第10讲 平均数问题入门 专题讲义-苏教版数学三年级上册奥数培优

第10讲 平均数问题入门 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 平均数的意义 把几个大小不等的数量，在总数量保持不变的前提下，通过 “移多补少” 的方法，使它们变成同样多的数，这个同样多的数就叫做这几个数量的平均数。 平均数反映的是一组数据的整体水平，不代表其中每个数的实际大小。 平均数一定在这组数据的最大值和最小值之间。 2. 核心计算公式 三个基本关系式，知二求一： 平均数 = 总数量 ÷ 总份数（基础公式） 总数量 = 平均数 × 总份数（反求总数） 总份数 = 总数量 ÷ 平均数（反求份数） 关键原则：总数量和总份数必须一一对应。例如求三科平均分，总数量是三科总分，总份数就是 3 科。 3. 两种基本解题方法 （1）公式法 先计算出所有数据的总和，再除以对应的总份数，得到平均数。 适用场景：数据较多、数值差异较大，需要精确计算的题型。 （2）移多补少法 不计算总数，以一个接近的数为基准，把多的部分拿出来补给少的部分，直接得到平均数。 适用场景：数据比较接近，或有明显中间基准数的题型。 例：10、12、14，以 12 为基准，10 少 2，14 多 2，移多补少后都是 12，平均数就是 12。 4. 常见入门题型 基础求平均：已知多个数据，直接求它们的平均数； 反求总数：已知平均数和份数，求总数量； 反求个别数：已知平均数和其他数据，求其中一个未知数据； 移多补少：已知两组数量，求调动多少后两组数量相等。 5. 解题通用步骤 ① 明问题：确定求什么的平均数，找到对应的总数量和总份数； ② 选方法：数据接近用移多补少，数据复杂用公式法； ③ 列算式：根据公式计算，确保总数量与总份数对应； ④ 验结果：把平均数反向乘总份数，验证总数量是否一致。 6. 易错警示 数量与份数不匹配：比如求语文、数学两科平均分，却用三科总分计算； 移多补少算错量：甲比乙多 8 个，错认为给乙 8 个就相等，实际只需给差的一半（4 个）； 混淆概念：把平均数当成每个数的实际值，比如平均身高 130 厘米，不代表所有人都是 130 厘米； 份数计数错误：4 个数据求平均，总份数错算成 3，导致结果偏大。 例题讲解 【典型例题 1】基础公式法求平均数 小明期中考试，语文 92 分，数学 98 分，英语 95 分。小明三科的平均成绩是多少分？ 【跟踪训练 1】 三个同学的身高分别是 132 厘米、136 厘米、134 厘米。这三个同学的平均身高是多少厘米？ 【典型例题 2】已知平均数求个别数 小红三科的平均成绩是 94 分，其中语文 91 分，数学 96 分。英语得了多少分？ 【跟踪训练 2】 有四个数，它们的平均数是 15。已知其中三个数分别是 12、16、18，第四个数是多少？ 【典型例题 3】移多补少与平均数 有两堆糖果，第一堆有 26 颗，第二堆有 18 颗。从第一堆拿多少颗放到第二堆，两堆糖果就同样多？ 【跟踪训练 3】 第一小组有 16 人，第二小组有 10 人。从第一小组调几个人到第二小组，两个小组的人数就同样多？ 巩固练习 1. 一个书架第一层放书 28 本，第二层放书 32 本，第三层放书 30 本。平均每层放多少本书？ 2. 小明买了 3 个笔记本，分别花了 5 元、7 元、6 元。平均每个笔记本多少元？ 3. 运动员跑百米，第一次用了 12 秒，第二次用了 14 秒，第三次用了 13 秒。他的平均成绩是多少秒？ 4. 小丽四门功课的平均成绩是 92 分，其中语文 90 分，数学 95 分，英语 91 分。科学得了多少分？ 5. 三个数的平均数是 20，其中两个数分别是 18 和 22，第三个数是多少？ 6. 小明前两次数学测验的平均分是 93 分，第三次测验后，平均分变成了 94 分。第三次测验得了多少分？ 7. 有两筐苹果，甲筐有 32 千克，乙筐有 24 千克。从甲筐拿多少千克到乙筐，两筐苹果同样重？ 8. 哥哥有 40 张邮票，弟弟有 30 张邮票。哥哥给弟弟多少张，两人的邮票就同样多？ 9. 有三个数，甲数是 25，乙数是 29，丙数比三个数的平均数少 4。丙数是多少？ 10. 小明第一天看了 12 页书，第二天看了 18 页，第三天看的页数比三天的平均页数多 2 页。第三天看了多少页？ 11. 商店运来 4 箱饮料，每箱 25 瓶，又运来 3 箱矿泉水，所有饮料和矿泉水平均每箱 28 瓶。平均每箱矿泉水多少瓶？ 12. 有 5 个数，它们的平均数是 13。如果把其中一个数改成 18，平均数变成了 14。被改动的数原来是多少？ 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）三（1）班同学收集废瓶，第一组收集了 24 个，第二组收集了 28 个，第三组收集了 26 个。平均每个小组收集多少个？ 2.（苏教版期末真题）小华语文、数学的平均成绩是 95 分，语文得了 93 分。数学得了多少分？ 3.（希望杯三年级试题）有三个数，分别是 14、18、16。它们的平均数是多少？ 4.（华杯赛低年级组）小明前两次跳绳的平均成绩是 120 下，第三次跳了 126 下。他三次的平均成绩是多少下？ 5.（苏教版培优题）两袋大米，第一袋重 50 千克，第二袋重 30 千克。从第一袋倒多少千克到第二袋，两袋大米同样重？ 6.（重点中学分班考）四个数的平均数是 12，其中三个数分别是 10、13、15。第四个数是多少？ 7.（走美杯真题）有 4 个数，它们的平均数是 11。如果把其中一个数改成 20，平均数就变成了 12。被改的数原来是多少？ 8.（三年级期末真题）三个同学的身高分别是 131 厘米、135 厘米、133 厘米。他们的平均身高是多少厘米？ 9.（希望杯模拟题）商店运来 3 筐苹果，每筐 20 千克；又运来 5 筐梨，一共运来 180 千克水果。平均每筐梨重多少千克？ 10.（小升初衔接题）小明语文、数学、英语的平均成绩是 93 分，语文和数学的平均成绩是 94 分。英语得了多少分？ 11.（华杯赛模拟题）有两堆棋子，第一堆有 42 枚，第二堆有 30 枚。每次从第一堆拿 3 枚给第二堆，拿几次后两堆棋子同样多？ 12.（思维训练题）5 个数的平均数是 10，如果把其中一个数去掉，剩下 4 个数的平均数是 11。去掉的数是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 平均数问题入门 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 平均数的意义 把几个大小不等的数量，在总数量保持不变的前提下，通过 “移多补少” 的方法，使它们变成同样多的数，这个同样多的数就叫做这几个数量的平均数。 平均数反映的是一组数据的整体水平，不代表其中每个数的实际大小。 平均数一定在这组数据的最大值和最小值之间。 2. 核心计算公式 三个基本关系式，知二求一： 平均数 = 总数量 ÷ 总份数（基础公式） 总数量 = 平均数 × 总份数（反求总数） 总份数 = 总数量 ÷ 平均数（反求份数） 关键原则：总数量和总份数必须一一对应。例如求三科平均分，总数量是三科总分，总份数就是 3 科。 3. 两种基本解题方法 （1）公式法 先计算出所有数据的总和，再除以对应的总份数，得到平均数。 适用场景：数据较多、数值差异较大，需要精确计算的题型。 （2）移多补少法 不计算总数，以一个接近的数为基准，把多的部分拿出来补给少的部分，直接得到平均数。 适用场景：数据比较接近，或有明显中间基准数的题型。 例：10、12、14，以 12 为基准，10 少 2，14 多 2，移多补少后都是 12，平均数就是 12。 4. 常见入门题型 基础求平均：已知多个数据，直接求它们的平均数； 反求总数：已知平均数和份数，求总数量； 反求个别数：已知平均数和其他数据，求其中一个未知数据； 移多补少：已知两组数量，求调动多少后两组数量相等。 5. 解题通用步骤 ① 明问题：确定求什么的平均数，找到对应的总数量和总份数； ② 选方法：数据接近用移多补少，数据复杂用公式法； ③ 列算式：根据公式计算，确保总数量与总份数对应； ④ 验结果：把平均数反向乘总份数，验证总数量是否一致。 6. 易错警示 数量与份数不匹配：比如求语文、数学两科平均分，却用三科总分计算； 移多补少算错量：甲比乙多 8 个，错认为给乙 8 个就相等，实际只需给差的一半（4 个）； 混淆概念：把平均数当成每个数的实际值，比如平均身高 130 厘米，不代表所有人都是 130 厘米； 份数计数错误：4 个数据求平均，总份数错算成 3，导致结果偏大。 例题讲解 【典型例题 1】基础公式法求平均数 小明期中考试，语文 92 分，数学 98 分，英语 95 分。小明三科的平均成绩是多少分？ 【分析】求三科平均成绩，总数量是三科的总分数，总份数是 3 科。先算出三科总分，再除以 3 即可得到平均分。 【详解】 第一步：计算三科总分数 （分） 第二步：计算平均成绩 （分） 答：小明三科的平均成绩是 95 分。 【答案】分 【跟踪训练 1】 三个同学的身高分别是 132 厘米、136 厘米、134 厘米。这三个同学的平均身高是多少厘米？ 【分析】求平均身高，总数量是三人身高总和，总份数是 3 人，先算总和再除以 3。 【详解】 身高总和：（厘米） 平均身高：（厘米） 答：这三个同学的平均身高是 134 厘米。 【答案】厘米 【典型例题 2】已知平均数求个别数 小红三科的平均成绩是 94 分，其中语文 91 分，数学 96 分。英语得了多少分？ 【分析】已知平均成绩和科数，可以先算出三科的总分数，再减去语文和数学的分数，剩下的就是英语的分数。 【详解】 第一步：计算三科总分 （分） 第二步：计算英语分数 （分） 答：英语得了 95 分。 【答案】分 【跟踪训练 2】 有四个数，它们的平均数是 15。已知其中三个数分别是 12、16、18，第四个数是多少？ 【分析】先根据平均数算出四个数的总和，再减去已知的三个数，得到第四个数。 【详解】 四个数总和： 第四个数： 答：第四个数是 14。 【答案】 【典型例题 3】移多补少与平均数 有两堆糖果，第一堆有 26 颗，第二堆有 18 颗。从第一堆拿多少颗放到第二堆，两堆糖果就同样多？ 【分析】方法一：先算出两堆糖果的平均数，再算第一堆比平均数多多少，就是要拿的数量。方法二：先算出第一堆比第二堆多多少颗，把多的部分平均分成 2 份，拿一份给第二堆就相等了，即 “差 ÷2”。 【详解】 方法一：公式法 总颗数：（颗） 平均每堆：（颗） 拿的颗数：（颗） 方法二：移多补少法 第一堆比第二堆多：（颗） 拿的颗数：（颗） 答：从第一堆拿 4 颗放到第二堆，两堆就同样多。 【答案】颗 【跟踪训练 3】 第一小组有 16 人，第二小组有 10 人。从第一小组调几个人到第二小组，两个小组的人数就同样多？ 【分析】先算两组人数差，差的一半就是要调动的人数；也可以先算平均人数，再计算调动数。 【详解】 人数差：（人） 调动人数：（人） 答：调 3 个人到第二小组，两个小组人数就同样多。 【答案】人 巩固练习 1. 一个书架第一层放书 28 本，第二层放书 32 本，第三层放书 30 本。平均每层放多少本书？ 【分析】求平均每层放书数，总数量是三层书的总数，总份数是 3 层。 【详解】 总本数：（本） 平均每层：（本） 答：平均每层放 30 本书。 【答案】本 2. 小明买了 3 个笔记本，分别花了 5 元、7 元、6 元。平均每个笔记本多少元？ 【分析】总钱数除以个数等于平均价格。 【详解】 总钱数：（元） 平均价格：（元） 答：平均每个笔记本 6 元。 【答案】元 3. 运动员跑百米，第一次用了 12 秒，第二次用了 14 秒，第三次用了 13 秒。他的平均成绩是多少秒？ 【分析】三次时间总和除以 3，得到平均成绩。 【详解】 总时间：（秒） 平均成绩：（秒） 答：他的平均成绩是 13 秒。 【答案】秒 4. 小丽四门功课的平均成绩是 92 分，其中语文 90 分，数学 95 分，英语 91 分。科学得了多少分？ 【分析】先算四门总分，减去已知三科分数，得到科学分数。 【详解】 四门总分：（分） 科学分数：（分） 答：科学得了 92 分。 【答案】分 5. 三个数的平均数是 20，其中两个数分别是 18 和 22，第三个数是多少？ 【分析】先算三个数的总和，减去已知两个数。 【详解】 三个数总和： 第三个数： 答：第三个数是 20。 【答案】 6. 小明前两次数学测验的平均分是 93 分，第三次测验后，平均分变成了 94 分。第三次测验得了多少分？ 【分析】先算前两次总分，再算三次总分，相减就是第三次的分数。 【详解】 前两次总分：（分） 三次总分：（分） 第三次分数：（分） 答：第三次测验得了 96 分。 【答案】分 7. 有两筐苹果，甲筐有 32 千克，乙筐有 24 千克。从甲筐拿多少千克到乙筐，两筐苹果同样重？ 【分析】先算重量差，差的一半就是要拿的重量。 【详解】 重量差：（千克） 拿的重量：（千克） 答：拿 4 千克到乙筐，两筐同样重。 【答案】千克 8. 哥哥有 40 张邮票，弟弟有 30 张邮票。哥哥给弟弟多少张，两人的邮票就同样多？ 【分析】邮票差除以 2 就是哥哥要给的数量。 【详解】 邮票差：（张） 给的张数：（张） 答：哥哥给弟弟 5 张，两人同样多。 【答案】张 9. 有三个数，甲数是 25，乙数是 29，丙数比三个数的平均数少 4。丙数是多少？ 【分析】丙数比平均数少 4，说明甲乙两数的和比 2 个平均数多 4，由此先求出平均数，再算丙数。 【详解】 甲乙的和： 2 个平均数： 平均数： 丙数： 验证：，符合题意。 答：丙数是 21。 【答案】 10. 小明第一天看了 12 页书，第二天看了 18 页，第三天看的页数比三天的平均页数多 2 页。第三天看了多少页？ 【分析】第三天比平均多 2 页，说明前两天的总和比 2 个平均少 2 页，先算出平均页数，再算第三天的页数。 【详解】 前两天共看：（页） 2 个平均页数：（页） 平均每天：（页） 第三天：（页） 验证：，符合题意。 答：第三天看了 18 页。 【答案】页 11. 商店运来 4 箱饮料，每箱 25 瓶，又运来 3 箱矿泉水，所有饮料和矿泉水平均每箱 28 瓶。平均每箱矿泉水多少瓶？ 【分析】先算总箱数和总瓶数，减去饮料的总瓶数，得到矿泉水总瓶数，再除以 3 箱。 【详解】 总箱数：（箱） 总瓶数：（瓶） 饮料总瓶数：（瓶） 矿泉水总瓶数：（瓶） 平均每箱矿泉水：（瓶） 答：平均每箱矿泉水 32 瓶。 【答案】瓶 12. 有 5 个数，它们的平均数是 13。如果把其中一个数改成 18，平均数变成了 14。被改动的数原来是多少？ 【分析】先算原来的总和与改动后的总和，两者的差就是改动的数增加的量，用 18 减去增加的量就是原来的数。 【详解】 原来总和： 改动后总和： 总和增加了： 原来的数： 答：被改动的数原来是 13。 【答案】 真题训练 1.（苏教版三年级期末真题）三（1）班同学收集废瓶，第一组收集了 24 个，第二组收集了 28 个，第三组收集了 26 个。平均每个小组收集多少个？ 【分析】总个数除以组数等于平均个数。 【详解】 总个数：（个） 平均每组：（个） 答：平均每个小组收集 26 个。 【答案】个 2.（苏教版期末真题）小华语文、数学的平均成绩是 95 分，语文得了 93 分。数学得了多少分？ 【分析】先算两科总分，减去语文分数得数学分数。 【详解】 两科总分：（分） 数学分数：（分） 答：数学得了 97 分。 【答案】分 3.（希望杯三年级试题）有三个数，分别是 14、18、16。它们的平均数是多少？ 【分析】总和除以 3 得平均数。 【详解】 总和： 平均数： 答：它们的平均数是 16。 【答案】 4.（华杯赛低年级组）小明前两次跳绳的平均成绩是 120 下，第三次跳了 126 下。他三次的平均成绩是多少下？ 【分析】先算前两次总数，加第三次的数量，再除以 3。 【详解】 前两次总数：（下） 三次总数：（下） 平均成绩：（下） 答：三次平均成绩是 122 下。 【答案】下 5.（苏教版培优题）两袋大米，第一袋重 50 千克，第二袋重 30 千克。从第一袋倒多少千克到第二袋，两袋大米同样重？ 【分析】重量差除以 2 就是倒的重量。 【详解】 重量差：（千克） 倒的重量：（千克） 答：倒 10 千克到第二袋，两袋同样重。 【答案】千克 6.（重点中学分班考）四个数的平均数是 12，其中三个数分别是 10、13、15。第四个数是多少？ 【分析】总和减去已知三个数，得到第四个数。 【详解】 四个数总和： 第四个数： 答：第四个数是 10。 【答案】 7.（走美杯真题）有 4 个数，它们的平均数是 11。如果把其中一个数改成 20，平均数就变成了 12。被改的数原来是多少？ 【分析】先算总和的变化量，再求原数。 【详解】 原来总和： 改动后总和： 增加了： 原数： 答：被改的数原来是 16。 【答案】 8.（三年级期末真题）三个同学的身高分别是 131 厘米、135 厘米、133 厘米。他们的平均身高是多少厘米？ 【分析】身高总和除以 3。 【详解】 身高总和：（厘米） 平均身高：（厘米） 答：平均身高是 133 厘米。 【答案】厘米 9.（希望杯模拟题）商店运来 3 筐苹果，每筐 20 千克；又运来 5 筐梨，一共运来 180 千克水果。平均每筐梨重多少千克？ 【分析】先算苹果总重量，总重量减去苹果重量得到梨的总重量，再除以 5 筐。 【详解】 苹果总重：（千克） 梨总重：（千克） 平均每筐梨：（千克） 答：平均每筐梨重 24 千克。 【答案】千克 10.（小升初衔接题）小明语文、数学、英语的平均成绩是 93 分，语文和数学的平均成绩是 94 分。英语得了多少分？ 【分析】三科总分减去语文数学两科总分，得到英语分数。 【详解】 三科总分：（分） 语文数学总分：（分） 英语：（分） 答：英语得了 91 分。 【答案】分 11.（华杯赛模拟题）有两堆棋子，第一堆有 42 枚，第二堆有 30 枚。每次从第一堆拿 3 枚给第二堆，拿几次后两堆棋子同样多？ 【分析】先算总共要拿多少枚，再除以每次拿的数量得到次数。 【详解】 棋子差：（枚） 总共要拿：（枚） 次数：（次） 答：拿 2 次后两堆同样多。 【答案】次 12.（思维训练题）5 个数的平均数是 10，如果把其中一个数去掉，剩下 4 个数的平均数是 11。去掉的数是多少？ 【分析】5 个数的总和减去 4 个数的总和，就是去掉的数。 【详解】 5 个数总和： 4 个数总和： 去掉的数： 答：去掉的数是 6。 【答案】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $