的一半是 8 本，少借 2 本就是借走 6 本，剩 10 本，正确。 答：书架上原来有 16 本书。 【答案】本 12. 小明有一些弹珠，分给哥哥一半，分给弟弟剩下的一半，自己还有 8 颗。小明原来有多少颗弹珠？ 【分析】连续两次一半还原，从自己剩下的 8 颗倒推，先求分给弟弟前的数量，再求总数。 【详解】 分给弟弟前：（颗） 原来总数：（颗） 答：小明原来有 32 颗弹珠。 【答案】颗 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）小明有一些卡片，送给弟弟 8 张后还剩 17 张。小明原来有多少张卡片？ 【分析】一步还原，送出的加剩下的就是原来的数量。 【详解】 （张） 答：小明原来有 25 张卡片。 【答案】张 2.（苏教版期末真题）一根绳子剪去一半后还剩 14 米，这根绳子原来长多少米？ 【分析】一半还原问题，原来长度是剩下的 2 倍。 【详解】 （米） 答：这根绳子原来长 28 米。 【答案】米 3.（希望杯三年级试题）一个数减去 18，再加上 25，结果是 32。这个数原来是多少？ 【分析】两步加减还原，从结果倒推，加 25 变减 25，减 18 变加 18。 【详解】 答：这个数原来是 25。 【答案】 4.（华杯赛低年级组）一筐橘子，第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，还剩 9 个。这筐橘子原来有多少个？ 【分析】连续两次一半还原，从剩下的 9 个连续乘 2。 【详解】 第一天吃完剩下：（个） 原来总数：（个） 答：这筐橘子原来有 36 个。 【答案】个 5.（苏教版培优题）小明做加法时，把一个加数 15 看成了 18，得到的和是 40。正确的和是多少？ 【分析】错中求解，加数看多了 3，和就多了 3，正确的和减去 3。 【详解】 多看了： 正确的和： 答：正确的和是 37。 【答案】 6.（重点中学分班考）一个数除以 2，再乘 3，结果是 18。这个数原来是多少？ 【分析】两步乘除还原，从结果倒推，乘 3 变除以 3，除以 2 变乘 2。 【详解】 答：这个数原来是 12。 【答案】 7.（走美杯真题）妈妈买了一些苹果，吃了一半多 1 个，还剩 12 个。妈妈买了多少个苹果？ 【分析】一半多几的还原，剩下的加 1 就是总数的一半，再乘 2。 【详解】 总数的一半：（个） 总数：（个） 答：妈妈买了 26 个苹果。 【答案】个 8.（三年级期末真题）图书馆有一些故事书，借走 25 本，又还回 18 本，现在有 30 本。图书馆原来有多少本故事书？ 【分析】两步加减还原，从现在的数量倒推，还回的减去，借走的加回。 【详解】 （本） （本） 答：图书馆原来有 37 本故事书。 【答案】本 9.（希望杯模拟题）一根彩带，第一次用去 6 米，第二次用去剩下的一半，还剩 12 米。这根彩带原来长多少米？ 【分析】先还原第二次用之前的长度，再加上第一次用去的 6 米。 【详解】 第二次用之前：（米） 原来总长：（米） 答：这根彩带原来长 30 米。 【答案】米 10.（小升初衔接题）小明有一些零花钱，花了一半买文具，又花了剩下的一半买零食，还剩 15 元。小明原来有多少元？ 【分析】连续两次一半还原，从剩下的 15 元连续乘 2。 【详解】 买零食前：（元） 原来总钱数：（元） 答：小明原来有 60 元。 【答案】元 11.（华杯赛模拟题）小马虎做减法时，把减数 13 看成了 31，结果是 12。正确的差是多少？ 【分析】错中求解，减数看大了 31-13=18，差就少了 18，正确的差要加上 18。 【详解】 减数多算了： 正确的差： 验证：被减数是 31+12=43，正确差 43-13=30，正确。 答：正确的差是 30。 【答案】 12.（思维训练题）三个班借图书，一班借走一半，二班借走剩下的一半，三班借了 8 本正好借完。这批图书原来有多少本？ 【分析】三班借的 8 本就是二班借完剩下的，也就是一班借完剩下的一半，连续乘 2 得总数。 【详解】 一班借完剩下：（本） 原来总数：（本） 答：这批图书原来有 32 本。 【答案】本 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 还原问题与逆向思维 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 还原问题核心概念 已知一个数量经过一次或多次增减、乘除变化后，得到了最终的结果，反过来求这个数量原来是多少，这类问题叫做还原问题，也叫逆推问题。 核心思想：由果索因，从结果倒推起点。 解题本质：把变化的过程反过来算一遍。 2. 逆推核心法则 逆推计算时，每一步的运算都要和原来的运算相反： 原来加的，逆推时变减；原来减的，逆推时变加； 原来乘的，逆推时变除；原来除的，逆推时变乘。 顺序原则：从最后一步变化开始，从后往前一步步倒推，最后发生的最先还原。 3. 常见基础题型 （1）一步还原问题 只经过一次运算变化，直接通过一次逆运算就能求出原数。 例：一个数加 5 得 12，求原数，用 12-5 即可。 （2）多步还原问题 经过两次及以上的加减、乘除变化，需要从结果开始，从后往前逐步逆推还原。 例：一个数加 3 再减 5 得 10，求原数，先算 10+5，再减 3。 （3）一半还原问题 已知数量用掉一半后剩下多少，求原来的总数，是还原问题的经典题型。 基础公式：原来的总数 = 剩下的数量 × 2 连续一半：多次用掉一半时，从最后剩下的数量开始，连续乘 2 还原。 （4）错中求解初步 计算时看错数字、算错结果，求正确的答案，本质也是还原问题，从错误的结果倒推纠正错误。 4. 解题通用步骤 ① 画过程：用箭头图或流程图表示出数量的变化过程，标注每一步的运算； ② 逆推导：从最终结果开始，按照相反的顺序，进行逆运算； ③ 算原数：逐步计算出最初的数量； ④ 验结果：把算出的原数代入原题，正向计算验证结果是否一致。 5. 易错警示 运算符号搞反：逆推时加减、乘除互换错误，比如原来加的逆推还用加； 逆推顺序错误：从前往后倒推，应该从最后一步开始往前推； 一半问题漏乘 2：误以为剩下的是一半，直接用剩下的加一半，正确是乘 2； 多步还原跳步：跳过中间步骤直接计算，容易因顺序混乱出错； 错中求解方向错：看多算的部分不知道该加还是该减，要结合题意判断。 例题讲解 【典型例题 1】两步加减还原 小明有一些邮票，送给同学 15 张，又收集了 8 张，现在有 32 张。小明原来有多少张邮票？ 【跟踪训练 1】 一个数加上 18，再减去 25，结果是 37。这个数原来是多少？ 【典型例题 2】基础一半还原 一根铁丝，剪去一半后还剩 18 米。这根铁丝原来长多少米？ 【跟踪训练 2】 一筐橘子，卖掉一半后还剩 24 千克。这筐橘子原来重多少千克？ 【典型例题 3】连续一半还原 小明读一本故事书，第一天读了全书的一半，第二天读了余下的一半，还剩 12 页。这本书一共有多少页？ 【跟踪训练 3】 有一袋大米，第一次吃了一半，第二次吃了剩下的一半，最后剩下 5 千克。这袋大米原来重多少千克？ 巩固练习 1. 一个数减去 9 等于 17，这个数原来是多少？ 2. 一根绳子，剪去 15 米后还剩 23 米，这根绳子原来长多少米？ 3. 一个数乘 4 得 36，这个数原来是多少？ 4. 小明有一些贴纸，送给好朋友 18 张，又买了 12 张，现在有 25 张。小明原来有多少张贴纸？ 5. 一个数加上 16，再除以 3，结果是 8。这个数原来是多少？ 6. 超市运来一批牛奶，卖出一半后还剩 35 箱。这批牛奶原来有多少箱？ 7. 一根铁丝，第一次用去一半，第二次用去剩下的一半，这时还剩 11 米。这根铁丝原来长多少米？ 8. 爸爸发了一些奖金，买生活用品花了 500 元，还剩 700 元。爸爸发了多少元奖金？ 9. 小明做加法题时，把一个加数 23 看成了 32，算出来的和是 58。正确的和是多少？ 10. 一根绳子，第一次剪去一半多 2 米，还剩 10 米。这根绳子原来长多少米？ 11. 书架上有一些书，借走一半少 2 本，还剩 10 本。书架上原来有多少本书？ 12. 小明有一些弹珠，分给哥哥一半，分给弟弟剩下的一半，自己还有 8 颗。小明原来有多少颗弹珠？ 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）小明有一些卡片，送给弟弟 8 张后还剩 17 张。小明原来有多少张卡片？ 2.（苏教版期末真题）一根绳子剪去一半后还剩 14 米，这根绳子原来长多少米？ 3.（希望杯三年级试题）一个数减去 18，再加上 25，结果是 32。这个数原来是多少？ 4.（华杯赛低年级组）一筐橘子，第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，还剩 9 个。这筐橘子原来有多少个？ 5.（苏教版培优题）小明做加法时，把一个加数 15 看成了 18，得到的和是 40。正确的和是多少？ 6.（重点中学分班考）一个数除以 2，再乘 3，结果是 18。这个数原来是多少？ 7.（走美杯真题）妈妈买了一些苹果，吃了一半多 1 个，还剩 12 个。妈妈买了多少个苹果？ 8.（三年级期末真题）图书馆有一些故事书，借走 25 本，又还回 18 本，现在有 30 本。图书馆原来有多少本故事书？ 9.（希望杯模拟题）一根彩带，第一次用去 6 米，第二次用去剩下的一半，还剩 12 米。这根彩带原来长多少米？ 10.（小升初衔接题）小明有一些零花钱，花了一半买文具，又花了剩下的一半买零食，还剩 15 元。小明原来有多少元？ 11.（华杯赛模拟题）小马虎做减法时，把减数 13 看成了 31，结果是 12。正确的差是多少？ 12.（思维训练题）三个班借图书，一班借走一半，二班借走剩下的一半，三班借了 8 本正好借完。这批图书原来有多少本？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $